第六章 小结一,线性振动
1,简谐振动的运动学
（１）三种描述函数形式,x－ t 曲线,旋转矢量图
（２） 位移,速度、加速度三者 相位关系
（３） 简谐振动的叠加记住矢量合成图掌握加强和减弱条件二、非简谐振动等效弹性常数,k =[d2EP/dx2]|x = x。
阻尼振动,临界阻尼、过阻尼受迫振动,振幅共振 ω=
0
22 2?ω
A
能量共振? =?o
2,简谐振动的动力学
（ 1） 无阻尼自由振动
A = ( xo2 + vo2/?2 )1/2,tg? = - vo/?xo
（ 2） 简谐振动能量的特点三、波
1、基本概念横 ( 纵 ) 波、波阵面、波线 ;
波速、波长、频率,
2、平面简谐波的波动方程设波源 ( x = xo )处振动方程：
yo( t ) = Acos(?t +? )
平面简谐波的波动方程：
y( x,t ) = Acos{?[ t? (x - xo) /u] +? }
符号指正向传播,+ 符号指正向传播。
3、能量、能量密度、能流密度
(1)? V 体积内总机械能：
W =WK +WP =2? V( A2 - Y2 )
(2) 能量密度,w =2A2/2
(3) 能流密度 ( 强度 ),I = wu =?u?2A2/2
能流,P = I? S = I Scos?
4、惠更斯原理：提出 子波 概念
5、波迭加原理
(1) 干涉条件：相干波频率相同、振动方向相同、周相差恒定。
(2) 干涉加强和减弱条件：
=?2 -?1 - 2? (r2 - r1)/? =
= r2 - r1 = (?2 -?1=0)
(3) 驻波条件,振幅相同、传播方向相反的相干波驻波特点,频率,振幅、位相、能量。
半波损失,自由端 (波腹 ),固定端 (波节 )。
2k? /2 加强
(2k+1)? /2 减弱
{
{
2k? 加强
(2k+1)? 减弱
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
XO
ω=T/2 π
A
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
XO
ω=T/2 π
A
to
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
XO
ω=T/2 π
A
to to+ Δt
A/2
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
XO
ω=2π/ T
A
to to+ Δt
A/2π /6 =Δ φ
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
= (π /6)/(2 π / T)
XO
ω=2π/ T
A
to to+ Δt
A/2π /6 =Δ φ
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
= (π /6)/(2 π / T)
= T/12 XO
ω=2π/ T
A
to to+ Δt
A/2π /6 =Δ φ
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
= (π /6)/(2 π / T)
= T/12
答案 （ B）
XO
ω=2π/ T
A
to to+ Δt
A/2π /6 =Δ φ
6-2 一质量 M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm，在距平衡位置 6cm处速度为 24cm/s，求（ 1）周期 T；（ 2）当速度为 12cm/s 时的位移。
解：（ 1）设振动方程为：
x = Acos（ ωｔ + φ ）
6 = 12 cos（ ωｔ + φ ）
v = Aω sin（ ωｔ + φ ）
24 = 12ω sin（ ωｔ + φ ）
62 +（ 24/ ω） 2 = 122
1/ ω =（ 122-62） 1/2/24 = 0.433 s
（ 2）设速度 v = 12 cm / s 时，位移为 x
x = 12 cos（ ωｔ + φ ）
12 = 12 ω sin（ ωｔ + φ
x2 +（ 12/ ω） 2 = 122
x = [ 122 -（ 12 / ω） 2 ]1/2
= 10.82 cm
或 x = - 10.82 cm
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
A B
v
x
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解：
A B
v
x
x
A B
o
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解：
A B
v
x
x
t =0 s
A B
o
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解：
A B
v
x
x
t =0 s t =2 s
A B
o
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解：
A B
v
x
x
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解：
A B
v
x
x
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解,1、由旋转矢量图和
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解,1、由旋转矢量图和
vA = vB
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解,1、由旋转矢量图和
vA = vB
可知 T/2 = 4s，即 T = 8s
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解,1、由旋转矢量图和
vA = vB
可知 T/2 = 4s，即 T = 8s
ω = 2 π /T = π /4 rad/s
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解,1、由旋转矢量图和
vA = vB
可知 T/2 = 4s，即 T = 8s
ω = 2 π /T = π /4 rad/s
AO = BO = AB/2 = 10/2 = 5cm
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
因为 2φ1 = ωΔ t
所以 φ1 = ωΔ t/2
=(π /4)? (4-2)? 2
=π /4
初相 φ=π+φ1
=π+π/4=5π/4
振幅 A = AO/cos(π /4)
= 5? 0.707 = 7.07 cm
所以，质点的振动方程为：
x = 7.07 cos (πt / 4 + 5 π / 4 ) cm
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-4 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为
（ A） π /6 （ B） 5 π /6 （ C） - 5 π /6
（ D） -π /6 （ E） - 2 π /3
v
vmvm2
0 t
6-4 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为
（ A） π /6 （ B） 5 π /6 （ C） - 5 π /6
（ D） -π /6 （ E） - 2 π /3
v
vmvm2
0 t
vo
vmvm/2
ω
t =0
π/3
因为 φｖ = φ+ π /2 = -π /3
所以 φ= -π /2 - π /3 = - 5 π /6 答案 （ C）
6-5 在一轻弹簧下端悬挂 mo = 100 g 砝码时，弹簧伸长 8 cm,现在这根弹簧下端悬挂 m = 250 g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm,并给以向上 21 cm/s的初速度（这时 t =0
）。 选 x 轴向下，求振动方程的表达式。
解,k =mog/? l = 0.1?10?0.08 =12.5 N/m
=(k/m)1/2 =(12.5/0.25)1/2 =7 rad/s
初始条件,t = 0,xo = 0.04 m,vo = - 0.21 m/s
A = (xo2+vo2/?2)1/2 =0.05 m
tg? = - vo /?xo = - (- 0.21)/(7?0.04) = 0.75
= 0.64 rad
振动方程,x = 0.05cos( 7t+0.64 ) m
6-6 有一水平放置的板，在此板上放有一物体，沿水平方向作简谐振动 T = 0.5 秒。物体与板之间的摩擦系数为 0.5,试问要使此板上的物体不致滑动的最大振幅为多少？若将此板改为垂直方向作简谐振动，振幅为 5
cm，要使物体一直保持与板接触的最大频率为多少？
解：静摩擦力最大值为 fsmax =?N =?mg
振动时，最大加速度值,amax =?2A
(1) 不打滑条件：板上物体的加速度有静摩擦力提供。
Fsmax = mamaxmg = m?2Amax
故,Amax =?g/?2 =?gT2/4?2
= 0.5?9.8?0.52?(4?3.142 )
= 0.032 m
(2) 垂直方向上下振动时，物体在垂直方向受的力为 ( 向下为正值 )：
F合 = mg - N = mamax = m?2A
不接触时,N = 0
mg = m?2maxA
max = (g/A)1/2 = ( 9.8/0.05 )1/2 = 14 rad /s
max =?/2? = 14/2?3.14 = 2.2 Hz
N
mg
m
6-7 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数 k =24 N/m，重物的质量 m = 6 kg,重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力 F =
10 N 向左作用于物体 ( 不计摩擦 )，使之由平衡位置向左运动了 0.05 m，此时撤去力 F
，当重物运动到左方最远位置时开始计时，
求物体的运动方程。
解：设物体运动方程：
x = Acos(?t +? )
A外 = Fx1 =10? 0.05
= 0,5 J
o x
F
mk
o x
F
mk
x1
功能原理：
A外 = E = EP = kx2/2
x = - ( 2A外 /k )1/2
= - ( 2? 0.5/24 )1/2
= - 0.204 m
= (k/m)1/2 = (24/6)1/2
= 2 rad/s
t = 0,xo = x = - 0.204 m,vo = 0
A =( xo2 +vo2/?2 )1/2 =0.204 m
tg? = - vo /?xo = 0 =?
