CH-1第一章 小结一、基本概念
1、质点
2、参考系和坐标系
3,经典时空观
4、位矢、位移、路程
5、运动方程与轨道方程
6、平均速度与平均速率、速度与速率
7、加速度：
(1) 直角坐标系
a = ax i + ay j + az k
CH-1( 2) 自然坐标系 a = a
t to + an no
切向 at = dv /dt 法向 an = v2 /ρ
二、运动迭加原理三、常见运动
１、直线运动 x,vx,ax
２、圆周运动 （１）线量描述
（２）角量描述
３,抛体运动四,相对运动相对位移、相对速度、相对加速度
CH-1
z
x tu
y
=
=
=
= x
y
z
tt
+
z
x tu
y
=
=
=
= x
y
z
tt
1、坐标变换式
2、速度变换式
vx
vy
vz
vx
vy
vz
=
=
=
u
a a=
vx
vy
vz
vx
vy
vz
=
=
=
+ u
正变换 逆变换
a a=
3、加速度变换式五、伽利略变换
CH-1第一章 例题
1-1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为 r = a t2 i + b t2 j （其中 a、
b为常量），则该质点作
（ A）匀速直线运动 （ B）变速直线运动
（ C）抛物线运动 （ D）一般曲线运动解,x = a t2 y = b t2
消去 t 得 y = bx/a 直线运动
vx = dx/dt = 2at vy = dy/dt = 2bt
变速运动所以答案为 （ B）
CH-11-2 一运动质点的运动方程为 x = 6+3t－ 5t3
（ SI），则该质点作
(A)匀加速直线运动，加速度沿 X轴正方向。
(B)匀加速直线运动，加速度沿 X轴负方向。
(C)变加速直线运动，加速度沿 X轴正方向。
(D)变加速直线运动，加速度沿 X轴负方向。
解,vx = dx/dt = 3－ 15 t2
ax = dvx /dt = － 30 t 〈 0
所以答案为 （ D）
CH-11-3 一运动质点在某瞬时位于矢径 r( x,y)
的端点处，其速度大 小为
(A)dr/dt (B) dr/dt
(C)d| r |/dt (D)[(dx/dt)2 +(dy/dt)2 ]1/2
答案为 （ D）
1-5 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
v = 2 m/s,瞬时加速度 a = － 2 m/s2，则一秒钟后质点的速度
（ A）等于零 （ B） 等于 － 2 m/s
（ C）等于 2 m/s （ D）不能确定答案为 （ D）
CH-1
1-6 下列说法中，哪一个是正确的？
（ A）一质点在某时刻的瞬时速度是 2 m/s
，说明它在此后 1 s 内一定要经过 2 m 的路程。
（ B）斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大。
（ C）物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零。
（ D）物体加速度越大，则速度越大。
答案为 （ C）
CH-11-7 两辆车 A和 B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并由出发点开始计时，行驶的距离 x （ m）与行驶时间 t （ s）的函数关系式,A为 xA=4t+t2,B为 xB =2t2 +2t3,
试问：
（ 1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的哪辆？
（ 2）出发后多少时间，两辆车行驶距离相同？
（ 3）出发后多少时间，两辆车相对速度为零？
解：（ 1）时间从 0 到 △ t→0,x = 0+ △ x = v △ t
xA（ △ t ） = vA |t=0 △ t = 4 △ t
xB（ △ t ） = vB |t=0 △ t = 0 △ t = 0
所以,A 车行驶在前面。
CH-1（ 2） △ x
A = xA（ t）－ xA（ 0）
= 4t + t2 － 0
△ xB = xB（ t）－ xB（ 0）
= 2t2 + 2t3 － 0
若 △ xA = △ xB
则 4t + t2 = 2t2 + 2t3
由此得 t = 1.19（ s）
（ 3） 若 △ vA = △ vB
则 4 + 2t = 4t + 6t2
由此得 t = 0.67 （ s）
CH-11-9 一艘正在沿直线行驶的电艇，发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即 dv/dt =－ kv2，式中
k 为常数。试证明电艇在关闭发动机后又行驶 x 距离时的速度为 v = vo e - k x,其中 vo
是发动机关闭时的速度。
证明：设 x 的原点为关闭发动机时的位置，
dv/dt = vdv/dx =－ kv2
整理得,dv/v = － kdx
两边积分,∫vov dv/v = － ∫ｏ x kdx
得,ln（ v/vo） = － kx
因此,v = voe - kx 证毕。
CH-1
1-11 在半径为 R的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为 v = ct2（式中 c 为常数），
试求：
1、从 t = 0到 t 时刻质点走过的路程 s(t)
2,t 时刻质点的切向和法向加速度 at 和 an
