第八章 哈密顿理论在物理学中的应用
§ 8.1 连续体系的拉格朗日方程
kk k
m m
k
m m m
un+1unun -1un -2
a
i
2
i1i
2
i
i
2
i1i
1iii1ii
i
2
i
i
])(km[
2
1
L
2/)(kU
)(k)(kF
i
2/mT
i
于是体系的拉格朗日：
体系的势能：
个质点所受的力：第体系的动能：
位移，则个质点偏离平衡位置的是第设
。，且，比较可得：
为而分离体系的胡克定律
。长的伸长为单位棒为弹性模量，，其中：胡克定律：
，，则量为令弹性棒单位长度的质改写为分离体系的拉氏函数：
dxa
xa
Eka
a
kaF
ax
E EF
dxaa/m
aL
a
ka
a
m
a
2
1
L
])(km[
2
1
L
i
i1i
i1i
i1i
i
i
i
2
i1i2
i
i
2
i1i
2
i
。，体系，广义坐标为的连续是广义坐标，对于三维，对于每个度。度、动能密度、势能密称为体系的拉格朗日密分别、、。其中：
函数为因此弹性棒的拉格朗日
：分离体系的拉氏函数为
dxdxdxL)t,x,x,x(
)t,x(x
x
E
2
1
2
1
dxdx
x
E
2
1
L
aL
a
ka
a
m
a
2
1
L
321321
2
2
2
2
i
i
i
2
i1i2
i
L
VTLV-TL
L
j
3
1j
j
j
321
j
x
x
0t0x
0dtdxdxdxS
) 321j (t,x,,t/x/
tx
txx/
t/
LLL
L
L
LL
L
L
。，注意变分运算：
出拉格朗日方程由下式给由哈密顿原理，体系的
，，
的一般形式为的显函数，因此三维、或以是还可参数。在某些问题中和的函数，而和密度只是对于弹性棒，拉格朗日
),,(
)1,2,(k 0
x/dx
d
dt
d
0dtdxdxdx
x/dx
d
dt
d
dx
x/dx
d
dx
xd
)(d
x/
dx
xx/
dt
dt
d
dt,0
0dtdxdxdx
xx/
k
3
1j jkjk
321
3
1j jj
2
1
j
jj
2
1
j
jj
2
1
j
jj
2
1
2
1
21
321
3
1j jj
LLL
LLL
L
LL
LL
LLL
即：
的系数为零，为零，必须是任意的，要使上式恒由于
。，波速波动方程：
，得代入
，
因此得：
密度为解：弹性棒的拉格朗日动方程。例：弹性棒纵振动的运
E
v0
x
E
t
0
x/dx
d
dt
d
:
0
x
E
)x/(dx
d
,
x
E
)x/(
tdt
d
x
E
2
1
2
1
2
2
2
2
3
1j jj
2
2
2
2
2
2
LLL
L
LL
LL
L
§ 8.2 电磁场的拉格朗日方程
Aj2/]/)A()t/A([
Aj2/)/BE(
AB
t/AE
00A
A
jt/EB
0B
0t/BE
/E
o
22
o
o
22
o
ooo
o
L
拉格朗日密度
，
和标势广义坐标为矢势麦克斯韦方程给出：真空中的电磁场规律由
o
i i
i
o
joo
i
o
22
o
k
3
1i ikikjk
/E
0
x
E
0
Ei)t/A(
x/
,
1
Aj2/]/)A()t/A([
0
x/)x/(dx
d
dt
d
是将上式写成矢量形式就
：，代入拉格朗日方程得
，
所对应的拉格朗日方程、考虑广义坐标
L
LL
L
LLL
0j
t
E
x
B
x
B1
B
)x/A(
B
)x/A(
B
B
1
)x/A(
,E
A
E
E
A
j
A
A1
Aj2/)/BE(
0
)x/(dx
d
dt
d
1
1
o
3
2
2
3
o
o
2
31
o
3
21
3
3
o21
1o
1
1
1o
1
1
1
1
o
22
o
k
3
1j jkjk
代入拉格朗日方程得：
，
，
，
所对应的拉格朗日方程、考虑广义坐标
L
L
LL
L
LLL
系中去。拉格朗日方程的理论体动方程确定可纳入到这就证明了电磁场的运量形式将它们结合起来写成矢
j
t
E
B
:
0j
t
E
x
B
x
B1
0j
t
E
x
B
x
B1
0j
t
E
x
B
x
B1
ooo
3
3
o
2
1
1
2
o
2
2
o
1
3
3
1
o
1
1
o
3
2
2
3
o
