第六章 多自由度体系的微振动
§ 6.1 振动的分类和线性振动的概念
(1) 按能量分类自由振动、阻尼振动、强迫振动
(2) 按自由度或 (非 )线性分类线性振动 非线性振动单自由度 Ⅰ Ⅳ
有限多自由度 Ⅱ Ⅴ
无限多自由度 Ⅲ Ⅵ
(3)按平衡位置分类稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡稳定平衡,如果在某一位置，保守体系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳定平衡位置。
（ 勒襄 ·狄里赫里定理 ）
不稳定平衡,如果势能在平衡位置取极大值，则是不稳定平衡。
随遇平衡,如果势能是常数，则是随遇平衡。
mg mg
l l
y1 y2
k
θ1 θ2
kK K
m m
0y
m
k
y
m
kK
y
0y
m
k
y
m
kK
y
)yy(kKyym
)yy(kKyym
l/mgK
)yy(ky)l/mg(ym
)yy(ky)l/mg(ym
y,y
122
211
2122
2111
2122
2111
21
引入很小，水平受力分析：假设
§ 6.2 两个自由度保守体系的谐振子系统
0
m
kK
m
k
m
k
m
kK
0
A
A
m
kK
m
k
m
k
m
kK
0A
m
kK
A
m
k
0A
m
k
A
m
kK
0
m
k
A
m
kK
AA
0
m
k
A
m
kK
AA
eAy 0y
m
k
y
m
kK
y
eAy,0y
m
k
y
m
kK
y
2
2
2
1
2
2
2
2
1
21
2
12
2
2
21
2
1
ti
22122
ti
11211
设复数解形式
m
k2
l
g
m
k2K
l
g
m
K
m
k
m
kK
0
m
k
m
kK
0
m
kK
m
k
m
k
m
kK
2
1
22
2
2
2
§ 6.3 多自由度保守体系的谐振子系统
2/qqtT,/2qquU
qq
U
u 0
q
U
,
qq
qq
U
2
1
q
q
U
UU
s)1,2,j( 0q
k,j
kjjk
k,j
kjjk
o
kj
2
jk
o
j
k,j
kj
o
kj
2
j
j
o
j
o
j
常数，记平衡位置高阶项附近势能的泰勒展开：在平衡位置一、拉格朗日函数守力体系考虑理想稳定约束的保
)(,
s21j 0ut
A
s21j 0A)ut(
s21j )tc o s (Aq
s21j 0)quqt(
q
L
q
L
dt
d
2/)qquqqt(UTL
s321
jkjk
2
k
k
kjkjk
2
jj
k
kjkkjk
jj
k,j
kjjkkjjk；正的实数，，，本征值本征方程），（
系数行列式为零，即非零解的充要条件是
），（
程组：代入运动方程得线性方
），（设解的形式为：
），（
程二、特征频率和振动方
初始条件决定。个待定常数，它们可由
，共有，，个相角个，再加上独立的只有因此个比值，个，但有共有
），（通解个。都是常数，共有这些
）（，，
看作已知，可得代入线性方程组，把将特解：
），（本征方程
），（线性方程组：
s2 s s1)-s ( ss
A 1)-s ( s s A
s21j )tc os (Aq,
1)-s ( s
s1,2l AA AAAA
A ω
)tc os (Aq
s21j 0ut,
s21j 0A)ut(
s21
2
)l(
j
2)l(
j
s
1l
ll
)l(
jj
)l(
j
)l(
1
)l(
s
)l(
s
)l(
1
)l(
3
)l(
3
)l(
1
)l(
2
)l(
2
)l(
1l
ll
)l(
j
)l(
j
jkjk
2
k
kjkjk
2
mg mg
l l
y1 y2
kθ1 θ2
2/)klm g l(2/kl
2/kl2/)klm g l(U
2/)2(kl
2/)(kl2/)xx(kU
2/)(m g l
)c os1(m g l
)c os1(m g lU
2/)(mlT
,
)(:
2
2
2
12
2
21
22
1
2
2
221
2
1
2
2
12
22
12
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
21
弹重
。，选取广义坐标解见图求振动方程例
m/k2l/g
l/g
m/k2l/g
l/g
klml)klm g l(
0
mlklm g lkl
klmlklm g l
2/)klm g l(2/kl
2/kl2/)klm g l(U
2/)(mlT
2
1
2
2
2
1
2222
2222
2222
2
2
2
12
2
21
