第七章 经典力学的哈密顿理论
§ 7.1 正则共轭坐标
§ 7.2 哈密顿函数和正则方程
§ 7.3 变分问题的欧拉方程
§ 7.4 哈密顿原理
§ 7.5 正则变换
§ 7.6 泊松括号和泊松定理
§ 7.7 哈密顿 -雅科毕理论
§ 7.8 用哈密顿理论解开普勒问题第七章 经典力学的哈密顿理论
§ 7.1 正则共轭坐标完全独立的。是与数学的术语来说，
，可以有无穷多个，用对应的意的，因此是任。由于将是两个不同的力学量和因此中都含有和对应。由于也是唯一的，两者一一对应的是唯一的，那么，，若拉氏函数量是对应的广义动标在拉氏理论中，广义坐
ii
ii
i
2
i
1
i
ii
i
i
i
qp
pq
)t,q(f
q
L
q
L
,qdt/)t,q(df)t,q,q(L
pq
L
q
L
p
q
§ 7.1 正则共轭坐标本章所要讨论的哈密顿理论，其使用的坐标（共有 s 对 pi,qi,其中 pi完全独立于 qi）称为 正则共轭坐标,或 正则共轭变量。
§ 7.2 哈密顿函数和正则方程一、哈密顿函数
)s 21j( p
q
L
dt
d
q
L
pq
q
L
p
p q
q q,
j
jj
jj
j
j
jj
jj
，，拉氏方程变为：
称为正则共轭。，；定义广义动量：
组。方程化为一阶微分方程
。，广义动量哈密顿函数：广义坐标
。方程为二阶微分方程组
。，广义速度广义坐标拉格朗日函数
dt
t
L
qdpdqp
dt
t
L
qd
q
L
dq
q
L
dL
dLdpqqdpdH
dt
t
H
dp
p
H
dq
q
H
)t,p,q(dH
)t,q,q(Lqp)t,p,q(H
s
1j
jjjj
s
1j
j
j
j
j
s
1j
jjjj
s
1j
j
j
j
j
jj
s
1j
jj
）（
其中
）（右边微分：
左边微分：
二、正则方程
正则方程），（
海森条件；独立，故得：，因为
）（
）（）（
s21j
q
H
p
p
H
q
t
L
t
H
dpdq
dt
t
H
dp
p
H
dq
q
H
dt
t
L
dpqdqpdH
dt
t
L
qdpdqpdL,dLdpqqdpdH
j
j
j
j
jj
s
1j
j
j
j
j
s
1j
jjjj
s
1j
jjjj
s
1j
jjjj
广义能量积分非稳定约束机械能稳定约束
）（
）（
非稳定约束稳定约束意义三、哈密顿函数的物理
)( UTT
)( UT
UTTTTT2
UTT2
Lqp)t,p,q(H
)( TT2
)( T2
q
q
T
qp
q
T
q
L
p
o2
o1212
s
1j
jj
12
s
1j
j
j
s
1j
jj
jj
j
循环（动量）积分。
常数，则，不出现若能量积分；常数
，则，即不显含若分四、能量积分和循环积
j
j
jj
s
1j jjjj
s
1j
j
j
j
j
p 0
q
H
p q H
hH
0
dt
dH
0
t
H
t H
t
H
t
H
q
H
p
H
p
H
q
H
t
H
p
p
H
q
q
H
dt
dH
)z,y,x(Uppp
m2
1
)z,y,x(U
m2
p
m2
p
m2
p
m
p
m
p
m
p
LqpH
zm
z
L
pym
y
L
pxm
x
L
p
)z,y,x(U2/)zyx(mL
)1(
2
z
2
y
2
x
2
z
2
y
2
x
2
z
2
y
2
x
ii
zyx
222
）（
，，，
直角坐标系解：
例：在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中分别写出自由质点在势场 U(r) 中运动的哈密顿函数,
),,r(U)s i nr/pr/pp(
m2
1
H
)( )3(
)z,,r(U)pr/pp(
m2
1
)z,,r(U)zrr(m
2
1
H
zm
z
L
pmr
L
prm
r
L
p
)z,,r(U)zrr(m
2
1
L
)2(
222222
r
2
z
222
r
2222
z
2
r
2222
作业球坐标系
，，，
柱坐标系
