第二章 拉格朗日运动方程
§ 2,1 约束 广义坐标
§ 2,2 达郎贝尔原理
§ 2,3 完整约束拉格朗日方程
§ 2,4 非完整约束的拉格朗日方程
§ 2,5 对称性和守恒定律
§ 2,1 约束 广义坐标一、约束与分类
1、约束,限制各质点自由运动的条件。
2、分类
(1)几何约束和运动约束 ( 微分约束 )
几何约束,fi ( r1,r2,… rn,t ) = 0
运动约束,fi ( r1,r2,… rn,v1,v2,… vn,t ) = 0
( i =1,2,… k )
式中 k 为约束个数,独立约束的个数 ≤3n 。
(2) 稳定约束和非稳定约束稳定约束,约束方程不显含 t 的约束。
非稳定约束,约束方程显含 t 的约束。
例：稳定的几何约束,fi ( r1,r2,… rn ) = 0
稳定的运动约束,fi ( r1,r2,… rn,v1,v2,… vn ) = 0
( i =1,2,… k )
(3) 可解约束和不可解约束不可解约束,约束方程为等式。
可解约束,约束方程可在一个方向偏离等式。
例：不可解几何约束,fi ( r1,r2,… rn,t ) = 0
可解几何约束,fi ( r1,r2,… rn,t ) ≥ 0 或 ≤ 0 。
(4)完整约束和非完整约束非完整约束,有两种情况
(a) 可解约束 ;
(b) 微分约束中若约束方程不能单独积分
( 必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才能积分 ).
完整约束,除上述两种情况外的约束,
今后主要研究受 完整约束 的力学体系,即研究 完整系 的力学问题,
例 1：一球面摆,O 点固定； OM
为轻刚性杆，杆长为 l ； M 点系一质点，其质量为 m 。
设 O 点为直角坐标原点，则质点 M 的约束方程为,x2 + y2 +
z2 - l2 = 0它是稳定、不可解、几何、
完整约束。
若 O 点不固定，在 x 方向有一恒定速率 c，
t = 0 时 O 点处于坐标原点，则约束方程为,
(x – ct)2 + y2 + z2 - l2 = 0
它是非稳定、不可解、几何、完整约束。
O
M
l
例 1：一球面摆,O 点固定； OM
为轻刚性杆，杆长为 l ； M 点系一质点，其质量为 m 。
若 OM为不可伸长的柔软绳,则约束方程为：
O点固定,x2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0
O点不固定,(x – ct)2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0
它是可解约束。约束空间为以 O为球心,l 为半径的球体。
O
M
l
例 2：线性三原子分子组成的体系只能在该连线上运动。体系在无外力作用。
分析：体系的质心速度为常数，即约束方程为：
vC = C （微分约束）
积分得,xC = C t + xCo
x1
m2 m3m1
x2 x3
。所以它是一种完整约束这就退化为几何约束，
即,CoC xtC
mmm
xmxmxm
x
321
332211
dt
dq
q
qqq
2
1
i
i
n21
广义速度的定义：
例如：面积、体积等。
它物理量。
，可以是角度或其广义坐标不一定是长度
。，，记为位置的独立“坐标”，、广义坐标：描写体系
”的个数。、自由度：独立“坐标二、自由度与广义坐标
§ 2,2 达郎贝尔原理一、虚位移假想的、符合约束条件的、无限小的、
即时的位置变更,δr,
注意,(1)某一固定时刻,
即,dt = 0.
(2) 与实位移 dr 无关,
理解,dr = δr + vo dt
当 v →∞,dt → 0,
dr → δ r,B
B’
B”
A
dr
δr
v
vodt’
vodt” vo
是理想约束。杆、不可伸长的绳等都刚性光滑曲线、光滑铰链、一般地说，光滑曲面、
即虚功为零。任意虚位移中所作的总在学体系的所有约束反力、理想约束：作用于力
）（）（
约束反力的合力）主动力，其中
，平衡时：合外力功。的力在虚位移中所作的、虚功：作用在质点上二、虚功
0rR,
2
0rRF 0rRF
R F (
0RF
1
ii
iiiiii
ii
ii
虚功等于零。期间，主动力所作的总小任何虚位移置的、符合约束的无限位条件下，体系离开平衡物理意义：在理想约束条件、虚功原理：系统平衡
0rF 3
ii
0r)rmF(
0rR
0r)rmRF(,
0rmRF,
rmRF
iiii
ii
iiiii
iiii
iiii
达朗伯原理总虚功为零平衡条件牛顿第二定律：
三、达朗伯原理
。及成的角度衡时此二杆与水平线所
。求平端加一水平力杆的
。在的均匀杆、长为重端，用铰链连另一动。此杆的转铰链能在竖直平面内绕固定
，，长为，重例如：均匀杆
F B AB
AB l P
A
O
l P OA
22
11
( 1 ) 0yFxPxP
rFrPrPrF
2
32211
BD2C1ii
虚功原理
。、选取个，系统自由度为解：体系为理想约束，
A
O
x
y
D(x2,y2)
B (x3,y3)
F
C(x1,y1)
P1
P2
β
α
0 ] s i nFl c os)2/lP[(
] s i nFlc oslP c os)2/lP([
:( 1)
s i nl s i nly
c os)2/l( c oslx
c os)2/l(x
c oslc osly
s i n)2/l(s i nlx
s i n)2/l(x
,
( 1) 0yFxPxPrF
222
11211
213
212
11
213
212
11
32211ii
得上式代入关系几何
F2Ptg,F2 P2 Ptg 221
A
O
x
y
D(x2,y2)
B (x3,y3)
F
C(x1,y1)
P1
P2
β
α
)q,,
q
r
FQ,(
qQq
q
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FrF
q
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v
t
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,
.kn3s,
,n,3,2,1i )t,q,q,q,q(rr,
j
i j
i
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j
j
i
i
i
ii
j
i
j
i
j j
i
j
j
i
iij
j
i
i
n321ii
广义速度广义力公式辅助广义坐标质点位矢
§ 2,3 完整约束拉格朗日方程
j
i
i
j
i
i
j
i
i
j
i
i
j
i
i
j i
j
j
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ii
i
iii
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ii
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i
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v
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dt
d
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q
q
r
rmrrm rFqQ
q
r
q
v
t
r
q
q
r
rv
q
q
r
r
,
辅助公式
)
2
vm
T ( q
q
T
q
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d
q
2