解,1,s (t) = ∫ot vdt
= ∫ot ct2 dt = ct3 / 3
2,at = dv/dt = 2ct
an = v2 /R = c2 t4 / R
CH-1
1-12 一质点沿半径为 0.1 m的圆周运动，其角位移 θ 随时间 t 的变化规律是 θ=2 + 4t2
（ SI）,试求在 t = 2 s时，质点的切向加速度 at 和法向加速度 an 。
解,ω = dθ/dt = 8t （ SI）
β = dω/dt = 8 （ SI）
at = βR = 0.8 m/s 2
an = ω2R
= ( 8× 2 )2 × 0.1
= 25.6 m/s2
CH-11-13 一质点沿半径为 R 的圆周运动，在 t =
0 时经过 P 点，此后它的速率 v 按 v = A + B
t （ A,B 为正的已知常数）变化,试求质点沿圆周运动一周再经过 P 点时的切向加速度 at 和法向加速度 an 。
解,切向加速度,at = dv/dt = B
质点作匀加速率运动,v 2 = v o 2 + 2a t s
根据题意,vo = A,s = 2πR
因此,v2 = A2 + 2B × 2πR = A2 + 4πBR
法向加速度,an = v2/R = A2/R + 4πB
CH-11-14 一质点以 60o 仰角作斜上抛运动，忽略空气阻力。若质点运动轨道最高点处的曲率半径为 10 cm，试求抛出时初速度的大小。
解：因为 an = g,所以
v2/R = ( vocos 60o )2/R
= g
故 vo = ( gR )1/2 /cos 60o
= ( 10? 10 )1/2? 0.5
= 20 m/s
vo
v
g60o
CH-1
1-15 一质点在平面作曲线运动，其速率与路程的关系为：
v = 1 + S2 （ SI）
试求,切向加速度 at ( 用路程 S 来表示 ）
解,a t = dv / dt
= 2SdS / dt
= 2S（ 1 + S2 ） （ SI）
CH-11-16 5m长的梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为 4m。设以 2m/s 的速度匀速向下滑，
求下端的运动方程和速度。
解：设某一时刻梯子的位置如图由几何关系得,x2 = L 2 - y2
因为 A点匀速下滑，所以
y = yo -vot = 4 - 2t
故,x2 =L2 - y2 = 52 -（ 4 - 2t） 2
（ 1）运动方程,x2 = 9 + 16t - 4t2 (SI)
（ 2）两边对时间求导,2xdx/dt = 16 - 8t
vx = dx/dt =（ 8 - 4t） /x
=（ 8 - 4t） /（ 9 + 16t - 4t2） 1/2 (SI)
x
A
B
y
O
Y
L
X
1、质点
2、参考系和坐标系
3,经典时空观
4、位矢、位移、路程
5、运动方程与轨道方程
6、平均速度与平均速率、速度与速率
7、加速度：
(1) 直角坐标系
a = ax i + ay j + az k
CH-1( 2) 自然坐标系 a = a
t to + an no
切向 at = dv /dt 法向 an = v2 /ρ
二、运动迭加原理三、常见运动
１、直线运动 x,vx,ax
２、圆周运动 （１）线量描述
（２）角量描述
３,抛体运动四,相对运动相对位移、相对速度、相对加速度
CH-1
z
x tu
y
=
=
=
= x
y
z
tt
+
z
x tu
y
=
=
=
= x
y
z
tt
1、坐标变换式
2、速度变换式
vx
vy
vz
vx
vy
vz
=
=
=
u
a a=
vx
vy
vz
vx
vy
vz
=
=
=
+ u
正变换 逆变换
a a=
3、加速度变换式五、伽利略变换
CH-1第一章 例题
1-1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为 r = a t2 i + b t2 j （其中 a、
b为常量），则该质点作
（ A）匀速直线运动 （ B）变速直线运动
（ C）抛物线运动 （ D）一般曲线运动解,x = a t2 y = b t2
消去 t 得 y = bx/a 直线运动
vx = dx/dt = 2at vy = dy/dt = 2bt
变速运动所以答案为 （ B）
CH-11-2 一运动质点的运动方程为 x = 6+3t－ 5t3
（ SI），则该质点作
(A)匀加速直线运动，加速度沿 X轴正方向。
(B)匀加速直线运动，加速度沿 X轴负方向。
(C)变加速直线运动，加速度沿 X轴正方向。
(D)变加速直线运动，加速度沿 X轴负方向。
解,vx = dx/dt = 3－ 15 t2
ax = dvx /dt = － 30 t 〈 0
所以答案为 （ D）
CH-11-3 一运动质点在某瞬时位于矢径 r( x,y)
的端点处，其速度大 小为
(A)dr/dt (B) dr/dt
(C)d| r |/dt (D)[(dx/dt)2 +(dy/dt)2 ]1/2
答案为 （ D）
1-5 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
v = 2 m/s,瞬时加速度 a = － 2 m/s2，则一秒钟后质点的速度
（ A）等于零 （ B） 等于 － 2 m/s
（ C）等于 2 m/s （ D）不能确定答案为 （ D）
CH-1
1-6 下列说法中，哪一个是正确的？
（ A）一质点在某时刻的瞬时速度是 2 m/s