§ 8.3 薛定谔波动力学方程的建立采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。氢原子哈密顿函数为
0
zyx
e
E
m2
zyx
:)1(,
zz
W
yy
W
xx
W
lgW:
( 1) E
zyx
e
z
W
y
W
x
W
m2
1
:
r/em2/)ppp(H
2
222
2
2
222
222
2
222
22
z
2
y
2
x
式得代入，，
变换薛定谔对函数作了一个雅可比方程哈密顿的拉格朗日密度。
就是电子式中的函数作这样的理解，
式。，这就是即形而来。式看作是哈密顿原理变、把就是莫培督作用函数。和时间无关，
用量原理，它是式看作是莫培督最小作、把两种理解
）（
取薛定谔的具体做法是，
。出电子的波动力学方程用最小作用量原理来导日密度假设一个适当的拉格朗物质波把电子看作
)z,y,x(F)1(
)1(0d xd yd z)z,y,x(L
0L0L d t0L d tS
)1(2
)z,y,x(F
)1(1
:
1 0d xd yd z)z,y,x(FdJ
,,""
2
1
2
1
t
t
t
t
L
0d xd yd z
r
e
E
m2
zyx
)z,y,x(F
0
r
e
E
m2
zyx
)z,y,x(F
,)z,y,x(F
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，即上式作为是取合起来，最自然的选择因此要把波粒二象性结达式。这是一个恒等于零的表的电子满足下式：对于粒子性，氢原子中等于零的函数。
应是一个恒所以那么由于日密度看作是电子波的拉格朗因此若把
。恒等于平均势能动能对于波动，体系的平均
,0V-TL
VT
）式的一组边界条件。方程（
分，它们可看作是解偏微和个曲面上取得足够大时，在这面可取这样的条件：当曲
）式恒成立，是任意的，因此要使（向。由于是为这个曲面的法线方原子的一个封闭曲面，
是包围氢的表达式，）式是一个面积分为零（
）（和
）（
通过变分运算，可得
1
0
n
0
f
2
n
f2
2 0
n
df
1 E
r
e
zyxm2
f
2
2
2
2
2
2
22
的保守体系都适用。
意的）式具有普遍性，对任）式和（得到。（
）（
符中的动量改换为微分算）（
经典哈密顿函数称为哈密顿算符，可由其中：
）（）式可改写为：（
EH43
4 ip
p
Vppp
m2
1
H
H
V
m2r
e
zyxm2
H
3 EH
1
2
z
2
y
2
x
2
22
2
2
2
2
2
22
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
222
2
2
222
2
2
22
2
22
x
dx
dx
d
dx
d
m
dx
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
m
dx
dx
d
dx
d
m
dx
xdx
d
m
dx
xm2
0dxExm
2
1
xm2
J
0Exm
2
1
xm2
lgW
xm
2
1
x
W
m2
1
kx
2
1
p
m2
1
H
雅可比方程哈密顿变换后得谐振子的经典作顿函数为解：一维谐振子的哈密方程。一维谐振子的波动力学例：用薛定谔方法导出
。哈密顿算符：
得代入
。，由此可得：
式得代入和将
）（
EH
x
2
m
dx
d
m2
H
x
2
m
p
m2
1
H
x
ip
0
dx
d
Ex
2
m
dx
d
m2
0dxEx
2
m
2
dx
d
mdx
d
m
J
:)3()5()4(
5 dxEx
2
m
2dxEx
2
m
2
2
2
22
2
2
2
x
2
2
2
22
2
1
2
2
2
22
2
1
2
2
1
2
2
2
1
22
2
§ 8.4 刘维尔定理相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变 。
证明,统计系综的一个“样本”：力学体系有 N
个相同的粒子，每个粒子的坐标和动量为 q?,p? 。
统计系综是由与这个力学体系的组成完全相同，
但初始条件不同的许多个“样本”组成。
单个粒子相空间 ( 6 维空间 )：
3个坐标分量 q,3个动量分量 p。
N个粒子构成?空间 ( 6 维空间 ).
t 时刻，每个“样本”的 q,p 确定，因此?