22
1
2
2
2
2
1
2
由初始条件确定。，，，
通解对对
AA
)tc o s (A)tc o s (A
)tc o s (A)tc o s (A
,
AA
0
A
A
mlklm glkl
klmlklm gl
,m/k2l/g
AA
0
A
A
mlklm glkl
klmlklm gl
,l/g
21
)2(
1
)1(
1
22
)2(
111
)1(
12
22
)2(
111
)1(
11
)2(
2
)2(
1
)2(
2
)2(
1
22
1
22
222
1
2
2
)1(
2
)1(
1
)1(
2
)1(
1
22
1
22
222
1
2
1
两个单摆反相振动。
通解则
，时两个单摆完全同步通解则时讨论：
,tc osA,tc osA,
.0,AA,0,0A
,0,AA,0t )2(
,
,tc osA,tc osA,
.0,0A,0,AA
,0,A,0t )1(
2221
2
)2(
11
)1(
1
2121
1211
2
)2(
11
)1(
1
2121
差拍振动通解则
，时讨论：
t
2
s i nt
2
s i nA
t
2
c ost
2
c osA
)tc ost( c osA
2
1
)tc ost( c osA
2
1
,
.0,2/AAA
,0,0A,0t )3(
1212
1212
212
211
21
)2(
1
)1(
1
2121
作简谐振动。对应简正频率称为简正坐标，独立地解：
，令
），，（
。代入拉格朗日方程得
，，同时化为平方和，即
，，使换，因此应有满秩线性变
，正定的，即是实对称二次齐次式，由于
)tc os (A
0ω
t
u
ω
s21l 0ut 0
LL
dt
d
2 /u2/tL
/2uU 2/tT U
T gq,)0U
0T(UT
ll
llll
l
2
llo
l
o
l2
l
l
o
ll
o
l
l
2
l
o
l
l
2
l
o
l
l
2
l
o
l
l
2
l
o
l
l
ljlj
§ 6.4 简正坐标和简正振动
.
m
k2
l
g
2/ml
2/kl2/m g l
t
u
,
l
g
2/ml
2/m g l
t
u
)2/kl2/m g l(
2
1
)2/m g l(
2
1
)(kl
2
1
)(m g l
2
1
U
))(2/ml(
2
1
)(ml
2
1
T
2/)(
2/)(
::
2
2
o
2
o
22
2
2o
1
o
12
1
2
2
22
1
2
12
22
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
2
212
211
212
211
作线性变换上例两种简正模式都存在。
，
，
讨论解作线性变换
tc o sA
tc o sA
0AA
0AA
.0,A,A
.0,0,A,0t )3(:
)tc o s (A
)tc o s (A
,
.
m
k2
l
g
,
l
g
,:
222
111
22
11
2121
2121
2222
1111
2
2
2
1
212
211
) BCC
~
D (
xDXX
~
B C XC
~
X
~
BQQ
~
U
C
~
X
~
Q
~
CXQ
U 1
xb
2
1
U
xa
2
1
T
qqb
2
1
U
qqa
2
1
T
xCq
2
,
2'
2'
,
,
其中
，或其转置矩阵坐标变换：
化为平方和的形式）首先将（
使
，寻找坐标变换
§ 6.5 寻找简正坐标的一般方法
,KBK,B
CCCK
~
)KK,K(CKK,K B C
0
bbb
bbb
bbb
IBd e t
00
00
00
D
) BCC
~
D ( xDXX
~
U
n21
n21n21
nnn2n1n
n222221
n112111
n
2
1
2
决定由方程的本征矢矩阵的是对应于本征值其中组成，的本征矢则由其中
2/1
0
2/1
C
C
C
K
C2C22/C
C22/C2/C52/C
C2 2/CC2
2,KBK
2/332,
0
2
9
2
9
)2(
22/10
2/12/52/1
02/12
qqqqq2q
2
5
q2U,
31
21
11
1
313121
21312111
112111
1
321
2
3221
2
3
2
2
2
1
，对于本征矢方程：
。，，得解：本征值方程：
化为平方和形式。将例
2/x3x3x2U
3/)qqq(x
6/)qq2q(x
2/)qq(x
3/x6/x2/xq
3/x6/x2q
3/x6/x2/xq
CXQ ;
3/1
3/1
3/1
6/1
6/2
6/1
2/1
0
2/1
C,
.