故 x = 0.204 cos( 2t +?) m
o x
F
mk
x1
o x
mk
x
o
x
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
B
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
B
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-18 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
解：物体 B自由落下 h
高时，速度为
v = ( 2gh )1/2
设 A,B碰撞后共同速度 u
动量守恒,mv = (m + m)u
故 u = v /2 = ( gh/2 )1/2
A
h
L
B
u
碰撞后，平衡位置 O为原点，垂直向下 X为轴正方向。 平衡时,弹簧静压缩量?=2mg/k
当系统处于任一位置 x 时，牛顿第二定律：
2mg - k( x +? ) = 2md2x/dt2
- kx = 2md2x/dt2?d2x/dt2 + ( k/2m ) x = 0
A
h
L
B
AL B
x
o
O
X
x
2mg
F=k(x+?)
故碰撞后系统作简谐振动。
=( k/2m )1/2,T = 2? /? = 2? (2m/k)1/2
故碰撞后系统作简谐振动。
=( k/2m )1/2,T = 2? /? = 2? (2m/k)1/2
t = 0
A
h
L
B
AL B
x
o
O
X
x
2mg
F=k(x+?)A
h
L
B
u
故碰撞后系统作简谐振动。
=( k/2m )1/2,T = 2? /? = 2? (2m/k)1/2
t = 0,xo = - mg/k
A
h
L
B
AL B
x
o
O
X
x
2mg
F=k(x+?)A
h
L
B
u
故碰撞后系统作简谐振动。
=( k/2m )1/2,T = 2? /? = 2? (2m/k)1/2
t = 0,xo = - mg/k,vo= u = ( gh/2 )1/2
A
h
L
B
AL B
x
o
O
X
x
2mg
F=k(x+?)A
h
L
B
u
故碰撞后系统作简谐振动。
=( k/2m )1/2,T = 2? /? = 2? (2m/k)1/2
t = 0,xo = - mg/k,vo= u = ( gh/2 )1/2
A = ( xo2 + vo2/?2 )1/2 = mg ( 1 + kh/mg )1/2 / k
tg? = - vo /?xo = ( kh/mg )1/2
=? + tg -1 ( kh/mg )1/2
A
xo
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
t
x XO
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
t
t +T
x
-x
XO
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
A弹性力 = - ( EP末 - EP初 )
t
t +T
x
-x
XO
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
A弹性力 = - ( EP末 - EP初 )
= - [k(-x)2/2 -kx2/2] t
t +T
x
-x
XO
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
A弹性力 = - ( EP末 - EP初 )
= - [k(-x)2/2 -kx2/2]
= 0 t
t +T
x
-x
XO
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
A弹性力 = - ( EP末 - EP初 )
= - [k(-x)2/2 -kx2/2]
= 0
答案 ( D )
t
t +T
x
-x
XO
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(1) 势能 EP =kx2/2,总能 E = kA2/2,
由题意 kx2/2 = kA2/4? x =± 4.24?10-2 m
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(2) 周期 T = 2? /? = 6 s
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(2) 周期 T = 2? /? = 6 s
从平衡位置移动到
x = ± 4.24?10-2 m
的最短时间为
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(2) 周期 T = 2? /? = 6 s
从平衡位置移动到
x = ± 4.24?10-2 m
的最短时间为
x
-x O X
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(2) 周期 T = 2? /? = 6 s
从平衡位置移动到
x = ± 4.24?10-2 m
的最短时间为
/4
x
-x O X
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(2) 周期 T = 2? /? = 6 s
从平衡位置移动到
x = ± 4.24?10-2 m
的最短时间为
T/8 = 6/8 = 0.75 s
/4
x
-x O X
6-11 一物体作简谐振动，其振动方程为
x = Acos(?t +? /2 ),则该物体在 t = 0 时的动能与 t = T/8 ( T 为振动周期 ) 时的动能之比为多少？
解,t = 0,x = 0,Ek 1 = kA2/2
t =0
O X
6-11 一物体作简谐振动，其振动方程为
x = Acos(?t +? /2 ),则该物体在 t = 0 时的动能与 t = T/8 ( T 为振动周期 ) 时的动能之比为多少？
解,t = 0,x = 0,Ek 1 = kA2/2
t =T/8, =?t =?T/8 =?/4,x = - 0.707A
Ek 2 = kA2/2 - kx2/2 = kA2/4
Ek 1/Ek 2 =( kA2/2 )/( kA2/4 )
= 2
t =0
t =T/8
O X
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是? - 2? L /? ；
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是? - 2? L /? ；与
x1处质点振动状态相同的其它质点的位置是
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是? - 2? L /? ；与
x1处质点振动状态相同的其它质点的位置是
L? k? ( k = 1,2,3,…… ) ；
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是? - 2? L /? ；与
x1处质点振动状态相同的其它质点的位置是
L? k? ( k = 1,2,3,…… ) ；与 x1处质点速度大小相同，但方向相反的其它质点的位置是
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是? - 2? L /? ；与
x1处质点振动状态相同的其它质点的位置是
L? k? ( k = 1,2,3,…… ) ；与 x1处质点速度大小相同，但方向相反的其它质点的位置是 L?( 2k+1 )? /2 ( k = 0,1,2,…… )
6-13 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是
(A) 动能为零，势能最大。
(B) 动能为零，势能为零。
(C) 动能最大，势能最大。
(D) 动能最大，势能为零。
6-13 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是
(A) 动能为零，势能最大。
(B) 动能为零，势能为零。
(C) 动能最大，势能最大。
(D) 动能最大，势能为零。
ρ 22 2A yω= 2 dV ( )1kdE
6-13 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是
(A) 动能为零，势能最大。
(B) 动能为零，势能为零。
(C) 动能最大，势能最大。
(D) 动能最大，势能为零。
答案 (B)
ρ 22 2A yω= 2 dV ( )1kdE
6-14 一平面简谐波，沿 x 轴负方向传播，设
t = T/4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：
(A) y = A cos[?( t - x / u ) ]
(B) y = A cos[?( t - x / u ) +? / 2 ]
(C) y = A cos[?( t + x / u ) ]
(D) y = A cos[?( t + x / u ) +? ]
-A
A
y
x
u
o
t = T/4
6-14 一平面简谐波，沿 x 轴负方向传播，设
t = T/4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：
(A) y = A cos[?( t - x / u ) ]
(B) y = A cos[?( t - x / u ) +? / 2 ]
(C) y = A cos[?( t + x / u ) ]
(D) y = A cos[?( t + x / u ) +? ]
-A
A
y
x
u
t = 0
o
t = T/4
6-14 一平面简谐波，沿 x 轴负方向传播，设
t = T/4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：
(A) y = A cos[?( t - x / u ) ]
(B) y = A cos[?( t - x / u ) +? / 2 ]
(C) y = A cos[?( t + x / u ) ]
(D) y = A cos[?( t + x / u ) +? ]
-A
A
y
x
u
t = 0
o
t = T/4
yot = 0
A
6-14 一平面简谐波，沿 x 轴负方向传播，设
t = T/4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：
(A) y = A cos[?( t - x / u ) ]
(B) y = A cos[?( t - x / u ) +? / 2 ]
(C) y = A cos[?( t + x / u ) ]
(D) y = A cos[?( t + x / u ) +? ] 答案 (D)
-A
A
y
x
u
t = 0
o
t = T/4
yot = 0
A
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
u
x (m)
y (m)
o
A
P
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
u
x (m)
y (m)
o
A
P
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2?
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
= 2?/T
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
= 2?/T = 2?u/?。
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
= 2?/T = 2?u/?。 o 点的振动方程：
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
= 2?/T = 2?u/?。 o 点的振动方程：
yo=Acos(?t +?)
