一、狭义相对论基本原理三、洛仑兹变换第八章 小结
1,相对性原理 2,光速不变原理坐标变换式
1
x u
β= 2
t?x
β
cu?t?x
1
2=?t
2
{
二,狭义相对论的时空观
1、长度收缩
2、时间膨胀
L =Lo β1 2
tΔtΔ =
β1 23、同时性 （三种情况）
1γ =
c 21 u2
速度变换式
+
vx vx=
1
+u
uc
2
vx
+
vz vz=
1 uc 2vx( )γ
+
vy vy=
1 u 2vx( )γ c
v
vx vx=
1
u
uc
2
vx
vz vz=
1 uc 2x( )γ
vy vy=
1 u 2vx( )γ c
四、相对论动力学
1、基本量
2
2
o
c
v
1
m
)v(m
2
2
o
c
v
1
vm
P
(3) 动能,EK = mc2 - moc2
(4) 能量,E = m c2
(2)动量：
(1)质量,静质量：
m o
静 能：
Eo = moc2
(1) 质能关系,m = E / c2
(2) 能量与动量关系：
E2 = Eo2 + P2c2
= moc2 + P2c2
2、基本量相互关系
(3) 动能与动量关系：
EK = ( Eo2 + P2c2 ) 1/2 - Eo
3、变换式
22
x'
z
'
z
y
'
y
22
2
x'
x
c/u1
uPE
E
PP
PP
c/u1
c/uEP
P
22
'
x
'
'
zz
'
yy
22
2''
x
x
c/u1
uPE
E
PP
PP
c/u1
c/uEP
P
(1) 相对论动量和能量的变换正变换 逆变换
(2) 相对论力的变换 ( 了解 )
)v
c
1(
F
F
c
u
)v
c
1(
F
F
c/u1
1
v
c
1
vF
c
F
F
'
x
'
z
z
'
x
'
y
y
22
'
x
''
x
x
其中：
五、广义相对论
1、等效原理
2、广义相对论的实验验证
8-1、一个粒子将在 2× 106 秒内衰变，当这个粒子以 0.8 c 的速度运动时，一个实验室中的观测者测得的衰变时间将是多少?
解：已知?t = 2× 106 s,u = 0.8 c
由时间膨胀得：
t‘ =?t/( 1- u2/c2 )1/2
= 2× 106 /( 1- 0.82 )1/2
= 3.33× 106 s
8-2、一观测者测得运动米尺长为 0.5 m,
求此米尺以多大的速度相对观测者运动?
解：已知 l = 0.5 m,l’ = 1.0 m
由长度收缩 l = l’ ( 1 - u2 / c2 )1/2 得
u = ( 1 - l 2 / l’ 2 )1/2 c
= ( 1 - 0.5 2/1,0 2 )1/2 c
= 0.866 c
8-3、一列静长为 l0 = 0.5 km 的火车，以 v
= 100 km /h 的速度在地面上匀速前进。在地面上的观察者看到两个闪电同时击中火车头尾，在火车上的观察者测出这两个闪电的时间差是多少? 先出中车头还是车尾?
解：已知?x’=0.5 km,u =100 km/h,?t=0 s
由 洛仑兹变换
t = (?t’ + u?x’/c2)/( 1- u2/c2 )1/2
得,?t’ = - u?x’/c2
= -(100000/3600)?500/(3?108)2
= - 1.54? 10-13 s
因?t’= t’头 - t’尾 < 0,故 先出中车头,
8-4、牛朗星与地球相距约 16 光年，一宇航员准备用 4 年时间抵达牛朗星，问宇宙飞船将以多大的速度飞行?
