作业目录 作业与解答
§ 1 牛顿动力学方程
§ 2 拉格朗日运动方程
§ 3 两体问题
§ 4 刚体
§ 5 非惯性参考系
§ 6 多自由度体系的微振动
§ 8 经典力学的哈密顿理论
§ 9 哈密顿理论在物理学中的应用
§ 10 流体作业目录
v
v
v
0s i nc o s
c o ss i noss i ns i n
s i nc o sc o sc o ss i n
v
v
v
r
z
y
x
s i nr
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r
0s i nc o s
c o ss i noss i ns i n
s i nc o sc o sc o ss i n
v
v
v
z
y
x
c o srz
s i ns i nry
c o ss i nrx
,
球坐标系
§ 1 牛顿动力学方程作业目录
s i n)c oss i nrr2r(
c os)s i nrrr(
s i n)r2r(c os)rr(a
) s i ns i nr2c os2rs i n(r-
c osc os)c oss i nrr2r(
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) s i ns i nr2c os2rs i n(r-
c osc os)r2r(c oss i n)rrr(a
2
222
2
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222
22
x
作业目录
c o ss i ns i n
c o ss i n
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s i n
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s i n
c o s
s i ns i n
c o ss i n
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rH
H
rz
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rx
r
r
r
22
2
1
2
222
2222222
球坐标系作业目录 1.1 质点所受空气阻力为 f
= mkv,试求质点的速度与水平线夹角为 α时所需的时间。 mg
vv
o
y
o x
v
α
222222
22
2
2
2
c o sc o s
)c o s(
c o sc o s
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)c o s()s i n( c os
s i nc o s
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v
1
c o s-
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,
c o s
s i n
dv
,
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c o s
g
kd
v
vd
g
kd
v
vd
dkvvgddkvdvdvg
dgvdkvdvg
g
gkv
d
dv
gv
gkvv
ds
dv
d
ds
mg
v
m
mgm kv
dt
m
v
v
o
采用自然坐标系解作业目录
1
21
211
1
1
1
11
2
2
222
g
kv
k
kvg
kvgtg
k
kvgtgtg
k
tg
kvgtgtgk
kvgtgtgk
kvgtgtgkg
v
vd
ds
ds
dt
vgtgtgk
g
v
tgtg
g
k
vvg
kd
v
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o
o
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o
o
o
v
v
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c o s/
c o s/
ln]c o s/)l n [ (
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]c o s/)[(
d
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]c o s/)[(c o sc o sd
dt
]c o s/)([c o s
)(
c o sc o sc o sc o s
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-
-
c o s
c o s
作业目录
1
21
122
1
1
0
0
g
kv
k
t
gkvekgekgv
ekgvkgev
ev
ekgvkg
v
v
tg
ekgvkgv
evv
kt
kgv
kgv
kt
v
v
k dtdv
kgv
k dtdv
v
kvg
dt
dv
kv
dt
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o
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ktkt
o
kt
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kt
o
kt
o
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x
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)/s i n(/ s i n-
c os
)/s i n(/
)/s i n(/
c os
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/
ln
c os
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/
:
s i n
c o s
直角坐标系作业目录
)r/(θ
r/θθθr/θ
)r/θr/θ(rr/rrra
r/θr
r/θrrr-r a
r/θr/θ
r/rθr/θr/rθr/θ
rr r
r/θθrr,vr v,
)r/(θr/θr,
,
,r,
2
r
θr
22
22
222
2222
22
2222
2
222
2
22
21
，
，已知证
。，速度为位矢的加试证其沿位矢及垂直于是常数及式中及矢的速度分别为质点沿位矢及垂直于位作业目录
t
r
c t g
vv
t
r
c t g
vv
dt
r
c t g
v
dv
dt
r
c t g
v
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r
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dt
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ac t gatg
a
a
r
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dt
dv
a,tg
a
a
,
v
,,
,r,
o
o
tv
v
nt
t
n
nt
t
n
o
o
11
11
31
0
22
2
2
，已知解已知初速为规律求质点的速度随时间的保持不变量间的夹角其加速度矢量与速度矢的圆周运动质点沿半径为作业目录
]c t g α)θθe xp [ (vv
c t g)(
v
v
ln
dc t g
v
dv
dc t g
v
dv
v c t g
d
dv
v c t g
dt
d
v c t g
r
v
c t g
r
v
c t ga
dt
d
d
dv
dt
dv
,
.,0t,x
]c t g α)θθe xp [ (vv
,1,3 4.1
oo
o
o
v
v
2
n
o
oo
oo
证且当轴间的夹角式中为速度矢量与试证其速度可表示为题中在作业目录 1.5 小船 M 被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度 C2 朝岸上 A 点划回。假定河流速度
C1 沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。
)/c os ()/s i n (
)/c os ()/s i n (
ln
)/s i n ()/c os (
)/c os ()/s i n (
ln
s i n
s i n
ln
)/(
)/(
lnln
s i ns i n
s i n,c os,
,:
/C
2
222
222
22
22
2
2
1
1
2
1
2
1
2
121
12
oo
C
o
o
ooo
r
r
tg
tg
C
C
r
r
dc t g
C
C
r
dr
dc t g
C
C
r
dr
C
dt
d
rCC
dt
dr
vvv
CvCv
o
。，横向径向由牵连速度已知相对速度解牵相牵相
C2C1
roφo
M
φ
作业目录
。
，
，式中
，
12
11
11
11
11
11
11
2
2
22
22
22
22
222
222
22
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
CCk
rrr
r
r
oo
k
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k
o
k
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o
o
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ooo
o
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C
C
C
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C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
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/
/
)s i n ()c o s (
)c o s ()s i n (
)/s i n ()/c o s (
)/c o s ()/s i n (
)/s i n ()/c o s (
)/c o s ()/s i n (
ln
)/c o s ()/s i n (
)/c o s ()/s i n (
ln
)/s i n ()/c o s (
)/c o s ()/s i n (
ln ln
1
2
C
C
作业目录
c osa
c os
)c os(a
d
dx
dx
ds
d
ds
c os
ds
dx
)c os(a
d
dx
)s i n(ax
c osmg
v
mN
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dt
dv
Nc osmgNF
v
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s i nmgF
dt
dv
m
)c os(ay
)s i n(ax
θc osmg
m,
n
4
212
21222
21
22
2
61
22
由由方程采用自然坐标系动力学证：由平面曲线运动，
知圆滚线方程为：运动方向间的夹角。已为水平线和质点，式中为试求在任何一点的压力尖端无初速地下滑。的质点自光滑圆滚线的一质量为
mg
x
y
N θ
θ
作业目录
c os
c os
c os
c os
c os
c os)c os(
s i n
c osc os
s i n )c os(
mg
mg
a
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m
mg
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ds
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ds
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v
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ds
ds
dv
dt
dv
amg
v
mN
g
dt
dv
ay
2
4
4
42122
00
2
4
21
2
2
22
2
2
所以压力
，
。，
，，
作业目录
a
e)a(K
a
Ke
a
)a(Ke
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)a(m a K evamJ
ma
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v
a
v
m
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r
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E J a m )(
)(
,0,K
r
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,
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1
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1
1
11
002
1
1
2
1
71
2
2222
2
2
2
2
2
对中心动量矩：
。，，选柱坐标系解：
。及能量的圆运动的动量矩的粒子作半径为求质量为律相比较；达式，并与平方反比定中子与质子间的引力表试求，形式的势能如下子与质子间的引力具有根据汤川核力理论，中作业目录
4
44
34340
34
444
34
4
3434
41
34
443
33
3
222
3
2
33
2
/])/()[(
//)()(
/)(]/)([
)(
,
/)(/
)/(
/ /
gtrrtrv
grgtrvtr
gtrvtr
dt
d
u
F
dt
dm
u
dt
vmd
trmtrrKr
rKrrrr
dt
rd
dt
dm
rKKS
dt
dm
rmrV
rSr
ooo
ooo
oo
oo
本题变质量动力学方程常数根据题意：；雨滴质量，雨滴体积
，雨滴表面积，、设雨滴半径为解：
1.8 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。
作业目录
§ 2 拉格朗日运动方程作业目录 2.1 证明受阻尼的一维（沿 x 方向）
谐振子的拉氏函数可写成,?
22
2
1
2
1 kqqmeL t?
221
0
22
2
22
22
2
//
ln
)(
)( )( )(
,L
,
o
kqqmeLA
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m
k
f
df
qkfqm
dt
df
q
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f
q
L
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d
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L
dt
df
q
L
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L
dt
d
q
L
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d
f
q
L
dt
df
q
L
tf
dt
d
q
L
dt
d
q
L
tf
q
L
q
L
tf
q
L
LtfL
qk
q
L
q
L
dt
dqkqm
/qkRq-kF
t
t
ooo
ooo
oo
o
oo
可取
，，新满足设原瑞利耗散函数阻尼力证作业目录
crcccrcccrc
crrcrrrl
l
rr
l
rr
l
rry
rc
l
ry
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C
C
CCi
i
i
///
/c o sc o s/s i nc o s
]c o sc o ss i n[
]c o sc o ss i n[
c o sc o ss i ns i n
c o ss i nc o s
）（）（）（
）（
）（
。，）（
平衡条件：
所唯一确定。水平方向夹角证：杆的位置可由杆与
2222222
22222
22
22
24282422
4422284
0
2
22
0
2
22
2
22
2
2
2
0
2.2 半径为 r 的光滑半球形碗,固定在水平面上,一匀质棒斜靠在碗缘,一端在碗内,一端在碗外,在碗内的长度为 c,
试证棒的全长为 4( c2 - 2r2 ) / c,
mg
c
2r
C
y
o
作业目录
B T T
W
A
D
x
l
l l
l
C
y
α α
2.3 长度同为 l 的轻棒 4 根,光滑地联成一菱形 ABCD,
AB,AD 两边支于同一水平线上相距为 2a 的两根钉上,
BD 间则用一轻绳联结,C点上系一重物 W,设 A点的顶角为 2a,试用虚功原理求绳中张力,
)c s c(/s e cc s c
c o s)c s cs i n()(
c s cs i n
c o s c o s
c o s
s i ns i n
1
:
32
2
2
2
12
0221
2
2
0
0
l
a
W t glaW t gT
TlalW
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lxlx
ac t gly
lxlx
xTxTyW
rδF
T
C
DB
C
DB
DBC
i
i
i
得：代入
）（
，，
，，
）（
由虚功原理：
为广义坐标。选虚功原理，，且视为主动力后采用去掉绳，代之以力解
作业目录
θ r
α
x
z
yo
常数。为循环坐标，
拉氏函数：
面为零势能）（以势能：
动能：
标系）：质点的绝对速度（柱坐解：
方程。程求此质点的运动微分日方为广义坐标，由拉格朗，的圆锥面内运动。试以被约束在半顶角为受重力作用的质点设质量为
2
22222
22222
2222222222
mr
t
L
m g r c t g)c t grrr(m
2
1
L
xyO m g r c t gm g zU
)c t grrr(m
2
1
T
c t grrrzrrv
c t grzr c t gz
r
,,m 4.2
作业目录常数或拉氏方程：
，
拉氏函数：
2
22
22
22
22
22222
0
0
0
0
2
1
mr
grr
g c t grr
m g c t gmrc t grmrm
r
L
r
L
d
d
m g c t gmr
r
L
c t grmrm
r
L
m g r c t gc t grrrm
c o ss i ns i n
c s c
)(L
作业目录
§ 3 两体问题作业目录
dr
pd
2
mh
F
)p(d
2
mh
)2/pmh(d
)2/mv(dF d rrdF
hpvvph
c osrvrh
pc osrc osvrv
,1
p
rh r m
dr
)p(d
2
mh
F 1.3
22
2
2
22
2
1
2
2
22
）（
故：
动能定理：
。，
选取极坐标系解：方法直距离。为力心到轨道切线的垂常数，为质点到力心的距离，为质点质量，式中公式：试导出下面有心力量值
θ
p
vθ vr
v
O
r
θ
作业目录
dr
pdmh
r
h
rmrrmFF
dr
pdh
r
h
dtr
pdh
r
h
r
dt
pdh
r
r
h
rr
p
h
r
h
r
r
h
rrrv
p
h
vθrh
r
)(
)(
)()(
)(
2
,,
,
22
3
2
2
22
3
222
3
2
22
3
2
2
2
2
2
2
2
2
22222
2
2
22
2
2
所以在极坐标中方法作业目录
5
22
4
2222
2
1
r
mha8
r
a4
dr
d
2
mh
dr
)p(d
2
mh
F
r
a2
p
r
a2
p
r
,c o srp,c o sa2 r,
,
,,)b(;
,,)a(
:,1.3 2.3
且极坐标中圆方程为证明立方成反比则力与距离而其极点即力心如质点走一对数螺旋五次方成反比则力与距离同时力心位于此圆上如质点走一圆周证明的结果试利用作业目录
)1k(
r
mh
r
1
)1k(
dr
d
2
mh
r
1
)rrk(
dr
d
2
mh
r
1
r
d
dr
dr
d
2
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dr
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2
mh
F
r
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r
d
dr
r
r
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.