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
= 2?/T = 2?u/?。 o 点的振动方程：
yo=Acos(?t +?) =Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
波动方程：
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
波动方程：
y =Acos{2? /?[u(t - 2) + x]+ 3?/2 } (m)
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
波动方程：
y =Acos{2? /?[u(t - 2) + x]+ 3?/2 } (m)
P 处质点的振动方程：
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
波动方程：
y =Acos{2? /?[u(t - 2) + x]+ 3?/2 } (m)
P 处质点的振动方程：
yP =Acos{2? /?[u(t - 2)+?/2 ]+ 3?/2 }
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
波动方程：
y =Acos{2? /?[u(t - 2) + x]+ 3?/2 } (m)
P 处质点的振动方程：
yP =Acos{2? /?[u(t - 2)+?/2 ]+ 3?/2 }
=Acos{2? /?[u(t - 2)]+?/2 } (m)
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-16 如图所示，假定波在 M1 M2 平面反射时有 半波损失,O1 和 O2 两点的振动方程为
y10 =Acos?t 和 y20 =Acos?t,且 O1 m+ mp =
8?,O2 p = 3? (? 为波长 )，求：
(1) 两列波分别在 P 点引起的振动方程；
(2) P点的合振动方程。
( 假定两列波在传播或反射过程中均不衰减 )
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
=Acos(?t)
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
=Acos(?t)
(2) y = y1 + y2
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
=Acos(?t)
(2) y = y1 + y2 = Acos(?t -? )+ Acos(?t)
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
=Acos(?t)
(2) y = y1 + y2 = Acos(?t -? )+ Acos(?t)
= - Acos(?t)+ Acos(?t)
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
=Acos(?t)
(2) y = y1 + y2 = Acos(?t -? )+ Acos(?t)
= - Acos(?t)+ Acos(?t) = 0
O1
O2
M1 M2m
p
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
= 4?x/? =? 2k? (k=0,1,2,...)
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
= 4?x/? =? 2k? (k=0,1,2,...)
合振幅最大位置,x =? k? /2 (k=0,1,2,...)
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
= 4?x/? =? 2k? (k=0,1,2,...)
合振幅最大位置,x =? k? /2 (k=0,1,2,...)
(2)? 2 -?1 = 4?x/? =? (2k+1)? (k=0,1,2,...)
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
= 4?x/? =? 2k? (k=0,1,2,...)
合振幅最大位置,x =? k? /2 (k=0,1,2,...)
(2)? 2 -?1 = 4?x/? =? (2k+1)? (k=0,1,2,...)
合振幅最小位置,
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
= 4?x/? =? 2k? (k=0,1,2,...)
合振幅最大位置,x =? k? /2 (k=0,1,2,...)
(2)? 2 -?1 = 4?x/? =? (2k+1)? (k=0,1,2,...)
合振幅最小位置,
x =? (2k+1)? /4 (k=0,1,2,...)
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3解,yP =( sin?t - cos?t )/2
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
3
-? /2
y (cm) o
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
3
1
-? /2
y (cm) o
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
3
1
2
4? /3
-? /2
y (cm)o
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
=[2cos(?t + 4?/3 )]/2
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
=[2cos(?t + 4?/3 )]/2
=cos(?t + 4?/3 ) (cm)
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
=[2cos(?t + 4?/3 )]/2
=cos(?t + 4?/3 ) (cm)
波的表达式为：
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
=[2cos(?t + 4?/3 )]/2
=cos(?t + 4?/3 ) (cm)
波的表达式为：
y( x,t )=cos[?t + 4?/3 -2?( x -? /2 )/?]
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
=[2cos(?t + 4?/3 )]/2
=cos(?t + 4?/3 ) (cm)
波的表达式为：
y( x,t )=cos[?t + 4?/3 -2?( x -? /2 )/?]
=cos[?t -2? x /? +? /3 ] (cm)
6-19 一艘船在 25m 高的桅杆上装有一天线
，不断发射某种波长的无线电波，已知波长在 2? 4 m 范围内，在高出海平面 150 m 的悬崖顶上有一接收站能收到这无线电波。但当那艘船驶至离悬崖底部 2 km 时，接收站就收不到无线电波。设海平面完全反射这无线电波，求所用无线电波的波长。 P
h
L
HS
A
r1
r2
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，故
=r2 -r1+?/2=(2k+1)?/2 (k=0,± 1,± 2,…)
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，故
=r2 -r1+?/2=(2k+1)?/2 (k=0,± 1,± 2,…)
=( r2 - r1)/k =(2007.6 - 2003.9)/k
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，故
=r2 -r1+?/2=(2k+1)?/2 (k=0,± 1,± 2,…)
=( r2 - r1)/k =(2007.6 - 2003.9)/k = 3.7/k
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，故
=r2 -r1+?/2=(2k+1)?/2 (k=0,± 1,± 2,…)
=( r2 - r1)/k =(2007.6 - 2003.9)/k = 3.7/k
因? 在 2-4 m 范围，
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，故
=r2 -r1+?/2=(2k+1)?/2 (k=0,± 1,± 2,…)
=( r2 - r1)/k =(2007.6 - 2003.9)/k = 3.7/k
因? 在 2-4 m 范围，故取 k = 1,? = 3.7 m
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长。
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长。
解,(1)质点的振动方程
,A?
o y
t =0
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长。
解,(1)质点的振动方程
：
y = 0.06cos( 2?t /T +? )
A
o y
t =0
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长。
解,(1)质点的振动方程
：
y = 0.06cos( 2?t /T +? )
= 0.06cos(?t +? ) (m)
A
o y
t =0
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
y = 0.06cos[ 2? /T( t - x /u )+? ]
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
y = 0.06cos[ 2? /T( t - x /u )+? ]
= 0.06cos[? ( t - x /2 )+? ] (m)
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
y = 0.06cos[ 2? /T( t - x /u )+? ]
= 0.06cos[? ( t - x /2 )+? ] (m)
(3)? = u /?
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
y = 0.06cos[ 2? /T( t - x /u )+? ]
= 0.06cos[? ( t - x /2 )+? ] (m)
(3)? = u /?= uT
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
y = 0.06cos[ 2? /T( t - x /u )+? ]
= 0.06cos[? ( t - x /2 )+? ] (m)
(3)? = u /?= uT = 2? 2 = 4 (m)
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为,
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为,
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
解,P2 点落后 P1 点的
o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为,
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
解,P2 点落后 P1 点的位相为 2( L1 + L2 ) /?,
o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为,
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
解,P2 点落后 P1 点的位相为 2( L1 + L2 ) /?,
P2 处质点的 振动方程,o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为 y2 =Acos[2t +? - 2(L1+ L2 )/? ],
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
解,P2 点落后 P1 点的位相为 2( L1 + L2 ) /?,
P2 处质点的 振动方程,
y2 =Acos[ 2t +? - 2( L1 + L2 )/? ]
o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为 y2 =Acos[2t +? - 2(L1+ L2 )/? ]，
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
解,P2 点落后 P1 点的位相为 2( L1 + L2 ) /?,
P2 处质点的 振动方程,
y2 =Acos[ 2t +? - 2( L1 + L2 )/? ]
x + L1 =? k?
o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为 y2 =Acos[2t +? - 2(L1+ L2 )/? ]，
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 x = - L1? k? (k =0,1,2,…) 。
解,P2 点落后 P1 点的位相为 2( L1 + L2 ) /?,
P2 处质点的 振动方程,
y2 =Acos[ 2t +? - 2( L1 + L2 )/? ]
x + L1 =? k x = - L1? k? (k =0,1,2,…)
o p2p1 x
L2L1
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/?
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
+?t’ +?/2 = 2?
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
+?t’ +?/2 = 2 = 3?/2 -?t’
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
+?t’ +?/2 = 2 = 3?/2 -?t’
y = acos(?t +?)