例：写出粒子在中心势场 U = - a / r 中的哈密顿函数和正则方程。
常数正则方程：
哈密顿函数：解
2
2
2
2
23
2
r
r
r
222
r
mrp
0
H
p
mr
p
p
H
r
a
)rr(m
r
a
mr
p
r
H
p
m
p
p
H
r
r
a
)r/pp(
m2
1
H:
例：写出带点粒子在电磁场中的哈密顿函数
q)Aqp(
2m
1
qmv
2
1
vAqqmv
2
1
v)Aqvm(
LvpLqpH
Aqvm
v
L
p
vAqqmv
2
1
L
2
2
2
i
ii
2
哈密顿函数：
粒子的动量为：
解：
例,轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速 ω绕轴转动，
一质量为 m 的小环，套在此金属丝上，并可沿着丝滑动。求小环在 x 方向的运动微分方程。
已知抛物线方程为 x2 = 4ay,
式中 a 为常数。
ω
mgv
r
x
xo
y
a4/m g xx)a4/x1(xm
2
1
UTTH
a4/m g xx)a4/x1(xm
2
1
UTL
a/m g xU,2/)xyx(mT
222222
o2
222222
22222
解：
0
a2
x
mgxmx
a4
x
mx)
a4
x
1(m
a2
x
mgxm
)a4/x1(
a2/x
m2
p
x
H
x
a2
x
mx)
a4
x
1(mp
x
a4
mg
xm
2
1
)a4/x1(m
p
m2
1
H
)a4/x1(m
p
x)a4/x1(xm
x
L
p
a4/m gx2/x)a4/x1(xmH
a4/m gx2/x)a4/x1(xmL
22
22
2
2
222
22
x
2
22
2
x
222
22
2
x
22
x22
x
222222
222222
解：
非保守体系的哈密顿正则方程
），（ s21j
Q
q
H
p
p
H
q
j
j
j
j
j
§ 7.3 变分问题的欧拉方程力学第一性原理
1、牛顿定律
2、虚功原理
3、达朗贝尔原理
4、最小作用量原理
（ 1）等时不等能变分 —— 哈密顿原理
（ 2）不等时等能变分 —— 莫培督原理
,dx
dt
'y1
dt
)dy()dx(
dt
ds
v
,gy2v,)x(y v
B
A
B A
1
222
而的关系与坐标速度
。解：这是泛函极值问题点。间到达擦地下滑时，以最短时点沿它无摩在重力作用下，自零的质点，曲线来，使得初速度为的曲线中，找出一条和定点二个铅直平面内在所有联结
、最速落径问题程一、变分问题的欧勒方
o x
y
A
B
泛函取极小值。取什么函数时问题到点所需的时间为质点自沿曲线自由滑下
、最速落径问题程一、变分问题的欧勒方
,:
dx
gy2
'y1
dtT
dx
dt
'y1
dt
)dy()dx(
dt
ds
v
1
B
A
B
A
x
x
2
x
x
2
22
o x
y
A
B
2
1
x
x
2
2
dx)y,y',x(f )]x(y[J,)]x(y[J
)y(
dx
d
dx
dy)x(ddx)y(d
dx
dy)dx(dx)dy(
dx
dy
),y(d)dy(
0dx0x
0.T )]x(y[T
的普遍形式为泛函变分运算性质：
。，，不同处为变分和微分的运算相似取极值的条件为泛函
0y d x
y
f
'y
f
dx
d
y
'y
f
dxy
'y
f
dx
d
y
'y
f
dx
d
y
y
f
dx'y
'y
f
y
y
f
dx)y,y ',x(fdx)y,y ',x(f J
dx)y,y ',x(f )]x(y[J,)]x(y[J
)y(
dx
d
dx
dy
),y(d)dy(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
的普遍形式为泛函变分运算性质：
0
y
f
'y''y
'y
f
''y
'y
f
'y
y
f
'y
f
dx
d
'y''y
'y
f
''y
'y
f
'y
y
f
'y
f
y' - f
dx
d
:
.
