第四章 刚体
§ 4.1 刚体运动的自由度和广义坐标刚体运动的自由度,6
刚体运动分类,
(1) 平动
(2) 定轴转动
(3) 平面平行运动
(4) 定点转动
(5) 一般运动
x
y
z
y”
N
O
间的夹角。和—章动角间的夹角；和—自转角间的夹角；和—进动角平面的交线；平面和—节线轴其中瞬时转动轴为
：固定在刚体上动坐标系固定不动坐标系：
上。点都在定点的原两组正交坐标系，它们
。取选此定点为坐标系原点当刚体作定点转动时，
欧勒角
Oz O
Ox ON
O ON
x O y OON
) z (
x yz-O
-O
O
§ 4.2 刚体的角速度角位移为?n
位移为? r =?n? r
角速度定义：
ω = dn /dt
r
r r +?r
x
y
z
y”
N
O kji
zN
zyx
ooo
：刚体的定点转动角速度
c os
s i nc oss i n
c oss i ns i n
,
z
y
x
欧勒运动学方程
§ 4.3 刚体上任一点的线速度和加速度
1、无平动的转动线位移,dr = dn? r
线速度,v = dr /dt = (dn /dt)? r
= ω? r
加速度,a = dv /dt = d(ω? r)/dt
= (dω/dt)? r + ω?(ω? r )
任一常模矢量 A 对 时间的微商为,
dA /dt = ω? A
§ 4.3 刚体上任一点的线速度和加速度
2、平动 + 转动
(1) 固定基点法 ( C 为 刚体上固定基点 )
线速度,v = vC + ω? r
加速度,a = aC + (dω/dt)? r +ω?(ω?r )
运算公式,A × B × C = B (A · C ) – (A · B) C
ω× (ω× r ) = ω(ω·r ) - ω2 r
a = aC + (dω/dt)? r + ω(ω·r ) - ω2 r
对平面平行运动 ω ⊥ r,
a = aC + (dω/dt)? r - ω2 r
证明：刚体角速度与参考点无关。
证,以 A’为参考点,角速度 ω’;
以 A’’为参考点,角速度 ω’’。
vP = vA’ + ω’ × A’P
= vA’’+ ω’’× A’’P
∵ vA’’ = vA’ + ω’× A’A’’
∴ vA’ +ω’× A’P = vA’ +ω’× A’A’’+ω’’× A’’P
→ ω’× ( A’P-A’A’’) = ω’’ × A’’P
→ ω’× A’’P= ω’’ × A’’P
→ ω’ = ω’’
O 参考原点
A’’
A’
P
(2) 瞬时转轴法
① 平面平行运动已知刚体的角速度 ω和刚体上某一点 P的线速度 vP,总可过 P点作一条和 vP 垂直的直线 PQ，
并使 Q 点的位置满足条件：
vP = ω? rPQ
取 Q 点为基点。
基点 Q 的特点,
Q点是转动轴线和运动平面的交点，速度为零,Q点的位置不固定，所以 Q点称为 瞬时转动中心 或 瞬时转心 。
确定瞬时转心的方法
(1) 刚体上瞬时速度为零的点必为瞬时转心；
(2) 已知刚体上 A 点和 B 点的速度方向，分别过 A 点和 B 点作 vA 和 vB 的垂线，
其交点 Q 必为瞬时转心。
② 一般运动也可用瞬时转轴法。如果在某一瞬时能在刚体上找到两个速度为零的点，则此两点的连线就是刚体的瞬时转轴。找到了瞬时转轴，刚体上任一点的速度就可直接用纯转动的公式。
A
B
QvA
vB
例 1：半径为 R 的轮子在直线轨道上无滑滚动，
质心 C 的速度为常数 vo 求轮子边缘上任一点 P
的速度和加速度。
解,1、固定基点法
Oyo
xo
C
Q
P
vo
vC
vPω? rCP
Oyo
xo
C
Q
P
vo
vC
v
P
ω? rCP
CP
22
oCP
2
CPCP
C
ooP
C
CP
oCP
CPCP
oo
r)R/v(rr)dt/d(aa
0dt/d0a
s i nv2c osv2v
//v
CPr
vRr
rvv
C
R/vRtv
PQOC
，，
轨道。
，
，
则为基点，取轮心
，轮子角速度
2、瞬时转心法轮子和轨道接触点 Q为瞬时转心，所以
Oyo
xo
C
Q
P
vo
vC
v
P
ω? rCP,
代入上式得：
，，因
s i nv2c o sv2v
R/vs i nR2c o sR2r
rv
ooP
oCP
QPP
例：半径为 r 的圆盘垂直于地面作纯滚动，圆盘中心 C 以速率 vC =?1 R 沿着半径为 R 的圆周运动，求圆盘边缘上任一点 P 的速度。
解,圆盘运动可视为绕点 O 的定点转动,OQ为其瞬时转动轴线。
R
QO
1?
2
C
P
i
j
k?
2
1
CO
圆盘角速度用欧拉角来表示。
ks i nrjs i nRi)c o s1(R
rv
jrkRrP
kr/Rjc o sis i n
r/Rc o s
c o ss i nc o ss i n
s i nc o ss i ns i n
r/RRrv
090
111
P
111
1z
1y
1x
1212C
21
21
o
所以：
的位矢：圆盘上任一点即：
盘的角速度：由欧勒运动学方程得圆之间存在约束关系：和由于圆盘纯滚动，
。，，，已知：
§ 4.4 刚体运动的动力学方程
u Mdm'rdmu
dm)'ru(dmvdPP
O u
rrr
'ru)r(v
MLFP
o
二、刚体的动量的速度。’为质心
，’其中一、刚体的速度
，绕质心转动定理：质心定理：
外外
A B P
O’
O
r?
or
'r?