空间中的每一个点表示一个“样本”在某一时刻的状态，这样的点称为“代表点”。因此统计系综就是?空间中的一群代表点。
这群代表点在?空间中的分布一般是不均匀的，因此可引入代表点密度的概念。
这是因为代表点的相轨迹是不会相交的。若相交，
则表明相同力学体系在相同初始条件下有不同的运动规律，这和经典力学的基本假设相矛盾。
设在 d?1 内,代表点的数目为 dN1，则? = dN1
/d?1 就 代表点在 d?1 区域中的 密度。经过时间 t 后，
原来在 d?1中 的代表点运动到? 空间的 d?2的位置，
如图所示，这两个体积元代表点的数目是相同的，
即 dN1 = dN2 。
p
q
d?1
d?2
刘维尔定理：相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变，即?=dN1/d?1=dN2/d?2=常数。
因为 dN1=dN2,所以要证明上式，只要证明 d?1 =
d?2。分两步证明：
1、证明一个粒子的一对正则变量 q,p 从 t 到
t+dt 的变化可看成是一种正则变换。
证：只要找到一个适当的母函数，使变换后的新正则变量 Q,P 为
Q?= q?+ dq?,P?= p?+ dp?,?=1,2,…,N (1)
若取第二类正则变换母函数 F2 (q,P) =?q?P? (2)
则,
( 3 )
pP
qQ
qP/FQ
Pq/Fp
2
2 。，或
这是全同 正则变换。
Q?= q?+ dq?,P?= p?+ dp?,?=1,2,…,N (1)
F2 (q,P) =?q?P?
(2)
比较 (1)和 (2)式,两者只相差无穷小量 dq?和 dp?,
因此认为要得 (1)式,可在 (2)式的母函数中再加上一个无穷小量，即可取
F2 (q,P) =?q?P?+?G(q,P,t) (4)
为 无穷小量,G 为任意 函数。忽略二阶小量，
(4)式近似为,F2 (q,P)q?P?+?G(q,p,t) (5)
(5)式正则变换称为 无穷小正则变换 。
( 3 )
pP
qQ
qP/FQ
Pq/Fp
2
2 。，或
F2 (q,P)q?P? +?G(q,p,t) (5)
令? = dt,G(q,p,t) = H(q,p,t),代入 (5)式，得
F2 (q,P)q?P? + H(q,p,t)dt (6)
利用此母函数即得：
dqqdtqqdt
p
H
q
P
F
Q
dpPdtpPdt
q
H
P
q
F
p
2
2
上式即为 (1)式，即证明了相空间体积从 d?1变换为 d?2是一种正则变换,
2、证明相空间体积在正则变换下保持不变，即
P =?…?dq1…dq 3N dp1…dp 3N =?…?dQ1…dQ 3N dP1 …dP 3N
当积分自变量从 q,p 变到 Q,P 时，体积元的变换为：
…?dQ1 …dQ s dP1 …dP s =?…?Ddq1 …dq s dp1 …dp s (7)
式中 D为雅可比行列式：
( 8 )
p
P
p
P
p
Q
p
Q
q
P
q
P
q
Q
q
Q
q
P
q
P
q
Q
q
Q
)p,,p,p;q,,q,q(
)P,,P,P;Q,,Q,Q(
D
s
s
s
1
s
s
s
1
2
s
2
1
2
s
2
1
1
s
1
1
1
s
1
1
s21s21
s21s21
只要证明,
D = 1
.1D,)9(
0
q
P
PqF
qP
F
1
q
F
P
1
P
p
1
p
P
,
Pq
F
P
F
qq
Q
,)tpq(FP,Qp,q
( 9 )
p
Q
q
P
p
P
q
Q
p
P
p
Q
q
P
q
Q
)pq(
)PQ(
D
1s
2
2
2
2
2
2
2
2
式即得将上述三个式子代入
。，因此，的独立变量为并且由于因此进行的、、的变换是通过设从
、
、
时，首先在在证得了 s = 1 时,D = 1，再利用雅可比行列式的一些性质，就可证明当 s = 3N 时也成立。由于运算比较繁琐，这里从略。
综合以上所得，刘维定理成立。
代表点密度为? =? (q,p,t)，其运动方程为
.