3/1
3/1
3/1
K,3 ;
6/1
6/2
6/1
K,3
2
3
2
2
2
1
3213
3212
311
3213
322
3211
3222
变换矩阵对对
),KK,K (C,
K'BK A ':
b00
0b0
00b
'B
aaa
aaa
aaa
A '
0B''A ' -
U,T
,xC xxaT xbU
U T U
U T )2(
'
n
'
2
'
1
'''
'
nn
'
22
'
11
'
nn
'
n2
'
n1
'
2n
'
23
'
21
'
1n
'
12
'
11
'
,
'
,
2'
变换矩阵本征矢方程和式中本征值方程：
仍保持平方和形式。化为平方和形式使作坐标变换。，
的形式必为：和化为平方和形式，这是先将同时化为平方和形式和将
g2
)22(l
g2
)22(l
,
04/lm2/)gl(lm
2/m g l2/ml2/ml
2/mlm g lml
B'A ' -
2/m g l0
0m g l
'B
2/ml2/ml
2/mlml
A '
)2/(m g lU)2/(mlT,
21
42222
22
22
22
22
2
2
2
1
2
221
2
1
2
，本征值为
，解：
同时化为平方和形式。
，例
3/2
3/1
C
C
g4/m g l C)22(l2/Cml2/Cml
g2/m g l C)22(l2/CmlCml
,K'BKA
g2
)22(l
g2
)22(l
,
'
21
'
11
'
21
'
21
2'
11
2
'
11
'
21
2'
11
2
'
11
'
11
21
即’，本征矢方程：对
，本征值为
3/)qq(m g l2U
3/]q)22(q)22[(mlT
22
3
q
22
3
q
2
)qq(
)
3
2
(
2
)qq(
)
3
2
(
3
2
3
1
3
2
3
1
C
3
2
3
1
C
C
,
3
2
3
1
C
C
)2/(m g lU)2/(mlT,
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
12
2
11
21
2
21
1
'
22
'
12
'
21
'
11
2
2
2
1
2
221
2
1
2
解：
同时化为平方和形式。
，例
§ 6.6 一维晶格的纵振动 ( 声子模型 )
一维 晶格 ( 假设循环边界条件,un = uN+n )
第 n 个原子，位移为 un
左边作用,K(un - un -1)
右边作用,K(un+1 - un)
运动方程,
)uu2u(Kum 1nn1n
为平衡位置其中猜解
nau
Aeu:
o
n
)t ku(i
n
o
n
KK K
m m
K
m m m
un+1unun -1un -2
a
)uu2u(Kum 1nn1nn )t ku(in onAeu,猜解
)2/kas i n (2
m
K
,)2/ka(s i n4)2/ka(s i n
m
K
4
)2/ka(s i nK4m)e2e(Km
]ee2e[Kme
o
o
22
o
22
22i k ai k a2
]t a)1n(k[i)t k n a(i]t a)1n(k[i)t k n a(i2
色散关系：
。其中
)N,N,.,,1,2,(P
Na/P2/2k
P2kN a
]ta)nN(kc o s [A)tkn ac o s (A
uu:)3(
2m/K2 )2(
)/2k:( ka1ka )1(:
)2/kas i n (2
nNn
om a x
o
o
个独立模式有循环边界波矢当讨论色散关系：
§ 6.7 周期势，受迫振动一质点受内力势作用：
外力势作用：
0
2
0
2
xee
x
txU
xtU
kx
),(
),(
/
02
1
x
e
x
txU
F
kxF
),(
)/(
/)(x
2
o
2
o
mk
mtFxFkxxm
其中
2
)(
m/f
C
m
f
)C(
,)1(
( 2 ) ts i nC)ts i nAtc o sA(x,
( 1 ) ts i n