'y
f
y' - f
,,x f
0
y
f
'y
f
dx
d
,y,0yy
0y d x
y
f
'y
f
dx
d
y
'y
f
T
BA
x
x
x
x
2
1
2
1
因为常数则欧勒方程有初积分不显含自变量如果欧勒方程是任意的且?
)2c o s1(
2
C
c t g1
C
yc t g'y
C)'y1(y )'y1(gy2
)'y1(gy2
'y
'y
gy2
'y1
gy2
'y1
'y
'y
gy2
'y1
.C
'y
f
y' - f,x f
)
gy2
'y1
f (,
1
2
1
1
22
2
2
22
1
2
，使引入参数常数常数常数即：
则有不显含因解：
已知例：求最速落径方程旋轮线方程程为所以最速落径的参数方而
，
)2c o s1(
2
C
y
C)2s i n2(
2
C
x
,
C)2s i n2(
2
C
d)2c o s1(Cdxx
d)2c o s1(Cds i nC2
c t g
dc o ss i n2
C
c t g
d2s i n
C
'y
dy
dx
)2c o s1(
2
C
yc t g'y
1
2
1
2
1
1
1
2
1
11
1
给出。的条件为动可由作用函数取极值学规律所决定的真实运由动力中的运动约束所允许的各种可能在相同和如果时间内和在哈密顿原理
），，
，比较与定义哈密顿作用函数：
、适用完整保守力系
0dt)t,q,q(LS,
,)t(q
,)t(q)t(q,t t
:
Lfqytx
dx)y,y ',x(f )]x(y[J (
dt)t,q,q(LS
1
2
1
2
1
2
1
t
t
2121
x
x
t
t
§ 7.4 哈密顿原理
) Q (,Q
q
L
q
L
dt
d
Q
q
T
q
T
dt
d
0dt]qQ)t,q,q(T[S
,2
0
q
L
q
L
dt
d
,0
y
f
'y
f
dx
d
0dt)t,q,q(LS
'
j
'
j
jj
j
jj
t
t
jjjj
t
t
2
1
2
1
为非有势力其中或可导出拉格朗日方程：
，
哈密顿原理、用完整非保守力系的拉格朗日方程可得由欧勒方程
rninrnin
hxp
xp
n
hx
x
n
dx
dl
hxpnhxnDBnADnl
s i ns i n s i ns i n
)(
)(,
,)( ; ( 1 ),
).(
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
121
0
0
2
光程折射定律的证明反射定律的证明例光程最短学中称为费马原理最小作用原理在几何光
p
A
B
D
h2
h1 i
r
x
n1
n2
S1
S1’ θ
θ θ
S2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
t
t
jjjj
t
t
j
j
jj
j
j
t
t
j
j
j
j
jjjj
t
t
jjjj
t
t
jjjj
t
t
jj
jjjjjj
jjjjjj
dt]qpqp(
dtq
q
H
pp
p
H
q
dtq
q
H
p
p
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qpqp
dt)]t,q,p(Hqp[S
dt)]t,q,p(Hqp[dt)t,q,q(LS
)t,q,p(Hqp)t,q,q(L
)t,q,q(Lqp)t,q,p(H
则方程三、哈密顿原理导出正
正则方程是任意的
q
H
p
p
H
q
,q,p
0dtq
q
H
pp
p
H
qS
) 0q,0q ( 0qp
dtqp
dt
d
dt)qp(
dt
d
dt]qpqp(
j
j
j
j
jj
t
t
j
j
jj
j
j
tt
j
tt
j
t
t
jj
t
t
jj
t
t
jj
t
t
jjjj
2
1
21
2
1
2
1
2
1
2
1
§ 7.5 正则变换一、正则变换目的通过变量变换获得更多的循环坐标。
广义动量守恒常数则为循环坐标若正则方程
,
j
j
jj
j
j
j
j
p
q
H
pq
q
H
p
p
H
q
0?
