第五章 非惯性参考系
§ 5.1 不同参考系之间速度和加速度的变换固定坐标 ——惯性系动坐标系 ——非惯性系动坐标系,A = Ax i + Ay j + Az k
固定坐标,dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k
动坐标
+ Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt
动相对固定动坐标系,A= Ax i + Ay j + Az k
固定坐标,dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k
+ Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt
讨论 (1) 仅有转动 (角速度 ω相对固定坐标系）
∵ dr/dt =ω× r ∴ di /dt = ω× i,
dj /dt = ω× j,
dk /dt = ω× k,
记 δA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k
则有,dA/dt = δA /δt +ω× A
转动参考系算符变换,d/dt = δ/δt +ω×
tdt
d~
例,质点的位置矢量 r,求 v,a 。
解,v = dr /dt = δr /δt +ω× r = v 相 + v 牵
a = d2r /dt2 = d(δr /δt +ω× r ) /dt
= δ(δr/δt +ω× r)/δt
+ω× (δr /δt +ω× r)
=δ2r /δt2 +δ(ω× r) /δt
+ω× (δr /δt) + ω× (ω× r )
=δ2r /δt2 +(δω/δt )× r + ω× (ω× r )
+ 2ω× (δr /δt) = a 相 + a 牵 + a 科
a 相 = δ2r /δt2
a 牵 = (δω/δt )× r + ω× (ω× r )
a 科 = 2ω× (δr /δt)
dA /dt = δA /δt +ω× A
运算公式,A × B × C = B (A · C ) – (A · B) C
ω× (ω× r ) = ω(ω·r ) - ω2 r
= ω2 (OB - OP) = -ω2 R
对于角速度 ω,角加速度为 β
β = dω/dt = δω/δt +ω× ω
= δω/δt
说明角加速度与坐标系无关 。
R
rω
B P
O
j
2
1
1b i b
j bi bk j
2
b
r
t
r
v
0aj
2
b
t
r
v
k j bi br
A
A
A
A
A
A
A
）（
。，
，，解：
相对相对例,一等腰直角三角形 OAB 在其自身平面内以匀角速 ω绕 O 转动。 P 点以匀相对速度沿 AB边运动，当三角形转一周时,P 点走过 AB，如 AB=b，试求 P点在
A 时的绝对速度与绝对加速度。
P
A
B
y
z x
O
ω
j bi
b
b)j bi b(i
b
)j bi b()]j bi b(k [k j
2
b
k 2
r)r(v2a a
0aj
2
b
t
r
v
k j bi br
2
2
22
2
2
A
2
AAAA
A
A
A
A
相对相对相对相对
。，
，，解：
(2) 平动 + 转动固定坐标系中位矢 rI 与动坐标系 r 之间关系,
rI = R + r
d2rI /dt2= d2R /dt2 + d2r /dt2
= d2R /dt2 +δ2r /δt2 + (δω/δt ) × r
+ω× (ω× r ) +2ω× (δr /δt)
或 a = a平 + a相 +β× r -ω2 R + 2ω× v相若等角加速度转动 β= 0，无平动加速度 a平 = 0，
则,a = a’ -ω2 R + 2ω× v’
§ 5.2 非惯性系中的动力学方程 惯性力惯性系中,m d2rI /dt2 = F
非惯性系：
m?2r/?t2 =F -m[d2R /dt2+β?r +ω?(ω?r) +2ω?v’]
= Feff
1、平移力
- md2R /dt2 ← 动系平动加速
2、方位力
- mβ? r ← 动系转动加速
3、惯性离心力
- m[ω? (ω? r ) ← 动系相对固定系转动
4、科里奥利力
- 2mω?v’ ← 质点相对动系运动例：在光滑水平直管中有一质量为 m 的小球。
此管以匀角速 ω绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为 a,球相对管的速率为零，而的总长为 2a 。
o x
y
z
mg
Nz
Ny
Fc mω
2x
vvz
vx
ω
求,(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；
(2) 球从开始运动到离开管口时所需时间。
])(m[-
-
kxmixjmvmF
ixmrr
NNjmg
kxrvjixvixr
C
zy
222
22
相牵相科氏力惯性离心力
，，反约束力：重力受力：
。，，，解：
a7
a4a3vvv
a3x
a3xxd xxdx
( 4 ) xd xxdx
xx
dx
xd
dt
dx
dx
xd