,)11()10(
)11( 0],H[
0
t
1 0 )( 0],H[
t
],H[
tdt
d
系的统计分布函数用这些结论导出各种体在统计物理中将利是刘维定理的推论和
，此时，当体系达到统计平衡时常数，得。代入刘维定理：
§ 8.5 经典微扰理论
1、微扰论的基本思想：
非线性方程中的线性部分是严格可解，而非线性部分相对线性部分来说只是一个小的扰动。
0( 0)x,A)(x
) ( xxx
:
2
o
0
2 是小量非线性振动定解问题例
tc o sA)t(x
0( 0 )x,A)(x
xx
,oo
oo
o
2
oo
0
0
线性
2
1
32
1
2
1
22
1
1
2
2
1
1
2 xxxxxxxx
xx)t(x:
tc osAx)t(x:
xxxx)t(x:
oooooo
o
oo
n
on
n
一级近似零级近似非线性
2/t2c o sA2/At2c o sB3C
2/t2c o sA2/A
Ct2c o sBt2c o s4B
Ct2c o sBx:
2/) t2c o s1 (Atc o sAxx
0( 0 )x,0)0(x,xxx
0( 0 )x,A)0(x,0xx
,
xxx2xxxxx
o
22
o
2
o
2
o
o
22
2
oo
2
oo
2
o
o1
o
2
o
22
1
2
o1
11
2
o1
2
o1
ooo
2
oo
2
1
32
1o
2
o1
2
oo
2
o1o
非齐次特解我们有各次幂的系数必须相等由
) 3t2c os (
6
A
tc osAxxx( t )
2
A
t2c os
6
A
x
2
A
C
6
A
B
2/AC
2/AB3
2/t2c osA2/At2c osB3C
Ct2c osBx,
o2
o
2
o1o
2
o
2
o2
o
2
1
2
o
2
2
o
2
22
o
22
o
o
22
o
2
o
2
o
o1
非齐次特解方法称为微扰理论。
这种原正则方程的近似解。则可通过多次迭代求的
，但的正则方程不容易求解程的解。如果正则方的解迭代后就可得到原方程，然后和方程的一个正则证明，通过解的解是已知的，那么可
）（），，，（，
程的运动是已知的，即方，其中之和可写成两部分顿函数若一个力学体系的哈密
、经典微扰理论
,HHH
)1(
H
1 21
q
H
p
p
H
q
HHHH
H
2
o11
1
oo
o1o
的解。它实际上就是方程由上式可解得常数常数数：。新的正则变量均为常为零，即数的变换后的新哈密顿函知的。经母函数也是已是解，那么是等价的。既然雅可比方程正则方程与哈密顿
)1(
( 3 ) 1,2,
)t,,(pp
)t,,(qq
:
( 2 ) 1,2,
,)t,q,p(gQ
,)t,q,p(fP
0H
)t,,q(S
)t,,q(SSH
0Ht/S
*
o
o
ooo
oo
.)3()2(
H
H)t,,q(S
qpHH)1(
)t,,q(S
( 3 ) 1,2,
)t,,(pp
)t,,(qq
( 2 ) 1,2,
,)t,q,p(gQ
,)t,q,p(fP
o
o
o
o
式式或关系仍为它们和旧的正则变量的
，和相同的，即仍为变换后新的正则变量是变换后新的正则变量和的变换下，函数母是相同的，因此在同一、中的和由于换可得：对原正则方程作正则变用常数常数
s,21 )t,,()t,,(
)4(
0ttH
s,21
H
H,
4 s,21
HH
)3(
0)t,,H
))t,,(q),t,,(pH)q,pHHHH
)2(
0000
0
0
00
o
o
*
1
*
1
*
1
*
1
*
1
*
1
*
o
*
，，，，
的解可表示为。因此方程和时等于的函数，在则是时间和来说，对
，，常数，常数，
是常数，即和来说，对的性质：和从而可看出的变换情况不同。和将是时间的函数和这表明
）（，，，，
新的正则方程为
（
（（
为零，即新的哈密顿哈函数不再
)5( s,21,
)t,,(p
)t),t,,(),t,,((pp
)t,,(q
)t),t,,(),t,,((qq
:H)3(
H
s,21 )t,,()t,,(
00
0000
00
0000
0000
，，
的正则方程的解式中即可得原来们代入的表达式，那么将它和的正则方程作变换后是
，，，，既然
Q G
Mo’
MotMo
O
qp
t
( 9 ) s,21,
)t),t(q),t(p(qq
)t),t(q),t(p(pp
( 8 ) s,21,
)t,q,p(g)t(p
)t,q,p(f)t(q
:
( 7 ) s,21
q
H
p
p
H
q
( 6 ) s,21,
)t,q,p(qq
)t,q,p(pp
:
q
H
p
p
H
q
00
00
000
000
0
o0
0