yxzxzy
2
z
222
y
222
x
22
2
yx
2
xz
2
zy
2
2
r o t
2
t r a
22
22
22
xy2zx2yz2
)yx()xz()zy(
)xy()zx()yz()r(
dm)r(
2
1
TMu
2
1
T
dm)r(
2
1
Mu
2
1
dm)r(udm)r(
2
1
Mu
2
1
dmru
2
1
dmv
2
1
T
’
’，转动：平动：
’
’’
’总动能：
惯量三、刚体的动能和转动
I
2
1
T
I2I2I2III
2
1
T
III
III
III
I,
xy d mII
z xd mII
yz d mII
dmyxI
dmxzI
dmzyI
zyxjiI
zxxyzyyzxzzx
2
zzz
2
yyy
2
xxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
yxxy
xzzx
zyyz
22
xx
22
yy
22
xx
ij
）（
。惯性张量惯性积转动惯量
，，
）（
）（
）（
）分别为，，，（引入符号
）（
轴称为惯量主轴。
记为称为主转动惯量转动惯量惯性积为零选取该对称轴为坐标轴刚体质量分布为轴对称
2
zz
2
yy
2
xx
zyx
III
2
1
T
z,y,x
,I,I,I,
,) (
I
2
1
T
zxzyxyxxx
zy
22
xx
zy
22
x
xzyx
yzx
xx
iiiiii
III
xz d mxy d mdm)zy(L
xzxy)zy(
)zx(z)xy(y
)r(z)r(y)]r(r[
dm)]r(r[L
dm)r(rL
m)r(rvmrL
分量：
连续分布：
总角动量：
考虑刚体转动）四、刚体的角动量（仅
L
2
1
I
2
1
T
,I
III
III
III
L
IIIL
IIIL
IIIL
r o t
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzyxzxz
zyzyyyxyxy
zxzyxyxxxx
即：
同理可得：
考虑刚体转动）四、刚体的角动量（仅
xyyzzx
2
zz
2
yy
2
xx
2
xyyzzx
2
zz
2
yy
2
xx
yxxyzyyzxzzx
2
zzz
2
yyy
2
xxx
2
zyx
I2I2I2IIII
)I2I2I2
III(
2
1
)I2I2I2
III(
2
1
I
2
1
O 1
。，，设为轴线方向余弦。、、，已知转动惯量，惯性积量点任意方向轴的转动惯、过五、惯量主轴的确定
1xyI2yzI2zxI2zIyIxI
R
xy
I2
R
yz
I2
R
zx
I2
R
z
I
R
y
I
R
x
I
R
1
RzRyRx:Q
Q OQ
I
1
R 2
I2I2I2IIII
xyyzzx
2
zz
2
yy
2
xx
2xy2yz2zx
2
2
zz2
2
yy2
2
xx2
xyyzzx
2
zz
2
yy
2
xx
故得惯量椭球：
。，，点坐标为为转轴上一点）（令、惯量椭球五、惯量主轴的确定
3、惯量主轴的求法
(1)利用惯量椭球方程惯量椭球有三条相互垂直的主轴，以此三主轴为坐标轴，则椭球方程中的交叉项统统为零，即惯量积为零。所以，惯量主轴即为惯量椭球的三条主轴，采用坐标转动变换来实现。
(2)根据质量对称分布可以证明三条相互垂直的质量对称轴即为惯量主轴。
即为惯量主轴方向。，此三个特征矢量方向，
，以及三个特征矢量，，可解出三个特征根行列式应为零，即有非零解，则上式系数如果分量形式：
为标量其中同向，即与假设角动量与角速度同向法
0
III
III
III
0)I(II
0I)I(I
0II)I(
) ( I L L
)3(
32
1321
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzyxzx
zyzyyyxyx
zxzyxyxxx
)(L )(
00
00
00
I00
0I0
00I
I,
.I 0I 0I
,0II 0I
,0I 0II
ikIjIiIIL
i
zyx
332211321
3
2
1
zz
yy
xx
3zzzyzx
zy2yyxy
zxyx1xx
111zx1yx1xx111
11
，，，，，
即
，，
，，同理可得：
，，
，则有轴，，，向为如果选三个特征矢量方
主轴。点的主转动惯量和惯量所在。求该三角形对于，
，构成一三角形。已知有三个质点例
/
,,:
3132
321
2 mahmmm
mmm
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
21
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2700
0231
012
2700
023
02
02
27
23
2
2
am
am
amam
amam
IIamaamyxmI
amIII
am
amamxmI
amamymI
zxyziiixy
yyxxzz
iiyy
iixx
/
/
/
/I
,)/(
/
/
)/(
:
解
h=a
x
y
z
m1
a/2
m2
m3
o
a
2
23
2
22
2
21
321
am
2
7
I
am
4
177
Iam
4
177
I
2
7
4
177
4
177
,
01
2
3
2
2
7
0
2
7
00
0
2
3
1
012
,
，，主转动惯量：
。，，解方程得本征方程的方向。，，惯量主轴方向即为
，同理可得
，满足列出方程：本征矢量对应
。，，特征根
,
/
/
,
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
321
321
3
3
2
3
1
3
3
3
2
2
2
1
2
2
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
1
1
0
0
0
4
171
1
0
4
171
1
4
177
2700
0231
012
2
7
4
177
4
177
eee
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
§ 4.5 刚体的平面平行运动动 力学方程分别为：
质心 定理,F外 = m dvc /dt
质心 转 动定律,M外 C = IC? = IC d?/dt
刚体总能量,E = EK + EP
= mvC 2/ 2 + ICω2/2 + EP
角动 量,LZ = IZ?
垂直轴定理,IZ = IX + IY
平行轴定理,IZ = IC + md2
例：均匀圆柱体沿固定斜面无滑动滚下，求圆柱体的加速度和约束反作用力。
解,质心 C,xC = R?,yC = 0。
体系广义坐标选为 xC
体系动能：
3/s i ng2x 2/mRI
0s i ngx)mR/I1(
s i nm g x2/x)mR/I1(mL
s i nm g xU
2/x)mR/I1(m
2/I2/xmT
C
2
C
C
2
C
C
2
C
2
C
C
2
C
2
C
2
CC
2
C
拉格朗日方程：
拉格朗日函数：
势能：
A
ON
mgx
yF
y’
C?
c o smgN:)2(
3/s i ngF:)2()1(
( 3) Nc o smg0
( 2) Fs i nmgxm
( 1) 3/s i ng2x
C
C
式得由得式代入由
A
ON
mgx
yF
y’
C?
例：半径为 R 的偏心圆盘在水平面上作平面平行运动，圆盘的质量为 m，质心 C 离几何中心的距离为 d,写出圆盘的运动方程。设圆盘只滚不滑。
O
C
R r?