解：已知?x = 16c,?t’ = 4 y
设 宇宙飞船速度为 u,则有
t =?x/u
由 洛仑兹变换
t’= (?t - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
= (?x/u - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
=?x/u( 1- u2/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
=?x/u( 1- u2/c2 )1/2
得 ( c?t’/?x )(u/c) = ( 1- u2/c2 )1/2
x = 16c,?t’ = 4 y
( c?t’/?x )(u/c) = ( 1- u2/c2 )1/2
两边平方,( c?t’/?x )2 u2/c2 = 1- u2/c2
整理得,u = c /[ 1 + ( c?t’/?x )2 ]1/2
= c /[ 1 + ( 4c/16c )2 ]1/2
= (16/17)1/2 c
= 0.97 c
8-5、在参考系 K中的同地点发生的两个事件
，其先后时间间隔为 0.2 秒，在另一系 K′
中测得此两事件的时间间隔为 0.3 秒，求这两个参考系之间的相对运动速率。
解：已知?x = 0,?t = 0.2 s,?t’ = 0.3 s
t’= (?t - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
=?t/( 1- u2/c2 )1/2
u = c [ 1-(?t/?t’)2 ]1/2
= c [ 1-( 0.2 / 0.3)2 ]1/2
= 0.745 c
8-6、两个参考系中观测者Ｏ和Ｏ ′ 以 0.6c
相对速度互相接近，如果Ｏ测得两者的初始距离是 20 m,则Ｏ ′ 测得两者经过多少时间 △ t 后相遇。
解,?t = (?t’- u?x’/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
根据题意相遇时间?t = 20/0.6c,
x’ = 0,u = 0.6 c
t’ = ( 1- u2/c2 )1/2?t
= ( 1- 0.62 )1/2 20/0.6c
= 8.89? 10-8 s
8-7 甲、乙、丙三飞船静止时长度相同都是 lo，
现在分别在三条平行线上沿同方向匀速运动，甲观测到乙的长度为 lo / 2，乙观测到丙的长度也为 lo /2，甲观测到丙比乙快，则甲观测到丙的长度为多少?
解：
2
2
c
u1 乙甲
2
oo ll c2
3u
乙甲丙快于乙）”（舍“同理,丙乙 c
2
3u
)c
2
3
u(0
)c
2
3
u(c
7
34
22 c
uu
1
uu
c
uu
1
uu
u
乙甲乙甲乙甲丙乙乙甲丙乙甲乙丙乙甲乙丙乙丙甲
c
7
34
uuu
丙甲乙甲丙甲?
)c
2
3
u(0
)c
2
3
u(c
7
34
u
乙甲乙甲丙甲
77
34
1
c
u
1
2
2
2
o
oo
l
lll?
丙甲
8-8,一个质点在惯性系 S' 中作匀速圆周运动，
其轨迹为,0,'' 2222 zayx
试证明在与 S‘ 中相对运动，且其相对速度沿 X’
方向，大小为 v 的另一惯性系 S 中测得质点作椭圆运动，椭圆中心以速度 v 运动。
证明：把洛仑兹变换式：
y’ = y
z’ = z
x’ = x? vt
2
21
c
v?
代入,0,'' 2222 zayx
可得：
可见在 S 系中，测得该质点运动轨迹为椭圆，
其中心在 z = 0 平面中沿着 X 轴以速度 v 运动。
0?z
2
2
22
2
1
v
a
y
βa
tx
1
8-9,在 S 系中观察者测得相距 600 km 的两事件同时发生，在相对 S 系作匀速运动的参照系
S'中，测得它们的空间间隔是 1200 km，问在 S'
系中测得这两件事的时间差是多少？
x =?x'
21
即：
解：由于两件事的间距在 S 系中同时测定，因此它不是原长，而?x'是原长，则：
'x
x
21?,
2
1
1 2 0 0
6 0 0
解之得：
c23v?
't
- vc2?x
21
310600- ( /c )
32
1
.1046.3 3 s
=
8-10,? + 介子的平均寿命是 2.6?10 -8 s,如果它相对于实验室以 0.8 c 的 速度运动，那么实验室中测得它的寿命为多长？在它衰变以前留下的径迹是多长？
解：
S
.m.
..
τ
310
103410380
v
88
8103.4
v2
c21
2.6?10?8
1? ( )20.8cc
=
8-11,设想一飞船以 0.8 c 速度在地球上空飞行，
如果此时从飞船上抛出一物体，它相对于飞船的速度为 0.9 c,方向与飞船飞行方向相同，问地面上测得该物体的速度有多大？
解,vx = uv?'x
1 + uv'x c2
= 0.8c + 0.9c
1+0.8c? 0.9cc2
= 0.988 c
解：当棒沿其长度方向以运动时，此人测得棒长缩短：
.1' 2 ll
质量为：
21
m
'm
8-12,某人测得一静止棒质量为 m,长为 l,求得其线密度? = m /l 。当棒以速度 v 沿其长度方向运动时，此人再测得棒的密度是多少？若棒沿垂直于其长度方向以同一速度运动，其线密度又为多少？
则棒的线密度为：
,22 11'
'
l
m
l
m
当棒沿垂直于长度方向运动时，其长度不收缩，则棒的线密度为：
.
22 11
'
l
m
l
m
'?
''?