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
+?t’ +?/2 = 2 = 3?/2 -?t’
y = acos(?t +?) = acos(?ut/b + 3?/2 -?ut’/b )
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
+?t’ +?/2 = 2 = 3?/2 -?t’
y = acos(?t +?) = acos(?ut/b + 3?/2 -?ut’/b )
=acos[?u/b( t - t’ ) + 3?/2]
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
2
6-23 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，设此简谐波的频率为 250 Hz
，且此时质点 P 的运动方向向下，求
(1) 该波的波动方程；
(2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式。
2
A/2
x (m)
y (m)
o
100 m
P
2
6-23 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，设此简谐波的频率为 250 Hz
，且此时质点 P 的运动方向向下，求
(1) 该波的波动方程；
(2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式。
解：
2
A/2
x (m)
y (m)
o
100 m
P
2
6-23 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，设此简谐波的频率为 250 Hz
，且此时质点 P 的运动方向向下，求
(1) 该波的波动方程；
(2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式。
解：
u 2
A/2
x (m)
y (m)
o
100 m
P
2
6-23 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，设此简谐波的频率为 250 Hz
，且此时质点 P 的运动方向向下，求
(1) 该波的波动方程；
(2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式。
解：
(1) 根据 P点的振动方向可判断波向左传播。
u 2
A/2
x (m)
y (m)
o
100 m
P
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,故波 动方程为：
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,故波 动方程为：
y =Acos[2? ( 250 t + x /200 )+? /4 ] (m)
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,故波 动方程为：
y =Acos[2? ( 250 t + x /200 )+? /4 ] (m)
(2) y100=Acos [ 2? ( 250 t? 100 /200 )+? /4 ]
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,故波 动方程为：
y =Acos[2? ( 250 t + x /200 )+? /4 ] (m)
(2) y100=Acos [ 2? ( 250 t? 100 /200 )+? /4 ]
=Acos ( 500? t +? /4 ] (m)
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,故波 动方程为：
y =Acos[2? ( 250 t + x /200 )+? /4 ] (m)
(2) y100=Acos [ 2? ( 250 t? 100 /200 )+? /4 ]
=Acos ( 500? t +? /4 ] (m)
v100 = 500?Acos ( 500? t +3? /4 ] (m/s)
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
6-24 设入射波的方程式为
y1 = Acos2? ( x/? + t /T )
在 x = 0 处发生反射，反射点为一固定端。
设反射时无能量损失，求：
(1) 反射波的方程式；
(2) 合成驻波的方程式；
(3) 波腹和波节的位置。
解,(1) 反射点是固定端，所以反射有“半波损失”，且振幅为 A,故反射波的方程式为
y2 = Acos[2? ( x/? - t /T )+? ]
= Acos[2? ( t /T - x/? ) -? ]
o x
u 入射波
(2)驻波的方程式：
y = y1 + y2
=2Acos( 2? x/? +? /2 )cos( 2? t/T -? /2 )
(3) 加强干涉条件：
2? x/? - (- 2? x/? -? ) = 4? x/? +? = 2k?
波腹,x = ( k - 1/2 )? /2? 0 ( k =1,2,3,…)
减弱干涉条件：
4? x/? +? = ( 2k + 1 )?
波节,x = k? /2? 0 ( k =0,1,2,…)
若 反射点为一自由端，讨论上述问题。
6-25 振幅为 A,频率为?，波长为? 的一简谐波沿弦线传播，在自由端 A 点反射 ( 如图 )。假设反射后的波不衰减。已知 OA =
7? / 8,OB =? / 2，在 t = 0 时,x = 0 处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求
B 点处入射波和反射波的合成振动方程。
o xB A
y
6-25 振幅为 A,频率为?，波长为? 的一简谐波沿弦线传播，在自由端 A 点反射 ( 如图 )。假设反射后的波不衰减。已知 OA =
7? / 8,OB =? / 2，在 t = 0 时,x = 0 处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求
B 点处入射波和反射波的合成振动方程。
解：
o 点：
o xB A
y
yo
6-25 振幅为 A,频率为?，波长为? 的一简谐波沿弦线传播，在自由端 A 点反射 ( 如图 )。假设反射后的波不衰减。已知 OA =
7? / 8,OB =? / 2，在 t = 0 时,x = 0 处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求
B 点处入射波和反射波的合成振动方程。
解：
o 点：
o xB A
y
yo
6-25 振幅为 A,频率为?，波长为? 的一简谐波沿弦线传播，在自由端 A 点反射 ( 如图 )。假设反射后的波不衰减。已知 OA =
7? / 8,OB =? / 2，在 t = 0 时,x = 0 处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求
B 点处入射波和反射波的合成振动方程。
解：
o 点：
o xB A
y
yo
A反
6-25 振幅为 A,频率为?，波长为? 的一简谐波沿弦线传播，在自由端 A 点反射 ( 如图 )。假设反射后的波不衰减。已知 OA =
7? / 8,OB =? / 2，在 t = 0 时,x = 0 处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求
B 点处入射波和反射波的合成振动方程。
解：
o 点：
o xB A
y
yo
A反
A合 o
解：反射波 o 点位相落后入射波 o 点位相：
o xB A
y
yo
A反
A合 o
入射反射解：反射波 o 点位相落后入射波 o 点位相：
2? 2 OA/? = 4 7 8? = 7? /2
o xB A
y
yo
A反
A合 o
入射反射解：反射波 o 点位相落后入射波 o 点位相：
2? 2 OA/? = 4 7 8? = 7? /2
故 A入? A反 。
o xB A
y
yo
A反
A合 o
入射反射解：反射波 o 点位相落后入射波 o 点位相：
2? 2 OA/? = 4 7 8? = 7? /2
故 A入? A反 。
因为 A入 = A反,即? MON为等腰直角三角形，
o xB A
y
yo
A反
A合 o
入射反射
解：反射波 o 点位相落后入射波 o 点位相：
2? 2 OA/? = 4 7 8? = 7? /2
故 A入? A反 。
因为 A入 = A反,即? MON为等腰直角三角形，所以? =? /4。
o xB A
y
yo
A反
A合 o
入射反射故入射波波动方程：
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 4? + 3? /4]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 4? + 3? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) + 3? /4]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 4? + 3? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) + 3? /4]
入射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 4? + 3? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) + 3? /4]
入射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y入 B =Acos[2? (?t -1 /2 ) +? /4]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 4? + 3? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) + 3? /4]
入射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y入 B =Acos[2? (?t -1 /2 ) +? /4]
=Acos[2t -3? /4]
反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
=Acos[2t + 7? /4]
反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
=Acos[2t + 7? /4]
B 点处入射波和反射波的振动合成：
y
o
A反
AB合 o
入射 反射
B 点反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
=Acos[2t + 7? /4]
B 点处入射波和反射波的振动合成：
AB合 = A,? = -? /2，
y
o
A反
AB合 o
入射 反射
2
B 点反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
=Acos[2t + 7? /4]
B 点处入射波和反射波的振动合成：
AB合 = A,? = -? /2，
故 B 点处入射波和反射波的合成振动方程：
y
o
A反
AB合 o
入射 反射
2
B 点反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
=Acos[2t + 7? /4]
B 点处入射波和反射波的振动合成：
AB合 = A,? = -? /2，
故 B 点处入射波和反射波的合成振动方程：
yB合 = Acos[2t -? /2] yo A
反
AB合 o
入射 反射
2
2
B 点
1,简谐振动的运动学
（１）三种描述函数形式,x－ t 曲线,旋转矢量图
（２） 位移,速度、加速度三者 相位关系
（３） 简谐振动的叠加记住矢量合成图掌握加强和减弱条件二、非简谐振动等效弹性常数,k =[d2EP/dx2]|x = x。
阻尼振动,临界阻尼、过阻尼受迫振动,振幅共振 ω=
0
22 2?ω
A
能量共振? =?o
2,简谐振动的动力学
（ 1） 无阻尼自由振动
A = ( xo2 + vo2/?2 )1/2,tg? = - vo/?xo
（ 2） 简谐振动能量的特点三、波
1、基本概念横 ( 纵 ) 波、波阵面、波线 ;
波速、波长、频率,
2、平面简谐波的波动方程设波源 ( x = xo )处振动方程：
yo( t ) = Acos(?t +? )
平面简谐波的波动方程：
y( x,t ) = Acos{?[ t? (x - xo) /u] +? }
符号指正向传播,+ 符号指正向传播。
3、能量、能量密度、能流密度
(1)? V 体积内总机械能：
W =WK +WP =2? V( A2 - Y2 )
(2) 能量密度,w =2A2/2
(3) 能流密度 ( 强度 ),I = wu =?u?2A2/2
能流,P = I? S = I Scos?