10
00
00
oo
，，
，，得到
，，，，
出发，解方程
，，个解的任意一，因此，可从正则方程价的。和初始条件的扰动是等分析可认为能量的扰动
。中微扰理论的基本思想力学高的解了。这就是经典后，就可得到精确度很
，那么迭代两三次近似解。如果四级级、依次迭代下去可得到三就可得到二级近似解。
。然后再重复一次式中就得到一级近似解回到看作常数，积分后代、时，把方程左边的式中。在解方程作为零级近似解，代入先把的正则方程的近似解。原可通过多次迭代来求得的条件下，）也不能直接求解，在如果方程（
，，，，
，，
o1
00
0
o0
0
10
00
00
HH
)6(
pq)7(
)7()6(
H
7
( 7 ) s,21
q
H
p
p
H
q
( 6 ) s,21,
)t,q,p(qq
)t,q,p(pp
§ 8.1 连续体系的拉格朗日方程
kk k
m m
k
m m m
un+1unun -1un -2
a
i
2
i1i
2
i
i
2
i1i
1iii1ii
i
2
i
i
])(km[
2
1
L
2/)(kU
)(k)(kF
i
2/mT
i
于是体系的拉格朗日：
体系的势能：
个质点所受的力：第体系的动能：
位移，则个质点偏离平衡位置的是第设
。，且，比较可得：
为而分离体系的胡克定律
。长的伸长为单位棒为弹性模量，，其中：胡克定律：
，，则量为令弹性棒单位长度的质改写为分离体系的拉氏函数：
dxa
xa
Eka
a
kaF
ax
E EF
dxaa/m
aL
a
ka
a
m
a
2
1
L
])(km[
2
1
L
i
i1i
i1i
i1i
i
i
i
2
i1i2
i
i
2
i1i
2
i
。，体系，广义坐标为的连续是广义坐标，对于三维，对于每个度。度、动能密度、势能密称为体系的拉格朗日密分别、、。其中：
函数为因此弹性棒的拉格朗日
：分离体系的拉氏函数为
dxdxdxL)t,x,x,x(
)t,x(x
x
E
2
1
2
1
dxdx
x
E
2
1
L
aL
a
ka
a
m
a
2
1
L
321321
2
2
2
2
i
i
i
2
i1i2
i
L
VTLV-TL
L
j
3
1j
j
j
321
j
x
x
0t0x
0dtdxdxdxS
) 321j (t,x,,t/x/
tx
txx/
t/
LLL
L
L
LL
L
L
。，注意变分运算：
出拉格朗日方程由下式给由哈密顿原理，体系的
，，
的一般形式为的显函数，因此三维、或以是还可参数。在某些问题中和的函数，而和密度只是对于弹性棒，拉格朗日
),,(
)1,2,(k 0
x/dx
d
dt
d
0dtdxdxdx
x/dx
d
dt
d
dx
x/dx
d
dx
xd
)(d
x/
dx
xx/
dt
dt
d
dt,0
0dtdxdxdx
xx/
k
3
1j jkjk
321
3
1j jj
2
1
j
jj
2
1
j
jj
2
1
j
jj
2
1
2
1
21
321
3
1j jj
LLL
LLL
L
LL
LL
LLL
即：
的系数为零，为零，必须是任意的，要使上式恒由于
。，波速波动方程：
，得代入
，
因此得：
密度为解：弹性棒的拉格朗日动方程。例：弹性棒纵振动的运
E
v0
x
E
t
0
x/dx
d
dt
d
:
0
x
E
)x/(dx
d
,
x
E
)x/(
tdt
d
x
E
2
1
2
1
2
2
2
2
3
1j jj
2
2
2
2
2
2
LLL
L
LL
LL
L
§ 8.2 电磁场的拉格朗日方程
Aj2/]/)A()t/A([
Aj2/)/BE(
AB
t/AE
00A
A
jt/EB
0B
0t/BE
/E
o
22
o
o
22
o
ooo
o
L
拉格朗日密度
，
和标势广义坐标为矢势麦克斯韦方程给出：真空中的电磁场规律由
o
i i
i
o
joo
i
o
22
o
k
3
1i ikikjk
/E
0
x
E
0
Ei)t/A(
x/
,
1
Aj2/]/)A()t/A([
0
x/)x/(dx
d
dt
d
是将上式写成矢量形式就
：，代入拉格朗日方程得
，
所对应的拉格朗日方程、考虑广义坐标
L
LL
L
LLL
0j
t
E
x
B
x
B1
B
)x/A(
B
)x/A(
B
B
1
)x/A(
,E
A
E
E
A
j
A
A1
Aj2/)/BE(
0
)x/(dx
d
dt
d
1
1
o
3
2
2
3
o
o
2
31
o
3
21
3
3
o21
1o
1
1
1o
1
1
1
1
o
22
o
k
3
1j jkjk
代入拉格朗日方程得：
，
，
，
所对应的拉格朗日方程、考虑广义坐标
L
L
LL
L
LLL