p
h
v,rh,krke
d
dr
er,)b(,
,
,,)b(
:,1.3 2.3
2
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2
2
2
2
4
222
2
4
2
2
222
4
2
2
2
22
2
2222
2kk
对数螺旋证明立方成反比则力与距离而其极点即力心如质点走一对数螺旋证明的结果试利用作业目录
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
2
322
32
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
2
32
2
h
uk
d
ud
h
u
h
v
1
d
ud
u
h
v
h
u
d
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vuu
r
v
r
u
d
ud
uh
A
hAk
e
hk
a
h
vh
k
kc ose1
a
r
hv v
r
v
r
mF 3.3
证明：比耐公式为积分常数）（，，式中
，试证明之。
，则其轨道方程可写成都是常数，并且和式中
，为质点所受的有心力如果作业目录
ke
a
k
hAk
hk
hk
kA
u
r
hk
kA
hk
u
AkA
k
d
d
hk
u
h
uk
d
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c os
c osc os
c os
),c os (
,
1
1
11
0
0
2
22
2
22
22
2
22
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
。为积分常数，取设作业目录
mg
vθ l
,
lkg
l
π2
k
22
)k ( )tc os (eA
,l/gk,l/g
0l/gk2
kl2gl s i n l
dt
dv
m kl2s i nmg
dt
dv
m
.
lkg
l
π2
l/gk k l
m θm kl2-R
4.3
2
22
o
22
o
t
o
22
2
2
故周期其中方程的解为情况即阻力较小时在设标准阻尼振动方程
，
解：取自然坐标系单摆的周期为时，为比例常数。试证当为摆长，的质量，
是摆锤，式中写成故阻力与成正比，且可很小，质中振动，并假定振幅假定单摆在有阻力的媒
作业目录 3,5 证明 e 与能量 E 的关系。
2
22
1 mEhe
2
2
24
222
1
24
2
121
24
2
222
2
2242
2
2
2
222
2
2
222
2
1
2
2
0
222
2
11
2
1
00
1111
2
1
m
Eh
mh
E
h
hh
Ce
mh
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C
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Cu
mh
E
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E
u
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muumhmuuh
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h
d
du
udt
d
d
du
udt
du
udt
dr
rhu
r
u
r
h
r
m
rrmE
)(
,
)(
近日点近日点：
令
，证：系统能量为
u = (C1 cosθ+μ/h2 )
作业目录 3.6 质量为 m 的质点在场 U = - a / r 中的运动并有能量
E = 0,试求坐标对时间的依赖关系。
dpdrmlp
p
m
m
l
r
m
mr
l
rmmr
l
rUE
m
,/
)()(
l
r
r d r
dr
)(
dr
t,
2
2
22
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
令解作业目录
o
3
3
2
3
2
2
2
2
t)(
mp
2
1
)d(1
mp
2
1
d)(1
2
p
)(
d)p(1
2
p
t:
,/
)()(
l
r
r d r
t,
3
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
p
mm
l
m
l
dpdrmlp
p
m
m
l
r
m
则令解
3.6 质量为 m 的质点在场 U = - a / r 中的运动并有能量
E = 0,试求坐标对时间的依赖关系。
作业目录 3.7 试求粒子在半径为 a 的刚性上散射的有效截面
2
4
0
2
2
4
422
2
22
22
ad
a
d
a
d
a
a
d
d
d
d
a
d
d
aa
s i n
s i n
c o s
s i n
s i n
c o ss i n
ar
ar 0
U,解：势能为
φ ρ
ψ
作业目录 3.8 试求粒子在势能 U = - a / r2 的中心力场作用下瞄准距离和 散射角之间的关系。
）（
令
，
满足方程：
解：质点总能量为
m i n
r
m i n
rr
r
m i n
rr
m i n
rrr
2
x
x
2
x
x
2
o
2
2
2
r
2
2
2
o
2
m i n222
2
m i n
2
xx
E
a
1
1
E
a
dx
E
a
xs i n
xd xs i n
E
a
r
dr
xd xs i n
E
a
r
1
xc o s
r
dr
E
a
r
1
1
E
a
r0
rmv
a2
r
-1 r
2/mvE
作业目录
22
o
2
o
m i n
rrr
2
o
E
a
1
1
1
E
a
1
1
2
E
a
12
1
0 x 1xc o s rr
2/ x 0xc o s r
xx
E
a
1
1
m i n
。，，；，，
）（
作业目录
§ 4 刚体作业目录
s i nmg
dt
d
ma
5
2
dt
dv
m
dt
d
ma
5
2
fa
0αc o sN - m g y
s i nmgf
dt
dv
m x
f N mg
s i ng5
a ω2V5
tg
7
2
a V α
V,a 1.4
2
转动：
方向：
方向：
。，摩擦力支持力，重力解：受力：
的时候，球将停止。试证经过
。的趋势，且摩擦系数的方向有使球向下滚动
，其中面向上滚动。如的斜面上，使其沿着斜抛掷于一倾角为及初角速以初速得球半径为
v
mg
f
N
y
x
o α
ω
作业目录
s i ng5
a2V5
t
s i ngta
5
2
V
dts i ngad
5
2
dv
dts i ngad
5
2
dv
s i nmg
dt
d
ma
5
2
dt
dv
m
t
0
00
V
作业目录
tg
7
2
0
s i n2/c os7
aV
t
ac osgt
2
5
gt)s i nc os(V
a)t()t(vtt
c osgt
2
5
)t(
dt
d
ma
5
2
c osmg
gt)s i nc os(V)t(v
s i nmgc osmg
dt
dv
m
111
2
时，无滑动滚动，即当作业目录
s i nlc o sly
c o sls i nlx
c o sly
s i nlx
s i nly
c o slx
ml
3
1
I
C l2
s i n
3
2
s i n
2.4
2
C
2
C
C
C
C
C
2
C
1
。转动的转动惯量为棒绕质心，设棒长为证明：
离，试证明之。
时，棒将与墙分为滑，则棒与地面的倾角下，如任其自此位置开始为墙上，且棒与地面倾角滑面上，另一端则靠在光棒的一端置于光滑水平
mg
o x
y
N1
N2
C
l
l
θ
作业目录
s i ns i n)s i ns i n(c os
c os)s i n( s i ns i nc os
)c oss i n(
)s i n( s i nc os
c osc osc os
c os)s i nc os(s i n)c oss i n(
c os)(s i n
c oss i n
s i nc osc oss i n
3
2
023
4
3
2
3
4
3
3
2
3
4
3
4
3
4
3
1
3
1
3
1
1
2
2
2
0
22
2
12
12
22
mg
gmgm
llmxmN
gldgdl
dgdlglgll
glllll
mgymlxlmml
lNlNMI
mgNymyNxmx
llyllx
C
CC
CC
CC
CC
（顺时针为正）转动：
，方向：，方向：
，
作业目录
0
2
1
22
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
23
1
3
2
3
2
oo
d
l
g
dd
d
l
g
dd
g
dt
ld
lgyl
mgymlmllNI
l
g
ggl
θ
C
CC
oo
c os)c os(c os
c os)c os(c os
c os
)c os(
c os)(
c os)(c os
:,
0,,
s i n
s i n)s i n( s i n
,,s i ns i n,,:
c o s
动力学方程为棒与墙分离后棒落地时棒与墙刚分离时解
4.3 试研究 4.2 中棒与墙分离后的运动,并求棒落地时的角速度 Ω
作业目录
9
1
2
3
9
1
2
3
3
2
4
1
3
2
4
1
12
1
3
2
3
2
22
1
2
1
6
1
3
2
2
1
6
1
2
1
6
1
0
2
1
6
1
3
1
232
22
2
2
2
22
222
22222
0
2
s i ns i ns i ns i n
s i ns i n
s i ns i n
s i n
s i nc os
)s i n( s i n)c os()(
c os)c os(c os
/s i n,/s i ns i n
c o s
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
d
l
g
dd
lg
o
oo
oo
o
oo
作业目录常矢量。，即：又：
常数。，所以，）式：则（
的动能为：
体对定点转动时量主轴为坐标轴，则刚若选固定于刚体上的惯
）（
得：
）（
）（
）（
故欧勒动力学方程为：
潘索情况下：证：在欧勒
LM
dt
Ld
MMMM
T
dt
dT
III
III
dt
d
III
IIIIIIIII
III
III
III
zyx
zzyyxx
zzyyxxzzzyyyxxx
yxxzzyzyxzzzyyyxxx
zyx
yxyxzz
xzxzyy
zyzyxx
000
04
2
1
0
2
1
0
0
321
0
0
0
222
222
)(T
4 )(
)(
)()()(
( 3 )
( 2 )
( 1 )
4.4 试用欧勒动力学方程,证明在欧勒 -潘索情况中，动量矩及动能是常数。
作业目录 4.4 一个 I
1＝ I2≠I3 的刚体，绕其重心作定点运动。已知作用在刚体上的阻尼力是一力偶，位于转动瞬轴相垂直平面内，其力偶矩与瞬时角速度成正比，比例常数为 I3λ。
试证刚体的瞬时角速度在三惯量主轴上的分量为：
)( /:)(
( 3 ) I
( 2 ) I
( 1 ) I
)(IIM
I
n s i n
a c o s
3
3
3
33
3/
/
为积分常数得由
）（
）（
代入欧勒动力学方程：
，证：由
。而，
都是常数。，，式中
t
zzz
zz
yxzy
xzyx
zyx
t
z
tIIt
y
tIIt
x
edtd
I
III
III
IIIkji
e
I
I
e
n
ae
e
n
ae
3
3
132
311
321
1
1
13
13
作业目录
Cte
n
iidtnei
i
id
iineii
inei n ei
i
ne
ne
I
II
I
II
I
II
e
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xy
t
xy
xy
xyxy
t
xy
yxx
t
y
t
yx
yx
t
y
xy
t
x
yxzy
xzyx
t
z
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
x
1
3
1
3
I
I
)l n ()
I
I
(
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)(
I
I
)( )(
)(
I
I
),()(,,
( 7 )
I
I
)(
I
I
,
)()( ( 5 )
I
I
n ( 4 )
I
I
)()(
即：
令得式、代入并将设式，得：、代入
76
6
54
21
1
13
1
13
1
13
作业目录
tI
I
t
y
tI
I
t
x
ttI
I
t
e
n
i
I
I
t
xy
t
xy
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n
ae
e
n
ie
n
ae
eaei
Cte
n
ii
t
s i n
c os
s i nc os
I
I
ln
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
部与虚部相等，可得：由复数实部与实部，虚
）（
作业目录
§ 5 非惯性参考系作业目录
y’ x’
z’ z
x
y v
o
r
v?
.