d
FN
F
c osdy
s i ndRx
C
C
质心坐标：
广义坐标：
0s i ngds i ndR)c o sdR2dR(
0
LL
d
d
c o sm g d]c o sdR2dR[
2
m
L
:
c o sm g dU
]c o sdR2dR[
2
m
m
2
1
)r(m
2
1
I
2
1
xm
2
1
T
22
C
22
22
C
22
22
C
22
22
C
22
C
2
C
拉格朗日方程：
拉格朗日函数
§ 4.6 欧拉动力学方程
。速度系中固定位矢，为
：动坐标系
，速度点的位矢：固定坐标系转动绕定点方程一、动坐标系中的转动
rrv
A OQ
B
rv r PA
) O (
B
ωA
PQ
O
X
dt
Xd
v
"" B
),A ( X,
为速度坐标系中看到的在坐标系中在固定矢量推广
LM
t
L
LML
dt
Ld
t
L
L
t
L
dt
Ld
B
dt
Ld
M A0M 2
L
dt
Ld
B
L A0M 1
广义欧勒方程：
系：
系：，、外力矩
（欧勒方程）坐标系：
常矢量坐标系：，、外力矩
zyxyxzz
yxzxzyy
xzyzyxx
zyx
zzyyxx
zyx
MIII
MIII
MIII
kMjMiMM
kIjIiIL
kji
,
LM
t
L
）（
）（
）（
：广义欧勒方程分量形式代入广义欧勒方程得，
系轴设选用惯量主轴为坐标广义欧勒方程：
讨论,可解情况
(1)欧勒 ——潘索情况重力的合力通过定点 ( 一般说重心或质心 ),
因而对 O 点,外力矩为 0,刚体作惯性转动，如回转仪，地球自转等情况。
(2) 拉格朗日 ——泊松情况对定点 O 的惯量椭球是旋转椭球 ( Ix = Iy ≠
Iz )，而刚体的重心在椭球的旋转轴上，如重力陀螺仪。
(3) 柯凡律夫斯卡雅情况对定点 O 的惯量椭球也是旋转椭球，而且有 ( Ix = Iy = 2Iz )，刚体的重心在惯量椭球的赤道平面上。
，
）（
）（
）（
欧勒方程
，
，见图标系解：取固定于圆盘的坐分。转
，，，例：已知
0M,0M
MII
MII
MII
,
.c o s,0,s i n
/ 2,mrI4/mrII
)( O x y z
/ 12000
1m 2.0rkg 20m
zx
zyxyx
yxzxz
xzyzy
zyx
2
z
2
yx
o
x
yz
oα
ω
）（的压力为盘心等距，所以轴承上轴承离力所产生的力矩。因为这时轴承对转轴的作用
）（
，解：
分。转，，，
N 5511
5.0
5511
2
1
mN 55112s i n)400(2.020
8
1
2s i nmr
8
1
s i nc os mr
4
1
mr
2
1
IIM
.c os,0,s i n
/ 2,mrI4/mrII
/ 120001m 2.0rkg 20m
o22
22
222
xzxzy
zyx
2
z
2
yx
o
§ 4.8 刚体的自由转动
zzyzxyxz
zyzxyxzz
zy
xyy
2
zxzzx
2
y
zx
yxx
2
zyzzy
2
x
2
zz
2
yy
2
xx
2
z
2
z
2
y
2
y
2
x
2
x
2
I/)(f)(f)II(,
0)(f)(f)II(I
)3(
)(f
)II(I
)II(IEI2L
)(f
)II(I
)II(IEI2L
2/IIIE
IIIL
得式第代入欧拉动力学方程常数）（能量守恒：
常数角动量守恒：
1、潘索的几何法：
取刚体的质心为定点 O，取 O点的惯量主轴为 Oxyz 的三个坐标轴，则惯量椭球方程为
Ix x2 + Iy y2 + Iz z2 =1
角动量 L 的方向和大小不变，取为 Ox’轴方向。
(1)? 在 L 方向的投影?L 是常数
L =?· L / L = 2E / L
(2)设?惯量椭球的交点为 N,ON的长度为?，则
rON = /?，所以 N点的坐标为
x =x /?,y =y /?,z =z /? 。
→?2(Ix?x2 + Iy?y2 + Iz?z2) /?2 = 1
→?2 2E /?2 = 1 →? =?/(2E)1/2
N(x,y,z)
Q(x’,y’,z’)
Oen
求过点和惯量椭球相切的平面方程
kzIjyIixI
P
er
k)z'z(j)y'y(i)x'x(
rrr
kzjyixr
k'zj'yi'xr
zyx
nNQ
ONOQNQ
ON
OQ
椭球方程的法线：
的法线方向。椭球方程因此它的法线方向就是点的切平面，在由于此平面是惯量椭球垂直。必和此平面的法线
。，，
为、、切平面方程的方向余弦代入上式得切平面方程式或
，得：由椭球法线：
）（，，
L/IL/IL/I
0L/E2L/'zIL/'yIL/'xI
:)1(
1'zzI'yyI'xxI
0)z'z(zI)y'y(yI)x'x(xI
0er
kzIjyIixI
1 /z/y/x
zzyyxx
zzyyxx
zyx
zyx
nNQ
zyx
zyx
一个不变的平面。
椭球在点的切平面是也是不变的。因此惯量的距离为点的运动的。切平面距定体的方向余弦，是不随刚显然就是角动量
。，，
为、、切平面方程的方向余弦
L/E2O
L
L/IL/IL/I
zzyyxx
刚体自由转动的描述作刚体的中心惯量椭球，
过质心 O作角动量 L，并取一点 O’，令 OO’ = (2E)1/2/L,
过 O’点作一和 L 垂直的平面?，这个 平面就是上述的不变平面，它必与中心惯量椭球相切与 N点,r ON的方向即为角速度? 的方向，也即瞬时转轴的方向。
L?
O’
O
N
刚体运动时，点位置将不断改变，但由于点在瞬时转轴上，它的瞬时速度必为零，因此中心惯量椭球 (即刚体 )只能在?平面上作纯滚动。
2、欧拉法 ( 对称陀螺 Ix = Iy )
为此圆锥面的轴线。，的运动轨道为一圆锥面所以作转动以等角速度的方向则绕对称轴但常数陀螺角速度的大小为为常数和也是常数式中常数力学方程系中的对称陀螺欧拉动在
Oz
.nOz
.:
.,
)nts i n (
)ntc o s (
n
n
.,I /)II( n,
nI/)II(
nI/)II(
0I
0)II(I
0)II(I
:O x y z)1(
2
z
2
o
o
oy
ox
y
2
y
x
2
x
xzxz
z
xxxzxzy
yxzyzxx
zz
xzxzyx
zyzxxx
(2) 对称陀螺的欧拉角描述
oz
xzzx
oxo
oxo
ozz
zz
ox
ox
o
o
zzoxox
s e c)n(
I/)II(nnt2/
)ntc o s (s i nIs i nL
)ntc o s (Is i ns i nL
c o sL/Ic o s
Ic o sL
)nts i n (Ic o ss i nL
)ntc o s (Is i ns i nL