m
f
xx,
ts i n f F ( t ),
22
o
22
o
o2o1
2
o
式非齐次解代入非齐次解齐次解通解简谐振子周期外力势例
C
ωωo
ts i nC)ts i nAtc o sA(x,
ts i n f F ( t ),
o2o1
通解周期外力势例
o2
1
2o
1
/CA
0A
CA0
A0
0x,0x,0t,?初始条件
toω
ω
ω
ω s i n-ts i nCx
o
),0(
,
oo
o
或求共振态附近的解
]ts i n
1
tc ost [C
]ts i nts i n-
ts i ntc ostc ost[ s i n C
ts i n)1(-t)ts i n ( C
ts i n-ts i n Cx
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
ωot cosωot
sinωotx
ωot
ωot
]ts i n1tc o st [Cx o
o
o
o
2
o
2
o
m2
f
)(
m/f
C
)c o s( s i n ttt
m
f
x ooo
o
ωωω
ω
2
2
),0(
,
oo
o
或求共振态附近的解
§ 6.8 速度势，阻尼振动
x -
xd
)xd U (
-F,
x
2
1
)x(U,
f
2
或摩擦力速度势
0xx2x,( 1 )
)(
m2
,
m
k
:
( 1 ) xkxxm:
2
o
o
式变为衰减系数引入参量简谐振子方程
0f)(
dt
fd
,,
0f)2(
dt
df
) (2
dt
fd
e)t(fe)t(fe)t(fe)t(f(t)x
e)t(fe)t(f(t)x
,) ( e)t(f)t(x:
0xx2x,
22
o2
2
o
2
2
2
t2ttt
tt
t
2
o
则不妨取任意的因为为正常数设解简谐振子方程
0f)(dt fd 22o2
2
)t s i n (aex ( t ):
)ta s i n (f ( t ) 0f
dt
fd
,,1:
22
o
t-
2
2
2
22
oo
得小阻力的解小阻力、讨论
x
e-λt
t
0f)(dt fd 22o2
2
.
]t) (e x p [C
]t) (e x p [Cx ( t ):
,2
2
o
2
2
2
o
2
1
o
系统没有发生振动表明在阻力大的情况下通解大阻力、
x
t
t-
2
2
o
b t ) ea(x( t ):
tbaf ( t ) 0
dt
fd
0,,3
通解临界制动、
§ 6.9 阻尼受迫振动系统受阻力和周期性外力作用,振动方程为,
ts i nmfxxx o 22
22
o
22222
o
i2
o
2
i2
o
2
)t(i)t(i
2
tg,
4)(
1
m
f
C:
m/fe)i2(C
m/fe)i2(C
:)1(
]ee[
i2
C
)t(x:
得式代入非齐次方程特解达到最大。位移系统的振幅时、当迫力周期相同；、受迫振动的频率与强结论可忽略齐次方程通解衰减
)(,2 2
1:
.,
22
o
221
22222
2
4
1
oo
tgt
m
tx
s i n
)(
f
)(:特解
22
o
222
o
222
o
22222
o
22222
o
2 2)(
0 8)2)((2
d
dy
,4)(y
,
4)(
1
m
f
的极值即达到最大的条件求
§ 6.10 单摆运动力学中讨论过无阻尼、小摆幅，
现讨论大摆幅、有阻尼。
一、小振幅单摆
1、无阻尼单摆运动
l
g,
)(,)(
s i n
s i nm g lml oo
000
0
0
2
2
g/l2T:
tc o s)t(00s i n:
o
o
2
o
摆动周期小摆角
ts i n htc o s he( t )
)2(
/2T,
)tc o s (e( t )
)1(
02 2
2
o
2
o
2
o
2
o
2
o
2
o
t-
o
o
2
o
2
o
o
2
o
2
o
t-
o
o
2
o
时，
周期时，
、阻尼：
θ
θ.
θ
θ.