x,)1(
)3( Nxm2zm
( 2 ) mgNym
( 1 ) xmxm
222222
222
a2
a
2
x
0
2
2
z
y
2
牵相绝对速度：
得由动力学方程：
(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；
32ln
1
tt
a)a(a
a)a2(a2
ln
dt
)ax(
dx
dt
)ax(
dx
)ax(x
)ax(xx d xxdx
)3( Nxm2zm
( 2 ) mgNym
( 1 ) xmxm
22
22
t
0
a2
a 2222
22
2222
x
a
2
x
0
z
y
2
动力学方程：
(2) 球从开始运动到离开管口时所需时间可证明，引入非惯性力,质点动量定理、角动量定理和动能定理的形式都保持不变。
例：角动量定理,
L’ /?t =?(r’? mv’) /?t
=?(r’)/?t? mv’ + r’? m?v’/?t
= r’? ( F + F惯性 )
动能定理,∵ m?v’/? t = F + F惯性
→ m?v’ ·?r /?t = (F + F惯性 ) ·?r
→ m v’ ·?v’ = (F + F惯性 ) ·?r
→?(mv’2/2) = (F + F惯性 ) ·?r
即,?T = (F + F惯性 ) ·?r
z
xy
yx
) kzjyix(krrr'r
z
tc o syts i nx
ts i nytc o sx
z
x y zO O
x y zO
x y zO
F P
坐标变换方程：
轴重合。轴与轴旋转，并令绕标系，
为转动坐为静止坐标系，选取的动力学方程。此质点相对于坐标系运动着，现在要求绕竖直轴转动的坐标系角速度的作用下，对于以恒定在力质点拉格朗日方程导出惯性力
F)r(mrm2rm
F zm
Fymxm2ym
Fxmym2xm
,,x,y,z
)yx(m
2
1
)xyyx(m)zyx(m
2
1
]z)xy()yx[(m
2
1
)(m
2
1
T
zxyyx
z
y
2
x
2
222222
222222
有上式代入拉格朗日方程为广义坐标取
，，
§ 5.3 拉格朗日函数的不确定性非惯性系中的拉格朗日函数
1、若两个拉格朗日函数 L1 和 L2 只相差一函数 f(q,t)的全微商 df/dt，则 L1 和 L2 是等价的。
证明：设 L2 = L1 + df(q,t) /dt，只要证明由 L1 和 L2 所得出的运动方程相同即可。考虑体系只有一个广义坐标。
0
q
L
q
L
dt
d
0
q
L
q
L
dt
d
tq
f
q
q
f
q
f
dt
d
dt
df
qdt
d
tq
f
q
q
f
dt
df
q
t
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dt
df
dt
df
qdt
df
qdt
d
q
L
q
L
dt
d
q
L
q
L
dt
d
2211
2
2
2
2
2
2
1122
时，因此，当
2、非惯性系中的拉格朗日函数设有三个参考系,S为惯性系,S1为相对 S以 vo(t)作平动,S’ 与 S1有共同原点，但相对 S1以?o(t)转动。设粒子在 S系速度为 v，在 S1系速度为 v1，则
v = v1 + vo(t)，所以 S系中单粒子的拉格朗日函数为：
朗日函数的一般形式。
来表示惯性系的拉格和的这就是用平动参考系中最后得到：
再次去掉可改写为可去掉。形式为
11
o
1
2
1
o1
o
1o1o1
o1
2
o
o1
2
o
2
1
2
o1
vr
U
dt
vd
rmmv
2
1
L
).vrm(
dt
d
,
dt
vd
rm)vrm(
dt
d
vvm
vvm,dt/)t,q(df2/mv
Uvvm2/mv2/mvU2/)vv(mL
0
'r
'L
'v
'L
dt
d
~
0
'r
'L
'v
'L
dt
d
U
dt
vd
'rm)'r(m
2
1
)'r('vm'mv
2
1
'L
.'r'SrS
'r'vv'v'r'S
.'v'r'Svr
U
dt
vd
rmmv
2
1
L
o2
oo
2
11
o1
11
o
1
2
1
来形式拉格朗日方程仍保持原是相同的系中和系中注意到的关系为：和系中的粒子在来表示和系中的用和再将例：在非惯性系中由拉格朗日方程导出单粒子的牛顿运动方程。
解：
)'v(m2
)'r(m)'r
dt
d
~
(m
dt
vd
m
'r
U
dt
'vd
~
m
0
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U
dt
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'r
'L
)'r(m'vm
'v
'L
U
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vd
'rm)'r(m
2
1
)'r('vm'mv
2
1
'L
o
oo
oo
o
oo
o
o
o
ooo
o
o2
oo
2
§ 5.1 不同参考系之间速度和加速度的变换固定坐标 ——惯性系动坐标系 ——非惯性系动坐标系,A = Ax i + Ay j + Az k