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q2
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qdt
d
q
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v
v
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v
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q
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rmrrm
q
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v
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j jj
j
j
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j i
j
j
i
ii
i
iii
j
i
i
j
i
i
j
i
i
其中总动能
朗日运动方程上式称为完整约束拉格是独立变量个由于其中总动能
Q
q
T
q
T
dt
d
,q s
qQq
q
T
q
T
dt
d
)
2
vm
T (
q
q
T
q
T
dt
d
rrmqQ
j
jj
j
s
j
jjj
j jj
i
2
ii
j
j jji
iii
s
j
jj
j s i nli c osl
r
j s i nli c osl
r
j s i nl5.0 i c osl5.0
r
j )c oslc osl(i )s i nls i nl(rr
j )c osl5.0c osl(i )s i nl5.0s i nl(rr
j c osl5.0 i s i nl5.0rr
j FFi PFi PF,
11
3
11
2
11
1
2121B3
2121D2
11C1
32211
，，主动力解：广义力为零
A
O
y
x
D(x2,y2)
B (x3,y3)
F
C(x1,y1)
P1
P2
β
α
。，同学们计算
，
，，主动力
tgQ,
F2
P2P
F
PP5.0
tg
0 s i nFl c o slPc o slP5.0
)j s i nli c o sl(j F)j s i nli c o sl(i P
)j s i nl5.0 i c o sl5.0(i P
r
F
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F
r
FQ
j s i nli c o sl
r
j s i nli c o sl
r
j s i nl5.0 i c o sl5.0
r
j FFi PFi PF,
2
2121
11211
11112
111
3
3
2
2
1
11
11
3
11
2
11
1
32211
。，同理可证：
）（
，，坐标对
、直角坐标系：解：
直角、柱、球坐标系）下的运动方程。
作用点在外力用拉格朗日方程导出质例如
FzmFym
Fxm
xm0xm
dt
d
x
T
x
T
dt
d
F
x
x
F
x
r
FQ
0
x
T
xm
x
T
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)zyx(m
2
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T1
(
F,
zy
x
xxx
222
r
2
r
2
r
rrr
2
2222222
Fmrrm
Fmrrm
dt
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Q
r
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T
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r
FQ
mr
r
T
rm
r
T
r
2/)zrr(m2/)zyx(mT
.
zz
c o srs i nry
s i nrc o srx
zz
s i nry
c o srx
2
）（
，，：对坐标
、柱坐标系
z
r
e
z
r
er
r
e
r
r
（作业）、球坐标系：
）（
，，：对坐标
）（
，，：对坐标
，
，，
3
Fzmzm
dt
d
z
T
z
T
dt
d
FeF
z
r
FQ0
z
T
zm
z
T
z
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dt
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rFerF
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T
mr
T
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2
1
T
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z
r
e r
r
e
r
r
z
zzz
2
2
r
22222
zr
对于非理想约束的处理：
理想约束的条件是从实际约束的主要因素中抽象出来的，在理想约束不满足的情况下，可增加主动力和约束力而视为理想约束。
具体处理方法是：
把非光滑约束中起限制作用的法向分量视为约束力，而将起限制作用的切向分量 ——摩擦力视为待求的主动力。
i
n
i j
i
ij
i
ij
i
i
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j j
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i
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ii
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U
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FQ
,
)t,qq,q(U)t,rr,r(U
UF
U F
广义力
。则有
，，存在势能一、保守系统：保守力
s,2,1j 0
q
L
q
L
dt
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q
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q
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q
L
q
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UTL:
q
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Q
q
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jj
ijjjj
i
j
jj
日方程上式为保守系统拉格朗
）（
，有
，令拉格朗日函数
，
例,轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速 ω绕轴转动，一质量为 m 的小环，套在此金属丝上，并可沿着丝滑动。求小环在 x 方向的运动微分方程。已知抛物线方程为 x2
= 4ay,式中 a 为常数。
ω
mgv
r
x
xo
y