系中去。拉格朗日方程的理论体动方程确定可纳入到这就证明了电磁场的运量形式将它们结合起来写成矢
j
t
E
B
:
0j
t
E
x
B
x
B1
0j
t
E
x
B
x
B1
0j
t
E
x
B
x
B1
ooo
3
3
o
2
1
1
2
o
2
2
o
1
3
3
1
o
1
1
o
3
2
2
3
o
§ 8.3 薛定谔波动力学方程的建立采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。氢原子哈密顿函数为
0
zyx
e
E
m2
zyx
:)1(,
zz
W
yy
W
xx
W
lgW:
( 1) E
zyx
e
z
W
y
W
x
W
m2
1
:
r/em2/)ppp(H
2
222
2
2
222
222
2
222
22
z
2
y
2
x
式得代入，，
变换薛定谔对函数作了一个雅可比方程哈密顿的拉格朗日密度。
就是电子式中的函数作这样的理解，
式。，这就是即形而来。式看作是哈密顿原理变、把就是莫培督作用函数。和时间无关，
用量原理，它是式看作是莫培督最小作、把两种理解
）（
取薛定谔的具体做法是，
。出电子的波动力学方程用最小作用量原理来导日密度假设一个适当的拉格朗物质波把电子看作
)z,y,x(F)1(
)1(0d xd yd z)z,y,x(L
0L0L d t0L d tS
)1(2
)z,y,x(F
)1(1
:
1 0d xd yd z)z,y,x(FdJ
,,""
2
1
2
1
t
t
t
t
L
0d xd yd z
r
e
E
m2
zyx
)z,y,x(F
0
r
e
E
m2
zyx
)z,y,x(F
,)z,y,x(F
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，即上式作为是取合起来，最自然的选择因此要把波粒二象性结达式。这是一个恒等于零的表的电子满足下式：对于粒子性，氢原子中等于零的函数。
应是一个恒所以那么由于日密度看作是电子波的拉格朗因此若把
。恒等于平均势能动能对于波动，体系的平均
,0V-TL
VT
）式的一组边界条件。方程（
分，它们可看作是解偏微和个曲面上取得足够大时，在这面可取这样的条件：当曲
）式恒成立，是任意的，因此要使（向。由于是为这个曲面的法线方原子的一个封闭曲面，
是包围氢的表达式，）式是一个面积分为零（
）（和
）（
通过变分运算，可得
1
0
n
0
f
2
n
f2
2 0
n
df
1 E
r
e
zyxm2
f
2
2
2
2
2
2
22
的保守体系都适用。
意的）式具有普遍性，对任）式和（得到。（
）（
符中的动量改换为微分算）（
经典哈密顿函数称为哈密顿算符，可由其中：
）（）式可改写为：（
EH43
4 ip
p
Vppp
m2
1
H
H
V
m2r
e
zyxm2
H
3 EH
1
2
z
2
y
2
x
2
22
2
2
2
2
2
22
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
222
2
2
222
2
2
22
2
22
x
dx
dx
d
dx
d
m
dx
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
m
dx
dx
d
dx
d
m
dx
xdx
d
m
dx
xm2
0dxExm
2
1
xm2
J
0Exm
2
1
xm2
lgW
xm
2
1
x
W
m2
1
kx
2
1
p
m2
1
H
雅可比方程哈密顿变换后得谐振子的经典作顿函数为解：一维谐振子的哈密方程。一维谐振子的波动力学例：用薛定谔方法导出
。哈密顿算符：
得代入
。，由此可得：
式得代入和将
）（
EH
x
2
m
dx
d
m2
H
x
2
m
p
m2
1
H
x
ip
0
dx
d
Ex
2
m
dx
d
m2
0dxEx
2
m
2
dx
d
mdx
d
m
J
:)3()5()4(
5 dxEx
2
m
2dxEx
2
m
2
2
2
22
2
2
2
x
2
2
2
22
2
1
2
2
2
22
2
1
2
2
1
2
2
2
1
22
2
§ 8.4 刘维尔定理相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变 。
证明,统计系综的一个“样本”：力学体系有 N
个相同的粒子，每个粒子的坐标和动量为 q?,p? 。
统计系综是由与这个力学体系的组成完全相同，
但初始条件不同的许多个“样本”组成。
单个粒子相空间 ( 6 维空间 )：
3个坐标分量 q,3个动量分量 p。
N个粒子构成?空间 ( 6 维空间 ).
t 时刻，每个“样本”的 q,p 确定，因此?