2r
r
tg
vv
0
r
rA
vr0r0t
ts i n
v
)
2
tc os (
v
r)tc os (Ar0rr
rr2rr20rrv
j ri rikri rrvv
'z'y'Ox
O xyz
v
O Ox
O 1.5
o
o
2
2
2
2
o2
o
oo
2
22222
r
，
，，初始条件：
动坐标系为
，解：选固定坐标系为
？何种规律沿此直线运动应按的量值为常数，问此点速度动。如欲使此点的绝对点沿该直线运从位置时，有一质点开始当直线位于转动。端在一固定平面内绕其一一直线以匀角速作业目录
x
y
z o
ωk
N
mg
FC
mω2r
ωt
0ts i nmgrmrm
r
L
r
L
dt
d
ts i nm g r-)rr(m
2
1
UTL
ts i nm g rU
)rr(m
2
1
mv
2
1
T
rr v
rv
rv
v
a
m,
2.5
2
222
2222
2222
e
r
o
拉氏方程：
拉氏函数：
势能：
，动能：
故绝对速度有：
，牵连速度为
，质点相对于细管速度为解：体系为保守系。
动规律。，试求质点相对管的运度为
，质点相对管子速动轴距离为取水平方向，质点距转的质点。开始时，细管管中有一质量为转动匀角速轴以面内绕通过其一端水平一光滑细管可在竖直平作业目录
x
y
z o
ωk
N
mg
FC
mω2r
ωt
ts i n
2
g
ececr,
ts i n
2
g
,,ecec,
ts i ngrr
ts i nmgrmrm,r
v2mF
rm
N gm
v
a
m,
3.5
2
t
2
t
1
2
t
2
t
1
2
2
2
o
故方程通解非齐次方程特解齐次方程通解方向科氏力
，惯性离心力
，约束反作用力，重力解：受力分析：
动规律。，试求质点相对管的运度为
，质点相对管子速动轴距离为取水平方向，质点距转的质点。开始时，细管管中有一质量为转动匀角速轴以面内绕通过其一端水平一光滑细管可在竖直平
作业目录
t
e
v
ae
v
a
v
ac
v
ac
vr
ccar
t
tee
toto
o
o
o
tt
s i n
2
g
4
g
4
g
r
4
g
4
g
2
g
)cc(
s i n
2
g
ccr,
2
21
221
22
22
2121
2
1
2
1
2
1
2
1
0
所以时，在方程通解
作业目录
ya2xxxya2xxay4x
x
y
mgym
xmxm
dx
dy
tg
N
N
xm2Nzm
mgNym
xmNxm
kxm2i xmNjm g -rm
2
kxm2jyix(jm2vm2F
i xmrmF
N jm g -
1
a
ay4x
4.5
22
2
y
x
z
y
2
x
2
C
2
R
2
，
、动坐标系动力学方程
）科氏力
）（惯性离心力
，，约束力重力
、受力分析系解：选金属丝为动坐标力）为常数。（忽略摩擦阻式中
，已知抛物线方程为程。试求小环运动的微分方
mg
FR
N
FC
x
z
y
o
θω
作业目录
0242
048244
284
28422
4222
0244
244
2
22
22
2
2
2
2
24
22
22222
22223222
232322
3222
22222
22222
22
2
2
2
2
22
gyyayyayya
agyyayyayaya
xaxyayagxyx
xaxyaxyaxaxagxyx
xyaxyaxxyaxxyax
agxxaxxxxa
agxxxxxxaxa
gx
a
xxxx
xaxa
gxyxxaxa
a
x
x
y
mgym
xmxm
a
xxx
yyaxxx
a
xx
yyaxxayx
/)(
/)(
/
//
////
）（，
）（
，
作业目录
§ 6 多自由度体系的微振动作业目录 6.1 如图所示，求系统振动周期。 o
(x1,y1)
(x2,y2)
y
x
θ1
mg
mg
θ2
T1
T2
g
l
T
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
l
x
g
l
x
gx
l
x
g
l
x
gx
l
x
mg
l
x
mg
l
xx
m
l
x
mgxm
l
x
mg
l
x
mgxm
l
x
l
xx
l
x
mgTmgTmgT
Txm
TTxm
)(
)(
'
'
'
'
'
'
'
s i n,s i n
,
,
s i n
s i ns i n
:
22
222
22
0
22
2
022
02
22
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
112
2
1
1
12
2
1
1
212
222
22111
解作业目录 6.2 求二氧化碳分子的简正模式。
M Mm
k k
x1 x2 x3
.,
0)(
)(
)(
)c os (
)c os (
)c os (
:,
)(
)(
)(
:
)(
1
11
m
M
M
k
M
k
Mkk
kmkk
kMk
AMkkA
kAAmkkA
kAAMk
tAx
tAx
tAx
xxkxM
xxxkxm
xxkxM
uuuKuM
xxxxxx
nnnn
2
10
0
0
2
0
02
0
2
2
0
32
2
2
2
3
2
2
32
2
1
21
2
33
22
11
233
1232
121
11
3232
，，特征根设解运动方程久期方程：
。应广义坐标，平衡位置对，，选取为
作业目录为质心的速率。代表质心的运动，
，时，当
1
1321
1
3
1
2
1
11 0
C
CtCxxxAAA o )()()(
，，
时，当
2
2
3
2
1
2
2
2
0 CAAA
M
k
)()()(
)c o s (
)c o s (
2223
2
2221
0
tCx
x
tCx
，，
时，当
3
3
23
3
3
3
1
3
2
2
1
C
m
M
ACAA
m
M
M
k
)()()(
)c o s (
)c o s (
)c o s (
3333
3332
3331
2
tCx
tC
m
M
x
tCx
)c o s ()c o s (
)c o s (
)c o s ()c o s (
33322213
33312
33322211
2
tCtCtCCx
tC
m
M
tCCx
tCtCtCCx
o
o
o
为：三种模式都存在，通解作业目录
F mg
y
Ax
C θ
B
6.3 匀质棒 AB,质量为 m,长为 2a,其 A 端可在光滑水平导槽内运动,而棒本身又可在竖直面内绕 A点摆动,如除重力外,B 端还受有一水平力 F 的作用。试用拉氏方程求其运动方程。如摆动的角度很小，则又如何？
s i nmg- c o s ;
)s i nmg- c o s(
s i nmg- )c o s( r
s i n )c o s(r
c o s )s i n(r
2
)c o s(
s i n )c o s(
c o s )s i n(
B
B
B
aaFQFQ
aaFxF
aaxFrjmgiFQxQ
jaiax
jaiax
mKxaaxmIrmT
jaiaxr
jaiaxr
x
Cx
CC
C
C
2
2
2
22
22
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2222222
、用虚功求广义力求体系动能、解：
作业目录
( 2 ) s i nmg- c o s])(c o s[
s i nxma)s i nc o s(
,s i nxma,)c o s(
( 1 ) )s i nc o s(
),c o s(
.s i nmg- c o s ;;)c o s(
aaFKaxam
QmKxaxaam
Q
TT
dt
d
T
mKxaam
T
FQaaxm
x
T
x
T
dt
d
x
T
axm
x
T
x
aaFQFQ
mKxaaxmT
x
x
2
0
3
2
2
1
2
2
1
22
22
22
2
22222
坐标：
坐标：
、求运动方程作业目录
m
F
gax
amaFaaxam
aK
maa
m
mK
amaFKaxam
mFaax
aaFKaxam
Faaxm
2
3
4
2
3
1
3
1
3
1
2
12
2
4
2
22
22
222
22
2
22
2
g])([
I
g])([( 2 )
/( 1 )
( 2 )( 1 ) 1 c o s s i n
( 2 ) s i nmg- c o s])(c o s[
( 1 ) )s i nc o s(
C
）（
、代入，，、若摆动角很小，即作业目录
φθ
mg
C
R O
r
6.4 半径为 r 的匀质圆球，可在一具有水平轴半径为 R的固定圆柱的内表面滚动。试求圆球绕平衡位置作微振动的运动方程和周期。
2222
22
0
2
2
0
2
2
222
2222
)rR(mg
2
1
mR
5
1
)rR(m
2
1
UTL
)rR(mg
2
1
d
Ud
2
1
U
);rR(mg
d
Ud
,00s i n)rR(mg
d
dU
)c os1)(rR(mgU
mR
5
1
)rR(m
2
1
mr
5
2
2
1
)rR(m
2
1
T
RrRr
无滑动滚动：
，解：选广义坐标为作业目录
)rR(g
5/R2)rR(
2
2
T
5/R2)rR(
)rR(g
0
5/R2)rR(
)rR(g
0)rR(mgmR
5
2
)rR(m
LL
dt
d
.)rR(mg
L
,mR
5
2
)rR(m
L
)rR(mg
2
1
mR
5
1
)rR(m
2
1
L
22
22
22
22
22
2222
作业目录 6.5 如图所示，求系统振动周期。
21
22
2
2
21
22
1
2
212121
22
2
22
1
2
2
2211
2
2211
2
1
2
1
22
1
22
2
2
2
2
1
2
1
212212
1111
2
2
2
1
21
211
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
112
21
mlmlmlml
mlmlml
ml
mlyxmyxmT
llyllx
lylx
m glm gl
m glm gl
m glm glU
)(
)s i ns i nc os( c os)(
])s i ns i n()c osc os[(
)s i n( c os)()(
c osc oss i ns i n
c oss i n
)(
)c os()c os(
)c osc os()c os(
，
，，
解：
o
(x1,y1)
(x2,y2)
y
x
θ1
mg
mg
θ2
T1
T2
作业目录
g
l
T
l
g
l
g
l
g
lg
mlmlm gl
mlm glml
mlmlm gl
kjut
m gluuum glu
mltmltmltmlt
jkjk
)(
)(
)(
)(
)/(
)()(
)(
22
2
22
22
12
2
2
02
0
22
210
002
2
222
222222
2222
2222
2
22211211
2
22
2
21
2
12
2
11
，，本征方程：
。，，，；，，，
作业目录 6.6 题 6.5 中,如双摆的上端不是系在固定点 O 上,而是系在一个套在光滑水平杆上,质量为 2m 的小环上,
小环可沿水平杆滑动,试求其运动方程和周期,
x
(x1,y1)
(x2,y2)
x
θ1
mg
mg
θ2
T1
T2
2mg
2
2
2
1
21
2
21
2
2
22
1
22
21
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
212212
1111
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
4
2
1
2
1
2
1
4
2
1
2
1
2
1
2
2
1
m glm glU
mlxmlxmlmlmlxm
xxmxxmyxmyxmxmT
yxxmyxxmxmT
llyllx
lylx
)(
)()(
)()()(
])[(])[()(
c osc oss i ns i n
c oss i n
x
1
，
，，
，，解：选广义坐标为作业目录;
))(()(
-
u t
22
222
222
222
222
222
222
2
g
l
T
l
g
g
l
T
l
g
glgl
glll
lgll
mlm g lmlml
mlmlm g lml
mlmlm
ut
m g l
m g l
mlmlml
mlmlml
mlmlm
jkjk
2211
22
22
22
22
22
04022
24
0222
24
0
00
020
000
22
24
本征方程：
，
作业目录
glgl
m g lmllmm g lmlm
m g lmlmlml
mlm g lmlml
mlmlm
BA
m g l
m g lB
mlmlml
mlmlml
mlmlm
A
m g lm g lU
mlxmlxmlmlmlxm
4
043
0
2222
2
22
200
00
000
222
2
22
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
4
2
1
21
22222
22
22
22
22
2
2
2
1
21
2
21
2
2
22
1
22
//
/)()(
////
/
/
////
/
/
)(
)()( T
，
，
解：采用简正坐标作业目录
§ 7 经典力学的哈密顿理论作业目录
m
Aqp
vAqvmp
qAzm
z
L
pqAym
y
L
pqAxm
x
L
p
p
L
vq
A
qmv
vAvAvAqqzyxm
vAqqmvvAqqTL
zzyyxx
j
zzyyxx
,,
q
)( )(
j
。，故速度解：以粒子速度为广义它的哈密顿函数。为矢量势。试由此写出为标量势，
为粒子所带电荷，为粒子的质量，为粒子的速度，其中
222
2
2
1
2
1
7.1 已知一带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数 L 为作业目录
qAqp
m
q
m
Aqp
m
qmvvAqqmvvAqmv
vAqqmv
zqAzmyqAymxqAxmLqpH
m
Aqp
vvAqqmvL
zyx
j
jj