)kc o sjc o ss i nis i n( s i nLz LL
OzLL
kIj)nts i n (Ii)ntc o s (IL
，
，
常数轴方向，即方向为为常矢量，所以取因为
zo
z
例：一回转仪 Ix = Iy = 2Iz 依惯性绕重心转动并作规则进动 (即恒速进动 )。已知此回转仪的自转角速度为 ω1,并知其转轴与进动轴间的夹角 θ= 60o,
求进动角速度 ω2 。
( 3 ) 0 2/I
( 2 ) 02/II
( 1 ) 02/II
0III
0III
0III
:
:
zx
xzxyy
zyxxx
yxyxzz
xzxzyy
zyzyxx
）（
）（
）（
欧勒方程潘索情况的结合问题。—夫斯卡雅情况与欧勒绕重心转动，属柯凡律此回转仪为对称陀螺且解
( 3 ) 0 2/I
( 2 ) 02/II
( 1 ) 02/II
zx
xzxyy
zyxxx
( 6 ) c o s
( 5 ) c o ss i n
( 4 ) s i ns i n
060
o
z
y
x
得，代入欧勒运动学方程为常数
c o ss i nx
常数
12212
o
1 22/ 60
c o sc o s2
，，令,
c o s
s i nc o ss i n
c o ss i ns i n
z
y
x
2/)c o s( c o ss i n c o ss i n
2/)c o s( c o ss i n2/,)1( zyx
式得由
§ 4.9 拉格朗日陀螺
( 定点转动,Ix = Iy,重心在对称轴上 )
O
x
y
z
X
Y
Z
C
mg
θ
θc osm gl)c os(
2
I
)s i n(
2
I
θc osm gl
2
I
)(
2
I
L
c os
s i nc oss i n
c oss i ns i n
:
,θc osm glU l O
C m
2z222x
2
z
z2
y
2
x
x
z
y
x
欧勒运动学方程则，的距离为点离定，重心设陀螺质量为
.s i nI/c o s)c o sLL(I/L
s i nI/)c o sLL(
Eθc o sm g l2/)c o s(I2/)s i n(I
tL
IL)c o s(I/Lp
Lc o sI)c o sIs i nI(/Lp
L
θc o sm g l2/)c o s(I2/)s i n(IL
2
xz
2
x
2
z
222
x
zzz
z
2
z
2
x
2
z
222
x
，
，所以能量守恒中不显含因为
，所以角动量守恒、中不显含因为
d}I/)](UE[{2t 'E)(U2/I
m gl
I2
L
EE'
),θc os1(m gl
s i nI2
)c osL-L(
)(U
θc osm gl
I2
L
s i nI
)c osL-L(
2
I
E
( 1)( 4)( 3)
( 4) s i nI/c os)c osL-L (L/L
( 3) s i nI/)c osL-L (
( 1) θc osm gl2/)c os(I2/)s i n(IE
2/1
xe f fe f f
2
x
z
2
2
x
2
e f f
z
2
22
x
2
2x
2
x
2
x
2
z
222
x
’
得代入和
E’
θ1 θ2 π
Ueff
界限。直方向偏转的章动角的轴对铅决定了陀螺的和时，当；时，和当
：的极大和极小的条件为因此时成立。等号仅当的变化范围章动角讨论
z
,)(U sI/c o s
)(U 0
)(U'E
0 ),(U'E'E)(U2/I
)1(:
'E)(U2/I
),θc o s1(m gl
s i nI2
)c o sL-L(
)(U
21
e f fz
e f f
e f f
e f fe f f
2
x
e f f
2
x
2
x
2
e f f
.c
c o sL-L,0,0; b,c o sL-L; a,c o sL-L
:),(
)2(
21
21
零点重合见图中有一个与若轨迹见图变号变号轨迹见图不变号不变号范围内在章动角进动角速度
ca b
§ 4.10 快速陀螺 (回转仪 ) 的近似理论
2
2
x21
22
z
12
2
2
x
2
2z1z
z
2
2
2
2
x
2
2
2
1
2
zz1z
1
θc o s1m glI2/)c o s-( c osI
c o sm glθc o sm gl
s i nI2
)c o sI-c o sI(
m glI2/LE)θc o s1(m gl
s i nI2
)c o sL-L(
c o sm gl2/IEILc o sIL
:9.4,00
,0t.
满足的方程为：
。，，
结果利用，，，
陀螺具有初始条件时设以拉格朗日陀螺为例
22
z1
2
x21
1
2
2
1
2
1
22
1
22
xz
2
z
1
2
1
2
1
2
1
22
1
21x
22
z
2
2
x21
22
z
I/s i nm glI2c os-c os
p/s i nx1x0
2/)]p/s i n21(1[p2/)s i n4pp(x
0s i npxx
1pI/I
,m gl2/I,:
0s i nx)c os2p(x
θc osc osx2x1)c osx(1px
c os-c osxm glI2/Ip
θc os1m glI2/)c os-( c osI
或由此得，所以上式中取正号，因为
，近似解为：
，由此近似得：不是小量。此时并假定即设陀螺初角速度很大近似计算表示章动量。，用令
z
1
2
x21z
2111
22
2
x1z
2
x
z1z
22
z1
2
x21
I/m gl
s i nI/)c os( c osI
2/)c os( c osc osc oss i ns i n
:
s i nI/)c os( c osI
s i nI/)c osLL(
ILc osIL
I/s i nm glI2c os-c os
，
可近似有因为章动量很少，因此
。，
讨论进动
§ 4.10 刚体转动的稳定性
1、刚体转动的稳定性是讨论在什么条件下刚体的角速度? 不随时间变化。
首要条件是外力矩为零；
在外力矩为零时的欧拉动力学方程为：
2)( 0
Oz0t:
.
,:
( 1 )
III
III
III
o0tz0ty0tx
yxyxzz
xzxzyy
zyzyxx
。
，
转动，即时刚体绕轴假定证明转动可以稳定不变惯量主轴之一如果开始时转动轴线是从方程可得
）（
）（
）（
方向。速度必须沿惯量主轴的外力矩必须为零，初角要条件：所以刚体稳定转动的必即：
，可得和由得式代入将
，
转动，即时刚体绕轴假定证明
）（
）（
）（
k
)t(0)t()t(:( 3 )( 2 )
( 3 ) 0:( 1 )( 2 )
2)( 0
Oz0t:
( 1 )
III
III
III
o
ozyx