空间中的每一个点表示一个“样本”在某一时刻的状态，这样的点称为“代表点”。因此统计系综就是?空间中的一群代表点。
这群代表点在?空间中的分布一般是不均匀的，因此可引入代表点密度的概念。
这是因为代表点的相轨迹是不会相交的。若相交，
则表明相同力学体系在相同初始条件下有不同的运动规律，这和经典力学的基本假设相矛盾。
设在 d?1 内,代表点的数目为 dN1，则? = dN1
/d?1 就 代表点在 d?1 区域中的 密度。经过时间 t 后，
原来在 d?1中 的代表点运动到? 空间的 d?2的位置，
如图所示，这两个体积元代表点的数目是相同的，
即 dN1 = dN2 。
p
q
d?1
d?2
刘维尔定理：相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变，即?=dN1/d?1=dN2/d?2=常数。
因为 dN1=dN2,所以要证明上式，只要证明 d?1 =
d?2。分两步证明：
1、证明一个粒子的一对正则变量 q,p 从 t 到
t+dt 的变化可看成是一种正则变换。
证：只要找到一个适当的母函数，使变换后的新正则变量 Q,P 为
Q?= q?+ dq?,P?= p?+ dp?,?=1,2,…,N (1)
若取第二类正则变换母函数 F2 (q,P) =?q?P? (2)
则,
( 3 )
pP
qP/FQ
Pq/Fp
2
2 。，或
这是全同 正则变换。
Q?= q?+ dq?,P?= p?+ dp?,?=1,2,…,N (1)
F2 (q,P) =?q?P?
(2)
比较 (1)和 (2)式,两者只相差无穷小量 dq?和 dp?,
因此认为要得 (1)式,可在 (2)式的母函数中再加上一个无穷小量，即可取
F2 (q,P) =?q?P?+?G(q,P,t) (4)
为 无穷小量,G 为任意 函数。忽略二阶小量，
(4)式近似为,F2 (q,P)q?P?+?G(q,p,t) (5)
(5)式正则变换称为 无穷小正则变换 。
( 3 )
pP
qP/FQ
Pq/Fp
2
2 。，或
F2 (q,P)q?P? +?G(q,p,t) (5)
令? = dt,G(q,p,t) = H(q,p,t),代入 (5)式，得
F2 (q,P)q?P? + H(q,p,t)dt (6)
利用此母函数即得：
dqqdtqqdt
p
H
q
P
F
Q
dpPdtpPdt
q
H
P
q
F
p
2
2
上式即为 (1)式，即证明了相空间体积从 d?1变换为 d?2是一种正则变换,
2、证明相空间体积在正则变换下保持不变，即
P =?…?dq1…dq 3N dp1…dp 3N =?…?dQ1…dQ 3N dP1 …dP 3N
当积分自变量从 q,p 变到 Q,P 时，体积元的变换为：
…?dQ1 …dQ s dP1 …dP s =?…?Ddq1 …dq s dp1 …dp s (7)
式中 D为雅可比行列式：
( 8 )
p
P
p
P
p
Q
p
Q
q
P
q
P
q
Q
q
Q
q
P
q
P
q
Q
q
Q
)p,,p,p;q,,q,q(
)P,,P,P;Q,,Q,Q(
D
s
s
s
1
s
s
s
1
2
s
2
1
2
s
2
1
1
s
1
1
1
s
1
1
s21s21
s21s21
只要证明,
D = 1
.1D,)9(
0
q
P
PqF
qP
F
1
q
F
P
1
P
p
1
p
P
,
Pq
F
P
F
Q
,)tpq(FP,Qp,q
( 9 )
p
Q
q
P
p
P
q
Q
p
P
p
Q
q
P
q
Q
)pq(
)PQ(
D
1s
2
2
2
2
2
2
2
2
式即得将上述三个式子代入
。，因此，的独立变量为并且由于因此进行的、、的变换是通过设从
、
、
时，首先在在证得了 s = 1 时,D = 1，再利用雅可比行列式的一些性质，就可证明当 s = 3N 时也成立。由于运算比较繁琐，这里从略。
综合以上所得，刘维定理成立。
代表点密度为? =? (q,p,t)，其运动方程为
.