4、惠更斯原理：提出 子波 概念
5、波迭加原理
(1) 干涉条件：相干波频率相同、振动方向相同、周相差恒定。
(2) 干涉加强和减弱条件：
=?2 -?1 - 2? (r2 - r1)/? =
= r2 - r1 = (?2 -?1=0)
(3) 驻波条件,振幅相同、传播方向相反的相干波驻波特点,频率,振幅、位相、能量。
半波损失,自由端 (波腹 ),固定端 (波节 )。
2k? /2 加强
(2k+1)? /2 减弱
{
{
2k? 加强
(2k+1)? 减弱
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
XO
ω=T/2 π
A
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
XO
ω=T/2 π
A
to
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
XO
ω=T/2 π
A
to to+ Δt
A/2
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
XO
ω=2π/ T
A
to to+ Δt
A/2π /6 =Δ φ
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
= (π /6)/(2 π / T)
XO
ω=2π/ T
A
to to+ Δt
A/2π /6 =Δ φ
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
= (π /6)/(2 π / T)
= T/12 XO
ω=2π/ T
A
to to+ Δt
A/2π /6 =Δ φ
6-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向 X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为
：
（ A） T/4 （ B） T/12 （ C） T/6 （ D） T/8
解,Δ φ = ω Δ t
Δ t = Δ φ / ω
= (π /6)/(2 π / T)
= T/12
答案 （ B）
XO
ω=2π/ T
A
to to+ Δt
A/2π /6 =Δ φ
6-2 一质量 M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm，在距平衡位置 6cm处速度为 24cm/s，求（ 1）周期 T；（ 2）当速度为 12cm/s 时的位移。
解：（ 1）设振动方程为：
x = Acos（ ωｔ + φ ）
6 = 12 cos（ ωｔ + φ ）
v = Aω sin（ ωｔ + φ ）
24 = 12ω sin（ ωｔ + φ ）
62 +（ 24/ ω） 2 = 122
1/ ω =（ 122-62） 1/2/24 = 0.433 s
（ 2）设速度 v = 12 cm / s 时，位移为 x
x = 12 cos（ ωｔ + φ ）
12 = 12 ω sin（ ωｔ + φ
x2 +（ 12/ ω） 2 = 122
x = [ 122 -（ 12 / ω） 2 ]1/2
= 10.82 cm
或 x = - 10.82 cm
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
A B
v
x
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解：
A B
v
x
x
A B
o
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解：
A B
v
x
x
t =0 s
A B
o
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解：
A B
v
x
x
t =0 s t =2 s
A B
o
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解：
A B
v
x
x
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解：
A B
v
x
x
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解,1、由旋转矢量图和
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解,1、由旋转矢量图和
vA = vB
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解,1、由旋转矢量图和
vA = vB
可知 T/2 = 4s，即 T = 8s
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解,1、由旋转矢量图和
vA = vB
可知 T/2 = 4s，即 T = 8s
ω = 2 π /T = π /4 rad/s
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-3 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（ t =0 ），经过 2
秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A,B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：
1、质点的振动方程；
2、质点在 A 点处的速率。
解,1、由旋转矢量图和
vA = vB
可知 T/2 = 4s，即 T = 8s
ω = 2 π /T = π /4 rad/s
AO = BO = AB/2 = 10/2 = 5cm
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
因为 2φ1 = ωΔ t
所以 φ1 = ωΔ t/2
=(π /4)? (4-2)? 2
=π /4
初相 φ=π+φ1
=π+π/4=5π/4
振幅 A = AO/cos(π /4)
= 5? 0.707 = 7.07 cm
所以，质点的振动方程为：
x = 7.07 cos (πt / 4 + 5 π / 4 ) cm
A B
v
x
xφ1
φ1φ1
t =0 s t =2 s
t =4 s
A B
o
t =6 s
ω
6-4 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为
（ A） π /6 （ B） 5 π /6 （ C） - 5 π /6
（ D） -π /6 （ E） - 2 π /3
v
vmvm2
0 t
6-4 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为
（ A） π /6 （ B） 5 π /6 （ C） - 5 π /6
（ D） -π /6 （ E） - 2 π /3
v
vmvm2
0 t
vo
vmvm/2
ω
t =0
π/3
因为 φｖ = φ+ π /2 = -π /3
所以 φ= -π /2 - π /3 = - 5 π /6 答案 （ C）
6-5 在一轻弹簧下端悬挂 mo = 100 g 砝码时，弹簧伸长 8 cm,现在这根弹簧下端悬挂 m = 250 g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm,并给以向上 21 cm/s的初速度（这时 t =0
）。 选 x 轴向下，求振动方程的表达式。
解,k =mog/? l = 0.1?10?0.08 =12.5 N/m
=(k/m)1/2 =(12.5/0.25)1/2 =7 rad/s
初始条件,t = 0,xo = 0.04 m,vo = - 0.21 m/s
A = (xo2+vo2/?2)1/2 =0.05 m
tg? = - vo /?xo = - (- 0.21)/(7?0.04) = 0.75
= 0.64 rad
振动方程,x = 0.05cos( 7t+0.64 ) m
6-6 有一水平放置的板，在此板上放有一物体，沿水平方向作简谐振动 T = 0.5 秒。物体与板之间的摩擦系数为 0.5,试问要使此板上的物体不致滑动的最大振幅为多少？若将此板改为垂直方向作简谐振动，振幅为 5
cm，要使物体一直保持与板接触的最大频率为多少？
解：静摩擦力最大值为 fsmax =?N =?mg
振动时，最大加速度值,amax =?2A
(1) 不打滑条件：板上物体的加速度有静摩擦力提供。
Fsmax = mamaxmg = m?2Amax
故,Amax =?g/?2 =?gT2/4?2
= 0.5?9.8?0.52?(4?3.142 )
= 0.032 m
(2) 垂直方向上下振动时，物体在垂直方向受的力为 ( 向下为正值 )：
F合 = mg - N = mamax = m?2A
不接触时,N = 0
mg = m?2maxA
max = (g/A)1/2 = ( 9.8/0.05 )1/2 = 14 rad /s
max =?/2? = 14/2?3.14 = 2.2 Hz
N
mg
m
6-7 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数 k =24 N/m，重物的质量 m = 6 kg,重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力 F =
10 N 向左作用于物体 ( 不计摩擦 )，使之由平衡位置向左运动了 0.05 m，此时撤去力 F
，当重物运动到左方最远位置时开始计时，
求物体的运动方程。
解：设物体运动方程：
x = Acos(?t +? )
A外 = Fx1 =10? 0.05
= 0,5 J
o x
F
mk
o x
F
mk
x1
功能原理：
A外 = E = EP = kx2/2
x = - ( 2A外 /k )1/2
= - ( 2? 0.5/24 )1/2
= - 0.204 m
= (k/m)1/2 = (24/6)1/2
= 2 rad/s
t = 0,xo = x = - 0.204 m,vo = 0
A =( xo2 +vo2/?2 )1/2 =0.204 m
tg? = - vo /?xo = 0 =?
故 x = 0.204 cos( 2t +?) m
o x
F
mk
x1
o x
mk
x
o
x
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
B
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
B
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-18 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
A
h
L
6-8 一 劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。
今有一质量也为 m 的物体 B 自距今 A 为 h
高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，
(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。
(2) 试求其振幅 A、周期 T及初相? 。
解：物体 B自由落下 h
高时，速度为
v = ( 2gh )1/2
设 A,B碰撞后共同速度 u
动量守恒,mv = (m + m)u
故 u = v /2 = ( gh/2 )1/2
A
h
L
B
u
碰撞后，平衡位置 O为原点，垂直向下 X为轴正方向。 平衡时,弹簧静压缩量?=2mg/k
当系统处于任一位置 x 时，牛顿第二定律：
2mg - k( x +? ) = 2md2x/dt2
- kx = 2md2x/dt2?d2x/dt2 + ( k/2m ) x = 0
A
h
L
B
AL B
x
o
O
X
x
2mg
F=k(x+?)