a4/m g x2/x)a4/x1(xmUTL
a/m g xm g yU,2/)xyx(mT
,a2/xxy,ay4xxyxvvv
xv yxv
222222
22222
22222222
222
，
，解：
牵相牵相
0
a2
x
mgxmx
a4
x
mx)
a4
x
1(m
0
x
L
x
L
dt
d
a2/m gxx)ma4/xm(
x
L
),a4/x1(xm
x
L
a4/m gxx)a4/x1(xm
2
1
UTL
22
22
2
222
22
222222
）（
能”则可导出电磁力的“势
，和标量势引入矢量势
）（为电磁力、非保守力讨论：
拉格朗日方程：
非保守力保守力受力二、与速度有关的力
’
’
’
’
vAqV
:
)t,r( )t,r(A
BvEq F Q 1
Q
q
L
q
L
dt
d
Q
q
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q
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q
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dt
d
Q
q
U
j
j
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t
A
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Av
t
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A
E
t
A
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t
A
E
t
A
A
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B
E
AB 0B
vAqV
（
）（）（则有
）（
），（
）（
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Aq)kAjAiA(q-
)]vAvAvA(q[-
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k
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vAqq V0)q(
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y
y
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x
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t
A
dt
Ad
vv
zyx
zzyyxx
zyx
v
v
，
（
日方程电磁力情况下的拉格朗
’’
上式成为：
称为广义势。’”，为电磁力对应的“势能
，’’令
，
）（）（
）（）（
）（广义力
’
0
q
L
q
L
dt
d
U V
UTVUTVLL
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q
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j
jj
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v
j
v
j
j
v
j
v
j
j
v
jj
j
v
) Aq ( Aqvmp,
qAmv
v
'L
p
qAmv
v
'L
p
qAmv
v
'L
p,
)vAvAvA(qq)vvv(m
2
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2
1
VTL
0U:
zz
z
z
yy
y
y
xx
x
x
zzyyxx
2
z
2
y
2
x
2
称为电磁动量其中矢量形式广义动量
’
，则无外保守力场，例
程有耗散力的拉格朗日方广义力
，可得：引入瑞利耗散函数下耗散力分量为实验发现，在许多情况
、耗散力
’
0
q
R
q
L
q
L
dt
d
q
R
QQ
q
L
q
L
dt
d
q
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2
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q
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xk
q
x
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x
R
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2
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R,
xkF
2
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j
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l
ll
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1l j
l)d(
l
)d(
j
)d(
l
r
1l
2
ll
ll
)d(
l
§ 2.4 非完整约束的拉格朗日方程
），（
时，微分约束变为：体系作虚位移程：由达朗贝尔原理可得方
），（或
：，其非完整约束方程为独立变量个微分约束，还受个完整约束外，假设体系除受
m21l 0qa
q
0q
q
T
q
T
dt
d
Q
m21l 0dtbdqa 0tbqa
ms
m k
s
1j
jlj
j
j
s
1j jj
j
lj
s
1j
jljlj
s
1j
jlj
§ 2.4 非完整约束的拉格朗日方程
0q a
q
T
q
T
dt
d
Q
0qaqa
m21 0qa
0q
q
T
q
T
dt
d
Q
j
s
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m
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lj
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j
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m
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m
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s
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jj
s
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jj
j
s
1j jj
j
l
l
l
llll
l
l
l
法：拉格朗日不定乘子
），（微分约束：
达朗贝尔原理：
,a Q,Q
ms ms
m21 0bqa
s21j aQ
q
T
q
T
dt
d
q ms
q m
m
1
j
)(
j
)(
j
j
s
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m
1
jj
jj
j
j
l
ll
ll
ll
l
ll
l
l