固定坐标,dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k
动坐标
+ Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt
动相对固定动坐标系,A= Ax i + Ay j + Az k
固定坐标,dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k
+ Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt
讨论 (1) 仅有转动 (角速度 ω相对固定坐标系）
∵ dr/dt =ω× r ∴ di /dt = ω× i,
dj /dt = ω× j,
dk /dt = ω× k,
记 δA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k
则有,dA/dt = δA /δt +ω× A
转动参考系算符变换,d/dt = δ/δt +ω×
tdt
d~
例,质点的位置矢量 r,求 v,a 。
解,v = dr /dt = δr /δt +ω× r = v 相 + v 牵
a = d2r /dt2 = d(δr /δt +ω× r ) /dt
= δ(δr/δt +ω× r)/δt
+ω× (δr /δt +ω× r)
=δ2r /δt2 +δ(ω× r) /δt
+ω× (δr /δt) + ω× (ω× r )
=δ2r /δt2 +(δω/δt )× r + ω× (ω× r )
+ 2ω× (δr /δt) = a 相 + a 牵 + a 科
a 相 = δ2r /δt2
a 牵 = (δω/δt )× r + ω× (ω× r )
a 科 = 2ω× (δr /δt)
dA /dt = δA /δt +ω× A
运算公式,A × B × C = B (A · C ) – (A · B) C
ω× (ω× r ) = ω(ω·r ) - ω2 r
= ω2 (OB - OP) = -ω2 R
对于角速度 ω,角加速度为 β
β = dω/dt = δω/δt +ω× ω
= δω/δt
说明角加速度与坐标系无关 。
R
rω
B P
O
j
2
1
1b i b
j bi bk j
2
b
r
t
r
v
0aj
2
b
t
r
v
k j bi br
A
A
A
A
A
A
A
）（
。，
，，解：
相对相对例,一等腰直角三角形 OAB 在其自身平面内以匀角速 ω绕 O 转动。 P 点以匀相对速度沿 AB边运动，当三角形转一周时,P 点走过 AB，如 AB=b，试求 P点在
A 时的绝对速度与绝对加速度。
P
A
B
y
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O
ω
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b
b)j bi b(i
b
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b
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b
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r
v
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22
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A
2
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A
A
A
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相对相对相对相对
。，
，，解：
(2) 平动 + 转动固定坐标系中位矢 rI 与动坐标系 r 之间关系,
rI = R + r
d2rI /dt2= d2R /dt2 + d2r /dt2
= d2R /dt2 +δ2r /δt2 + (δω/δt ) × r
+ω× (ω× r ) +2ω× (δr /δt)
或 a = a平 + a相 +β× r -ω2 R + 2ω× v相若等角加速度转动 β= 0，无平动加速度 a平 = 0，
则,a = a’ -ω2 R + 2ω× v’
§ 5.2 非惯性系中的动力学方程 惯性力惯性系中,m d2rI /dt2 = F
非惯性系：
m?2r/?t2 =F -m[d2R /dt2+β?r +ω?(ω?r) +2ω?v’]
= Feff
1、平移力
- md2R /dt2 ← 动系平动加速
2、方位力
- mβ? r ← 动系转动加速
3、惯性离心力
- m[ω? (ω? r ) ← 动系相对固定系转动
4、科里奥利力
- 2mω?v’ ← 质点相对动系运动例：在光滑水平直管中有一质量为 m 的小球。