2
2
222
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
)()()(
，
作业目录
Urp
m
p
U
m
p
rp
m
p
U
m
p
rvp
U
m
p
vpLzpypxpH
vmprvv
UTLU
m
p
mvT
zqyqxq
zqyqxq
rzyx
r
)(
)()(
2
22
2
22
1
2
222
2
2
2
321
321
，质点速度：
，，质点势能：质点动能：
。，，广义速度为：；，，解：选广义坐标为：
7.2 试写出自由质点在作匀速转动的坐标系中哈密顿函数的表达式。
作业目录
,),c os(
,c os)c os(s i n
c osc oss i n
c os)c osc os()s i n(
.,
c os
s i nc oss i n
c oss i ns i n
,
.c os)(
xz
zx
zzx
zx
zyx
z
y
x
zzyyxx
I
L
pI
L
p
II
III
L
p
θM g l
II
L
III
M g lUIIIT
qqq
2
22
222222
222
321
2
22
2
1
且欧勒运动方程
，势能：动能：
。，，解：选广义坐标：
7.3 试写出拉格朗日陀螺的哈密顿函数 H，并求出它的三个第一积分。
作业目录
CIp
CIIp
EθM gl
II
t
θM gl
I
p
I
pp
I
p
θM gl
I
pI
I
pp
I
pI
H
I
pp
I
p
I
p
θM gl
II
L
z
zx
zx
zxx
z
z
xx
x
xzx
zx
)c o s(
c o s)c o s(s i n
c o s)c o s()s i n(
c o s
s i n
)c o s(
c o s
s i n
c o s
s i n
c o s
s i nc o s
c o s)c o s()s i n(
是循环坐标，
是循环坐标，
是循环坐标，
，，
2
2222
2
2
2
2
222
2222
22
222
22
22
作业目录 7.4 质量为 m 的小环 M,套在半径为 a 的光滑圆圈上,并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速 ω绕圈上某点 o 转动,试用哈密顿正则方程求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程,
)/(c os)/(c os/
/)]/s i n ()/c os ([
/)]/c os ()/c os ( [/
)/s i n ()/c os (
t)]/c os ()/c os ( [
)/s i n (t)/c os (t
)/c os ( 0U
22222
2222
22222
222
222
22
22
2222222
2
22
mamama
am
aammvUTL
na
aa
nvva
vvv
avav
牵牵牵相牵相
，，设数，为广义坐标，势能为常解：选
o
M
θ
v相
v 牵
xz
y
ω
作业目录
c o ss i ns i n
s i n)c o s(
s i nc o s
c o sc o sc o s
c o sc o s
c o sc o s
c o sc o s
22
222
2
2
2222
2
2
22222
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
222
2222222
2
1
1
2
1
2
2
2
2
22
22
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
map
H
p
map
ma
p
map
ma
p
ma
ma
p
ma
ma
p
map
ma
p
LpH
ma
p
mama
L
p
mamamaL
正则方程：
作业目录
0
0
2
2
2
222
22
22222
22222
22
2
2
2
2
22
s i n
s i n
c o ss i ns i n
s i nc o ss i ns i n
s i nc o ss i ns i n
s i n
s i n
c o sc o s
c o ss i ns i n
mama
map
mamapma
mamapmap
mamap
ma
p
ma
p
ma
p
map
H
p正则方程：
作业目录
。，，，
，，，，，，同理：
，
，
，，，解：
][ ][
][ ][ ][
][
][
xyzzxy
yzxyxzxzy
z
n
i i
y
iz
x
iz
y
i
x
n
i i
y
iy
x
iy
y
i
x
n
i i
y
ix
x
ix
y
i
x
yx
n
i i
x
iz
x
iz
x
i
x
n
i i
x
iy
x
iy
x
i
x
n
i i
x
ix
x
ix
x
i
x
xx
n
i
ixiiyiz
n
i
iziixiy
n
i
iyiizix
ppLppL
ppLppLppL
p
z
p
p
L
p
p
z
L
y
p
p
L
p
p
y
L
x
p
p
L
p
p
x
L
pL
z
p
p
L
p
p
z
L
y
p
p
L
p
p
y
L
x
p
p
L
p
p
x
L
pL
pypxLpxpzLpzpyL
0
7.5 试求由质点组动量 P 和角动量 J 的笛卡尔分量所组成的泊松括号。
作业目录7.6 试用哈密顿原理解 7.4 题,
0
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
1
2
222
22222
222
222222
2222222
s i n
s i n
s i ns i ns i n
c o s
s i ns i nc o s
c o sc o s
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
o
o
o
o
o
dtmama
dtmamamama
mama
dtmamamama
L dt
mamamaL
哈密顿原理：
解：
作业目录
) Q (,Q
q
L
q
L
dt
d
Q
q
T
q
T
dt
d
0dt]qQ)t,q,q(T[S
,8.7
'
j
'
j
jj
j
jj
t
t
jjjj
2
1
为非有势力其中或导出拉格朗日方程：
，
哈密顿原理试用完整非保守力系的
7.7 若拉格朗日函数为试用哈密顿原理导出完整保守力系的拉格朗日方程：
),,,,( tqqqqqqLL ss 2121?
0?
jj q
L
q
L
dt
d
作业目录
θ r
α
x
z
yo 常数。
哈密顿原理：
解：拉氏函数：
题。试用哈密顿原理解
222
t
t
2
t
t
22
t
t
22
t
t
22
t
t
222
t
t
222
t
t
22222
t
t
22222
r ;0)g c t gr(r s e c
)r(mdr d t)]g c t gr(mr s e cm[
])r(d)r(d[m
r d t)g c t gr(m]r d tr)rr(d[s e cm
dt]rr)g c t gr(rr [ s e cm
dt]rm g c t g)rc t grrrrrr(m[
dtm g r c t g)c t grrr(m
2
1
L d t
m g r c t g)c t grrr(m
2
1
L
4.2 9.7
oo
o
o
o
o
oo
作业目录换。的显函数，故为正则变不是母函数
：方法证：
为一正则变换。，试证
t F
dF)q c t gppq(d
)q c t gp(d)pq(d
p d pc s cqc t g p d q)pq(d
c t g p d qp d pc t g qq d pq d pp d q
c t g p d qp d pc t g qp d q
dq
q
1
dp
ps i n
pc os
c t g p qp d qp d q - P d Q
1
c t g p qP
q
ps i n
lnQ 10.7
2
2
2
作业目录为一正则变换。，故
，
，
，：方法证：
为一正则变换。，试证
c t g p qP
q
ps i n
lnQ
0
q
P
p
P
p
P
q
P
]PP[
0
q
Q
p
Q
p
Q
q
Q
]QQ[
1
ps i n
pc os
ps i n
1
c t g p
ps i n
pc os
)pc s cq(
q
1
q
P
p
Q
p
P
q
Q
P][Q 2
c t g p qP
q
ps i n
lnQ 10.7
2
2
2
2
作业目录
Q
H
P
P
H
Q0
t
F
HH
HQkPc osQk2Ps i nQk2
2
1
qkp
2
1
H
)PPc osP( s i nQF
dF)]PPc osP( s i nQ[d
P d QP d Ps i nQ2P d Qc osPs i n
P d QP d Ps i n
k
2Q
P d Qc os
2Q k
1
Ps i nQk2P d Qp d q
kQHqkp
2
1
H
Q
H
P
P
H
Q
q
H
p
p
H
q
Ps i nQk2pPc os
k
2Q
q 11.7
**
*
*22222
2
*222
**
，
）（）（
换。为母函数，故为正则变证：
。），（式中
。，变为，
正则方程代表一正则变换，并将
，证变换方程作业目录
PQmg
2
1
PQmg
2
1
gQ
2
1
mg
P
mg
m2
)m gQ(
)Q,P(HH
t gQ
2
1
mg
P
q
m gqQmg
2
1
Q
F
Pm gQ
q
F
p
m gq
m2
p
Hm gqU qm
2
1
T
g
Q q
),qQ6/m g( gQF
12.7
2222
2
2
*
2
22
2
2
3
，故。因为变换关系不显含
，
，写出正则方程将母函数进行正则变换；，，势能解：动能为重力加速度。义坐标，
为变换后的新广坐标，为确定物体位置的广义式中题的母函数的运动规律。已知本问体则方程求竖直上抛的物试利用正则变换，由正
作业目录
22
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
22
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
0
2
1
00
2
1
2
1
0
1
2
1
gttv
g
v
tg
g
v
q
mvc
g
v
c
vgc
gc
mg
c
vqqt
ctg
mg
c
gQ
mg
P
q
cP
Q
H
P
ctQ
P
H
Q
PHgQ
mg
P
q
o
oo
o
o
o
o
)(
)(
*
*
*
，，初始条件：
运动方程新的正则方程：
，
作业目录
2
2
111
2
2
1y
2
1
y
11x1
x
yx
2
2
2
2
yx
2
y
2
x
2
y
2
x
21
cdya)m gyE(m2cxaW
cdya)m gyE(m2Wa)m gyE(m2
dy
dW
cxaWa
dx
dW
WWW
y
W
)m gyE(m2
x
W
Em gy
y
W
x
W
m2
1
y
W
p
x
W
pEm gy)pp(
m2
1
H
m gyU)pp(
m2
1
T
yqxq
- 13.7
。可分离变量，设
），（；，；，解：选广义坐标：
。真空中运动的轨道方程雅可毕方程求抛射体在试用哈密顿
作业目录
）（抛物线方程故：
，
。，，初始条件：
c o s/
s i nc o sc o ss i n
/c o ss i n
c o s)/(c o s
/c o s
c o s
)(
)(
)(
o
o
o
o
θvgxx t gy
gm
gymvmmv
x
g
v
cgv
c
gm
vmmvmmv
mvEmvxmpa
vxyxt
c
gm
am g yEma
x
dy
am g yEm
a
x
a
W
a
S
cdyam g yEmcxaW
o
o
o
o
oo
ox
222
2
2222
2
3
2
32
2222
2
1
32
2
11
2
1
1
11
2
2
111
2
2
022
0
2
00
2
2
2
2
1
2
作业目录 7.14 试用哈 - 雅方程求行星绕太阳运动时轨道方程。
caWap
E
r
G M m
rd
dW
dr
dW
m
H
d
dW
p
dr
dW
pWWEtS
E
r
G M m
r
p
p
m
H
mr
p
mr
L
p
m
p
rrm
r
L
p
r
G M m
rrmL
r
G M m
UrrmT
mr
r
r
rr
r
r
r
（常数）为循环坐标，因雅方程：故哈
，，，设主函数：
总能量
。；
，，
引力常数为太阳为设行星为解：采用极坐标
2
22
2
2
2
2
2
222222
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)()(
)()(
.G,M,),,(
作业目录
2422
22
1
2422
22
2422
22
1
2422
22
1
2422
22
1
2422
22
1
2
22
2
22
2
22
2
2
2
22
22
2
00
22
2
1
2
2
2
2
22
1
m E amMGr
rG M ma
m E amMGr
arG M m
m E amMGr
rG M ma
m E amMGr
rG M ma
c
m E amMGr
rG M ma
rrt
c
m E amMGr
rG M ma
r
a
r
G M m
mE
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a
S
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r
a
r
G M m
mEaEtS
dr
r
a
r
G M m
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r
G M m
mr
a
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dW
m
r
r
m i n
m i n
m i n
m i n
m i n
m i n
m i n
s i ns i n
s i ns i n