阻尼振动无阻尼小振幅为坐标），、相空间（
3
)c os(
c os//
) c os (/
/,
),c os (
)c os( c o s
s i n
/
12
12
122
2
11
2
0
2
22
22
0
21
2
Hg
glm g lEH
m g lmlE
mlE
m g lE
d
t
l
g
k
p
o
o
引入单摆的总能量：、
动能
、单摆的重力势能：
二、大摆幅单摆单摆的势能曲线和相图
0 s i nh 2o
三、阻尼大振幅单摆定性的物理讨论：
（ 1）第一类不稳定轨线：
稳定平衡点上（不动点）
（ 2）第二类不稳定轨线：
在鞍点处出现分岔现象单摆的相轨线
ω
θ
§ 6.1 振动的分类和线性振动的概念
(1) 按能量分类自由振动、阻尼振动、强迫振动
(2) 按自由度或 (非 )线性分类线性振动 非线性振动单自由度 Ⅰ Ⅳ
有限多自由度 Ⅱ Ⅴ
无限多自由度 Ⅲ Ⅵ
(3)按平衡位置分类稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡稳定平衡,如果在某一位置，保守体系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳定平衡位置。
（ 勒襄 ·狄里赫里定理 ）
不稳定平衡,如果势能在平衡位置取极大值，则是不稳定平衡。
随遇平衡,如果势能是常数，则是随遇平衡。
mg mg
l l
y1 y2
k
θ1 θ2
kK K
m m
0y
m
k
y
m
kK
y
0y
m
k
y
m
kK
y
)yy(kKyym
)yy(kKyym
l/mgK
)yy(ky)l/mg(ym
)yy(ky)l/mg(ym
y,y
122
211
2122
2111
2122
2111
21
引入很小，水平受力分析：假设
§ 6.2 两个自由度保守体系的谐振子系统
0
m
kK
m
k
m
k
m
kK
0
A
A
m
kK
m
k
m
k
m
kK
0A
m
kK
A
m
k
0A
m
k
A
m
kK
0
m
k
A
m
kK
AA
0
m
k
A
m
kK
AA
eAy 0y
m
k
y
m
kK
y
eAy,0y
m
k
y
m
kK
y
2
2
2
1
2
2
2
2
1
21
2
12
2
2
21
2
1
ti
22122
ti
11211
设复数解形式
m
k2
l
g
m
k2K
l
g
m
K
m
k
m
kK
0
m
k
m
kK
0
m
kK
m
k
m
k
m
kK
2
1
22
2
2
2
§ 6.3 多自由度保守体系的谐振子系统
2/qqtT,/2qquU
U
u 0
q
U
,
U
2
1
q
q
U
UU
s)1,2,j( 0q
k,j
kjjk
k,j
kjjk
o
kj
2
jk
o
j
k,j
kj
o
kj
2
j
j
o
j
o
j
常数，记平衡位置高阶项附近势能的泰勒展开：在平衡位置一、拉格朗日函数守力体系考虑理想稳定约束的保
)(,
s21j 0ut
A
s21j 0A)ut(
s21j )tc o s (Aq
s21j 0)quqt(
q
L
q
L
dt
d
2/)qquqqt(UTL
s321
jkjk
2
k
k
kjkjk
2
jj
k
kjkkjk
jj
k,j
kjjkkjjk；正的实数，，，本征值本征方程），（
系数行列式为零，即非零解的充要条件是
），（
程组：代入运动方程得线性方
），（设解的形式为：
），（
程二、特征频率和振动方
初始条件决定。个待定常数，它们可由
，共有，，个相角个，再加上独立的只有因此个比值，个，但有共有
），（通解个。都是常数，共有这些
）（，，
看作已知，可得代入线性方程组，把将特解：
），（本征方程
），（线性方程组：
s2 s s1)-s ( ss
A 1)-s ( s s A
s21j )tc os (Aq,
1)-s ( s
s1,2l AA AAAA
A ω
)tc os (Aq
s21j 0ut,
s21j 0A)ut(
s21
2
)l(
j
2)l(
j
s
1l
ll
)l(
jj
)l(
j
)l(
1
)l(
s
)l(
s
)l(
1
)l(
3
)l(
3
)l(
1
)l(
2
)l(
2
)l(
1l
ll
)l(
j
)l(
j
jkjk
2
k
kjkjk
2
mg mg
l l
y1 y2
kθ1 θ2
2/)klm g l(2/kl
2/kl2/)klm g l(U
2/)2(kl
2/)(kl2/)xx(kU
2/)(m g l
)c os1(m g l
)c os1(m g lU
2/)(mlT
,
)(:
2
2
2
12
2
21
22
1
2
2
221
2
1
2
2
12
22
12
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
21
弹重
。，选取广义坐标解见图求振动方程例
m/k2l/g