为对应的广义力力力视为主动力，则约束量。去掉了约束，约束个未知变个方程，可以确定方程组有
），（
），（
：数也就为零了。这样得前的系个独立虚位移为零，因而剩下的前的系数个不独立虚位移使，选择
m
l
θ
0s i n)/g(
0s i nm grrmr2mr0
LL
dt
d
c o sm gr)rr(m
2
1
UTL
a
q
L
q
L
dt
d
)0a1a( 0r r
) r(
2
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m
1
j
jj
rrr
l
l
l
ll
方程为：对保守系，非完整拉氏
，常数，或约束方程：
。方向约束力在摆杆方向解：单摆中摆锤所受的束力。法求单摆摆锤所受的约例：试用拉氏不定乘子
m
l
θ
,c o smg
r m,
,c o smgma r
c o smgmc o smgmrrm
aaa
,c o smgmrrm
r
L
r
L
dt
d
0s i n)/g( a
q
L
q
L
dt
d
2
2
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m
1
j
2
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2
rrrrr
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2
m
1
j
jj
达到平衡向分量方和重力在约束力与惯性离心力即表示为方向约束力
，
l
l
l
l
l
ll
l
ll
l
ll
恒，又称作循环积分。上式相当于广义动量守为角动量。为角度时，当）（
为（线）动量；为长度时，当）（
：称为广义动量，并且有常量
，代入拉氏方程得：为循环坐标，则设为循环坐标中不出现的广义坐标称拉格朗日函数守恒、循环坐标与广义动量
p q 2
p q 1
p
p
q
L
0
q
L
dt
d
q
L
q
L
dt
d
0
q
L
q
L
1
jj
jj
j
j
jjjj
j
j
§ 2.5 对称性和守恒 定律角动量守恒常量为循环坐标，则，中不出现别为势能和拉格朗日函数分坐标，则体系的动能、
为广义，选平面极坐标例如：有心运动问题，
mr
L
L
r
G M m
)rr(m
2
1
UTL
,
r
G M m
U),rr(m
2
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T
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222
222
t
r
q
q
r
t
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q
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k
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j
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j
j
j
i
i
n
1i
2
ii
为：个质点的体系总动能应对于
）体系的动能表达式（
、能量积分
n
1i
2
i
i
n
1i
i
j
i
ij
n
1i k
i
j
i
ijk
012
j
jj
k,j
kjjk
n
1i
2
i
i
s
1j
j
n
1i
i
j
i
ikj
s
1j
s
1k
n
1i k
i
j
i
i
t
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mc
t
r
q
r
mb
q
r
q
r
ma
TTTc
2
1
qbqqa
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t
r
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1
q
t
r
q
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q
r
q
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m
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T
1
2
，，其中
）体系的动能表达式（
、能量积分
0q
q
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q
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T
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dt
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q
j q
s21j
q
U
q
T
q
T
dt
d
aa T
)q(UUqqa
2
1
T 0c0b 0
t
r
)1(:
s
1j
j
j
s
1j
j
j
s
1j
j
j
s
1j
j
j
s
1j j
j
s
1j j
j
s
1j j
j
j
jjj
kjjk
k,j
kjjkj
i
求和，则得再对上式两边乘以
，，，由拉格朗日方程：
。方程，且有是广义速度的二次齐次即动能
，，
稳定约束讨论
。
所以次齐次函数是因为则若欧勒齐次函数定理
T2q
q
T
,2 qqa
2
1
T
nfx
x
f
),x,x,x(fa)ax,ax,ax(f
,
s
1j
j
j
jk
kjjk
s
1j
j
j
k21
n
k21
体系机械能守恒常量
，
的显函数，所以有都不是时间和此外，因为
。
UT
0
dt
)UT(d
dt
dU
dt
dT
dt
)T2(d
0q
q
U
q
q
T
q
q
T
q
q
T
dt
d
dt
dU
q
q
U
dt
dT
q
q
T
q
q
T
t U T
T2q
q
T
s
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j
j
s
1j
j
j
s
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j
j
s
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j
j
s
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j
j
s
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j
j
s
1j
j
j
s
1j
j
j
）（
据齐次函数定理，知
，同时根仍不显含和并假定，
的显函数。，它是有若约束是不稳定的，则不稳定约束
12
s
1j
j
j
1
s
1j
j
j
2
s
1j
j
j
1
s
1j
j
j
1
2
s
1j
j
j
2
012
s
1j
j
j
s
1j
j
j
s
1j
j
j
s
1j
j
j
TT2
dt
d
q
q
T
q
q
T
dt
d
q
q
T
dt
d
Tq
q
T
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q
T
t U T TTTT
t )t,q(rr
)2(
0q
q
U
q
q
T
q
q
T
q
q
T
dt
d
广义能量积分常量积分得：
）（
）（）（
），（
）（
UTT
0UTT
dt
d
0
dt
dU
TTT
dt
d
TT2
dt
d
dt
dU
q
q
U
TTT
dt
d
dt
dT
q
q
T
q
q
T
TT2