s i n,,:
s i n
/
初始条件
，
作业目录
/e
c os/
/
c os
s i n
s i n
s i ns i n
s i ns i n
m i n
m i n
m i n
m i n
m i n
m i n
m i n
G M mEa
G M mEa
G M ma
m E amMGG M m
a
m E amMGG M m
a
r
rr
m E amMGr
rG M ma
m E amMGr
rG M ma
m E amMGG M m
a
r
m E amMGr
rG M ma
m E amMGr
arG M m
2
2
22
24222
2
24222
2
2422
22
1
2422
22
124222
2
2422
22
1
2422
22
21
211
2
2
2
2
2
2
2
22
。时，当作业目录
§ 8 哈密顿理论在物理学中的应用作业目录 8.1 一质点质量为 m,在有心力场中运动，其势能为
U = mkr3 (k > 0)。如果质点在作 r = a 的圆周运动时受到一径向微小扰动，求质点在圆轨道附近振动的周期。
( 3 ) )(
)(
,)(
.,,
( 2 ) )(
0,r,,
( 1 ) )(
)(
)()(
xaF
xa
mh
rm
xrx,xar
aF
a
mh
avhar
rF
r
mh
rm
hr
rFrrm
3
2
3
2
3
2
2
2
1
式有代入此时有为小量质点受径向微扰圆周运动时当质点作常数程为解：质点运动的微分方作业目录
ka
Tka
k axxm ka xxm
xm ka
a
x
m kaxm
m kr
dr
dF
m kr
dr
dU
-Fm krU
x
dr
dF
a
x
aFxm
x
dr
dF
aF
a
x
a
mh
xm
xaF
xa
mh
xmaF
a
mh
15
22
15
015015
6
3
34
63
3
3
1
2
23
3
2
3
2
3
2
)(
.,,
( 4 ) )(
)(
)(
)(
),(
ar
ar
式，可得：代入
§ 1 牛顿动力学方程
§ 2 拉格朗日运动方程
§ 3 两体问题
§ 4 刚体
§ 5 非惯性参考系
§ 6 多自由度体系的微振动
§ 8 经典力学的哈密顿理论
§ 9 哈密顿理论在物理学中的应用
§ 10 流体作业目录
v
v
v
0s i nc o s
c o ss i noss i ns i n
s i nc o sc o sc o ss i n
v
v
v
r
z
y
x
s i nr
r
r
0s i nc o s
c o ss i noss i ns i n
s i nc o sc o sc o ss i n
v
v
v
z
y
x
c o srz
s i ns i nry
c o ss i nrx
,
球坐标系
§ 1 牛顿动力学方程作业目录
s i n)c oss i nrr2r(
c os)s i nrrr(
s i n)r2r(c os)rr(a
) s i ns i nr2c os2rs i n(r-
c osc os)c oss i nrr2r(
c oss i n)s i nrrr(
) s i ns i nr2c os2rs i n(r-
c osc os)r2r(c oss i n)rrr(a
2
222
2
z
2
222
22
x
作业目录
c o ss i ns i n
c o ss i n
s i n
s i n
s i n
s i n
c o s
s i ns i n
c o ss i n
rrra
rrra
rrra
rrrv
rv
rv
rv
rH
rH
H
rz
ry
rx
r
r
r
22
2
1
2
222
2222222
球坐标系作业目录 1.1 质点所受空气阻力为 f
= mkv,试求质点的速度与水平线夹角为 α时所需的时间。 mg
vv
o
y
o x
v
α
222222
22
2
2
2
c o sc o s
)c o s(
c o sc o s
)c o s(
)c o s()s i n( c os
s i nc o s
c o s
s i n
v
1
c o s-
ds
d
s i n
,
c o s
s i n
dv
,
c o s
c o s
g
kd
v
vd
g
kd
v
vd
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dgvdkvdvg
g
gkv
d
dv
gv
gkvv
ds
dv
d
ds
mg
v
m
mgm kv
dt
m
v
v
o
采用自然坐标系解作业目录
1
21
211
1
1
1
11
2
2
222
g
kv
k
kvg
kvgtg
k
kvgtgtg
k
tg
kvgtgtgk
kvgtgtgk
kvgtgtgkg
v
vd
ds
ds
dt
vgtgtgk
g
v
tgtg
g
k
vvg
kd
v
vd
o
o
o
o
o
o
o
o
o
v
v
o
s i n
ln
c o s/
c o s/
ln]c o s/)l n [ (
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]c o s/)[(
d
]c o s/)[(c o s
t
]c o s/)[(c o sc o sd
dt
]c o s/)([c o s
)(
c o sc o sc o sc o s
)c o s(
-
-
c o s
c o s
作业目录
1
21
122
1
1
0
0
g
kv
k
t
gkvekgekgv
ekgvkgev
ev
ekgvkg
v
v
tg
ekgvkgv
evv
kt
kgv
kgv
kt
v
v
k dtdv
kgv
k dtdv
v
kvg
dt
dv
kv
dt
dv
o
o
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o
kt
o
kt
o
kt
o
kt
o
x
y
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o
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x
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y
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x
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x
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)/s i n(/ s i n-
c os
)/s i n(/
)/s i n(/
c os
/s i n
/
ln
c os
ln
/
:
s i n
c o s
直角坐标系作业目录
)r/(θ
r/θθθr/θ
)r/θr/θ(rr/rrra
r/θr
r/θrrr-r a
r/θr/θ
r/rθr/θr/rθr/θ
rr r
r/θθrr,vr v,
)r/(θr/θr,
,
,r,
2
r
θr
22
22
222
2222
22
2222
2
222
2
22
21
，
，已知证
。，速度为位矢的加试证其沿位矢及垂直于是常数及式中及矢的速度分别为质点沿位矢及垂直于位作业目录
t
r
c t g
vv
t
r
c t g
vv
dt
r
c t g
v
dv
dt
r
c t g
v
dv
r
v
c t g
dt
dv
ac t gatg
a
a
r
v
a
dt
dv
a,tg
a
a
,
v
,,
,r,
o
o
tv
v
nt
t
n
nt
t
n
o
o
11
11
31
0
22
2
2
，已知解已知初速为规律求质点的速度随时间的保持不变量间的夹角其加速度矢量与速度矢的圆周运动质点沿半径为作业目录
]c t g α)θθe xp [ (vv
c t g)(
v
v
ln
dc t g
v
dv
dc t g
v
dv
v c t g
d
dv
v c t g
dt
d
v c t g
r
v
c t g
r
v
c t ga
dt
d
d
dv
dt
dv
,
.,0t,x
]c t g α)θθe xp [ (vv
,1,3 4.1
oo
o
o
v
v
2
n
o
oo
oo
证且当轴间的夹角式中为速度矢量与试证其速度可表示为题中在作业目录 1.5 小船 M 被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度 C2 朝岸上 A 点划回。假定河流速度
C1 沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。
)/c os ()/s i n (
)/c os ()/s i n (
ln
)/s i n ()/c os (
)/c os ()/s i n (
ln
s i n
s i n
ln
)/(
)/(
lnln
s i ns i n
s i n,c os,
,:
/C
2
222
222
22
22
2
2
1
1
2
1
2
1
2
121
12
oo
C
o
o
ooo
r
r
tg
tg
C
C
r
r
dc t g
C
C
r
dr
dc t g
C
C
r
dr
C
dt
d
rCC
dt
dr
vvv
CvCv
o
。，横向径向由牵连速度已知相对速度解牵相牵相
C2C1
roφo
M
φ
作业目录
。
，
，式中
，
12
11
11
11
11
11
11
2
2
22
22
22
22
222
222
22
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
CCk
rrr
r
r
oo
k
o
k
k
o
k
o
o
o
o
o
o
ooo
o
o
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
/
/
/
)s i n ()c o s (
)c o s ()s i n (
)/s i n ()/c o s (
)/c o s ()/s i n (
)/s i n ()/c o s (
)/c o s ()/s i n (
ln
)/c o s ()/s i n (
)/c o s ()/s i n (
ln
)/s i n ()/c o s (
)/c o s ()/s i n (
ln ln
1
2
C
C
作业目录
c osa
c os
)c os(a
d
dx
dx
ds
d
ds
c os
ds
dx
)c os(a
d
dx
)s i n(ax
c osmg
v
mN
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dt
dv
Nc osmgNF
v
m
s i nmgF
dt
dv
m
)c os(ay
)s i n(ax
θc osmg
m,
n
4
212
21222
21
22
2
61
22
由由方程采用自然坐标系动力学证：由平面曲线运动，
知圆滚线方程为：运动方向间的夹角。已为水平线和质点，式中为试求在任何一点的压力尖端无初速地下滑。的质点自光滑圆滚线的一质量为
mg
x
y
N θ
θ
作业目录
c os
c os
c os
c os
c os
c os)c os(
s i n
c osc os
s i n )c os(
mg
mg
a
ga
m
mg
v
mNP
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gy
v
gdyv dv
ds
dy
g
ds
dv
v
ds
dy
gg
ds
dv
v
dt
ds
ds
dv
dt
dv
amg
v
mN
g
dt
dv
ay
2
4
4
42122
00
2
4
21
2
2
22
2
2
所以压力
，
。，
，，
作业目录
a
e)a(K
a
Ke
a
)a(Ke
)r(VmvE
)a(m a K evamJ
ma
)a(Ke
v
a
v
m
a
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r
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E J a m )(
)(
,0,K
r
Ke
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,
rrr
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r
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r
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2
1
2
1
2
1
1
11
002
1
1
2
1
71
2
2222
2
2
2
2
2
对中心动量矩：
。，，选柱坐标系解：
。及能量的圆运动的动量矩的粒子作半径为求质量为律相比较；达式，并与平方反比定中子与质子间的引力表试求，形式的势能如下子与质子间的引力具有根据汤川核力理论，中作业目录
4
44
34340
34
444
34
4
3434
41
34
443
33
3
222
3
2
33
2
/])/()[(
//)()(
/)(]/)([
)(
,
/)(/
)/(
/ /
gtrrtrv
grgtrvtr
gtrvtr
dt
d
u
F
dt
dm
u
dt
vmd
trmtrrKr
rKrrrr
dt
rd
dt
dm
rKKS
dt
dm
rmrV
rSr
ooo
ooo
oo
oo
本题变质量动力学方程常数根据题意：；雨滴质量，雨滴体积
，雨滴表面积，、设雨滴半径为解：
1.8 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。
作业目录
§ 2 拉格朗日运动方程作业目录 2.1 证明受阻尼的一维（沿 x 方向）
谐振子的拉氏函数可写成,?
22
2
1
2
1 kqqmeL t?