l/g
m/k2l/g
l/g
klml)klm g l(
0
mlklm g lkl
klmlklm g l
2/)klm g l(2/kl
2/kl2/)klm g l(U
2/)(mlT
2
1
2
2
2
1
2222
2222
2222
2
2
2
12
2
21
22
1
2
2
2
2
1
2
由初始条件确定。，，，
通解对对
AA
)tc o s (A)tc o s (A
)tc o s (A)tc o s (A
,
AA
0
A
A
mlklm glkl
klmlklm gl
,m/k2l/g
AA
0
A
A
mlklm glkl
klmlklm gl
,l/g
21
)2(
1
)1(
1
22
)2(
111
)1(
12
22
)2(
111
)1(
11
)2(
2
)2(
1
)2(
2
)2(
1
22
1
22
222
1
2
2
)1(
2
)1(
1
)1(
2
)1(
1
22
1
22
222
1
2
1
两个单摆反相振动。
通解则
，时两个单摆完全同步通解则时讨论：
,tc osA,tc osA,
.0,AA,0,0A
,0,AA,0t )2(
,
,tc osA,tc osA,
.0,0A,0,AA
,0,A,0t )1(
2221
2
)2(
11
)1(
1
2121
1211
2
)2(
11
)1(
1
2121
差拍振动通解则
，时讨论：
t
2
s i nt
2
s i nA
t
2
c ost
2
c osA
)tc ost( c osA
2
1
)tc ost( c osA
2
1
,
.0,2/AAA
,0,0A,0t )3(
1212
1212
212
211
21
)2(
1
)1(
1
2121
作简谐振动。对应简正频率称为简正坐标，独立地解：
，令
），，（
。代入拉格朗日方程得
，，同时化为平方和，即
，，使换，因此应有满秩线性变
，正定的，即是实对称二次齐次式，由于
)tc os (A
0ω
t
u
ω
s21l 0ut 0
LL
dt
d
2 /u2/tL
/2uU 2/tT U
T gq,)0U
0T(UT
ll
llll
l
2
llo
l
o
l2
l
l
o
ll
o
l
l
2
l
o
l
l
2
l
o
l
l
2
l
o
l
l
2
l
o
l
l
ljlj
§ 6.4 简正坐标和简正振动
.
m
k2
l
g
2/ml
2/kl2/m g l
t
u
,
l
g
2/ml
2/m g l
t
u
)2/kl2/m g l(
2
1
)2/m g l(
2
1
)(kl
2
1
)(m g l
2
1
U
))(2/ml(
2
1
)(ml
2
1
T
2/)(
2/)(
::
2
2
o
2
o
22
2
2o
1
o
12
1
2
2
22
1
2
12
22
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
2
212
211
212
211
作线性变换上例两种简正模式都存在。
，
，
讨论解作线性变换
tc o sA
tc o sA
0AA
0AA
.0,A,A
.0,0,A,0t )3(:
)tc o s (A
)tc o s (A
,
.
m
k2
l
g
,
l
g
,:
222
111
22
11
2121
2121
2222
1111
2
2
2
1
212
211
) BCC
~
D (
xDXX
~
B C XC
~
X
~
BQQ
~
U
C
~
X
~
Q
~
CXQ
U 1
xb
2
1
U
xa
2
1
T
qqb
2
1
U
qqa
2
1
T
xCq
2
,
2'
2'
,
,
其中
，或其转置矩阵坐标变换：
化为平方和的形式）首先将（
使
，寻找坐标变换
§ 6.5 寻找简正坐标的一般方法
,KBK,B
CCCK
~
)KK,K(CKK,K B C
0
bbb
bbb
bbb
IBd e t
00
00
00
D
) BCC
~
D ( xDXX
~
U
n21
n21n21
nnn2n1n
n222221
n112111
n
2
1
2
决定由方程的本征矢矩阵的是对应于本征值其中组成，的本征矢则由其中
2/1
0
2/1
C
C
C
K
C2C22/C
C22/C2/C52/C
C2 2/CC2
2,KBK
2/332,
0
2
9
2
9
)2(
22/10
2/12/52/1
02/12
qqqqq2q
2
5
q2U,
31
21
11
1
313121
21312111
112111
1
321
2
3221
2
3
2
2
2
1
，对于本征矢方程：
。，，得解：本征值方程：
化为平方和形式。将例
2/x3x3x2U
3/)qqq(x
6/)qq2q(x
2/)qq(x
3/x6/x2/xq
3/x6/x2q
3/x6/x2/xq
CXQ ;
3/1
3/1
3/1
6/1
6/2
6/1
2/1
0
2/1
C,
.