8-13,一观察者测出电子质量为 2 m。,m。
为电子的静止质量，试求电子的速度。
解：
c23
v = = 0.866c,
m2m?
1?v2c2
m0
1?v
2
c2
= 1
2
解：当棒沿其长度方向以运动时，此人测得棒长缩短：
.1' 2 ll
质量为：
21
m
'm
8-14,某人测得一静止棒质量为 m,长为 l,
求得 其线密度? = m / l 。当棒以速度 v 沿其长度方向运动时，此人再测得棒的密度是多少？
若棒沿垂直于其长度方向以同一速度运动，其线密度又为多少？
则棒的线密度为
：
,22 11'
'
l
m
l
m
当棒沿垂直于长度方向运动时，其长度不收缩，则棒的线密度为：
.
22 11
'
l
m
l
m
'?
''?
解：在相对论情况下，电子动能为：
.cv 1
(1) 当
161 ms100.1v
时，
2cmE
k
(? 1 )1
21
8-15,设电子速度为 (1) 1.0? 106 ms?1,(2)
2.0? 108 ms?1,计算电子的动能各是多少？如果用经典力学计算电子的动能又为多少？把两次计算结果分别比较，你能得出什么结论？
J1055.4vmE 1921211k
如果用经典动能公式，则
2831212221' 2
1
'
1
102101.9
vmE
EE
k
kk
,1082.1 14 J
（ 2） 当 时,182 100.2 msv
J141079.2
2
2 cmE k
22 )(1
c
v?
1
1( )
8-16,在什么速度下粒子的动量比非相对论动量大一倍？在什么速度下粒子的动能等于其静能？
解：由
2
2
0
1
c
v
vm
mvp vm 2
181060.2 msv
)1
)(1
1
(
22
c
v
2cmE k,2cm
由
2
2
1
1
c
v?
可得,= 2,
.1060.2 18 msv
2
2
1
1
c
v?
可得 = 2,
8-17,一电子丛静止加速到 0.1c 的速度需做多少功？速度从 0.9c 加速到 0.99c 又要作多少功？
2223232 cmcmEEA
k e V572,?
)
)(1
1
)(1
1
(
2223
2
c
v
c
v
cm
.1046.2 3 k e V
21.0
2
1 c c
cm
011 EEA 2cm
解：
J10095.4 16
8-18,两个氘氦组成质量数为 4，原子量 4.0015
原子质量单位的氘氦，试计算氚氦的结合能为多少 MeV？已知氘氦的质量为 2.01355 原子质量单位，一原子质量单位等于 1.66?10 -27 kg 。
解：
2mcE
.M e V7.23
J1082 46 4.3
1091066.100 15.401 35 5.22
12
1627
运动，相撞后构成一个复合粒子 C，试求复合粒子 C 的速度和相对论质量。
p
vM o
1?v2c2?
iBiA vvvv
,
8-19,在一惯性系中有两个静止质量都是 m
。 的粒子 A 和 B，它们分别以
p?
解：设复合核的质量为 M。，速度为 v，动量为则由动量守恒定律可得：
BA ppp
m0
1?v2c2iv? 1?v2c2?
m0
0)( iv?
0?v?
由相对论总能量守恒可得：
EEEEEE ABA?,2
22 cM
2cm
o
1?v2c2?
M
m2
1?v2c2?
v=0
8 -20 证明：
(1) v / c =［ 1 - ( moc 2/ E ) 2］ 1/2 ；
(2) P = ( EK2 + 2 mo c 2 EK ) 1/2 / c。
证,(1)? E = m c 2
= moc 2 / ( 1 - v 2 / c2 ) 1/2
( 1 - v 2 / c2 ) 1/2 = moc 2/ E
v 2 / c2 = 1 - ( moc 2/ E ) 2
v / c =［ 1 - ( moc 2/ E ) 2］ 1/2
(2)? E2 = Eo2 + p2c2
( Eo +EK )2 = Eo2 + p2c2
P = [ ( Eo +EK )2 - Eo2 ]1/2 / c
= [ EK ( 2Eo + EK ) ]1/2 / c
= [ EK 2 + 2moc2 EK ) ]1/2 / c
证毕
8 -21 光子的频率为 υ时，其能量为 hυ，试求其质量、动量和动能。
解：已知 E = hυ，光子速度 v = c 。
(1)? v = c 2 P / E
P = v E / c 2
= c E / c 2
= E / c
P = hυ/c
即,P = h /?