221
0
22
2
22
22
2
//
ln
)(
)( )( )(
,L
,
o
kqqmeLA
AefCtfdtdt
m
k
f
df
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dt
df
q
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f
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d
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L
dt
df
q
L
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L
dt
d
q
L
dt
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f
q
L
dt
df
q
L
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dt
d
q
L
dt
d
q
L
tf
q
L
q
L
tf
q
L
LtfL
qk
q
L
q
L
dt
dqkqm
/qkRq-kF
t
t
ooo
ooo
oo
o
oo
可取
，，新满足设原瑞利耗散函数阻尼力证作业目录
crcccrcccrc
crrcrrrl
l
rr
l
rr
l
rry
rc
l
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ymgrgmrF
C
C
CCi
i
i
///
/c o sc o s/s i nc o s
]c o sc o ss i n[
]c o sc o ss i n[
c o sc o ss i ns i n
c o ss i nc o s
）（）（）（
）（
）（
。，）（
平衡条件：
所唯一确定。水平方向夹角证：杆的位置可由杆与
2222222
22222
22
22
24282422
4422284
0
2
22
0
2
22
2
22
2
2
2
0
2.2 半径为 r 的光滑半球形碗,固定在水平面上,一匀质棒斜靠在碗缘,一端在碗内,一端在碗外,在碗内的长度为 c,
试证棒的全长为 4( c2 - 2r2 ) / c,
mg
c
2r
C
y
o
作业目录
B T T
W
A
D
x
l
l l
l
C
y
α α
2.3 长度同为 l 的轻棒 4 根,光滑地联成一菱形 ABCD,
AB,AD 两边支于同一水平线上相距为 2a 的两根钉上,
BD 间则用一轻绳联结,C点上系一重物 W,设 A点的顶角为 2a,试用虚功原理求绳中张力,
)c s c(/s e cc s c
c o s)c s cs i n()(
c s cs i n
c o s c o s
c o s
s i ns i n
1
:
32
2
2
2
12
0221
2
2
0
0
l
a
W t glaW t gT
TlalW
aly
lxlx
ac t gly
lxlx
xTxTyW
rδF
T
C
DB
C
DB
DBC
i
i
i
得：代入
）（
，，
，，
）（
由虚功原理：
为广义坐标。选虚功原理，，且视为主动力后采用去掉绳，代之以力解
作业目录
θ r
α
x
z
yo
常数。为循环坐标，
拉氏函数：
面为零势能）（以势能：
动能：
标系）：质点的绝对速度（柱坐解：
方程。程求此质点的运动微分日方为广义坐标，由拉格朗，的圆锥面内运动。试以被约束在半顶角为受重力作用的质点设质量为
2
22222
22222
2222222222
mr
t
L
m g r c t g)c t grrr(m
2
1
L
xyO m g r c t gm g zU
)c t grrr(m
2
1
T
c t grrrzrrv
c t grzr c t gz
r
,,m 4.2
作业目录常数或拉氏方程：
，
拉氏函数：
2
22
22
22
22
22222
0
0
0
0
2
1
mr
grr
g c t grr
m g c t gmrc t grmrm
r
L
r
L
d
d
m g c t gmr
r
L
c t grmrm
r
L
m g r c t gc t grrrm
c o ss i ns i n
c s c
)(L
作业目录
§ 3 两体问题作业目录
dr
pd
2
mh
F
)p(d
2
mh
)2/pmh(d
)2/mv(dF d rrdF
hpvvph
c osrvrh
pc osrc osvrv
,1
p
rh r m
dr
)p(d
2
mh
F 1.3
22
2
2
22
2
1
2
2
22
）（
故：
动能定理：
。，
选取极坐标系解：方法直距离。为力心到轨道切线的垂常数，为质点到力心的距离，为质点质量，式中公式：试导出下面有心力量值
θ
p
vθ vr
v
O
r
θ
作业目录
dr
pdmh
r
h
rmrrmFF
dr
pdh
r
h
dtr
pdh
r
h
r
dt
pdh
r
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rr
p
h
r
h
r
r
h
rrrv
p
h
vθrh
r
)(
)(
)()(
)(
2
,,
,
22
3
2
2
22
3
222
3
2
22
3
2
2
2
2
2
2
2
2
22222
2
2
22
2
2
所以在极坐标中方法作业目录
5
22
4
2222
2
1
r
mha8
r
a4
dr
d
2
mh
dr
)p(d
2
mh
F
r
a2
p
r
a2
p
r
,c o srp,c o sa2 r,
,
,,)b(;
,,)a(
:,1.3 2.3
且极坐标中圆方程为证明立方成反比则力与距离而其极点即力心如质点走一对数螺旋五次方成反比则力与距离同时力心位于此圆上如质点走一圆周证明的结果试利用作业目录
)1k(
r
mh
r
1
)1k(
dr
d
2
mh
r
1
)rrk(
dr
d
2
mh
r
1
r
d
dr
dr
d
2
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dr
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2
mh
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h
r
d
dr
r
r
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p
h
v,rh,krke
d
dr
er,)b(,
,
,,)b(
:,1.3 2.3
2
3
2
2
2
2
4
222
2
4
2
2
222
4
2
2
2
22
2
2222
2kk
对数螺旋证明立方成反比则力与距离而其极点即力心如质点走一对数螺旋证明的结果试利用作业目录
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
2
322
32
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
2
32
2
h
uk
d
ud
h
u
h
v
1
d
ud
u
h
v
h
u
d
ud
vuu
r
v
r
u
d
ud
uh
A
hAk
e
hk
a
h
vh
k
kc ose1
a
r
hv v
r
v
r
mF 3.3
证明：比耐公式为积分常数）（，，式中
，试证明之。
，则其轨道方程可写成都是常数，并且和式中
，为质点所受的有心力如果作业目录
ke
a
k
hAk
hk
hk
kA
u
r
hk
kA
hk
u
AkA
k
d
d
hk
u
h
uk
d
ud
c os
c osc os
c os
),c os (
,
1
1
11
0
0
2
22
2
22
22
2
22
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
。为积分常数，取设作业目录
mg
vθ l
,
lkg
l
π2
k
22
)k ( )tc os (eA
,l/gk,l/g
0l/gk2
kl2gl s i n l
dt
dv
m kl2s i nmg
dt
dv
m
.
lkg
l
π2
l/gk k l
m θm kl2-R
4.3
2
22
o
22
o
t
o
22
2
2
故周期其中方程的解为情况即阻力较小时在设标准阻尼振动方程
，
解：取自然坐标系单摆的周期为时，为比例常数。试证当为摆长，的质量，
是摆锤，式中写成故阻力与成正比，且可很小，质中振动，并假定振幅假定单摆在有阻力的媒
作业目录 3,5 证明 e 与能量 E 的关系。
2
22
1 mEhe
2
2
24
222
1
24
2
121
24
2
222
2
2242
2
2
2
222
2
2
222
2
1
2
2
0
222
2
11
2
1
00
1111
2
1
m
Eh
mh
E
h
hh
Ce
mh
E
h
C
h
Cu
mh
E
hh
u
mh
E
u
h
u
muumhmuuh
ud
du
hmE
d
du
du
dr
d
du
d
dr
d
du
h
d
du
udt
d
d
du
udt
du
udt
dr
rhu
r
u
r
h
r
m
rrmE
)(
,
)(
近日点近日点：
令
，证：系统能量为
u = (C1 cosθ+μ/h2 )
作业目录 3.6 质量为 m 的质点在场 U = - a / r 中的运动并有能量
E = 0,试求坐标对时间的依赖关系。
dpdrmlp
p
m
m
l
r
m
mr
l
rmmr
l
rUE
m
,/
)()(
l
r
r d r
dr
)(
dr
t,
2
2
22
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
令解作业目录
o
3
3
2
3
2
2
2
2
t)(
mp
2
1
)d(1
mp
2
1
d)(1
2
p
)(
d)p(1
2
p
t:
,/
)()(
l
r
r d r
t,
3
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
p
mm
l
m
l
dpdrmlp
p
m
m
l
r
m
则令解
3.6 质量为 m 的质点在场 U = - a / r 中的运动并有能量
E = 0,试求坐标对时间的依赖关系。
作业目录 3.7 试求粒子在半径为 a 的刚性上散射的有效截面
2
4
0
2
2
4
422
2
22
22
ad
a
d
a
d
a
a
d
d
d
d
a
d
d
aa
s i n
s i n
c o s
s i n
s i n
c o ss i n
ar
ar 0
U,解：势能为
φ ρ
ψ
作业目录 3.8 试求粒子在势能 U = - a / r2 的中心力场作用下瞄准距离和 散射角之间的关系。
）（
令
，
满足方程：
解：质点总能量为
m i n
r
m i n
rr
r
m i n
rr
m i n
rrr
2
x
x
2
x
x
2
o
2
2
2
r
2
2
2
o
2
m i n222
2
m i n
2
xx
E
a
1
1
E
a
dx
E
a
xs i n
xd xs i n
E
a
r
dr
xd xs i n
E
a
r
1
xc o s
r
dr
E
a
r
1
1
E
a
r0
rmv
a2
r
-1 r
2/mvE
作业目录
22
o
2
o
m i n
rrr
2
o
E
a
1
1
1
E
a
1
1
2
E
a
12
1
0 x 1xc o s rr
2/ x 0xc o s r
xx
E
a
1
1
m i n
。，，；，，
）（
作业目录
§ 4 刚体作业目录
s i nmg
dt
d
ma
5
2
dt
dv
m
dt
d
ma
5
2
fa
0αc o sN - m g y
s i nmgf
dt
dv
m x
f N mg
s i ng5
a ω2V5
tg
7
2
a V α
V,a 1.4
2
转动：
方向：
方向：
。，摩擦力支持力，重力解：受力：
的时候，球将停止。试证经过
。的趋势，且摩擦系数的方向有使球向下滚动
，其中面向上滚动。如的斜面上，使其沿着斜抛掷于一倾角为及初角速以初速得球半径为
v
mg
f
N
y
x
o α
ω
作业目录
s i ng5
a2V5
t
s i ngta
5
2
V
dts i ngad
5
2
dv
dts i ngad
5
2
dv
s i nmg
dt
d
ma
5
2
dt
dv
m
t
0
00
V
作业目录
tg
7
2
0
s i n2/c os7
aV
t
ac osgt
2
5
gt)s i nc os(V
a)t()t(vtt
c osgt
2
5
)t(
dt
d
ma
5
2
c osmg
gt)s i nc os(V)t(v
s i nmgc osmg
dt
dv
m
111
2
时，无滑动滚动，即当作业目录
s i nlc o sly
c o sls i nlx
c o sly
s i nlx
s i nly
c o slx
ml
3
1
I
C l2
s i n
3
2
s i n
2.4
2
C
2
C
C
C
C
C
2
C
1
。转动的转动惯量为棒绕质心，设棒长为证明：
离，试证明之。
时，棒将与墙分为滑，则棒与地面的倾角下，如任其自此位置开始为墙上，且棒与地面倾角滑面上，另一端则靠在光棒的一端置于光滑水平
mg
o x
y
N1
N2
C
l
l
θ
作业目录
s i ns i n)s i ns i n(c os
c os)s i n( s i ns i nc os
)c oss i n(
)s i n( s i nc os
c osc osc os
c os)s i nc os(s i n)c oss i n(
c os)(s i n
c oss i n
s i nc osc oss i n
3
2
023
4
3
2
3
4
3
3
2
3
4
3
4
3
4
3
1
3
1
3
1
1
2
2
2
0
22
2
12
12
22
mg
gmgm
llmxmN
gldgdl
dgdlglgll
glllll
mgymlxlmml
lNlNMI
mgNymyNxmx
llyllx
C
CC
CC
CC
CC
（顺时针为正）转动：
，方向：，方向：
，
作业目录
0
2
1
22
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
23
1
3
2
3
2
oo
d
l
g
dd
d
l
g
dd
g
dt
ld
lgyl
mgymlmllNI
l
g
ggl
θ
C
CC
oo
c os)c os(c os
c os)c os(c os
c os
)c os(
c os)(
c os)(c os
:,
0,,
s i n
s i n)s i n( s i n
,,s i ns i n,,:
c o s
动力学方程为棒与墙分离后棒落地时棒与墙刚分离时解
4.3 试研究 4.2 中棒与墙分离后的运动,并求棒落地时的角速度 Ω
作业目录
9
1
2
3
9
1
2
3
3
2
4
1
3
2
4
1
12
1
3
2
3
2
22
1
2
1
6
1
3
2
2
1
6
1
2
1
6
1
0
2
1
6
1
3
1
232
22
2
2
2
22
222
22222
0
2
s i ns i ns i ns i n
s i ns i n
s i ns i n
s i n
s i nc os
)s i n( s i n)c os()(
c os)c os(c os
/s i n,/s i ns i n
c o s
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
d
l
g
dd
lg
o
oo
oo
o
oo
作业目录常矢量。，即：又：
常数。，所以，）式：则（
的动能为：
体对定点转动时量主轴为坐标轴，则刚若选固定于刚体上的惯
）（
得：
）（
）（
）（
故欧勒动力学方程为：
潘索情况下：证：在欧勒
LM
dt
Ld
MMMM
T
dt
dT
III
III
dt
d
III
IIIIIIIII
III
III
III
zyx
zzyyxx
zzyyxxzzzyyyxxx
yxxzzyzyxzzzyyyxxx
zyx
yxyxzz
xzxzyy
zyzyxx
000
04
2
1
0
2
1
0
0
321
0
0
0
222
222
)(T
4 )(
)(
)()()(
( 3 )
( 2 )
( 1 )
4.4 试用欧勒动力学方程,证明在欧勒 -潘索情况中，动量矩及动能是常数。
作业目录 4.4 一个 I
1＝ I2≠I3 的刚体，绕其重心作定点运动。已知作用在刚体上的阻尼力是一力偶，位于转动瞬轴相垂直平面内，其力偶矩与瞬时角速度成正比，比例常数为 I3λ。
试证刚体的瞬时角速度在三惯量主轴上的分量为：
)( /:)(
( 3 ) I
( 2 ) I
( 1 ) I
)(IIM
I
n s i n
a c o s
3
3
3
33
3/
/
为积分常数得由
）（
）（
代入欧勒动力学方程：
，证：由
。而，
都是常数。，，式中
t
zzz
zz
yxzy
xzyx
zyx
t
z
tIIt
y
tIIt
x
edtd
I
III
III
IIIkji
e
I
I
e
n
ae
e
n
ae
3
3
132
311
321
1
1
13
13
作业目录
Cte
n
iidtnei
i
id
iineii
inei n ei
i
ne
ne
I
II
I
II
I
II
e
t
xy
t
xy
xy
xyxy
t
xy
yxx
t
y
t
yx
yx
t
y
xy
t
x
yxzy
xzyx
t
z
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
x
1
3
1
3
I
I
)l n ()
I
I
(
)(
)(
I
I
)( )(
)(
I
I
),()(,,
( 7 )
I
I
)(
I
I
,
)()( ( 5 )
I
I
n ( 4 )
I
I
)()(
即：
令得式、代入并将设式，得：、代入
76
6
54
21
1
13
1
13
1
13
作业目录
tI
I
t
y
tI
I
t
x
ttI
I
t
e
n
i
I
I
t
xy
t
xy
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n
ae
e
n
ie
n
ae
eaei
Cte
n
ii
t
s i n
c os
s i nc os
I
I
ln
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
部与虚部相等，可得：由复数实部与实部，虚
）（
作业目录
§ 5 非惯性参考系作业目录
y’ x’
z’ z
x
y v
o
r
v?