故碰撞后系统作简谐振动。
=( k/2m )1/2,T = 2? /? = 2? (2m/k)1/2
故碰撞后系统作简谐振动。
=( k/2m )1/2,T = 2? /? = 2? (2m/k)1/2
t = 0
A
h
L
B
AL B
x
o
O
X
x
2mg
F=k(x+?)A
h
L
B
u
故碰撞后系统作简谐振动。
=( k/2m )1/2,T = 2? /? = 2? (2m/k)1/2
t = 0,xo = - mg/k
A
h
L
B
AL B
x
o
O
X
x
2mg
F=k(x+?)A
h
L
B
u
故碰撞后系统作简谐振动。
=( k/2m )1/2,T = 2? /? = 2? (2m/k)1/2
t = 0,xo = - mg/k,vo= u = ( gh/2 )1/2
A
h
L
B
AL B
x
o
O
X
x
2mg
F=k(x+?)A
h
L
B
u
故碰撞后系统作简谐振动。
=( k/2m )1/2,T = 2? /? = 2? (2m/k)1/2
t = 0,xo = - mg/k,vo= u = ( gh/2 )1/2
A = ( xo2 + vo2/?2 )1/2 = mg ( 1 + kh/mg )1/2 / k
tg? = - vo /?xo = ( kh/mg )1/2
=? + tg -1 ( kh/mg )1/2
A
xo
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
t
x XO
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
t
t +T
x
-x
XO
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
A弹性力 = - ( EP末 - EP初 )
t
t +T
x
-x
XO
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
A弹性力 = - ( EP末 - EP初 )
= - [k(-x)2/2 -kx2/2] t
t +T
x
-x
XO
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
A弹性力 = - ( EP末 - EP初 )
= - [k(-x)2/2 -kx2/2]
= 0 t
t +T
x
-x
XO
6-9 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时
，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0
解：
A弹性力 = - ( EP末 - EP初 )
= - [k(-x)2/2 -kx2/2]
= 0
答案 ( D )
t
t +T
x
-x
XO
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(1) 势能 EP =kx2/2,总能 E = kA2/2,
由题意 kx2/2 = kA2/4? x =± 4.24?10-2 m
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(2) 周期 T = 2? /? = 6 s
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(2) 周期 T = 2? /? = 6 s
从平衡位置移动到
x = ± 4.24?10-2 m
的最短时间为
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(2) 周期 T = 2? /? = 6 s
从平衡位置移动到
x = ± 4.24?10-2 m
的最短时间为
x
-x O X
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(2) 周期 T = 2? /? = 6 s
从平衡位置移动到
x = ± 4.24?10-2 m
的最短时间为
/4
x
-x O X
6-10 一质点作谐振动，其振动方程为
x = 6.0?10-2cos(? t/3 -? /4 ) ( SI )
(1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解,(2) 周期 T = 2? /? = 6 s
从平衡位置移动到
x = ± 4.24?10-2 m
的最短时间为
T/8 = 6/8 = 0.75 s
/4
x
-x O X
6-11 一物体作简谐振动，其振动方程为
x = Acos(?t +? /2 ),则该物体在 t = 0 时的动能与 t = T/8 ( T 为振动周期 ) 时的动能之比为多少？
解,t = 0,x = 0,Ek 1 = kA2/2
t =0
O X
6-11 一物体作简谐振动，其振动方程为
x = Acos(?t +? /2 ),则该物体在 t = 0 时的动能与 t = T/8 ( T 为振动周期 ) 时的动能之比为多少？
解,t = 0,x = 0,Ek 1 = kA2/2
t =T/8, =?t =?T/8 =?/4,x = - 0.707A
Ek 2 = kA2/2 - kx2/2 = kA2/4
Ek 1/Ek 2 =( kA2/2 )/( kA2/4 )
= 2
t =0
t =T/8
O X
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是? - 2? L /? ；
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是? - 2? L /? ；与
x1处质点振动状态相同的其它质点的位置是
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是? - 2? L /? ；与
x1处质点振动状态相同的其它质点的位置是
L? k? ( k = 1,2,3,…… ) ；
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是? - 2? L /? ；与
x1处质点振动状态相同的其它质点的位置是
L? k? ( k = 1,2,3,…… ) ；与 x1处质点速度大小相同，但方向相反的其它质点的位置是
6-12 一平面简谐波沿 Ox轴传播，波动方程为 y =Ａ cos[ 2?(?t-x/?)+? ]，则 x1 = L 处介质质点振动的初位相是? - 2? L /? ；与
x1处质点振动状态相同的其它质点的位置是
L? k? ( k = 1,2,3,…… ) ；与 x1处质点速度大小相同，但方向相反的其它质点的位置是 L?( 2k+1 )? /2 ( k = 0,1,2,…… )
6-13 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是
(A) 动能为零，势能最大。
(B) 动能为零，势能为零。
(C) 动能最大，势能最大。
(D) 动能最大，势能为零。
6-13 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是
(A) 动能为零，势能最大。
(B) 动能为零，势能为零。
(C) 动能最大，势能最大。
(D) 动能最大，势能为零。
ρ 22 2A yω= 2 dV ( )1kdE
6-13 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是
(A) 动能为零，势能最大。
(B) 动能为零，势能为零。
(C) 动能最大，势能最大。
(D) 动能最大，势能为零。
答案 (B)
ρ 22 2A yω= 2 dV ( )1kdE
6-14 一平面简谐波，沿 x 轴负方向传播，设
t = T/4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：
(A) y = A cos[?( t - x / u ) ]
(B) y = A cos[?( t - x / u ) +? / 2 ]
(C) y = A cos[?( t + x / u ) ]
(D) y = A cos[?( t + x / u ) +? ]
-A
A
y
x
u
o
t = T/4
6-14 一平面简谐波，沿 x 轴负方向传播，设
t = T/4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：
(A) y = A cos[?( t - x / u ) ]
(B) y = A cos[?( t - x / u ) +? / 2 ]
(C) y = A cos[?( t + x / u ) ]
(D) y = A cos[?( t + x / u ) +? ]
-A
A
y
x
u
t = 0
o
t = T/4
6-14 一平面简谐波，沿 x 轴负方向传播，设
t = T/4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：
(A) y = A cos[?( t - x / u ) ]
(B) y = A cos[?( t - x / u ) +? / 2 ]
(C) y = A cos[?( t + x / u ) ]
(D) y = A cos[?( t + x / u ) +? ]
-A
A
y
x
u
t = 0
o
t = T/4
yot = 0
A
6-14 一平面简谐波，沿 x 轴负方向传播，设
t = T/4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：
(A) y = A cos[?( t - x / u ) ]
(B) y = A cos[?( t - x / u ) +? / 2 ]
(C) y = A cos[?( t + x / u ) ]
(D) y = A cos[?( t + x / u ) +? ] 答案 (D)
-A
A
y
x
u
t = 0
o
t = T/4
yot = 0
A
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
u
x (m)
y (m)
o
A
P
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
u
x (m)
y (m)
o
A
P
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2?
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
= 2?/T
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
= 2?/T = 2?u/?。
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
= 2?/T = 2?u/?。 o 点的振动方程：
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
= 2?/T = 2?u/?。 o 点的振动方程：
yo=Acos(?t +?)
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-15 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，试求 (1)简谐波的波动方程； (2)
P 处质点的振动方程。 ( 该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量 )
解,? + 2? +?/2 = 2 = 3?/2 - 2?
= 2?/T = 2?u/?。 o 点的振动方程：
yo=Acos(?t +?) =Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
u
x (m)
y (m)
o
A
P
y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
波动方程：
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
波动方程：
y =Acos{2? /?[u(t - 2) + x]+ 3?/2 } (m)
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
波动方程：
y =Acos{2? /?[u(t - 2) + x]+ 3?/2 } (m)
P 处质点的振动方程：
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
波动方程：
y =Acos{2? /?[u(t - 2) + x]+ 3?/2 } (m)
P 处质点的振动方程：
yP =Acos{2? /?[u(t - 2)+?/2 ]+ 3?/2 }
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
解,yo=Acos[?(t - 2) + 3?/2 ]
=Acos{2? /? [u( t - 2 )] + 3?/2 } (m)
波动方程：
y =Acos{2? /?[u(t - 2) + x]+ 3?/2 } (m)
P 处质点的振动方程：
yP =Acos{2? /?[u(t - 2)+?/2 ]+ 3?/2 }
=Acos{2? /?[u(t - 2)]+?/2 } (m)
u
x (m)
y (m)
o
A
P y
t = 0
t = 2 s
o
2?