(2) m = E / c 2 = hυ/c 2
E2 = Eo2 + p2c2
Eo2 = E2 - p2c2
= E2 - ( E / c )2 c2
= 0
即,m o = Eo / c 2 = 0
光子静质量为零
(3)? E = EK + E o
EK = E - E o = E = hυ
8 -22 在 S 系中观测得一粒子的能量为 500
MeV，动量为 400 MeV/c，在 S’ 系中观测到该粒子的能量为 583 MeV，试求在 S’系中该粒子的动量。
解：已知 S 系 S’系
E = 500 MeV,E’ = 583 MeV
P = 400 MeV/c,P’
四维动量守恒：
P’2 - E’2 / c 2 = P 2 - E 2 / c 2
P’= ( P 2 - E 2 / c 2 + E’2 / c 2 ) 1/2
= ( 400 2 - 500 2 + 583 2 ) 1/2 MeV/c
= 500 MeV/c
8 -23 两静质量相同的粒子，其中一个处于静止态，另一个总能量为其静能的 4 倍
，设两粒子发生碰撞后成为一个复合粒子
，求：该复合粒子的静质量与碰撞前单个粒子的静质量之比。
解：粒子 1,mo,E1 = moc2,P1 = 0
粒子 2,mo,E2 = 4 moc2,P2
P2 = [ E22 - Eo2 ]1/2 / c
= [ 16mo2 c4 - mo2 c4 ]1/2 / c
cm15 o?
动量守恒：
能量守恒：
( 1 ) Mv0cm15 o
( 2 ) Mccmcm4 22o2o
5
3
cm5
cm15
c
vc/)2()1(
o
o
22
o
o
c/v1
Mm5M2
）式得：由（
5/31m5c/v1MM o22o
oo m105
2m5
10
m
M
o
o?即：
8-24 试根据以下两例讨论光子的吸收和发射
(1) 质量为 mo 静止原子核 ( 或原子 )，受到能量为 E 的光子撞击、原子核 (或原子 )
将光子的能量全部吸收，则此合并系统的速度 ( 反冲速度 ) 以及静止质量各为多少?
(2) 静止质量为 Mo 的静止原子发出能量为
E 的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大?
解,1,原子,mo,P1 = 0,E1 = moc2
光子,0,P2 = E / c,E2 = E
A + h A’
动量守恒,0 + E / c = m’v (1)
能量守恒,moc2 + E = m’c2 (2)
(1)? (2)/c? v /c = E / ( moc2 + E )
由 (2)式得,m’ = mo + E / c2
mo’ = m’ ( 1 - v2 / c2 )1/2
= ( mo + E / c )[ 1 - E2/(moc2 + E )2 ]1/2
= [ mo (mo + 2E / c2 ) ]1/2
= mo ( 1 + 2E / moc2 )1/2
2,A? A” + h?
动量,0 P” E / c
能量,moc2 E” E
动量守恒,0 = P” + E / c
能量守恒,moc2 = E” + E
P” = - E / c
E” = moc2 - E
P” = - E / c,E” = moc2 - E
E”2 = E”o 2 + P”2c2
E”o = ( E”2 - P”2c2 )1/2
= [ ( moc2 - E )2 - E2 ]1/2
= [ moc2 ( moc2 - 2E ) ]1/2
= moc2 ( 1 - 2E / moc2 )1/2
m”o = mo ( 1 - 2E / moc2 )1/2
8-25 一中性 π介子相对于观察者以速度 v =
K c 运动，后衰变为两个光子。两光子的运动轨迹与 π介子原来方向成相等的角度 θ
，试证,(1) 两光子有相等的能量；
(2) cosθ= K。
π
2
1
θ
θ
v
h?2
h?1
mc2
π
θ
θ
x方向：
能量守恒：
h?1 + h?2 = mc2
h?2/c
h?1/c
mv
π
θ
θ
y
x
动 量守恒：