.
2r
r
tg
vv
0
r
rA
vr0r0t
ts i n
v
)
2
tc os (
v
r)tc os (Ar0rr
rr2rr20rrv
j ri rikri rrvv
'z'y'Ox
O xyz
v
O Ox
O 1.5
o
o
2
2
2
2
o2
o
oo
2
22222
r
，
，，初始条件：
动坐标系为
，解：选固定坐标系为
？何种规律沿此直线运动应按的量值为常数，问此点速度动。如欲使此点的绝对点沿该直线运从位置时，有一质点开始当直线位于转动。端在一固定平面内绕其一一直线以匀角速作业目录
x
y
z o
ωk
N
mg
FC
mω2r
ωt
0ts i nmgrmrm
r
L
r
L
dt
d
ts i nm g r-)rr(m
2
1
UTL
ts i nm g rU
)rr(m
2
1
mv
2
1
T
rr v
rv
rv
v
a
m,
2.5
2
222
2222
2222
e
r
o
拉氏方程：
拉氏函数：
势能：
，动能：
故绝对速度有：
，牵连速度为
，质点相对于细管速度为解：体系为保守系。
动规律。，试求质点相对管的运度为
，质点相对管子速动轴距离为取水平方向，质点距转的质点。开始时，细管管中有一质量为转动匀角速轴以面内绕通过其一端水平一光滑细管可在竖直平作业目录
x
y
z o
ωk
N
mg
FC
mω2r
ωt
ts i n
2
g
ececr,
ts i n
2
g
,,ecec,
ts i ngrr
ts i nmgrmrm,r
v2mF
rm
N gm
v
a
m,
3.5
2
t
2
t
1
2
t
2
t
1
2
2
2
o
故方程通解非齐次方程特解齐次方程通解方向科氏力
，惯性离心力
，约束反作用力，重力解：受力分析：
动规律。，试求质点相对管的运度为
，质点相对管子速动轴距离为取水平方向，质点距转的质点。开始时，细管管中有一质量为转动匀角速轴以面内绕通过其一端水平一光滑细管可在竖直平
作业目录
t
e
v
ae
v
a
v
ac
v
ac
vr
ccar
t
tee
toto
o
o
o
tt
s i n
2
g
4
g
4
g
r
4
g
4
g
2
g
)cc(
s i n
2
g
ccr,
2
21
221
22
22
2121
2
1
2
1
2
1
2
1
0
所以时，在方程通解
作业目录
ya2xxxya2xxay4x
x
y
mgym
xmxm
dx
dy
tg
N
N
xm2Nzm
mgNym
xmNxm
kxm2i xmNjm g -rm
2
kxm2jyix(jm2vm2F
i xmrmF
N jm g -
1
a
ay4x
4.5
22
2
y
x
z
y
2
x
2
C
2
R
2
，
、动坐标系动力学方程
）科氏力
）（惯性离心力
，，约束力重力
、受力分析系解：选金属丝为动坐标力）为常数。（忽略摩擦阻式中
，已知抛物线方程为程。试求小环运动的微分方
mg
FR
N
FC
x
z
y
o
θω
作业目录
0242
048244
284
28422
4222
0244
244
2
22
22
2
2
2
2
24
22
22222
22223222
232322
3222
22222
22222
22
2
2
2
2
22
gyyayyayya
agyyayyayaya
xaxyayagxyx
xaxyaxyaxaxagxyx
xyaxyaxxyaxxyax
agxxaxxxxa
agxxxxxxaxa
gx
a
xxxx
xaxa
gxyxxaxa
a
x
x
y
mgym
xmxm
a
xxx
yyaxxx
a
xx
yyaxxayx
/)(
/)(
/
//
////
）（，
）（
，
作业目录
§ 6 多自由度体系的微振动作业目录 6.1 如图所示，求系统振动周期。 o
(x1,y1)
(x2,y2)
y
x
θ1
mg
mg
θ2
T1
T2
g
l
T
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
l
g
l
x
g
l
x
gx
l
x
g
l
x
gx
l
x
mg
l
x
mg
l
xx
m
l
x
mgxm
l
x
mg
l
x
mgxm
l
x
l
xx
l
x
mgTmgTmgT
Txm
TTxm
)(
)(
'
'
'
'
'
'
'
s i n,s i n
,
,
s i n
s i ns i n
:
22
222
22
0
22
2
022
02
22
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
112
2
1
1
12
2
1
1
212
222
22111
解作业目录 6.2 求二氧化碳分子的简正模式。
M Mm
k k
x1 x2 x3
.,
0)(
)(
)(
)c os (
)c os (
)c os (
:,
)(
)(
)(
:
)(
1
11
m
M
M
k
M
k
Mkk
kmkk
kMk
AMkkA
kAAmkkA
kAAMk
tAx
tAx
tAx
xxkxM
xxxkxm
xxkxM
uuuKuM
xxxxxx
nnnn
2
10
0
0
2
0
02
0
2
2
0
32
2
2
2
3
2
2
32
2
1
21
2
33
22
11
233
1232
121
11
3232
，，特征根设解运动方程久期方程：
。应广义坐标，平衡位置对，，选取为
作业目录为质心的速率。代表质心的运动，
，时，当
1
1321
1
3
1
2
1
11 0
C
CtCxxxAAA o )()()(
，，
时，当
2
2
3
2
1
2
2
2
0 CAAA
M
k
)()()(
)c o s (
)c o s (
2223
2
2221
0
tCx
x
tCx
，，
时，当
3
3
23
3
3
3
1
3
2
2
1
C
m
M
ACAA
m
M
M
k
)()()(
)c o s (
)c o s (
)c o s (
3333
3332
3331
2
tCx
tC
m
M
x
tCx
)c o s ()c o s (
)c o s (
)c o s ()c o s (
33322213
33312
33322211
2
tCtCtCCx
tC
m
M
tCCx
tCtCtCCx
o
o
o
为：三种模式都存在，通解作业目录
F mg
y
Ax
C θ
B
6.3 匀质棒 AB,质量为 m,长为 2a,其 A 端可在光滑水平导槽内运动,而棒本身又可在竖直面内绕 A点摆动,如除重力外,B 端还受有一水平力 F 的作用。试用拉氏方程求其运动方程。如摆动的角度很小，则又如何？
s i nmg- c o s ;
)s i nmg- c o s(
s i nmg- )c o s( r
s i n )c o s(r
c o s )s i n(r
2
)c o s(
s i n )c o s(
c o s )s i n(
B
B
B
aaFQFQ
aaFxF
aaxFrjmgiFQxQ
jaiax
jaiax
mKxaaxmIrmT
jaiaxr
jaiaxr
x
Cx
CC
C
C
2
2
2
22
22
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2222222
、用虚功求广义力求体系动能、解：
作业目录
( 2 ) s i nmg- c o s])(c o s[
s i nxma)s i nc o s(
,s i nxma,)c o s(
( 1 ) )s i nc o s(
),c o s(
.s i nmg- c o s ;;)c o s(
aaFKaxam
QmKxaxaam
Q
TT
dt
d
T
mKxaam
T
FQaaxm
x
T
x
T
dt
d
x
T
axm
x
T
x
aaFQFQ
mKxaaxmT
x
x
2
0
3
2
2
1
2
2
1
22
22
22
2
22222
坐标：
坐标：
、求运动方程作业目录
m
F
gax
amaFaaxam
aK
maa
m
mK
amaFKaxam
mFaax
aaFKaxam
Faaxm
2
3
4
2
3
1
3
1
3
1
2
12
2
4
2
22
22
222
22
2
22
2
g])([
I
g])([( 2 )
/( 1 )
( 2 )( 1 ) 1 c o s s i n
( 2 ) s i nmg- c o s])(c o s[
( 1 ) )s i nc o s(
C
）（
、代入，，、若摆动角很小，即作业目录
φθ
mg
C
R O
r
6.4 半径为 r 的匀质圆球，可在一具有水平轴半径为 R的固定圆柱的内表面滚动。试求圆球绕平衡位置作微振动的运动方程和周期。
2222
22
0
2
2
0
2
2
222
2222
)rR(mg
2
1
mR
5
1
)rR(m
2
1
UTL
)rR(mg
2
1
d
Ud
2
1
U
);rR(mg
d
Ud
,00s i n)rR(mg
d
dU
)c os1)(rR(mgU
mR
5
1
)rR(m
2
1
mr
5
2
2
1
)rR(m
2
1
T
RrRr
无滑动滚动：
，解：选广义坐标为作业目录
)rR(g
5/R2)rR(
2
2
T
5/R2)rR(
)rR(g
0
5/R2)rR(
)rR(g
0)rR(mgmR
5
2
)rR(m
LL
dt
d
.)rR(mg
L
,mR
5
2
)rR(m
L
)rR(mg
2
1
mR
5
1
)rR(m
2
1
L
22
22
22
22
22
2222
作业目录 6.5 如图所示，求系统振动周期。
21
22
2
2
21
22
1
2
212121
22
2
22
1
2
2
2211
2
2211
2
1
2
1
22
1
22
2
2
2
2
1
2
1
212212
1111
2
2
2
1
21
211
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
112
21
mlmlmlml
mlmlml
ml
mlyxmyxmT
llyllx
lylx
m glm gl
m glm gl
m glm glU
)(
)s i ns i nc os( c os)(
])s i ns i n()c osc os[(
)s i n( c os)()(
c osc oss i ns i n
c oss i n
)(
)c os()c os(
)c osc os()c os(
，
，，
解：
o
(x1,y1)
(x2,y2)
y
x
θ1
mg
mg
θ2
T1
T2
作业目录
g
l
T
l
g
l
g
l
g
lg
mlmlm gl
mlm glml
mlmlm gl
kjut
m gluuum glu
mltmltmltmlt
jkjk
)(
)(
)(
)(
)/(
)()(
)(
22
2
22
22
12
2
2
02
0
22
210
002
2
222
222222
2222
2222
2
22211211
2
22
2
21
2
12
2
11
，，本征方程：
。，，，；，，，
作业目录 6.6 题 6.5 中,如双摆的上端不是系在固定点 O 上,而是系在一个套在光滑水平杆上,质量为 2m 的小环上,
小环可沿水平杆滑动,试求其运动方程和周期,
x
(x1,y1)
(x2,y2)
x
θ1
mg
mg
θ2
T1
T2
2mg
2
2
2
1
21
2
21
2
2
22
1
22
21
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
212212
1111
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
4
2
1
2
1
2
1
4
2
1
2
1
2
1
2
2
1
m glm glU
mlxmlxmlmlmlxm
xxmxxmyxmyxmxmT
yxxmyxxmxmT
llyllx
lylx
)(
)()(
)()()(
])[(])[()(
c osc oss i ns i n
c oss i n
x
1
，
，，
，，解：选广义坐标为作业目录;
))(()(
-
u t
22
222
222
222
222
222
222
2
g
l
T
l
g
g
l
T
l
g
glgl
glll
lgll
mlm g lmlml
mlmlm g lml
mlmlm
ut
m g l
m g l
mlmlml
mlmlml
mlmlm
jkjk
2211
22
22
22
22
22
04022
24
0222
24
0
00
020
000
22
24
本征方程：
，
作业目录
glgl
m g lmllmm g lmlm
m g lmlmlml
mlm g lmlml
mlmlm
BA
m g l
m g lB
mlmlml
mlmlml
mlmlm
A
m g lm g lU
mlxmlxmlmlmlxm
4
043
0
2222
2
22
200
00
000
222
2
22
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
4
2
1
21
22222
22
22
22
22
2
2
2
1
21
2
21
2
2
22
1
22
//
/)()(
////
/
/
////
/
/
)(
)()( T
，
，
解：采用简正坐标作业目录
§ 7 经典力学的哈密顿理论作业目录
m
Aqp
vAqvmp
qAzm
z
L
pqAym
y
L
pqAxm
x
L
p
p
L
vq
A
qmv
vAvAvAqqzyxm
vAqqmvvAqqTL
zzyyxx
j
zzyyxx
,,
q
)( )(
j
。，故速度解：以粒子速度为广义它的哈密顿函数。为矢量势。试由此写出为标量势，
为粒子所带电荷，为粒子的质量，为粒子的速度，其中
222
2
2
1
2
1
7.1 已知一带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数 L 为作业目录
qAqp
m
q
m
Aqp
m
qmvvAqqmvvAqmv
vAqqmv
zqAzmyqAymxqAxmLqpH
m
Aqp
vvAqqmvL
zyx
j
jj
2
2
222
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
)()()(
，
作业目录
Urp
m
p
U
m
p
rp
m
p
U
m
p
rvp
U
m
p
vpLzpypxpH
vmprvv
UTLU
m
p
mvT
zqyqxq
zqyqxq
rzyx
r
)(
)()(
2
22
2
22
1
2
222
2
2
2
321
321
，质点速度：
，，质点势能：质点动能：
。，，广义速度为：；，，解：选广义坐标为：
7.2 试写出自由质点在作匀速转动的坐标系中哈密顿函数的表达式。
作业目录
,),c os(
,c os)c os(s i n
c osc oss i n
c os)c osc os()s i n(
.,
c os
s i nc oss i n
c oss i ns i n
,
.c os)(
xz
zx
zzx
zx
zyx
z
y
x
zzyyxx
I
L
pI
L
p
II
III
L
p
θM g l
II
L
III
M g lUIIIT
qqq
2
22
222222
222
321
2
22
2
1
且欧勒运动方程
，势能：动能：
。，，解：选广义坐标：
7.3 试写出拉格朗日陀螺的哈密顿函数 H，并求出它的三个第一积分。
作业目录
CIp
CIIp
EθM gl
II
t
θM gl
I
p
I
pp
I
p
θM gl
I
pI
I
pp
I
pI
H
I
pp
I
p
I
p
θM gl
II
L
z
zx
zx
zxx
z
z
xx
x
xzx
zx
)c o s(
c o s)c o s(s i n