6-16 如图所示，假定波在 M1 M2 平面反射时有 半波损失,O1 和 O2 两点的振动方程为
y10 =Acos?t 和 y20 =Acos?t,且 O1 m+ mp =
8?,O2 p = 3? (? 为波长 )，求：
(1) 两列波分别在 P 点引起的振动方程；
(2) P点的合振动方程。
( 假定两列波在传播或反射过程中均不衰减 )
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
=Acos(?t)
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
=Acos(?t)
(2) y = y1 + y2
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
=Acos(?t)
(2) y = y1 + y2 = Acos(?t -? )+ Acos(?t)
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
=Acos(?t)
(2) y = y1 + y2 = Acos(?t -? )+ Acos(?t)
= - Acos(?t)+ Acos(?t)
O1
O2
M1 M2m
p
解：
(1) y1 =Acos(?t - 2 8? /? -? )
=Acos(?t -? )
y2 =Acos(?t - 2 3? /? )
=Acos(?t)
(2) y = y1 + y2 = Acos(?t -? )+ Acos(?t)
= - Acos(?t)+ Acos(?t) = 0
O1
O2
M1 M2m
p
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
= 4?x/? =? 2k? (k=0,1,2,...)
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
= 4?x/? =? 2k? (k=0,1,2,...)
合振幅最大位置,x =? k? /2 (k=0,1,2,...)
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
= 4?x/? =? 2k? (k=0,1,2,...)
合振幅最大位置,x =? k? /2 (k=0,1,2,...)
(2)? 2 -?1 = 4?x/? =? (2k+1)? (k=0,1,2,...)
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
= 4?x/? =? 2k? (k=0,1,2,...)
合振幅最大位置,x =? k? /2 (k=0,1,2,...)
(2)? 2 -?1 = 4?x/? =? (2k+1)? (k=0,1,2,...)
合振幅最小位置,
6-17 在均匀介质中，有两列余谐波沿 Ox 轴传播，波动方程分别为 y1=Acos[2?(?t -x /?)]
与 y2=2Acos[2?(?t + x /?)]，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解,(1)? 2 -? 1 = 2?x/? - (-2?x/? )
= 4?x/? =? 2k? (k=0,1,2,...)
合振幅最大位置,x =? k? /2 (k=0,1,2,...)
(2)? 2 -?1 = 4?x/? =? (2k+1)? (k=0,1,2,...)
合振幅最小位置,
x =? (2k+1)? /4 (k=0,1,2,...)
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3解,yP =( sin?t - cos?t )/2
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
3
-? /2
y (cm) o
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
3
1
-? /2
y (cm) o
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
3
1
2
4? /3
-? /2
y (cm)o
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
=[2cos(?t + 4?/3 )]/2
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
=[2cos(?t + 4?/3 )]/2
=cos(?t + 4?/3 ) (cm)
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
=[2cos(?t + 4?/3 )]/2
=cos(?t + 4?/3 ) (cm)
波的表达式为：
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
=[2cos(?t + 4?/3 )]/2
=cos(?t + 4?/3 ) (cm)
波的表达式为：
y( x,t )=cos[?t + 4?/3 -2?( x -? /2 )/?]
3
6-18 一波长为? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播，在 x =?/2 的 P 处质点的运动方程是
yP =( sin?t - cos?t )/2 (cm)
求该简谐波的表达式。
3
3
解,yP =( sin?t - cos?t )/2
=[ cos(?t -?/2 ) + cos(?t +? )]/2
=[2cos(?t + 4?/3 )]/2
=cos(?t + 4?/3 ) (cm)
波的表达式为：
y( x,t )=cos[?t + 4?/3 -2?( x -? /2 )/?]
=cos[?t -2? x /? +? /3 ] (cm)
6-19 一艘船在 25m 高的桅杆上装有一天线
，不断发射某种波长的无线电波，已知波长在 2? 4 m 范围内，在高出海平面 150 m 的悬崖顶上有一接收站能收到这无线电波。但当那艘船驶至离悬崖底部 2 km 时，接收站就收不到无线电波。设海平面完全反射这无线电波，求所用无线电波的波长。 P
h
L
HS
A
r1
r2
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，故
=r2 -r1+?/2=(2k+1)?/2 (k=0,± 1,± 2,…)
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，故
=r2 -r1+?/2=(2k+1)?/2 (k=0,± 1,± 2,…)
=( r2 - r1)/k =(2007.6 - 2003.9)/k
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，故
=r2 -r1+?/2=(2k+1)?/2 (k=0,± 1,± 2,…)
=( r2 - r1)/k =(2007.6 - 2003.9)/k = 3.7/k
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，故
=r2 -r1+?/2=(2k+1)?/2 (k=0,± 1,± 2,…)
=( r2 - r1)/k =(2007.6 - 2003.9)/k = 3.7/k
因? 在 2-4 m 范围，
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
解：已知 h=25 m,H = 150 m,L =2000 m.
r1 = SP =[L2 +(H - h)2]1/2 = 2003.9 m
r2 =SA+AP =S'P=[L2 +(H+h)2]1/2 = 2007.6 m
A 点有半波损失，故
=r2 -r1+?/2=(2k+1)?/2 (k=0,± 1,± 2,…)
=( r2 - r1)/k =(2007.6 - 2003.9)/k = 3.7/k
因? 在 2-4 m 范围，故取 k = 1,? = 3.7 m
P
L
r1
h
HS
A
r2
S'
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长。
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长。
解,(1)质点的振动方程
,A?
o y
t =0
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长。
解,(1)质点的振动方程
：
y = 0.06cos( 2?t /T +? )
A
o y
t =0
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长。
解,(1)质点的振动方程
：
y = 0.06cos( 2?t /T +? )
= 0.06cos(?t +? ) (m)
A
o y
t =0
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
y = 0.06cos[ 2? /T( t - x /u )+? ]
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
y = 0.06cos[ 2? /T( t - x /u )+? ]
= 0.06cos[? ( t - x /2 )+? ] (m)
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
y = 0.06cos[ 2? /T( t - x /u )+? ]
= 0.06cos[? ( t - x /2 )+? ] (m)
(3)? = u /?
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
y = 0.06cos[ 2? /T( t - x /u )+? ]
= 0.06cos[? ( t - x /2 )+? ] (m)
(3)? = u /?= uT
6-20 某质点作简谐运动，周期为 2 s,振幅为 0.06 m，开始计时 ( t= 0 ),质点恰好处在负最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度 u = 2 m /s 沿 x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；
(3) 该波的波长? 。
(2) 简谐波的波动方程：
y = 0.06cos[ 2? /T( t - x /u )+? ]
= 0.06cos[? ( t - x /2 )+? ] (m)
(3)? = u /?= uT = 2? 2 = 4 (m)
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为,
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为,
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
解,P2 点落后 P1 点的
o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为,
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
解,P2 点落后 P1 点的位相为 2( L1 + L2 ) /?,
o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为,
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
解,P2 点落后 P1 点的位相为 2( L1 + L2 ) /?,
P2 处质点的 振动方程,o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为 y2 =Acos[2t +? - 2(L1+ L2 )/? ],
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
解,P2 点落后 P1 点的位相为 2( L1 + L2 ) /?,
P2 处质点的 振动方程,
y2 =Acos[ 2t +? - 2( L1 + L2 )/? ]
o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为 y2 =Acos[2t +? - 2(L1+ L2 )/? ]，
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 。
解,P2 点落后 P1 点的位相为 2( L1 + L2 ) /?,
P2 处质点的 振动方程,
y2 =Acos[ 2t +? - 2( L1 + L2 )/? ]
x + L1 =? k?
o p2p1 x
L2L1
6-21 如图，一平面 简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为?,若 P1 点处质点的 振动方程为
y1 =Acos( 2t +? )，则有 P2 点 处质点的 振动方程为 y2 =Acos[2t +? - 2(L1+ L2 )/? ]，
与 P1 点处质点的 振动状态相同的那些点的位置 x 为 x = - L1? k? (k =0,1,2,…) 。
解,P2 点落后 P1 点的位相为 2( L1 + L2 ) /?,
P2 处质点的 振动方程,
y2 =Acos[ 2t +? - 2( L1 + L2 )/? ]
x + L1 =? k x = - L1? k? (k =0,1,2,…)
o p2p1 x
L2L1
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/?
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
b
o x
y u
a
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
+?t’ +?/2 = 2?
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
+?t’ +?/2 = 2 = 3?/2 -?t’
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
+?t’ +?/2 = 2 = 3?/2 -?t’
y = acos(?t +?)