dt
d
q
q
T
dt
d
0q
q
U
q
q
T
q
q
T
q
q
T
dt
d
02
02
01212
s
1j
j
j
012
s
1j
j
j
s
1j
j
j
12
s
1j
j
j
s
1j
j
j
s
1j
j
j
s
1j
j
j
s
1j
j
j
§ 2.6 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程是运动微分方程的一种表述形式，其优点有：
(1) 对约束的处理使方程数减少；
(2) 表述形式统一；
(3) 适用范围普遍；
(4) 用标量能量函数描述运动易于处理 ;
(5) 处理方法可归纳为一种固定格式，易于掌握。
，即实现了分离变量。坐标上式中只包含一个广义能表达式分别为若一力学体系动能和势格朗日方程的解、可分离变量情形下拉
q
)q(2/q)q(vq)q(v
dq
)]q([d
q
dq
)]q(v[d
2
1
q
dq
)]q(v[d
q)q(v
dq
)]q([d
q
dq
)]q(v[d
2
1
]q)q(v[
dt
d
q
U
q
T
q
T
dt
d
0
q
L
q
L
dt
d
)q()q()q(U
2/q)q(v2/q)q(v2/q)q(vT
1
j
jj
2
jjjjjj
j
jj2
j
j
jj2
j
j
jj
jjj
j
jj
2
j
j
jj
jjj
jjjjj
ss2211
2
sss
2
222
2
111
对应的机械能守恒。
每个广义坐标为积分常量，可看作与式中
，，，积分得：
，得上式两边乘以
C
s21j C)q(2/q)q(v
)]q([d2/]q)q(v[d
)]q([d2/q)]q(v[d2/qd)q(v
)]q([d2/q)]q(v[dqdq)q(v
dtq)q(2/dtqq)q(vdtqq)q(v
dtq
)q(2/q)q(vq)q(v
j
jjj
2
jjj
jj
2
jjj
jj
2
jjj
2
jjj
jj
2
jjjjjjj
jjjj
2
jjjjjjj
j
jj
2
jjjjjj
程的解。上式即为体系的运动方
。又是一组新的积分常量，，其中
，，，
，，，
bbb
s21j bdq
)]q(C[2
)q(v
t
dq
)]q(C[2
)q(v
dt
)q(v
)]q(C[2
q
s21j C)q(q)q(v
2
1
s21
jj
jjj
jj
j
jjj
jj
jj
jjj
j
jjj
2
jjj
质心运动。
相对运动，其中
，则若
。为折合质量，
为质心位矢，，其中
，两质点组成的封闭体系仅有保守力相互作用的
、两体问题
)R(U2/RML
)r(U2/rL
LLL )R(U)r(U)r,r(U
mmM
mm
rmrm
Rrrr
)r,r(U2/RM2/r
)r,r(U2/rm2/rmUTL
2
2
2
2
1
2
1
212121
21
21
2211
12
21
22
21
2
22
2
11
运动分开考虑。即可将相对运动与质心无关，的拉格朗日方程与对应可以看出则
（有心力）
表示，并假定相对运动：设用球坐标常量。因而心作匀速运动，由于体系是封闭的，质质心运动：
质心运动。
相对运动，
L,,r,
)R,R(L)r(U2/)s i nrrr(L
)r(U)r(U
)R(U
)R(U2/RML
)r(U2/rL
)r,r(U2/RM2/rL
2
21
222222
11
2
2
2
2
1
2
1
21
22
dr
)r(dU
)rr(
F
r
L
r
L
dt
d
,r
)(r/L
L
)R,R(L)r(U2/)rr(L)r(
0 0C 0
Cs i nr/L
L
)R,R(L)r(U2/)s i nrrr(L
12
r
2
21
222
22
21
222222
方向运动方程为垂直坐标平面角动量守恒常量是循环坐标，无关与
：，平面极坐标平面运动常量
，则有若初始时有
（常量）
是循环坐标，无关与
,F
dt
pd
,
c/v1
vm
p,
F
dt
dp
,F
dt
dp
,
F
dt
dp
0F
dt
dp
x
L
v
L
dt
d
F
dx
dU
x
L
p
c/v1
vm
v
L
)r(Uc/v1cmL
3
22
o
z
z
y
y
x
x
x
x
x
xx
22
xo
x
222
o
即同理得
，
得：代入拉格朗日方程，则为：相对论力学的拉氏函数
、相对论力学
§ 2,1 约束 广义坐标
§ 2,2 达郎贝尔原理
§ 2,3 完整约束拉格朗日方程
§ 2,4 非完整约束的拉格朗日方程
§ 2,5 对称性和守恒定律
§ 2,1 约束 广义坐标一、约束与分类
1、约束,限制各质点自由运动的条件。
2、分类
(1)几何约束和运动约束 ( 微分约束 )
几何约束,fi ( r1,r2,… rn,t ) = 0
运动约束,fi ( r1,r2,… rn,v1,v2,… vn,t ) = 0
( i =1,2,… k )
式中 k 为约束个数,独立约束的个数 ≤3n 。
(2) 稳定约束和非稳定约束稳定约束,约束方程不显含 t 的约束。
非稳定约束,约束方程显含 t 的约束。
例：稳定的几何约束,fi ( r1,r2,… rn ) = 0
稳定的运动约束,fi ( r1,r2,… rn,v1,v2,… vn ) = 0
( i =1,2,… k )
(3) 可解约束和不可解约束不可解约束,约束方程为等式。
可解约束,约束方程可在一个方向偏离等式。
例：不可解几何约束,fi ( r1,r2,… rn,t ) = 0
可解几何约束,fi ( r1,r2,… rn,t ) ≥ 0 或 ≤ 0 。
(4)完整约束和非完整约束非完整约束,有两种情况
(a) 可解约束 ;
(b) 微分约束中若约束方程不能单独积分
( 必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才能积分 ).
完整约束,除上述两种情况外的约束,
今后主要研究受 完整约束 的力学体系,即研究 完整系 的力学问题,
例 1：一球面摆,O 点固定； OM
为轻刚性杆，杆长为 l ； M 点系一质点，其质量为 m 。
设 O 点为直角坐标原点，则质点 M 的约束方程为,x2 + y2 +
z2 - l2 = 0它是稳定、不可解、几何、
完整约束。
若 O 点不固定，在 x 方向有一恒定速率 c，
t = 0 时 O 点处于坐标原点，则约束方程为,
(x – ct)2 + y2 + z2 - l2 = 0
它是非稳定、不可解、几何、完整约束。
O
M
l
例 1：一球面摆,O 点固定； OM
为轻刚性杆，杆长为 l ； M 点系一质点，其质量为 m 。
若 OM为不可伸长的柔软绳,则约束方程为：
O点固定,x2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0
O点不固定,(x – ct)2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0
它是可解约束。约束空间为以 O为球心,l 为半径的球体。
O
M
l
例 2：线性三原子分子组成的体系只能在该连线上运动。体系在无外力作用。
分析：体系的质心速度为常数，即约束方程为：
vC = C （微分约束）
积分得,xC = C t + xCo
x1
m2 m3m1
x2 x3
。所以它是一种完整约束这就退化为几何约束，
即,CoC xtC
mmm
xmxmxm
x
321
332211
dt
dq
q
qqq
2
1
i
i
n21
广义速度的定义：
例如：面积、体积等。
它物理量。
，可以是角度或其广义坐标不一定是长度
。，，记为位置的独立“坐标”，、广义坐标：描写体系
”的个数。、自由度：独立“坐标二、自由度与广义坐标
§ 2,2 达郎贝尔原理一、虚位移假想的、符合约束条件的、无限小的、
即时的位置变更,δr,
注意,(1)某一固定时刻,
即,dt = 0.