,)11()10(
)11( 0],H[
0
t
1 0 )( 0],H[
t
],H[
tdt
d
系的统计分布函数用这些结论导出各种体在统计物理中将利是刘维定理的推论和
，此时，当体系达到统计平衡时常数，得。代入刘维定理：
§ 8.5 经典微扰理论
1、微扰论的基本思想：
非线性方程中的线性部分是严格可解，而非线性部分相对线性部分来说只是一个小的扰动。
0( 0)x,A)(x
) ( xxx
:
2
o
0
2 是小量非线性振动定解问题例
tc o sA)t(x
0( 0 )x,A)(x
xx
,oo
oo
o
2
oo
0
0
线性
2
1
32
1
2
1
22
1
1
2
2
1
1
2 xxxxxxxx
xx)t(x:
tc osAx)t(x:
xxxx)t(x:
oooooo
o
oo
n
on
n
一级近似零级近似非线性
2/t2c o sA2/At2c o sB3C
2/t2c o sA2/A
Ct2c o sBt2c o s4B
Ct2c o sBx:
2/) t2c o s1 (Atc o sAxx
0( 0 )x,0)0(x,xxx
0( 0 )x,A)0(x,0xx
,
xxx2xxxxx
o
22
o
2
o
2
o
o
22
2
oo
2
oo
2
o
o1
o
2
o
22
1
2
o1
11
2
o1
2
o1
ooo
2
oo
2
1
32
1o
2
o1
2
oo
2
o1o
非齐次特解我们有各次幂的系数必须相等由
) 3t2c os (
6
A
tc osAxxx( t )
2
A
t2c os
6
A
x
2
A
C
6
A
B
2/AC
2/AB3
2/t2c osA2/At2c osB3C
Ct2c osBx,
o2
o
2
o1o
2
o
2
o2
o
2
1
2
o
2
2
o
2
22
o
22
o
o
22
o
2
o
2
o
o1
非齐次特解方法称为微扰理论。
这种原正则方程的近似解。则可通过多次迭代求的
，但的正则方程不容易求解程的解。如果正则方的解迭代后就可得到原方程，然后和方程的一个正则证明，通过解的解是已知的，那么可
）（），，，（，
程的运动是已知的，即方，其中之和可写成两部分顿函数若一个力学体系的哈密
、经典微扰理论
,HHH
)1(
H
1 21
q
H
p
p
H
q
HHHH
H
2
o11
1
oo
o1o
的解。它实际上就是方程由上式可解得常数常数数：。新的正则变量均为常为零，即数的变换后的新哈密顿函知的。经母函数也是已是解，那么是等价的。既然雅可比方程正则方程与哈密顿
)1(
( 3 ) 1,2,
)t,,(pp
)t,,(qq
:
( 2 ) 1,2,
,)t,q,p(gQ
,)t,q,p(fP
0H
)t,,q(S
)t,,q(SSH
0Ht/S
*
o
o
ooo
oo
.)3()2(
H
H)t,,q(S
qpHH)1(
)t,,q(S
( 3 ) 1,2,
)t,,(pp
)t,,(qq
( 2 ) 1,2,
,)t,q,p(gQ
,)t,q,p(fP
o
o
o
o
式式或关系仍为它们和旧的正则变量的
，和相同的，即仍为变换后新的正则变量是变换后新的正则变量和的变换下，函数母是相同的，因此在同一、中的和由于换可得：对原正则方程作正则变用常数常数
s,21 )t,,()t,,(
)4(
0ttH
s,21
H
H,
4 s,21
HH
)3(
0)t,,H
))t,,(q),t,,(pH)q,pHHHH
)2(
0000
0
0
00
o
o
*
1
*
1
*
1
*
1
*
1
*
1
*
o
*
，，，，
的解可表示为。因此方程和时等于的函数，在则是时间和来说，对
，，常数，常数，
是常数，即和来说，对的性质：和从而可看出的变换情况不同。和将是时间的函数和这表明
）（，，，，
新的正则方程为
（
（（
为零，即新的哈密顿哈函数不再
)5( s,21,
)t,,(p
)t),t,,(),t,,((pp
)t,,(q
)t),t,,(),t,,((qq
:H)3(
H
s,21 )t,,()t,,(
00
0000
00
0000
0000
，，
的正则方程的解式中即可得原来们代入的表达式，那么将它和的正则方程作变换后是
，，，，既然
Q G
Mo’
MotMo
O
qp
t
( 9 ) s,21,
)t),t(q),t(p(qq
)t),t(q),t(p(pp
( 8 ) s,21,
)t,q,p(g)t(p
)t,q,p(f)t(q
:
( 7 ) s,21
q
H
p
p
H
q
( 6 ) s,21,
)t,q,p(qq
)t,q,p(pp
:
q
H
p
p
H
q
00
00
000
000
0
o0
0
10
00
00
oo
，，
，，得到
，，，，
出发，解方程
，，个解的任意一，因此，可从正则方程价的。和初始条件的扰动是等分析可认为能量的扰动
。中微扰理论的基本思想力学高的解了。这就是经典后，就可得到精确度很
，那么迭代两三次近似解。如果四级级、依次迭代下去可得到三就可得到二级近似解。
。然后再重复一次式中就得到一级近似解回到看作常数，积分后代、时，把方程左边的式中。在解方程作为零级近似解，代入先把的正则方程的近似解。原可通过多次迭代来求得的条件下，）也不能直接求解，在如果方程（
，，，，
，，
o1
00
0
o0
0
10
00
00
HH
)6(
pq)7(
)7()6(
H
7
( 7 ) s,21
q
H
p
p
H
q
( 6 ) s,21,
)t,q,p(qq
)t,q,p(pp