此管以匀角速 ω绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为 a,球相对管的速率为零，而的总长为 2a 。
o x
y
z
mg
Nz
Ny
Fc mω
2x
vvz
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ω
求,(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；
(2) 球从开始运动到离开管口时所需时间。
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-
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C
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222
22
相牵相科氏力惯性离心力
，，反约束力：重力受力：
。，，，解：
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a3x
a3xxd xxdx
( 4 ) xd xxdx
xx
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dx
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( 1 ) xmxm
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222
a2
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牵相绝对速度：
得由动力学方程：
(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；
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1
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a)a(a
a)a2(a2
ln
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动力学方程：
(2) 球从开始运动到离开管口时所需时间可证明，引入非惯性力,质点动量定理、角动量定理和动能定理的形式都保持不变。
例：角动量定理,
L’ /?t =?(r’? mv’) /?t
=?(r’)/?t? mv’ + r’? m?v’/?t
= r’? ( F + F惯性 )
动能定理,∵ m?v’/? t = F + F惯性
→ m?v’ ·?r /?t = (F + F惯性 ) ·?r
→ m v’ ·?v’ = (F + F惯性 ) ·?r
→?(mv’2/2) = (F + F惯性 ) ·?r
即,?T = (F + F惯性 ) ·?r
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x y zO
x y zO
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坐标变换方程：
轴重合。轴与轴旋转，并令绕标系，
为转动坐为静止坐标系，选取的动力学方程。此质点相对于坐标系运动着，现在要求绕竖直轴转动的坐标系角速度的作用下，对于以恒定在力质点拉格朗日方程导出惯性力
F)r(mrm2rm
F zm
Fymxm2ym
Fxmym2xm
,,x,y,z
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222222
有上式代入拉格朗日方程为广义坐标取
，，
§ 5.3 拉格朗日函数的不确定性非惯性系中的拉格朗日函数
1、若两个拉格朗日函数 L1 和 L2 只相差一函数 f(q,t)的全微商 df/dt，则 L1 和 L2 是等价的。
证明：设 L2 = L1 + df(q,t) /dt，只要证明由 L1 和 L2 所得出的运动方程相同即可。考虑体系只有一个广义坐标。
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时，因此，当
2、非惯性系中的拉格朗日函数设有三个参考系,S为惯性系,S1为相对 S以 vo(t)作平动,S’ 与 S1有共同原点，但相对 S1以?o(t)转动。设粒子在 S系速度为 v，在 S1系速度为 v1，则
v = v1 + vo(t)，所以 S系中单粒子的拉格朗日函数为：
朗日函数的一般形式。
来表示惯性系的拉格和的这就是用平动参考系中最后得到：
再次去掉可改写为可去掉。形式为
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来形式拉格朗日方程仍保持原是相同的系中和系中注意到的关系为：和系中的粒子在来表示和系中的用和再将例：在非惯性系中由拉格朗日方程导出单粒子的牛顿运动方程。
解：
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