(2) 与实位移 dr 无关,
理解,dr = δr + vo dt
当 v →∞,dt → 0,
dr → δ r,B
B’
B”
A
dr
δr
v
vodt’
vodt” vo
是理想约束。杆、不可伸长的绳等都刚性光滑曲线、光滑铰链、一般地说，光滑曲面、
即虚功为零。任意虚位移中所作的总在学体系的所有约束反力、理想约束：作用于力
）（）（
约束反力的合力）主动力，其中
，平衡时：合外力功。的力在虚位移中所作的、虚功：作用在质点上二、虚功
0rR,
2
0rRF 0rRF
R F (
0RF
1
ii
iiiiii
ii
ii
虚功等于零。期间，主动力所作的总小任何虚位移置的、符合约束的无限位条件下，体系离开平衡物理意义：在理想约束条件、虚功原理：系统平衡
0rF 3
ii
0r)rmF(
0rR
0r)rmRF(,
0rmRF,
rmRF
iiii
ii
iiiii
iiii
iiii
达朗伯原理总虚功为零平衡条件牛顿第二定律：
三、达朗伯原理
。及成的角度衡时此二杆与水平线所
。求平端加一水平力杆的
。在的均匀杆、长为重端，用铰链连另一动。此杆的转铰链能在竖直平面内绕固定
，，长为，重例如：均匀杆
F B AB
AB l P
A
O
l P OA
22
11
( 1 ) 0yFxPxP
rFrPrPrF
2
32211
BD2C1ii
虚功原理
。、选取个，系统自由度为解：体系为理想约束，
A
O
x
y
D(x2,y2)
B (x3,y3)
F
C(x1,y1)
P1
P2
β
α
0 ] s i nFl c os)2/lP[(
] s i nFlc oslP c os)2/lP([
:( 1)
s i nl s i nly
c os)2/l( c oslx
c os)2/l(x
c oslc osly
s i n)2/l(s i nlx
s i n)2/l(x
,
( 1) 0yFxPxPrF
222
11211
213
212
11
213
212
11
32211ii
得上式代入关系几何
F2Ptg,F2 P2 Ptg 221
A
O
x
y
D(x2,y2)
B (x3,y3)
F
C(x1,y1)
P1
P2
β
α
)q,,
q
r
FQ,(
qQq
q
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FrF
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,n,3,2,1i )t,q,q,q,q(rr,
j
i j
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j
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i
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j
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j
i
j j
i
j
j
i
iij
j
i
i
n321ii
广义速度广义力公式辅助广义坐标质点位矢
§ 2,3 完整约束拉格朗日方程
j
i
i
j
i
i
j
i
i
j
i
i
j
i
i
j i
j
j
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i
iii
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rmrrm rFqQ
q
r
q
v
t
r
q
q
r
rv
q
q
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r
,
辅助公式
)
2
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T ( q
q
T
q
T
dt
d
q
2
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q2
vm
qdt
d
q
q
v
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v
v
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m
q
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q
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v
q
v
v
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j
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ii
j i
j
j
i
ii
i
iii
j
i
i
j
i
i
j
i
i
其中总动能
朗日运动方程上式称为完整约束拉格是独立变量个由于其中总动能
Q
q
T
q
T
dt
d
,q s
qQq
q
T
q
T
dt
d
)
2
vm
T (
q
q
T
q
T
dt
d
rrmqQ
j
jj
j
s
j
jjj
j jj
i
2
ii
j
j jji
iii
s
j
jj
j s i nli c osl
r
j s i nli c osl
r
j s i nl5.0 i c osl5.0
r
j )c oslc osl(i )s i nls i nl(rr
j )c osl5.0c osl(i )s i nl5.0s i nl(rr
j c osl5.0 i s i nl5.0rr
j FFi PFi PF,
11
3
11
2
11
1
2121B3
2121D2
11C1
32211
，，主动力解：广义力为零
A
O
y
x
D(x2,y2)
B (x3,y3)
F
C(x1,y1)
P1
P2
β
α
。，同学们计算
，
，，主动力
tgQ,
F2
P2P
F
PP5.0
tg
0 s i nFl c o slPc o slP5.0
)j s i nli c o sl(j F)j s i nli c o sl(i P
)j s i nl5.0 i c o sl5.0(i P
r
F
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F
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j s i nli c o sl
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j s i nli c o sl
r
j s i nl5.0 i c o sl5.0
r
j FFi PFi PF,
2
2121
11211
11112
111
3
3
2
2
1
11
11
3
11
2
11
1
32211
。，同理可证：
）（
，，坐标对
、直角坐标系：解：
直角、柱、球坐标系）下的运动方程。
作用点在外力用拉格朗日方程导出质例如
FzmFym
Fxm
xm0xm
dt
d
x
T
x
T
dt
d
F
x
x
F
x
r
FQ
0
x
T
xm
x
T
,x
)zyx(m
2
1
T1
(
F,
zy
x
xxx
222
r
2
r
2
r
rrr
2
2222222
Fmrrm
Fmrrm
dt
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Q
r
T
r
T
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FQ
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r
T
rm
r
T
r
2/)zrr(m2/)zyx(mT
.