y方向：
(h?1/c) cosθ
(h?2/c) cosθ+
= mv
(h?1/c)sinθ
= (h?2/c)sinθ
能量守恒,h?1 + h?2 = mc2 (1)
动 量守恒：
x方向,(h?1/c) cosθ+ (h?2/c) cosθ= mv (2)
y方向,( h?1/c ) sinθ= ( h?2 /c ) sinθ (3)
由 (3)式得,h?1= h?2= h两 光子能量相等由 (1)式得,2h?= mc2
由 (2)式得,2(h?/c) cosθ= mv = mKc
cosθ= mKc / 2h?/c)
= mKc / ( mc2/c)
= K
1,相对性原理 2,光速不变原理坐标变换式
1
x u
β= 2
t?x
β
cu?t?x
1
2=?t
2
{
二,狭义相对论的时空观
1、长度收缩
2、时间膨胀
L =Lo β1 2
tΔtΔ =
β1 23、同时性 （三种情况）
1γ =
c 21 u2
速度变换式
+
vx vx=
1
+u
uc
2
vx
+
vz vz=
1 uc 2vx( )γ
+
vy vy=
1 u 2vx( )γ c
v
vx vx=
1
u
uc
2
vx
vz vz=
1 uc 2x( )γ
vy vy=
1 u 2vx( )γ c
四、相对论动力学
1、基本量
2
2
o
c
v
1
m
)v(m
2
2
o
c
v
1
vm
P
(3) 动能,EK = mc2 - moc2
(4) 能量,E = m c2
(2)动量：
(1)质量,静质量：
m o
静 能：
Eo = moc2
(1) 质能关系,m = E / c2
(2) 能量与动量关系：
E2 = Eo2 + P2c2
= moc2 + P2c2
2、基本量相互关系
(3) 动能与动量关系：
EK = ( Eo2 + P2c2 ) 1/2 - Eo
3、变换式
22
x'
z
'
z
y
'
y
22
2
x'
x
c/u1
uPE
E
PP
PP
c/u1
c/uEP
P
22
'
x
'
'
zz
'
yy
22
2''
x
x
c/u1
uPE
E
PP
PP
c/u1
c/uEP
P
(1) 相对论动量和能量的变换正变换 逆变换
(2) 相对论力的变换 ( 了解 )
)v
c
1(
F
F
c
u
)v
c
1(
F
F
c/u1
1
v
c
1
vF
c
F
F
'
x
'
z
z
'
x
'
y
y
22
'
x
''
x
x
其中：
五、广义相对论
1、等效原理
2、广义相对论的实验验证
8-1、一个粒子将在 2× 106 秒内衰变，当这个粒子以 0.8 c 的速度运动时，一个实验室中的观测者测得的衰变时间将是多少?
解：已知?t = 2× 106 s,u = 0.8 c
由时间膨胀得：
t‘ =?t/( 1- u2/c2 )1/2
= 2× 106 /( 1- 0.82 )1/2
= 3.33× 106 s
8-2、一观测者测得运动米尺长为 0.5 m,
求此米尺以多大的速度相对观测者运动?
解：已知 l = 0.5 m,l’ = 1.0 m
由长度收缩 l = l’ ( 1 - u2 / c2 )1/2 得
u = ( 1 - l 2 / l’ 2 )1/2 c
= ( 1 - 0.5 2/1,0 2 )1/2 c
= 0.866 c
8-3、一列静长为 l0 = 0.5 km 的火车，以 v
= 100 km /h 的速度在地面上匀速前进。在地面上的观察者看到两个闪电同时击中火车头尾，在火车上的观察者测出这两个闪电的时间差是多少? 先出中车头还是车尾?
解：已知?x’=0.5 km,u =100 km/h,?t=0 s
由 洛仑兹变换
t = (?t’ + u?x’/c2)/( 1- u2/c2 )1/2
得,?t’ = - u?x’/c2
= -(100000/3600)?500/(3?108)2
= - 1.54? 10-13 s
因?t’= t’头 - t’尾 < 0,故 先出中车头,
8-4、牛朗星与地球相距约 16 光年，一宇航员准备用 4 年时间抵达牛朗星，问宇宙飞船将以多大的速度飞行?