3/1
3/1
3/1
K,3 ;
6/1
6/2
6/1
K,3
2
3
2
2
2
1
3213
3212
311
3213
322
3211
3222
变换矩阵对对
),KK,K (C,
K'BK A ':
b00
0b0
00b
'B
aaa
aaa
aaa
A '
0B''A ' -
U,T
,xC xxaT xbU
U T U
U T )2(
'
n
'
2
'
1
'''
'
nn
'
22
'
11
'
nn
'
n2
'
n1
'
2n
'
23
'
21
'
1n
'
12
'
11
'
,
'
,
2'
变换矩阵本征矢方程和式中本征值方程：
仍保持平方和形式。化为平方和形式使作坐标变换。，
的形式必为：和化为平方和形式，这是先将同时化为平方和形式和将
g2
)22(l
g2
)22(l
,
04/lm2/)gl(lm
2/m g l2/ml2/ml
2/mlm g lml
B'A ' -
2/m g l0
0m g l
'B
2/ml2/ml
2/mlml
A '
)2/(m g lU)2/(mlT,
21
42222
22
22
22
22
2
2
2
1
2
221
2
1
2
，本征值为
，解：
同时化为平方和形式。
，例
3/2
3/1
C
C
g4/m g l C)22(l2/Cml2/Cml
g2/m g l C)22(l2/CmlCml
,K'BKA
g2
)22(l
g2
)22(l
,
'
21
'
11
'
21
'
21
2'
11
2
'
11
'
21
2'
11
2
'
11
'
11
21
即’，本征矢方程：对
，本征值为
3/)qq(m g l2U
3/]q)22(q)22[(mlT
22
3
q
22
3
q
2
)qq(
)
3
2
(
2
)qq(
)
3
2
(
3
2
3
1
3
2
3
1
C
3
2
3
1
C
C
,
3
2
3
1
C
C
)2/(m g lU)2/(mlT,
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
12
2
11
21
2
21
1
'
22
'
12
'
21
'
11
2
2
2
1
2
221
2
1
2
解：
同时化为平方和形式。
，例
§ 6.6 一维晶格的纵振动 ( 声子模型 )
一维 晶格 ( 假设循环边界条件,un = uN+n )
第 n 个原子，位移为 un
左边作用,K(un - un -1)
右边作用,K(un+1 - un)
运动方程,
)uu2u(Kum 1nn1n
为平衡位置其中猜解
nau
Aeu:
o
n
)t ku(i
n
o
n
KK K
m m
K
m m m
un+1unun -1un -2
a
)uu2u(Kum 1nn1nn )t ku(in onAeu,猜解
)2/kas i n (2
m
K
,)2/ka(s i n4)2/ka(s i n
m
K
4
)2/ka(s i nK4m)e2e(Km
]ee2e[Kme
o
o
22
o
22
22i k ai k a2
]t a)1n(k[i)t k n a(i]t a)1n(k[i)t k n a(i2
色散关系：
。其中
)N,N,.,,1,2,(P
Na/P2/2k
P2kN a
]ta)nN(kc o s [A)tkn ac o s (A
uu:)3(
2m/K2 )2(
)/2k:( ka1ka )1(:
)2/kas i n (2
nNn
om a x
o
o
个独立模式有循环边界波矢当讨论色散关系：
§ 6.7 周期势，受迫振动一质点受内力势作用：
外力势作用：
0
2
0
2
xee
x
txU
xtU
kx
),(
),(
/
02
1
x
e
x
txU
F
kxF
),(
)/(
/)(x
2
o
2
o
mk
mtFxFkxxm
其中
2
)(
m/f
C
m
f
)C(
,)1(
( 2 ) ts i nC)ts i nAtc o sA(x,
( 1 ) ts i n
m
f
xx,
ts i n f F ( t ),
22
o
22
o
o2o1
2
o
式非齐次解代入非齐次解齐次解通解简谐振子周期外力势例
C
ωωo
ts i nC)ts i nAtc o sA(x,
ts i n f F ( t ),
o2o1
通解周期外力势例
o2
1
2o
1