c o s)c o s()s i n(
c o s
s i n
)c o s(
c o s
s i n
c o s
s i n
c o s
s i nc o s
c o s)c o s()s i n(
是循环坐标，
是循环坐标，
是循环坐标，
，，
2
2222
2
2
2
2
222
2222
22
222
22
22
作业目录 7.4 质量为 m 的小环 M,套在半径为 a 的光滑圆圈上,并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速 ω绕圈上某点 o 转动,试用哈密顿正则方程求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程,
)/(c os)/(c os/
/)]/s i n ()/c os ([
/)]/c os ()/c os ( [/
)/s i n ()/c os (
t)]/c os ()/c os ( [
)/s i n (t)/c os (t
)/c os ( 0U
22222
2222
22222
222
222
22
22
2222222
2
22
mamama
am
aammvUTL
na
aa
nvva
vvv
avav
牵牵牵相牵相
，，设数，为广义坐标，势能为常解：选
o
M
θ
v相
v 牵
xz
y
ω
作业目录
c o ss i ns i n
s i n)c o s(
s i nc o s
c o sc o sc o s
c o sc o s
c o sc o s
c o sc o s
22
222
2
2
2222
2
2
22222
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
222
2222222
2
1
1
2
1
2
2
2
2
22
22
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
map
H
p
map
ma
p
map
ma
p
ma
ma
p
ma
ma
p
map
ma
p
LpH
ma
p
mama
L
p
mamamaL
正则方程：
作业目录
0
0
2
2
2
222
22
22222
22222
22
2
2
2
2
22
s i n
s i n
c o ss i ns i n
s i nc o ss i ns i n
s i nc o ss i ns i n
s i n
s i n
c o sc o s
c o ss i ns i n
mama
map
mamapma
mamapmap
mamap
ma
p
ma
p
ma
p
map
H
p正则方程：
作业目录
。，，，
，，，，，，同理：
，
，
，，，解：
][ ][
][ ][ ][
][
][
xyzzxy
yzxyxzxzy
z
n
i i
y
iz
x
iz
y
i
x
n
i i
y
iy
x
iy
y
i
x
n
i i
y
ix
x
ix
y
i
x
yx
n
i i
x
iz
x
iz
x
i
x
n
i i
x
iy
x
iy
x
i
x
n
i i
x
ix
x
ix
x
i
x
xx
n
i
ixiiyiz
n
i
iziixiy
n
i
iyiizix
ppLppL
ppLppLppL
p
z
p
p
L
p
p
z
L
y
p
p
L
p
p
y
L
x
p
p
L
p
p
x
L
pL
z
p
p
L
p
p
z
L
y
p
p
L
p
p
y
L
x
p
p
L
p
p
x
L
pL
pypxLpxpzLpzpyL
0
7.5 试求由质点组动量 P 和角动量 J 的笛卡尔分量所组成的泊松括号。
作业目录7.6 试用哈密顿原理解 7.4 题,
0
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
1
2
222
22222
222
222222
2222222
s i n
s i n
s i ns i ns i n
c o s
s i ns i nc o s
c o sc o s
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
o
o
o
o
o
dtmama
dtmamamama
mama
dtmamamama
L dt
mamamaL
哈密顿原理：
解：
作业目录
) Q (,Q
q
L
q
L
dt
d
Q
q
T
q
T
dt
d
0dt]qQ)t,q,q(T[S
,8.7
'
j
'
j
jj
j
jj
t
t
jjjj
2
1
为非有势力其中或导出拉格朗日方程：
，
哈密顿原理试用完整非保守力系的
7.7 若拉格朗日函数为试用哈密顿原理导出完整保守力系的拉格朗日方程：
),,,,( tqqqqqqLL ss 2121?
0?
jj q
L
q
L
dt
d
作业目录
θ r
α
x
z
yo 常数。
哈密顿原理：
解：拉氏函数：
题。试用哈密顿原理解
222
t
t
2
t
t
22
t
t
22
t
t
22
t
t
222
t
t
222
t
t
22222
t
t
22222
r ;0)g c t gr(r s e c
)r(mdr d t)]g c t gr(mr s e cm[
])r(d)r(d[m
r d t)g c t gr(m]r d tr)rr(d[s e cm
dt]rr)g c t gr(rr [ s e cm
dt]rm g c t g)rc t grrrrrr(m[
dtm g r c t g)c t grrr(m
2
1
L d t
m g r c t g)c t grrr(m
2
1
L
4.2 9.7
oo
o
o
o
o
oo
作业目录换。的显函数，故为正则变不是母函数
：方法证：
为一正则变换。，试证
t F
dF)q c t gppq(d
)q c t gp(d)pq(d
p d pc s cqc t g p d q)pq(d
c t g p d qp d pc t g qq d pq d pp d q
c t g p d qp d pc t g qp d q
dq
q
1
dp
ps i n
pc os
c t g p qp d qp d q - P d Q
1
c t g p qP
q
ps i n
lnQ 10.7
2
2
2
作业目录为一正则变换。，故
，
，
，：方法证：
为一正则变换。，试证
c t g p qP
q
ps i n
lnQ
0
q
P
p
P
p
P
q
P
]PP[
0
q
Q
p
Q
p
Q
q
Q
]QQ[
1
ps i n
pc os
ps i n
1
c t g p
ps i n
pc os
)pc s cq(
q
1
q
P
p
Q
p
P
q
Q
P][Q 2
c t g p qP
q
ps i n
lnQ 10.7
2
2
2
2
作业目录
Q
H
P
P
H
Q0
t
F
HH
HQkPc osQk2Ps i nQk2
2
1
qkp
2
1
H
)PPc osP( s i nQF
dF)]PPc osP( s i nQ[d
P d QP d Ps i nQ2P d Qc osPs i n
P d QP d Ps i n
k
2Q
P d Qc os
2Q k
1
Ps i nQk2P d Qp d q
kQHqkp
2
1
H
Q
H
P
P
H
Q
q
H
p
p
H
q
Ps i nQk2pPc os
k
2Q
q 11.7
**
*
*22222
2
*222
**
，
）（）（
换。为母函数，故为正则变证：
。），（式中
。，变为，
正则方程代表一正则变换，并将
，证变换方程作业目录
PQmg
2
1
PQmg
2
1
gQ
2
1
mg
P
mg
m2
)m gQ(
)Q,P(HH
t gQ
2
1
mg
P
q
m gqQmg
2
1
Q
F
Pm gQ
q
F
p
m gq
m2
p
Hm gqU qm
2
1
T
g
Q q
),qQ6/m g( gQF
12.7
2222
2
2
*
2
22
2
2
3
，故。因为变换关系不显含
，
，写出正则方程将母函数进行正则变换；，，势能解：动能为重力加速度。义坐标，
为变换后的新广坐标，为确定物体位置的广义式中题的母函数的运动规律。已知本问体则方程求竖直上抛的物试利用正则变换，由正
作业目录
22
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
22
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
0
2
1
00
2
1
2
1
0
1
2
1
gttv
g
v
tg
g
v
q
mvc
g
v
c
vgc
gc
mg
c
vqqt
ctg
mg
c
gQ
mg
P
q
cP
Q
H
P
ctQ
P
H
Q
PHgQ
mg
P
q
o
oo
o
o
o
o
)(
)(
*
*
*
，，初始条件：
运动方程新的正则方程：
，
作业目录
2
2
111
2
2
1y
2
1
y
11x1
x
yx
2
2
2
2
yx
2
y
2
x
2
y
2
x
21
cdya)m gyE(m2cxaW
cdya)m gyE(m2Wa)m gyE(m2
dy
dW
cxaWa
dx
dW
WWW
y
W
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W
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1
y
W
p
x
W
pEm gy)pp(
m2
1
H
m gyU)pp(
m2
1
T
yqxq
- 13.7
。可分离变量，设
），（；，；，解：选广义坐标：
。真空中运动的轨道方程雅可毕方程求抛射体在试用哈密顿
作业目录
）（抛物线方程故：
，
。，，初始条件：
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s i nc o sc o ss i n
/c o ss i n
c o s)/(c o s
/c o s
c o s
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x
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am g yEm
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x
a
W
a
S
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o
o
o
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2
2222
2
3
2
32
2222
2
1
32
2
11
2
1
1
11
2
2
111
2
2
022
0
2
00
2
2
2
2
1
2
作业目录 7.14 试用哈 - 雅方程求行星绕太阳运动时轨道方程。
caWap
E
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G M m
rd
dW
dr
dW
m
H
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dW
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r
L
p
r
G M m
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r
G M m
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mr
r
r
rr
r
r
r
（常数）为循环坐标，因雅方程：故哈
，，，设主函数：
总能量
。；
，，
引力常数为太阳为设行星为解：采用极坐标
2
22
2
2
2
2
2
222222
1
2
1
2
1
2
1
2
1
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作业目录
2422
22
1
2422
22
2422
22
1
2422
22
1
2422
22
1
2422
22
1
2
22
2
22
2
22
2
2
2
22
22
2
00
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2
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2
2
2
2
22
1
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m E amMGr
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rG M ma
m E amMGr
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初始条件
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作业目录
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G M mEa
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2
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2
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22
124222
2
2422
22
1
2422
22
21
211
2
2
2
2
2
2
2
22
。时，当作业目录
§ 8 哈密顿理论在物理学中的应用作业目录 8.1 一质点质量为 m,在有心力场中运动，其势能为
U = mkr3 (k > 0)。如果质点在作 r = a 的圆周运动时受到一径向微小扰动，求质点在圆轨道附近振动的周期。
( 3 ) )(
)(
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( 2 ) )(
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( 1 ) )(
)(
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xa
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mh
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r
mh
rm
hr
rFrrm
3
2
3
2
3
2
2
2
1
式有代入此时有为小量质点受径向微扰圆周运动时当质点作常数程为解：质点运动的微分方作业目录
ka
Tka
k axxm ka xxm
xm ka
a
x
m kaxm
m kr
dr
dF
m kr
dr
dU
-Fm krU
x
dr
dF
a
x
aFxm
x
dr
dF
aF
a
x
a
mh
xm
xaF
xa
mh
xmaF
a
mh
15
22
15
015015
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3
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63
3
3
1
2
23
3
2
3
2
3
2
)(
.,,
( 4 ) )(
)(
)(
)(
),(
ar
ar
式，可得：代入