解：已知?x = 16c,?t’ = 4 y
设 宇宙飞船速度为 u,则有
t =?x/u
由 洛仑兹变换
t’= (?t - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
= (?x/u - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
=?x/u( 1- u2/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
=?x/u( 1- u2/c2 )1/2
得 ( c?t’/?x )(u/c) = ( 1- u2/c2 )1/2
x = 16c,?t’ = 4 y
( c?t’/?x )(u/c) = ( 1- u2/c2 )1/2
两边平方,( c?t’/?x )2 u2/c2 = 1- u2/c2
整理得,u = c /[ 1 + ( c?t’/?x )2 ]1/2
= c /[ 1 + ( 4c/16c )2 ]1/2
= (16/17)1/2 c
= 0.97 c
8-5、在参考系 K中的同地点发生的两个事件
，其先后时间间隔为 0.2 秒，在另一系 K′
中测得此两事件的时间间隔为 0.3 秒，求这两个参考系之间的相对运动速率。
解：已知?x = 0,?t = 0.2 s,?t’ = 0.3 s
t’= (?t - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
=?t/( 1- u2/c2 )1/2
u = c [ 1-(?t/?t’)2 ]1/2
= c [ 1-( 0.2 / 0.3)2 ]1/2
= 0.745 c
8-6、两个参考系中观测者Ｏ和Ｏ ′ 以 0.6c
相对速度互相接近，如果Ｏ测得两者的初始距离是 20 m,则Ｏ ′ 测得两者经过多少时间 △ t 后相遇。
解,?t = (?t’- u?x’/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
根据题意相遇时间?t = 20/0.6c,
x’ = 0,u = 0.6 c
t’ = ( 1- u2/c2 )1/2?t
= ( 1- 0.62 )1/2 20/0.6c
= 8.89? 10-8 s
8-7 甲、乙、丙三飞船静止时长度相同都是 lo，
现在分别在三条平行线上沿同方向匀速运动，甲观测到乙的长度为 lo / 2，乙观测到丙的长度也为 lo /2，甲观测到丙比乙快，则甲观测到丙的长度为多少?
解：
2
2
c
u1 乙甲
2
oo ll c2
3u
乙甲丙快于乙）”（舍“同理,丙乙 c
2
3u
)c
2
3
u(0
)c
2
3
u(c
7
34
22 c
uu
1
uu
c
uu
1
uu
u
乙甲乙甲乙甲丙乙乙甲丙乙甲乙丙乙甲乙丙乙丙甲
c
7
34
uuu
丙甲乙甲丙甲?
)c
2
3
u(0
)c
2
3
u(c
7
34
u
乙甲乙甲丙甲
77
34
1
c
u
1
2
2
2
o
oo
l
lll?
丙甲
8-8,一个质点在惯性系 S' 中作匀速圆周运动，
其轨迹为,0,'' 2222 zayx
试证明在与 S‘ 中相对运动，且其相对速度沿 X’
方向，大小为 v 的另一惯性系 S 中测得质点作椭圆运动，椭圆中心以速度 v 运动。
证明：把洛仑兹变换式：
y’ = y
z’ = z
x’ = x? vt
2
21
c
v?
代入,0,'' 2222 zayx
可得：
可见在 S 系中，测得该质点运动轨迹为椭圆，
其中心在 z = 0 平面中沿着 X 轴以速度 v 运动。
0?z
2
2
22
2
1
v
a
y
βa
tx
1
8-9,在 S 系中观察者测得相距 600 km 的两事件同时发生，在相对 S 系作匀速运动的参照系
S'中，测得它们的空间间隔是 1200 km，问在 S'
系中测得这两件事的时间差是多少？
x =?x'
21
即：
解：由于两件事的间距在 S 系中同时测定，因此它不是原长，而?x'是原长，则：
'x
x
21?,
2
1
1 2 0 0
6 0 0
解之得：
c23v?
't
- vc2?x
21
310600- ( /c )
32
1
.1046.3 3 s
=
8-10,? + 介子的平均寿命是 2.6?10 -8 s,如果它相对于实验室以 0.8 c 的 速度运动，那么实验室中测得它的寿命为多长？在它衰变以前留下的径迹是多长？
解：
S
.m.
..
τ
310
103410380
v
88
8103.4
v2
c21
2.6?10?8
1? ( )20.8cc
=
8-11,设想一飞船以 0.8 c 速度在地球上空飞行，
如果此时从飞船上抛出一物体，它相对于飞船的速度为 0.9 c,方向与飞船飞行方向相同，问地面上测得该物体的速度有多大？
解,vx = uv?'x
1 + uv'x c2
= 0.8c + 0.9c
1+0.8c? 0.9cc2
= 0.988 c
解：当棒沿其长度方向以运动时，此人测得棒长缩短：
.1' 2 ll
质量为：
21
m
'm
8-12,某人测得一静止棒质量为 m,长为 l,求得其线密度? = m /l 。当棒以速度 v 沿其长度方向运动时，此人再测得棒的密度是多少？若棒沿垂直于其长度方向以同一速度运动，其线密度又为多少？
则棒的线密度为：
,22 11'
'
l
m
l
m
当棒沿垂直于长度方向运动时，其长度不收缩，则棒的线密度为：
.
22 11
'
l
m
l
m
'?
''?