0tz0ty0tx
o0tz0ty0tx
yxyxzz
xzxzyy
zyzyxx
2、在满足稳定转动的条件下，若刚体受到小的冲量矩的干扰，使转动轴稍微偏离原来的转动轴 (惯量主轴 )，这种偏离是否不会变得越来越大。
yxyzxz
'
x
2
o
'
x
'
z
'
zz
'
xoxz
'
yy
'
yozy
'
xx
o
'
z
'
y
'
x
o
o
I) / II-)(II-(Ik
0k
0I
III
III
)t('
.,
.)t('
)t('k
式中常数
）（
）（
欧拉方程得：
是小量，代入相对、、的分量设才能称这种转动是稳定只有这一点保证小很多时刻均比的三个分量能否在任何用后的角速度为即若刚体受干扰力矩作
则就是不稳定的。时，转动是稳定的，否
，或，即时则当小很多，均比、、结论：如果干扰终止时稳定性的条件相同。和因此所满足的方程为同样的讨论可得转动稳定被破坏。
线性增加，将随时间指数增加或非，则若保持很小。在以后的时刻中也可以小很多，则的值比干扰终止时上式表明，只要冲量矩则，若
yzxzyzxz
o
'
z
'
y
'
x
'
x
'
y
'
y
2
o
'
y
'
y
'
x
'
x
o
'
x
o
'
x
IIII IIII,0k
0k
0k
)tks i n (A 0k
§ 4.1 刚体运动的自由度和广义坐标刚体运动的自由度,6
刚体运动分类,
(1) 平动
(2) 定轴转动
(3) 平面平行运动
(4) 定点转动
(5) 一般运动
x
y
z
y”
N
O
间的夹角。和—章动角间的夹角；和—自转角间的夹角；和—进动角平面的交线；平面和—节线轴其中瞬时转动轴为
：固定在刚体上动坐标系固定不动坐标系：
上。点都在定点的原两组正交坐标系，它们
。取选此定点为坐标系原点当刚体作定点转动时，
欧勒角
Oz O
Ox ON
O ON
x O y OON
) z (
x yz-O
-O
O
§ 4.2 刚体的角速度角位移为?n
位移为? r =?n? r
角速度定义：
ω = dn /dt
r
r r +?r
x
y
z
y”
N
O kji
zN
zyx
ooo
：刚体的定点转动角速度
c os
s i nc oss i n
c oss i ns i n
,
z
y
x
欧勒运动学方程
§ 4.3 刚体上任一点的线速度和加速度
1、无平动的转动线位移,dr = dn? r
线速度,v = dr /dt = (dn /dt)? r
= ω? r
加速度,a = dv /dt = d(ω? r)/dt
= (dω/dt)? r + ω?(ω? r )
任一常模矢量 A 对 时间的微商为,
dA /dt = ω? A
§ 4.3 刚体上任一点的线速度和加速度
2、平动 + 转动
(1) 固定基点法 ( C 为 刚体上固定基点 )
线速度,v = vC + ω? r
加速度,a = aC + (dω/dt)? r +ω?(ω?r )
运算公式,A × B × C = B (A · C ) – (A · B) C
ω× (ω× r ) = ω(ω·r ) - ω2 r
a = aC + (dω/dt)? r + ω(ω·r ) - ω2 r
对平面平行运动 ω ⊥ r,
a = aC + (dω/dt)? r - ω2 r
证明：刚体角速度与参考点无关。
证,以 A’为参考点,角速度 ω’;
以 A’’为参考点,角速度 ω’’。
vP = vA’ + ω’ × A’P
= vA’’+ ω’’× A’’P
∵ vA’’ = vA’ + ω’× A’A’’
∴ vA’ +ω’× A’P = vA’ +ω’× A’A’’+ω’’× A’’P
→ ω’× ( A’P-A’A’’) = ω’’ × A’’P
→ ω’× A’’P= ω’’ × A’’P
→ ω’ = ω’’
O 参考原点
A’’
A’
P
(2) 瞬时转轴法
① 平面平行运动已知刚体的角速度 ω和刚体上某一点 P的线速度 vP,总可过 P点作一条和 vP 垂直的直线 PQ，
并使 Q 点的位置满足条件：
vP = ω? rPQ
取 Q 点为基点。
基点 Q 的特点,
Q点是转动轴线和运动平面的交点，速度为零,Q点的位置不固定，所以 Q点称为 瞬时转动中心 或 瞬时转心 。
确定瞬时转心的方法
(1) 刚体上瞬时速度为零的点必为瞬时转心；
(2) 已知刚体上 A 点和 B 点的速度方向，分别过 A 点和 B 点作 vA 和 vB 的垂线，
其交点 Q 必为瞬时转心。
② 一般运动也可用瞬时转轴法。如果在某一瞬时能在刚体上找到两个速度为零的点，则此两点的连线就是刚体的瞬时转轴。找到了瞬时转轴，刚体上任一点的速度就可直接用纯转动的公式。
A
B
QvA
vB
例 1：半径为 R 的轮子在直线轨道上无滑滚动，
质心 C 的速度为常数 vo 求轮子边缘上任一点 P
的速度和加速度。
解,1、固定基点法
Oyo
xo
C
Q
P
vo
vC
vPω? rCP
Oyo
xo
C
Q
P
vo
vC
v
P
ω? rCP
CP
22
oCP
2
CPCP
C
ooP
C
CP
oCP
CPCP
oo
r)R/v(rr)dt/d(aa
0dt/d0a
s i nv2c osv2v
//v
CPr
vRr
rvv
C
R/vRtv
PQOC
，，
轨道。
，
，
则为基点，取轮心
，轮子角速度
2、瞬时转心法轮子和轨道接触点 Q为瞬时转心，所以
Oyo
xo
C
Q
P
vo
vC
v
P
ω? rCP,
代入上式得：
，，因
s i nv2c o sv2v
R/vs i nR2c o sR2r
rv
ooP
oCP
QPP
例：半径为 r 的圆盘垂直于地面作纯滚动，圆盘中心 C 以速率 vC =?1 R 沿着半径为 R 的圆周运动，求圆盘边缘上任一点 P 的速度。
解,圆盘运动可视为绕点 O 的定点转动,OQ为其瞬时转动轴线。
R
QO
1?
2
C
P
i
j
k?
2
1
CO
圆盘角速度用欧拉角来表示。
ks i nrjs i nRi)c o s1(R
rv
jrkRrP
kr/Rjc o sis i n
r/Rc o s
c o ss i nc o ss i n
s i nc o ss i ns i n
r/RRrv
090
111
P
111
1z
1y
1x
1212C
21
21
o
所以：
的位矢：圆盘上任一点即：
盘的角速度：由欧勒运动学方程得圆之间存在约束关系：和由于圆盘纯滚动，
。，，，已知：
§ 4.4 刚体运动的动力学方程
u Mdm'rdmu
dm)'ru(dmvdPP
O u
rrr
'ru)r(v
MLFP
o
二、刚体的动量的速度。’为质心
，’其中一、刚体的速度
，绕质心转动定理：质心定理：
外外
A B P
O’
O
r?
or
'r?