，说明它在此后 1 s 内一定要经过 2 m 的路程。
（ B）斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大。
（ C）物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零。
（ D）物体加速度越大，则速度越大。
答案为 （ C）
CH-11-7 两辆车 A和 B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并由出发点开始计时，行驶的距离 x （ m）与行驶时间 t （ s）的函数关系式,A为 xA=4t+t2,B为 xB =2t2 +2t3,
试问：
（ 1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的哪辆？
（ 2）出发后多少时间，两辆车行驶距离相同？
（ 3）出发后多少时间，两辆车相对速度为零？
解：（ 1）时间从 0 到 △ t→0,x = 0+ △ x = v △ t
xA（ △ t ） = vA |t=0 △ t = 4 △ t
xB（ △ t ） = vB |t=0 △ t = 0 △ t = 0
所以,A 车行驶在前面。
CH-1（ 2） △ x
A = xA（ t）－ xA（ 0）
= 4t + t2 － 0
△ xB = xB（ t）－ xB（ 0）
= 2t2 + 2t3 － 0
若 △ xA = △ xB
则 4t + t2 = 2t2 + 2t3
由此得 t = 1.19（ s）
（ 3） 若 △ vA = △ vB
则 4 + 2t = 4t + 6t2
由此得 t = 0.67 （ s）
CH-11-9 一艘正在沿直线行驶的电艇，发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即 dv/dt =－ kv2，式中
k 为常数。试证明电艇在关闭发动机后又行驶 x 距离时的速度为 v = vo e - k x,其中 vo
是发动机关闭时的速度。
证明：设 x 的原点为关闭发动机时的位置，
dv/dt = vdv/dx =－ kv2
整理得,dv/v = － kdx
两边积分,∫vov dv/v = － ∫ｏ x kdx
得,ln（ v/vo） = － kx
因此,v = voe - kx 证毕。
CH-1
1-11 在半径为 R的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为 v = ct2（式中 c 为常数），
试求：
1、从 t = 0到 t 时刻质点走过的路程 s(t)
2,t 时刻质点的切向和法向加速度 at 和 an
解,1,s (t) = ∫ot vdt
= ∫ot ct2 dt = ct3 / 3
2,at = dv/dt = 2ct
an = v2 /R = c2 t4 / R
CH-1
1-12 一质点沿半径为 0.1 m的圆周运动，其角位移 θ 随时间 t 的变化规律是 θ=2 + 4t2
（ SI）,试求在 t = 2 s时，质点的切向加速度 at 和法向加速度 an 。
解,ω = dθ/dt = 8t （ SI）
β = dω/dt = 8 （ SI）
at = βR = 0.8 m/s 2
an = ω2R
= ( 8× 2 )2 × 0.1
= 25.6 m/s2
CH-11-13 一质点沿半径为 R 的圆周运动，在 t =
0 时经过 P 点，此后它的速率 v 按 v = A + B
t （ A,B 为正的已知常数）变化,试求质点沿圆周运动一周再经过 P 点时的切向加速度 at 和法向加速度 an 。
解,切向加速度,at = dv/dt = B
质点作匀加速率运动,v 2 = v o 2 + 2a t s
根据题意,vo = A,s = 2πR
因此,v2 = A2 + 2B × 2πR = A2 + 4πBR
法向加速度,an = v2/R = A2/R + 4πB
CH-11-14 一质点以 60o 仰角作斜上抛运动，忽略空气阻力。若质点运动轨道最高点处的曲率半径为 10 cm，试求抛出时初速度的大小。
解：因为 an = g,所以
v2/R = ( vocos 60o )2/R
= g
故 vo = ( gR )1/2 /cos 60o
= ( 10? 10 )1/2? 0.5
= 20 m/s
vo
v
g60o
CH-1
1-15 一质点在平面作曲线运动，其速率与路程的关系为：
v = 1 + S2 （ SI）
试求,切向加速度 at ( 用路程 S 来表示 ）
解,a t = dv / dt
= 2SdS / dt
= 2S（ 1 + S2 ） （ SI）
CH-11-16 5m长的梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为 4m。设以 2m/s 的速度匀速向下滑，
求下端的运动方程和速度。
解：设某一时刻梯子的位置如图由几何关系得,x2 = L 2 - y2
因为 A点匀速下滑，所以
y = yo -vot = 4 - 2t
故,x2 =L2 - y2 = 52 -（ 4 - 2t） 2
（ 1）运动方程,x2 = 9 + 16t - 4t2 (SI)
（ 2）两边对时间求导,2xdx/dt = 16 - 8t
vx = dx/dt =（ 8 - 4t） /x
=（ 8 - 4t） /（ 9 + 16t - 4t2） 1/2 (SI)
x
A
B
y
O
Y
L
X