8-13,一观察者测出电子质量为 2 m。,m。
为电子的静止质量，试求电子的速度。
解：
c23
v = = 0.866c,
m2m?
1?v2c2
m0
1?v
2
c2
= 1
2
解：当棒沿其长度方向以运动时，此人测得棒长缩短：
.1' 2 ll
质量为：
21
m
'm
8-14,某人测得一静止棒质量为 m,长为 l,
求得 其线密度? = m / l 。当棒以速度 v 沿其长度方向运动时，此人再测得棒的密度是多少？
若棒沿垂直于其长度方向以同一速度运动，其线密度又为多少？
则棒的线密度为
：
,22 11'
'
l
m
l
m
当棒沿垂直于长度方向运动时，其长度不收缩，则棒的线密度为：
.
22 11
'
l
m
l
m
'?
''?
解：在相对论情况下，电子动能为：
.cv 1
(1) 当
161 ms100.1v
时，
2cmE
k
(? 1 )1
21
8-15,设电子速度为 (1) 1.0? 106 ms?1,(2)
2.0? 108 ms?1,计算电子的动能各是多少？如果用经典力学计算电子的动能又为多少？把两次计算结果分别比较，你能得出什么结论？
J1055.4vmE 1921211k
如果用经典动能公式，则
2831212221' 2
1
'
1
102101.9
vmE
EE
k
kk
,1082.1 14 J
（ 2） 当 时,182 100.2 msv
J141079.2
2
2 cmE k
22 )(1
c
v?
1
1( )
8-16,在什么速度下粒子的动量比非相对论动量大一倍？在什么速度下粒子的动能等于其静能？
解：由
2
2
0
1
c
v
vm
mvp vm 2
181060.2 msv
)1
)(1
1
(
22
c
v
2cmE k,2cm
由
2
2
1
1
c
v?
可得,= 2,
.1060.2 18 msv
2
2
1
1
c
v?
可得 = 2,
8-17,一电子丛静止加速到 0.1c 的速度需做多少功？速度从 0.9c 加速到 0.99c 又要作多少功？
2223232 cmcmEEA
k e V572,?
)
)(1
1
)(1
1
(
2223
2
c
v
c
v
cm
.1046.2 3 k e V
21.0
2
1 c c
cm
011 EEA 2cm
解：
J10095.4 16
8-18,两个氘氦组成质量数为 4，原子量 4.0015
原子质量单位的氘氦，试计算氚氦的结合能为多少 MeV？已知氘氦的质量为 2.01355 原子质量单位，一原子质量单位等于 1.66?10 -27 kg 。
解：
2mcE
.M e V7.23
J1082 46 4.3
1091066.100 15.401 35 5.22
12
1627
运动，相撞后构成一个复合粒子 C，试求复合粒子 C 的速度和相对论质量。
p
vM o
1?v2c2?
iBiA vvvv
,
8-19,在一惯性系中有两个静止质量都是 m
。 的粒子 A 和 B，它们分别以
p?
解：设复合核的质量为 M。，速度为 v，动量为则由动量守恒定律可得：
BA ppp
m0
1?v2c2iv? 1?v2c2?
m0
0)( iv?
0?v?
由相对论总能量守恒可得：
EEEEEE ABA?,2
22 cM
2cm
o
1?v2c2?
M
m2
1?v2c2?
v=0
8 -20 证明：
(1) v / c =［ 1 - ( moc 2/ E ) 2］ 1/2 ；
(2) P = ( EK2 + 2 mo c 2 EK ) 1/2 / c。
证,(1)? E = m c 2
= moc 2 / ( 1 - v 2 / c2 ) 1/2
( 1 - v 2 / c2 ) 1/2 = moc 2/ E
v 2 / c2 = 1 - ( moc 2/ E ) 2
v / c =［ 1 - ( moc 2/ E ) 2］ 1/2
(2)? E2 = Eo2 + p2c2
( Eo +EK )2 = Eo2 + p2c2
P = [ ( Eo +EK )2 - Eo2 ]1/2 / c
= [ EK ( 2Eo + EK ) ]1/2 / c
= [ EK 2 + 2moc2 EK ) ]1/2 / c
证毕
8 -21 光子的频率为 υ时，其能量为 hυ，试求其质量、动量和动能。
解：已知 E = hυ，光子速度 v = c 。
(1)? v = c 2 P / E
P = v E / c 2
= c E / c 2
= E / c
P = hυ/c
即,P = h /?