yxzxzy
2
z
222
y
222
x
22
2
yx
2
xz
2
zy
2
2
r o t
2
t r a
22
22
22
xy2zx2yz2
)yx()xz()zy(
)xy()zx()yz()r(
dm)r(
2
1
TMu
2
1
T
dm)r(
2
1
Mu
2
1
dm)r(udm)r(
2
1
Mu
2
1
dmru
2
1
dmv
2
1
T
’
’，转动：平动：
’
’’
’总动能：
惯量三、刚体的动能和转动
I
2
1
T
I2I2I2III
2
1
T
III
III
III
I,
xy d mII
z xd mII
yz d mII
dmyxI
dmxzI
dmzyI
zyxjiI
zxxyzyyzxzzx
2
zzz
2
yyy
2
xxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
yxxy
xzzx
zyyz
22
xx
22
yy
22
xx
ij
）（
。惯性张量惯性积转动惯量
，，
）（
）（
）（
）分别为，，，（引入符号
）（
轴称为惯量主轴。
记为称为主转动惯量转动惯量惯性积为零选取该对称轴为坐标轴刚体质量分布为轴对称
2
zz
2
yy
2
xx
zyx
III
2
1
T
z,y,x
,I,I,I,
,) (
I
2
1
T
zxzyxyxxx
zy
22
xx
zy
22
x
xzyx
yzx
xx
iiiiii
III
xz d mxy d mdm)zy(L
xzxy)zy(
)zx(z)xy(y
)r(z)r(y)]r(r[
dm)]r(r[L
dm)r(rL
m)r(rvmrL
分量：
连续分布：
总角动量：
考虑刚体转动）四、刚体的角动量（仅
L
2
1
I
2
1
T
,I
III
III
III
L
IIIL
IIIL
IIIL
r o t
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzyxzxz
zyzyyyxyxy
zxzyxyxxxx
即：
同理可得：
考虑刚体转动）四、刚体的角动量（仅
xyyzzx
2
zz
2
yy
2
xx
2
xyyzzx
2
zz
2
yy
2
xx
yxxyzyyzxzzx
2
zzz
2
yyy
2
xxx
2
zyx
I2I2I2IIII
)I2I2I2
III(
2
1
)I2I2I2
III(
2
1
I
2
1
O 1
。，，设为轴线方向余弦。、、，已知转动惯量，惯性积量点任意方向轴的转动惯、过五、惯量主轴的确定
1xyI2yzI2zxI2zIyIxI
R
xy
I2
R
yz
I2
R
zx
I2
R
z
I
R
y
I
R
x
I
R
1
RzRyRx:Q
Q OQ
I
1
R 2
I2I2I2IIII
xyyzzx
2
zz
2
yy
2
xx
2xy2yz2zx
2
2
zz2
2
yy2
2
xx2
xyyzzx
2
zz
2
yy
2
xx
故得惯量椭球：
。，，点坐标为为转轴上一点）（令、惯量椭球五、惯量主轴的确定
3、惯量主轴的求法
(1)利用惯量椭球方程惯量椭球有三条相互垂直的主轴，以此三主轴为坐标轴，则椭球方程中的交叉项统统为零，即惯量积为零。所以，惯量主轴即为惯量椭球的三条主轴，采用坐标转动变换来实现。
(2)根据质量对称分布可以证明三条相互垂直的质量对称轴即为惯量主轴。
即为惯量主轴方向。，此三个特征矢量方向，
，以及三个特征矢量，，可解出三个特征根行列式应为零，即有非零解，则上式系数如果分量形式：
为标量其中同向，即与假设角动量与角速度同向法
0
III
III
III
0)I(II
0I)I(I
0II)I(
) ( I L L
)3(
32
1321
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzyxzx
zyzyyyxyx
zxzyxyxxx
)(L )(
00
00
00
I00
0I0
00I
I,
.I 0I 0I
,0II 0I
,0I 0II
ikIjIiIIL
i
zyx
332211321
3
2
1
zz
yy
xx
3zzzyzx
zy2yyxy
zxyx1xx
111zx1yx1xx111
11
，，，，，
即
，，
，，同理可得：
，，
，则有轴，，，向为如果选三个特征矢量方
主轴。点的主转动惯量和惯量所在。求该三角形对于，
，构成一三角形。已知有三个质点例
/
,,:
3132
321
2 mahmmm
mmm
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
21
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2700
0231
012
2700
023
02
02
27
23
2
2
am
am
amam
amam
IIamaamyxmI
amIII
am
amamxmI
amamymI
zxyziiixy
yyxxzz
iiyy
iixx
/
/
/
/I
,)/(
/
/
)/(
:
解
h=a
x
y
z
m1
a/2
m2
m3
o
a
2
23
2
22
2
21
321
am
2
7
I
am
4
177
Iam
4
177
I
2
7
4
177
4
177
,
01
2
3
2
2
7
0
2
7
00
0
2
3
1
012
,
，，主转动惯量：
。，，解方程得本征方程的方向。，，惯量主轴方向即为
，同理可得
，满足列出方程：本征矢量对应
。，，特征根
,
/
/
,
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
321
321
3
3
2
3
1
3
3
3
2
2
2
1
2
2
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
1
1
0
0
0
4
171
1
0
4
171
1
4
177
2700
0231
012
2
7
4
177
4
177
eee
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
§ 4.5 刚体的平面平行运动动 力学方程分别为：
质心 定理,F外 = m dvc /dt
质心 转 动定律,M外 C = IC? = IC d?/dt
刚体总能量,E = EK + EP
= mvC 2/ 2 + ICω2/2 + EP
角动 量,LZ = IZ?
垂直轴定理,IZ = IX + IY
平行轴定理,IZ = IC + md2
例：均匀圆柱体沿固定斜面无滑动滚下，求圆柱体的加速度和约束反作用力。
解,质心 C,xC = R?,yC = 0。
体系广义坐标选为 xC
体系动能：
3/s i ng2x 2/mRI
0s i ngx)mR/I1(
s i nm g x2/x)mR/I1(mL
s i nm g xU
2/x)mR/I1(m
2/I2/xmT
C
2
C
C
2
C
C
2
C
2
C
C
2
C
2
C
2
CC
2
C
拉格朗日方程：
拉格朗日函数：
势能：
A
ON
mgx
yF
y’
C?
c o smgN:)2(
3/s i ngF:)2()1(
( 3) Nc o smg0
( 2) Fs i nmgxm
( 1) 3/s i ng2x
C
C
式得由得式代入由
A
ON
mgx
yF
y’
C?
例：半径为 R 的偏心圆盘在水平面上作平面平行运动，圆盘的质量为 m，质心 C 离几何中心的距离为 d,写出圆盘的运动方程。设圆盘只滚不滑。
O
C
R r?