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
+?t’ +?/2 = 2 = 3?/2 -?t’
y = acos(?t +?) = acos(?ut/b + 3?/2 -?ut’/b )
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
6-22 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t’ 时波形曲线如图所示，试求坐标原点 o 的振动方程。
解,?=2b,?=2?u/? = 2?u/2b =?u/b 。
+?t’ +?/2 = 2 = 3?/2 -?t’
y = acos(?t +?) = acos(?ut/b + 3?/2 -?ut’/b )
=acos[?u/b( t - t’ ) + 3?/2]
b
o x
y u
a
o y
t = t’
t = 0
t’?
2
6-23 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，设此简谐波的频率为 250 Hz
，且此时质点 P 的运动方向向下，求
(1) 该波的波动方程；
(2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式。
2
A/2
x (m)
y (m)
o
100 m
P
2
6-23 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，设此简谐波的频率为 250 Hz
，且此时质点 P 的运动方向向下，求
(1) 该波的波动方程；
(2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式。
解：
2
A/2
x (m)
y (m)
o
100 m
P
2
6-23 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，设此简谐波的频率为 250 Hz
，且此时质点 P 的运动方向向下，求
(1) 该波的波动方程；
(2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式。
解：
u 2
A/2
x (m)
y (m)
o
100 m
P
2
6-23 如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，设此简谐波的频率为 250 Hz
，且此时质点 P 的运动方向向下，求
(1) 该波的波动方程；
(2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式。
解：
(1) 根据 P点的振动方向可判断波向左传播。
u 2
A/2
x (m)
y (m)
o
100 m
P
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,故波 动方程为：
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,故波 动方程为：
y =Acos[2? ( 250 t + x /200 )+? /4 ] (m)
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,故波 动方程为：
y =Acos[2? ( 250 t + x /200 )+? /4 ] (m)
(2) y100=Acos [ 2? ( 250 t? 100 /200 )+? /4 ]
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,故波 动方程为：
y =Acos[2? ( 250 t + x /200 )+? /4 ] (m)
(2) y100=Acos [ 2? ( 250 t? 100 /200 )+? /4 ]
=Acos ( 500? t +? /4 ] (m)
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
O 点振动方程,yo =Acos( 2t +? /4 )
=Acos( 500? t +? /4 ) (m)
由图可知波长? = 200 m,故波 动方程为：
y =Acos[2? ( 250 t + x /200 )+? /4 ] (m)
(2) y100=Acos [ 2? ( 250 t? 100 /200 )+? /4 ]
=Acos ( 500? t +? /4 ] (m)
v100 = 500?Acos ( 500? t +3? /4 ] (m/s)
2y (m)
2
u
A/2
x (m)o 100 m
P
2 A/2
t = 0
yo
6-24 设入射波的方程式为
y1 = Acos2? ( x/? + t /T )
在 x = 0 处发生反射，反射点为一固定端。
设反射时无能量损失，求：
(1) 反射波的方程式；
(2) 合成驻波的方程式；
(3) 波腹和波节的位置。
解,(1) 反射点是固定端，所以反射有“半波损失”，且振幅为 A,故反射波的方程式为
y2 = Acos[2? ( x/? - t /T )+? ]
= Acos[2? ( t /T - x/? ) -? ]
o x
u 入射波
(2)驻波的方程式：
y = y1 + y2
=2Acos( 2? x/? +? /2 )cos( 2? t/T -? /2 )
(3) 加强干涉条件：
2? x/? - (- 2? x/? -? ) = 4? x/? +? = 2k?
波腹,x = ( k - 1/2 )? /2? 0 ( k =1,2,3,…)
减弱干涉条件：
4? x/? +? = ( 2k + 1 )?
波节,x = k? /2? 0 ( k =0,1,2,…)
若 反射点为一自由端，讨论上述问题。
6-25 振幅为 A,频率为?，波长为? 的一简谐波沿弦线传播，在自由端 A 点反射 ( 如图 )。假设反射后的波不衰减。已知 OA =
7? / 8,OB =? / 2，在 t = 0 时,x = 0 处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求
B 点处入射波和反射波的合成振动方程。
o xB A
y
6-25 振幅为 A,频率为?，波长为? 的一简谐波沿弦线传播，在自由端 A 点反射 ( 如图 )。假设反射后的波不衰减。已知 OA =
7? / 8,OB =? / 2，在 t = 0 时,x = 0 处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求
B 点处入射波和反射波的合成振动方程。
解：
o 点：
o xB A
y
yo
6-25 振幅为 A,频率为?，波长为? 的一简谐波沿弦线传播，在自由端 A 点反射 ( 如图 )。假设反射后的波不衰减。已知 OA =
7? / 8,OB =? / 2，在 t = 0 时,x = 0 处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求
B 点处入射波和反射波的合成振动方程。
解：
o 点：
o xB A
y
yo
6-25 振幅为 A,频率为?，波长为? 的一简谐波沿弦线传播，在自由端 A 点反射 ( 如图 )。假设反射后的波不衰减。已知 OA =
7? / 8,OB =? / 2，在 t = 0 时,x = 0 处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求
B 点处入射波和反射波的合成振动方程。
解：
o 点：
o xB A
y
yo
A反
6-25 振幅为 A,频率为?，波长为? 的一简谐波沿弦线传播，在自由端 A 点反射 ( 如图 )。假设反射后的波不衰减。已知 OA =
7? / 8,OB =? / 2，在 t = 0 时,x = 0 处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求
B 点处入射波和反射波的合成振动方程。
解：
o 点：
o xB A
y
yo
A反
A合 o
解：反射波 o 点位相落后入射波 o 点位相：
o xB A
y
yo
A反
A合 o
入射反射解：反射波 o 点位相落后入射波 o 点位相：
2? 2 OA/? = 4 7 8? = 7? /2
o xB A
y
yo
A反
A合 o
入射反射解：反射波 o 点位相落后入射波 o 点位相：
2? 2 OA/? = 4 7 8? = 7? /2
故 A入? A反 。
o xB A
y
yo
A反
A合 o
入射反射解：反射波 o 点位相落后入射波 o 点位相：
2? 2 OA/? = 4 7 8? = 7? /2
故 A入? A反 。
因为 A入 = A反,即? MON为等腰直角三角形，
o xB A
y
yo
A反
A合 o
入射反射
解：反射波 o 点位相落后入射波 o 点位相：
2? 2 OA/? = 4 7 8? = 7? /2
故 A入? A反 。
因为 A入 = A反,即? MON为等腰直角三角形，所以? =? /4。
o xB A
y
yo
A反
A合 o
入射反射故入射波波动方程：
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 4? + 3? /4]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 4? + 3? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) + 3? /4]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 4? + 3? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) + 3? /4]
入射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 4? + 3? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) + 3? /4]
入射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y入 B =Acos[2? (?t -1 /2 ) +? /4]
故入射波波动方程：
y入 =Acos[2? (?t -x /? ) +? /4]
反射波波动方程：
y反 =Acos[2? (?t + x /? )+? /4 - 7? /2 ]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 13? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) - 4? + 3? /4]
=Acos[2? (?t + x /? ) + 3? /4]
入射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y入 B =Acos[2? (?t -1 /2 ) +? /4]
=Acos[2t -3? /4]
反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
=Acos[2t + 7? /4]
反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
=Acos[2t + 7? /4]
B 点处入射波和反射波的振动合成：
y
o
A反
AB合 o
入射 反射
B 点反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
=Acos[2t + 7? /4]
B 点处入射波和反射波的振动合成：
AB合 = A,? = -? /2，
y
o
A反
AB合 o
入射 反射
2
B 点反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
=Acos[2t + 7? /4]
B 点处入射波和反射波的振动合成：
AB合 = A,? = -? /2，
故 B 点处入射波和反射波的合成振动方程：
y
o
A反
AB合 o
入射 反射
2
B 点反射波 B 点 ( x =? /2 ) 振动方程：
y反 B =Acos[2? (?t + 1 /2 ) + 3? /4]
=Acos[2t + 7? /4]
B 点处入射波和反射波的振动合成：
AB合 = A,? = -? /2，
故 B 点处入射波和反射波的合成振动方程：
yB合 = Acos[2t -? /2] yo A
反
AB合 o
入射 反射
2
2
B 点