/CA
0A
CA0
A0
0x,0x,0t,?初始条件
toω
ω
ω
ω s i n-ts i nCx
o
),0(
,
oo
o
或求共振态附近的解
]ts i n
1
tc ost [C
]ts i nts i n-
ts i ntc ostc ost[ s i n C
ts i n)1(-t)ts i n ( C
ts i n-ts i n Cx
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
ωot cosωot
sinωotx
ωot
ωot
]ts i n1tc o st [Cx o
o
o
o
2
o
2
o
m2
f
)(
m/f
C
)c o s( s i n ttt
m
f
x ooo
o
ωωω
ω
2
2
),0(
,
oo
o
或求共振态附近的解
§ 6.8 速度势，阻尼振动
x -
xd
)xd U (
-F,
x
2
1
)x(U,
f
2
或摩擦力速度势
0xx2x,( 1 )
)(
m2
,
m
k
:
( 1 ) xkxxm:
2
o
o
式变为衰减系数引入参量简谐振子方程
0f)(
dt
fd
,,
0f)2(
dt
df
) (2
dt
fd
e)t(fe)t(fe)t(fe)t(f(t)x
e)t(fe)t(f(t)x
,) ( e)t(f)t(x:
0xx2x,
22
o2
2
o
2
2
2
t2ttt
tt
t
2
o
则不妨取任意的因为为正常数设解简谐振子方程
0f)(dt fd 22o2
2
)t s i n (aex ( t ):
)ta s i n (f ( t ) 0f
dt
fd
,,1:
22
o
t-
2
2
2
22
oo
得小阻力的解小阻力、讨论
x
e-λt
t
0f)(dt fd 22o2
2
.
]t) (e x p [C
]t) (e x p [Cx ( t ):
,2
2
o
2
2
2
o
2
1
o
系统没有发生振动表明在阻力大的情况下通解大阻力、
x
t
t-
2
2
o
b t ) ea(x( t ):
tbaf ( t ) 0
dt
fd
0,,3
通解临界制动、
§ 6.9 阻尼受迫振动系统受阻力和周期性外力作用,振动方程为,
ts i nmfxxx o 22
22
o
22222
o
i2
o
2
i2
o
2
)t(i)t(i
2
tg,
4)(
1
m
f
C:
m/fe)i2(C
m/fe)i2(C
:)1(
]ee[
i2
C
)t(x:
得式代入非齐次方程特解达到最大。位移系统的振幅时、当迫力周期相同；、受迫振动的频率与强结论可忽略齐次方程通解衰减
)(,2 2
1:
.,
22
o
221
22222
2
4
1
oo
tgt
m
tx
s i n
)(
f
)(:特解
22
o
222
o
222
o
22222
o
22222
o
2 2)(
0 8)2)((2
d
dy
,4)(y
,
4)(
1
m
f
的极值即达到最大的条件求
§ 6.10 单摆运动力学中讨论过无阻尼、小摆幅，
现讨论大摆幅、有阻尼。
一、小振幅单摆
1、无阻尼单摆运动
l
g,
)(,)(
s i n
s i nm g lml oo
000
0
0
2
2
g/l2T:
tc o s)t(00s i n:
o
o
2
o
摆动周期小摆角
ts i n htc o s he( t )
)2(
/2T,
)tc o s (e( t )
)1(
02 2
2
o
2
o
2
o
2
o
2
o
2
o
t-
o
o
2
o
2
o
o
2
o
2
o
t-
o
o
2
o
时，
周期时，
、阻尼：
θ
θ.
θ
θ.
阻尼振动无阻尼小振幅为坐标），、相空间（
3
)c os(
c os//
) c os (/
/,
),c os (
)c os( c o s
s i n
/
12
12
122
2
11
2
0
2
22
22
0
21
2
Hg
glm g lEH
m g lmlE
mlE
m g lE
d
t
l
g
k
p
o
o
引入单摆的总能量：、
动能
、单摆的重力势能：
二、大摆幅单摆单摆的势能曲线和相图
0 s i nh 2o
三、阻尼大振幅单摆定性的物理讨论：
（ 1）第一类不稳定轨线：
稳定平衡点上（不动点）
（ 2）第二类不稳定轨线：
在鞍点处出现分岔现象单摆的相轨线
ω
θ