d
FN
F
c osdy
s i ndRx
C
C
质心坐标：
广义坐标：
0s i ngds i ndR)c o sdR2dR(
0
LL
d
d
c o sm g d]c o sdR2dR[
2
m
L
:
c o sm g dU
]c o sdR2dR[
2
m
m
2
1
)r(m
2
1
I
2
1
xm
2
1
T
22
C
22
22
C
22
22
C
22
22
C
22
C
2
C
拉格朗日方程：
拉格朗日函数
§ 4.6 欧拉动力学方程
。速度系中固定位矢，为
：动坐标系
，速度点的位矢：固定坐标系转动绕定点方程一、动坐标系中的转动
rrv
A OQ
B
rv r PA
) O (
B
ωA
PQ
O
X
dt
Xd
v
"" B
),A ( X,
为速度坐标系中看到的在坐标系中在固定矢量推广
LM
t
L
LML
dt
Ld
t
L
L
t
L
dt
Ld
B
dt
Ld
M A0M 2
L
dt
Ld
B
L A0M 1
广义欧勒方程：
系：
系：，、外力矩
（欧勒方程）坐标系：
常矢量坐标系：，、外力矩
zyxyxzz
yxzxzyy
xzyzyxx
zyx
zzyyxx
zyx
MIII
MIII
MIII
kMjMiMM
kIjIiIL
kji
,
LM
t
L
）（
）（
）（
：广义欧勒方程分量形式代入广义欧勒方程得，
系轴设选用惯量主轴为坐标广义欧勒方程：
讨论,可解情况
(1)欧勒 ——潘索情况重力的合力通过定点 ( 一般说重心或质心 ),
因而对 O 点,外力矩为 0,刚体作惯性转动，如回转仪，地球自转等情况。
(2) 拉格朗日 ——泊松情况对定点 O 的惯量椭球是旋转椭球 ( Ix = Iy ≠
Iz )，而刚体的重心在椭球的旋转轴上，如重力陀螺仪。
(3) 柯凡律夫斯卡雅情况对定点 O 的惯量椭球也是旋转椭球，而且有 ( Ix = Iy = 2Iz )，刚体的重心在惯量椭球的赤道平面上。
，
）（
）（
）（
欧勒方程
，
，见图标系解：取固定于圆盘的坐分。转
，，，例：已知
0M,0M
MII
MII
MII
,
.c o s,0,s i n
/ 2,mrI4/mrII
)( O x y z
/ 12000
1m 2.0rkg 20m
zx
zyxyx
yxzxz
xzyzy
zyx
2
z
2
yx
o
x
yz
oα
ω
）（的压力为盘心等距，所以轴承上轴承离力所产生的力矩。因为这时轴承对转轴的作用
）（
，解：
分。转，，，
N 5511
5.0
5511
2
1
mN 55112s i n)400(2.020
8
1
2s i nmr
8
1
s i nc os mr
4
1
mr
2
1
IIM
.c os,0,s i n
/ 2,mrI4/mrII
/ 120001m 2.0rkg 20m
o22
22
222
xzxzy
zyx
2
z
2
yx
o
§ 4.8 刚体的自由转动
zzyzxyxz
zyzxyxzz
zy
xyy
2
zxzzx
2
y
zx
yxx
2
zyzzy
2
x
2
zz
2
yy
2
xx
2
z
2
z
2
y
2
y
2
x
2
x
2
I/)(f)(f)II(,
0)(f)(f)II(I
)3(
)(f
)II(I
)II(IEI2L
)(f
)II(I
)II(IEI2L
2/IIIE
IIIL
得式第代入欧拉动力学方程常数）（能量守恒：
常数角动量守恒：
1、潘索的几何法：
取刚体的质心为定点 O，取 O点的惯量主轴为 Oxyz 的三个坐标轴，则惯量椭球方程为
Ix x2 + Iy y2 + Iz z2 =1
角动量 L 的方向和大小不变，取为 Ox’轴方向。
(1)? 在 L 方向的投影?L 是常数
L =?· L / L = 2E / L
(2)设?惯量椭球的交点为 N,ON的长度为?，则
rON = /?，所以 N点的坐标为
x =x /?,y =y /?,z =z /? 。
→?2(Ix?x2 + Iy?y2 + Iz?z2) /?2 = 1
→?2 2E /?2 = 1 →? =?/(2E)1/2
N(x,y,z)
Q(x’,y’,z’)
Oen
求过点和惯量椭球相切的平面方程
kzIjyIixI
P
er
k)z'z(j)y'y(i)x'x(
rrr
kzjyixr
k'zj'yi'xr
zyx
nNQ
ONOQNQ
ON
OQ
椭球方程的法线：
的法线方向。椭球方程因此它的法线方向就是点的切平面，在由于此平面是惯量椭球垂直。必和此平面的法线
。，，
为、、切平面方程的方向余弦代入上式得切平面方程式或
，得：由椭球法线：
）（，，
L/IL/IL/I
0L/E2L/'zIL/'yIL/'xI
:)1(
1'zzI'yyI'xxI
0)z'z(zI)y'y(yI)x'x(xI
0er
kzIjyIixI
1 /z/y/x
zzyyxx
zzyyxx
zyx
zyx
nNQ
zyx
zyx
一个不变的平面。
椭球在点的切平面是也是不变的。因此惯量的距离为点的运动的。切平面距定体的方向余弦，是不随刚显然就是角动量
。，，
为、、切平面方程的方向余弦
L/E2O
L
L/IL/IL/I
zzyyxx
刚体自由转动的描述作刚体的中心惯量椭球，
过质心 O作角动量 L，并取一点 O’，令 OO’ = (2E)1/2/L,
过 O’点作一和 L 垂直的平面?，这个 平面就是上述的不变平面，它必与中心惯量椭球相切与 N点,r ON的方向即为角速度? 的方向，也即瞬时转轴的方向。
L?
O’
O
N
刚体运动时，点位置将不断改变，但由于点在瞬时转轴上，它的瞬时速度必为零，因此中心惯量椭球 (即刚体 )只能在?平面上作纯滚动。
2、欧拉法 ( 对称陀螺 Ix = Iy )
为此圆锥面的轴线。，的运动轨道为一圆锥面所以作转动以等角速度的方向则绕对称轴但常数陀螺角速度的大小为为常数和也是常数式中常数力学方程系中的对称陀螺欧拉动在
Oz
.nOz
.:
.,
)nts i n (
)ntc o s (
n
n
.,I /)II( n,
nI/)II(
nI/)II(
0I
0)II(I
0)II(I
:O x y z)1(
2
z
2
o
o
oy
ox
y
2
y
x
2
x
xzxz
z
xxxzxzy
yxzyzxx
zz
xzxzyx
zyzxxx
(2) 对称陀螺的欧拉角描述
oz
xzzx
oxo
oxo
ozz
zz
ox
ox
o
o
zzoxox
s e c)n(
I/)II(nnt2/
)ntc o s (s i nIs i nL
)ntc o s (Is i ns i nL
c o sL/Ic o s
Ic o sL
)nts i n (Ic o ss i nL
)ntc o s (Is i ns i nL
)kc o sjc o ss i nis i n( s i nLz LL
OzLL
kIj)nts i n (Ii)ntc o s (IL
，
，
常数轴方向，即方向为为常矢量，所以取因为
zo
z
例：一回转仪 Ix = Iy = 2Iz 依惯性绕重心转动并作规则进动 (即恒速进动 )。已知此回转仪的自转角速度为 ω1,并知其转轴与进动轴间的夹角 θ= 60o,
求进动角速度 ω2 。
( 3 ) 0 2/I
( 2 ) 02/II
( 1 ) 02/II
0III
0III
0III
:
:
zx
xzxyy
zyxxx
yxyxzz
xzxzyy