(2) m = E / c 2 = hυ/c 2
E2 = Eo2 + p2c2
Eo2 = E2 - p2c2
= E2 - ( E / c )2 c2
= 0
即,m o = Eo / c 2 = 0
光子静质量为零
(3)? E = EK + E o
EK = E - E o = E = hυ
8 -22 在 S 系中观测得一粒子的能量为 500
MeV，动量为 400 MeV/c，在 S’ 系中观测到该粒子的能量为 583 MeV，试求在 S’系中该粒子的动量。
解：已知 S 系 S’系
E = 500 MeV,E’ = 583 MeV
P = 400 MeV/c,P’
四维动量守恒：
P’2 - E’2 / c 2 = P 2 - E 2 / c 2
P’= ( P 2 - E 2 / c 2 + E’2 / c 2 ) 1/2
= ( 400 2 - 500 2 + 583 2 ) 1/2 MeV/c
= 500 MeV/c
8 -23 两静质量相同的粒子，其中一个处于静止态，另一个总能量为其静能的 4 倍
，设两粒子发生碰撞后成为一个复合粒子
，求：该复合粒子的静质量与碰撞前单个粒子的静质量之比。
解：粒子 1,mo,E1 = moc2,P1 = 0
粒子 2,mo,E2 = 4 moc2,P2
P2 = [ E22 - Eo2 ]1/2 / c
= [ 16mo2 c4 - mo2 c4 ]1/2 / c
cm15 o?
动量守恒：
能量守恒：
( 1 ) Mv0cm15 o
( 2 ) Mccmcm4 22o2o
5
3
cm5
cm15
c
vc/)2()1(
o
o
22
o
o
c/v1
Mm5M2
）式得：由（
5/31m5c/v1MM o22o
oo m105
2m5
10
m
M
o
o?即：
8-24 试根据以下两例讨论光子的吸收和发射
(1) 质量为 mo 静止原子核 ( 或原子 )，受到能量为 E 的光子撞击、原子核 (或原子 )
将光子的能量全部吸收，则此合并系统的速度 ( 反冲速度 ) 以及静止质量各为多少?
(2) 静止质量为 Mo 的静止原子发出能量为
E 的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大?
解,1,原子,mo,P1 = 0,E1 = moc2
光子,0,P2 = E / c,E2 = E
A + h A’
动量守恒,0 + E / c = m’v (1)
能量守恒,moc2 + E = m’c2 (2)
(1)? (2)/c? v /c = E / ( moc2 + E )
由 (2)式得,m’ = mo + E / c2
mo’ = m’ ( 1 - v2 / c2 )1/2
= ( mo + E / c )[ 1 - E2/(moc2 + E )2 ]1/2
= [ mo (mo + 2E / c2 ) ]1/2
= mo ( 1 + 2E / moc2 )1/2
2,A? A” + h?
动量,0 P” E / c
能量,moc2 E” E
动量守恒,0 = P” + E / c
能量守恒,moc2 = E” + E
P” = - E / c
E” = moc2 - E
P” = - E / c,E” = moc2 - E
E”2 = E”o 2 + P”2c2
E”o = ( E”2 - P”2c2 )1/2
= [ ( moc2 - E )2 - E2 ]1/2
= [ moc2 ( moc2 - 2E ) ]1/2
= moc2 ( 1 - 2E / moc2 )1/2
m”o = mo ( 1 - 2E / moc2 )1/2
8-25 一中性 π介子相对于观察者以速度 v =
K c 运动，后衰变为两个光子。两光子的运动轨迹与 π介子原来方向成相等的角度 θ
，试证,(1) 两光子有相等的能量；
(2) cosθ= K。
π
2
1
θ
θ
v
h?2
h?1
mc2
π
θ
θ
x方向：
能量守恒：
h?1 + h?2 = mc2
h?2/c
h?1/c
mv
π
θ
θ
y
x
动 量守恒：
y方向：
(h?1/c) cosθ
(h?2/c) cosθ+
= mv
(h?1/c)sinθ
= (h?2/c)sinθ
能量守恒,h?1 + h?2 = mc2 (1)
动 量守恒：
x方向,(h?1/c) cosθ+ (h?2/c) cosθ= mv (2)
y方向,( h?1/c ) sinθ= ( h?2 /c ) sinθ (3)
由 (3)式得,h?1= h?2= h两 光子能量相等由 (1)式得,2h?= mc2
由 (2)式得,2(h?/c) cosθ= mv = mKc
cosθ= mKc / 2h?/c)
= mKc / ( mc2/c)
= K