zz
c o srs i nry
s i nrc o srx
zz
s i nry
c o srx
2
）（
，，：对坐标
、柱坐标系
z
r
e
z
r
er
r
e
r
r
（作业）、球坐标系：
）（
，，：对坐标
）（
，，：对坐标
，
，，
3
Fzmzm
dt
d
z
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2
1
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r
e
r
r
z
zzz
2
2
r
22222
zr
对于非理想约束的处理：
理想约束的条件是从实际约束的主要因素中抽象出来的，在理想约束不满足的情况下，可增加主动力和约束力而视为理想约束。
具体处理方法是：
把非光滑约束中起限制作用的法向分量视为约束力，而将起限制作用的切向分量 ——摩擦力视为待求的主动力。
i
n
i j
i
ij
i
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,
)t,qq,q(U)t,rr,r(U
UF
U F
广义力
。则有
，，存在势能一、保守系统：保守力
s,2,1j 0
q
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UTL:
q
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i
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日方程上式为保守系统拉格朗
）（
，有
，令拉格朗日函数
，
例,轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速 ω绕轴转动，一质量为 m 的小环，套在此金属丝上，并可沿着丝滑动。求小环在 x 方向的运动微分方程。已知抛物线方程为 x2
= 4ay,式中 a 为常数。
ω
mgv
r
x
xo
y
a4/m g x2/x)a4/x1(xmUTL
a/m g xm g yU,2/)xyx(mT
,a2/xxy,ay4xxyxvvv
xv yxv
222222
22222
22222222
222
，
，解：
牵相牵相
0
a2
x
mgxmx
a4
x
mx)
a4
x
1(m
0
x
L
x
L
dt
d
a2/m gxx)ma4/xm(
x
L
),a4/x1(xm
x
L
a4/m gxx)a4/x1(xm
2
1
UTL
22
22
2
222
22
222222
）（
能”则可导出电磁力的“势
，和标量势引入矢量势
）（为电磁力、非保守力讨论：
拉格朗日方程：
非保守力保守力受力二、与速度有关的力
’
’
’
’
vAqV
:
)t,r( )t,r(A
BvEq F Q 1
Q
q
L
q
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Q
q
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j
jj
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jjj
j
j
A)v)Av(
t
A
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A
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y
A
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x
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A
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vv
zyx
zzyyxx
zyx
v
v
，
（
日方程电磁力情况下的拉格朗
’’
上式成为：
称为广义势。’”，为电磁力对应的“势能
，’’令
，
）（）（
）（）（
）（广义力
’
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q
L
q
L
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zz
z
z
yy
y
y
xx
x
x
zzyyxx
2
z
2
y
2
x
2
称为电磁动量其中矢量形式广义动量
’
，则无外保守力场，例
程有耗散力的拉格朗日方广义力
，可得：引入瑞利耗散函数下耗散力分量为实验发现，在许多情况
、耗散力
’
0
q
R
q
L
q
L
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q
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j
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l
r
1l
2
ll
ll
)d(
l
§ 2.4 非完整约束的拉格朗日方程
），（
时，微分约束变为：体系作虚位移程：由达朗贝尔原理可得方
），（或
：，其非完整约束方程为独立变量个微分约束，还受个完整约束外，假设体系除受
m21l 0qa
q
0q
q
T
q
T
dt
d
Q
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ms
m k
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jlj
j
j
s
1j jj
j
lj
s
1j
jljlj
s
1j
jlj
§ 2.4 非完整约束的拉格朗日方程
0q a
q
T
q
T
dt
d
Q
0qaqa
m21 0qa
0q
q
T
q
T
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1j jj
j
l
l
l
llll
l
l
l
法：拉格朗日不定乘子
），（微分约束：
达朗贝尔原理：
,a Q,Q
ms ms
m21 0bqa
s21j aQ
q
T
q
T
dt
d
q ms
q m
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m
1
jj
jj
j
j
l
ll
ll
ll
l
ll
l
l
为对应的广义力力力视为主动力，则约束量。去掉了约束，约束个未知变个方程，可以确定方程组有
），（
），（
：数也就为零了。这样得前的系个独立虚位移为零，因而剩下的前的系数个不独立虚位移使，选择
m
l
θ
0s i n)/g(
0s i nm grrmr2mr0
LL
dt
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2
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a
q
L
q
L
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d
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) r(
2
222
m
1
j
jj
rrr
l
l
l
ll
方程为：对保守系，非完整拉氏
，常数，或约束方程：
。方向约束力在摆杆方向解：单摆中摆锤所受的束力。法求单摆摆锤所受的约例：试用拉氏不定乘子
m
l
θ
,c o smg
r m,
,c o smgma r
c o smgmc o smgmrrm
aaa
,c o smgmrrm
r
L
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L
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q
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q
L
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r
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j
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rr
2
rrrrr
m
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j
2
m
1
j
jj
达到平衡向分量方和重力在约束力与惯性离心力即表示为方向约束力
，
l
l
l
l
l
ll
l
ll
l
ll
恒，又称作循环积分。上式相当于广义动量守为角动量。为角度时，当）（
为（线）动量；为长度时，当）（
：称为广义动量，并且有常量
，代入拉氏方程得：为循环坐标，则设为循环坐标中不出现的广义坐标称拉格朗日函数守恒、循环坐标与广义动量
p q 2
p q 1
p
p
q
L
0
q
L
dt
d
q
L
q
L
dt
d
0
q
L
q
L
1
jj
jj
j
j
jjjj
j
j
§ 2.5 对称性和守恒 定律角动量守恒常量为循环坐标，则，中不出现别为势能和拉格朗日函数分坐标，则体系的动能、
为广义，选平面极坐标例如：有心运动问题，
mr
L
L
r
G M m
)rr(m
2
1
UTL
,
r
G M m
U),rr(m
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j
j
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i
n
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2
ii
为：个质点的体系总动能应对于
）体系的动能表达式（
、能量积分
n
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i
n
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i
j
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ij
n
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i
j
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2
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i
s