zyzyxx
）（
）（
）（
欧勒方程潘索情况的结合问题。—夫斯卡雅情况与欧勒绕重心转动，属柯凡律此回转仪为对称陀螺且解
( 3 ) 0 2/I
( 2 ) 02/II
( 1 ) 02/II
zx
xzxyy
zyxxx
( 6 ) c o s
( 5 ) c o ss i n
( 4 ) s i ns i n
060
o
z
y
x
得，代入欧勒运动学方程为常数
c o ss i nx
常数
12212
o
1 22/ 60
c o sc o s2
，，令,
c o s
s i nc o ss i n
c o ss i ns i n
z
y
x
2/)c o s( c o ss i n c o ss i n
2/)c o s( c o ss i n2/,)1( zyx
式得由
§ 4.9 拉格朗日陀螺
( 定点转动,Ix = Iy,重心在对称轴上 )
O
x
y
z
X
Y
Z
C
mg
θ
θc osm gl)c os(
2
I
)s i n(
2
I
θc osm gl
2
I
)(
2
I
L
c os
s i nc oss i n
c oss i ns i n
:
,θc osm glU l O
C m
2z222x
2
z
z2
y
2
x
x
z
y
x
欧勒运动学方程则，的距离为点离定，重心设陀螺质量为
.s i nI/c o s)c o sLL(I/L
s i nI/)c o sLL(
Eθc o sm g l2/)c o s(I2/)s i n(I
tL
IL)c o s(I/Lp
Lc o sI)c o sIs i nI(/Lp
L
θc o sm g l2/)c o s(I2/)s i n(IL
2
xz
2
x
2
z
222
x
zzz
z
2
z
2
x
2
z
222
x
，
，所以能量守恒中不显含因为
，所以角动量守恒、中不显含因为
d}I/)](UE[{2t 'E)(U2/I
m gl
I2
L
EE'
),θc os1(m gl
s i nI2
)c osL-L(
)(U
θc osm gl
I2
L
s i nI
)c osL-L(
2
I
E
( 1)( 4)( 3)
( 4) s i nI/c os)c osL-L (L/L
( 3) s i nI/)c osL-L (
( 1) θc osm gl2/)c os(I2/)s i n(IE
2/1
xe f fe f f
2
x
z
2
2
x
2
e f f
z
2
22
x
2
2x
2
x
2
x
2
z
222
x
’
得代入和
E’
θ1 θ2 π
Ueff
界限。直方向偏转的章动角的轴对铅决定了陀螺的和时，当；时，和当
：的极大和极小的条件为因此时成立。等号仅当的变化范围章动角讨论
z
,)(U sI/c o s
)(U 0
)(U'E
0 ),(U'E'E)(U2/I
)1(:
'E)(U2/I
),θc o s1(m gl
s i nI2
)c o sL-L(
)(U
21
e f fz
e f f
e f f
e f fe f f
2
x
e f f
2
x
2
x
2
e f f
.c
c o sL-L,0,0; b,c o sL-L; a,c o sL-L
:),(
)2(
21
21
零点重合见图中有一个与若轨迹见图变号变号轨迹见图不变号不变号范围内在章动角进动角速度
ca b
§ 4.10 快速陀螺 (回转仪 ) 的近似理论
2
2
x21
22
z
12
2
2
x
2
2z1z
z
2
2
2
2
x
2
2
2
1
2
zz1z
1
θc o s1m glI2/)c o s-( c osI
c o sm glθc o sm gl
s i nI2
)c o sI-c o sI(
m glI2/LE)θc o s1(m gl
s i nI2
)c o sL-L(
c o sm gl2/IEILc o sIL
:9.4,00
,0t.
满足的方程为：
。，，
结果利用，，，
陀螺具有初始条件时设以拉格朗日陀螺为例
22
z1
2
x21
1
2
2
1
2
1
22
1
22
xz
2
z
1
2
1
2
1
2
1
22
1
21x
22
z
2
2
x21
22
z
I/s i nm glI2c os-c os
p/s i nx1x0
2/)]p/s i n21(1[p2/)s i n4pp(x
0s i npxx
1pI/I
,m gl2/I,:
0s i nx)c os2p(x
θc osc osx2x1)c osx(1px
c os-c osxm glI2/Ip
θc os1m glI2/)c os-( c osI
或由此得，所以上式中取正号，因为
，近似解为：
，由此近似得：不是小量。此时并假定即设陀螺初角速度很大近似计算表示章动量。，用令
z
1
2
x21z
2111
22
2
x1z
2
x
z1z
22
z1
2
x21
I/m gl
s i nI/)c os( c osI
2/)c os( c osc osc oss i ns i n
:
s i nI/)c os( c osI
s i nI/)c osLL(
ILc osIL
I/s i nm glI2c os-c os
，
可近似有因为章动量很少，因此
。，
讨论进动
§ 4.10 刚体转动的稳定性
1、刚体转动的稳定性是讨论在什么条件下刚体的角速度? 不随时间变化。
首要条件是外力矩为零；
在外力矩为零时的欧拉动力学方程为：
2)( 0
Oz0t:
.
,:
( 1 )
III
III
III
o0tz0ty0tx
yxyxzz
xzxzyy
zyzyxx
。
，
转动，即时刚体绕轴假定证明转动可以稳定不变惯量主轴之一如果开始时转动轴线是从方程可得
）（
）（
）（
方向。速度必须沿惯量主轴的外力矩必须为零，初角要条件：所以刚体稳定转动的必即：
，可得和由得式代入将
，
转动，即时刚体绕轴假定证明
）（
）（
）（
k
)t(0)t()t(:( 3 )( 2 )
( 3 ) 0:( 1 )( 2 )
2)( 0
Oz0t:
( 1 )
III
III
III
o
ozyx
0tz0ty0tx
o0tz0ty0tx
yxyxzz
xzxzyy
zyzyxx
2、在满足稳定转动的条件下，若刚体受到小的冲量矩的干扰，使转动轴稍微偏离原来的转动轴 (惯量主轴 )，这种偏离是否不会变得越来越大。
yxyzxz
'
x
2
o
'
x
'
z
'
zz
'
xoxz
'
yy
'
yozy
'
xx
o
'
z
'
y
'
x
o
o
I) / II-)(II-(Ik
0k
0I
III
III
)t('
.,
.)t('
)t('k
式中常数
）（
）（
欧拉方程得：
是小量，代入相对、、的分量设才能称这种转动是稳定只有这一点保证小很多时刻均比的三个分量能否在任何用后的角速度为即若刚体受干扰力矩作
则就是不稳定的。时，转动是稳定的，否
，或，即时则当小很多，均比、、结论：如果干扰终止时稳定性的条件相同。和因此所满足的方程为同样的讨论可得转动稳定被破坏。
线性增加，将随时间指数增加或非，则若保持很小。在以后的时刻中也可以小很多，则的值比干扰终止时上式表明，只要冲量矩则，若
yzxzyzxz
o
'
z
'
y
'
x
'
x
'
y
'
y
2
o
'
y
'
y
'
x
'
x
o
'
x
o
'
x
IIII IIII,0k
0k
0k
)tks i n (A 0k