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i
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1i k
i
j
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T
1
2
，，其中
）体系的动能表达式（
、能量积分
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j
j
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j
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j
s
1j j
j
s
1j j
j
s
1j j
j
j
jjj
kjjk
k,j
kjjkj
i
求和，则得再对上式两边乘以
，，，由拉格朗日方程：
。方程，且有是广义速度的二次齐次即动能
，，
稳定约束讨论
。
所以次齐次函数是因为则若欧勒齐次函数定理
T2q
q
T
,2 qqa
2
1
T
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x
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),x,x,x(fa)ax,ax,ax(f
,
s
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j
j
jk
kjjk
s
1j
j
j
k21
n
k21
体系机械能守恒常量
，
的显函数，所以有都不是时间和此外，因为
。
UT
0
dt
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dt
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q
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j
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s
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s
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j
j
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j
j
s
1j
j
j
s
1j
j
j
）（
据齐次函数定理，知
，同时根仍不显含和并假定，
的显函数。，它是有若约束是不稳定的，则不稳定约束
12
s
1j
j
j
1
s
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j
j
2
s
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j
j
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s
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j
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j
j
2
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s
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s
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j
j
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广义能量积分常量积分得：
）（
）（）（
），（
）（
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j
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j
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j
j
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j
j
s
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j
j
s
1j
j
j
§ 2.6 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程是运动微分方程的一种表述形式，其优点有：
(1) 对约束的处理使方程数减少；
(2) 表述形式统一；
(3) 适用范围普遍；
(4) 用标量能量函数描述运动易于处理 ;
(5) 处理方法可归纳为一种固定格式，易于掌握。
，即实现了分离变量。坐标上式中只包含一个广义能表达式分别为若一力学体系动能和势格朗日方程的解、可分离变量情形下拉
q
)q(2/q)q(vq)q(v
dq
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q
dq
)]q(v[d
2
1
q
dq
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q)q(v
dq
)]q([d
q
dq
)]q(v[d
2
1
]q)q(v[
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q
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q
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L
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j
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j
j
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j
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2
j
j
jj
jjj
jjjjj
ss2211
2
sss
2
222
2
111
对应的机械能守恒。
每个广义坐标为积分常量，可看作与式中
，，，积分得：
，得上式两边乘以
C
s21j C)q(2/q)q(v
)]q([d2/]q)q(v[d
)]q([d2/q)]q(v[d2/qd)q(v
)]q([d2/q)]q(v[dqdq)q(v
dtq)q(2/dtqq)q(vdtqq)q(v
dtq
)q(2/q)q(vq)q(v
j
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2
jjj
jj
2
jjj
jj
2
jjj
2
jjj
jj
2
jjjjjjj
jjjj
2
jjjjjjj
j
jj
2
jjjjjj
程的解。上式即为体系的运动方
。又是一组新的积分常量，，其中
，，，
，，，
bbb
s21j bdq
)]q(C[2
)q(v
t
dq
)]q(C[2
)q(v
dt
)q(v
)]q(C[2
q
s21j C)q(q)q(v
2
1
s21
jj
jjj
jj
j
jjj
jj
jj
jjj
j
jjj
2
jjj
质心运动。
相对运动，其中
，则若
。为折合质量，
为质心位矢，，其中
，两质点组成的封闭体系仅有保守力相互作用的
、两体问题
)R(U2/RML
)r(U2/rL
LLL )R(U)r(U)r,r(U
mmM
mm
rmrm
Rrrr
)r,r(U2/RM2/r
)r,r(U2/rm2/rmUTL
2
2
2
2
1
2
1
212121
21
21
2211
12
21
22
21
2
22
2
11
运动分开考虑。即可将相对运动与质心无关，的拉格朗日方程与对应可以看出则
（有心力）
表示，并假定相对运动：设用球坐标常量。因而心作匀速运动，由于体系是封闭的，质质心运动：
质心运动。
相对运动，
L,,r,
)R,R(L)r(U2/)s i nrrr(L
)r(U)r(U
)R(U
)R(U2/RML
)r(U2/rL
)r,r(U2/RM2/rL
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21
222222
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2
2
2
2
1
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21
22
dr
)r(dU
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F
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L
r
L
dt
d
,r
)(r/L
L
)R,R(L)r(U2/)rr(L)r(
0 0C 0
Cs i nr/L
L
)R,R(L)r(U2/)s i nrrr(L
12
r
2
21
222
22
21
222222
方向运动方程为垂直坐标平面角动量守恒常量是循环坐标，无关与
：，平面极坐标平面运动常量
，则有若初始时有
（常量）
是循环坐标，无关与
,F
dt
pd
,
c/v1
vm
p,
F
dt
dp
,F
dt
dp
,
F
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x
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L
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vm
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z
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x
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x
x
x
xx
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xo
x
222
o
即同理得
，
得：代入拉格朗日方程，则为：相对论力学的拉氏函数
、相对论力学