),(
:,
,
),(
),,,,(
),,,,(
,,,
*
*
*
sj
Q
H
P
P
H
Q
F
dt
dF
HqpHQP
sj
tpppqqqPP
tpppqqqQQ
PQpq
j
j
j
j
jjjj
ssjj
ssjj
jjjj
21
21
2121
2121
则形式体系运动方程仍具有正称为母函数其中正则变换条件其变换关系为变换为二、正则变换条件
,P,Q
0FF
dt)
dt
dF
δdt)Hqp(δ
dt)HQP(δ
,0dt)Hqp(δ
dt
dF
HqpHQP,
jj
tttt
t
t
t
t
jj
t
t
*
jj
t
t
jj
jj
*
jj
12
2
1
2
1
2
1
2
1
是正则变量由哈密顿原理可知正则变换条件证明
0dt
t
F
HH
dQ
Q
F
Pdq
q
F
p
t
F
Q
Q
F
q
q
F
HqpHQP
t
F
Q
Q
F
q
q
F
dt
dF
dt
dF
)t,Q,qF Qq 1
dt
dF
HqpHQP
1*
j
j
1
jj
j
1
j
1
j
j
1
j
j
1
jj
*
jj
1
j
j
1
j
j
11
1
jj
*
jj
（是独立变量，，设、
正则变换条件三、四种不同正则变换的母函数
t
F
HH ),s1,2,j (
Q
F
P
q
F
p
,t,Qq
0dt
t
F
HH
dQ
Q
F
Pdq
q
F
p
)t,Q,qF Qq 1
1*
j
1
j
j
1
j
1*
j
j
1
jj
j
1
j
1
所以有皆是独立变量，由于
（是独立变量，，设、
0dt
t
F
HH
dP
P
F
Qdq
q
F
p
dt
dF
dt
)QPF(d
HHQPqp
dt
dF
HqpHQPQP
dt
d
QPQP
dt
d
QP
dt
dF
HqpHQP
)t,P,qF Pq 2
2*
j
j
2
jj
j
2
j
2
jj1*
jjjj
1
jj
*
jjjj
jjjjjj
1
jj
*
jj
2
）（
）（
，
（是独立变量，，设、
t
F
HH ),s1,2,j (
P
F
Q
q
F
p
,t,Pq
0dt
t
F
HH
dP
P
F
Qdq
q
F
p
)t,P,qF Pq 2
2*
j
2
j
j
2
j
2*
j
j
2
jj
j
2
j
2
所以有皆是独立变量，由于
（是独立变量，，设、
0dt
t
F
HH
dQ
Q
F
Pdp
p
F
q
dt
dF
dt
)qpF(d
HHQPqp
dt
dF
Hqpqp
dt
d
HQP
qpqp
dt
d
qp
dt
dF
HqpHQP
)t,Q,pF Qp 3
3*
j
j
3
jj
j
3
j
3
jj1*
jjjj
1
jjjj
*
jj
jjjjjj
1
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*
jj
3
）（
）（
，
（是独立变量，，设、
t
F
HH ),s1,2,j (
Q
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p
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q
,t,Qp
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t
F
HH
dQ
Q
F
Pdp
p
F
q
)t,Q,pF Qp 3
3*
j
3
j
j
3
j
3*
j
j
3
jj
j
3
j
3
所以有皆是独立变量，由于
（是独立变量，，设、
t
F
HHsj
P
F
Q
p
F
q
tPpFPp
j
j
j
j
4
4
4
4
4
*
),1,2,(
),,
（是独立变量，，设、
作为作业同学们自己推导,
,
,q
Q
F
P,Q
q
F
p
Qq)q,Q,t(F,
.Q
dF)dQPdqp(:
.HH,0
t
F
,
) s1,2,i (
t
F
HH,
,
j
j
1
jj
j
1
j
jj1
j
iiii
*i
i*
换动量与坐标的名称已互取母函数例如的意义了已经没有纯粹空间坐标注意正则变换的条件则如果母函数不显含时间有同一种形式关系新旧哈密顿函数之间的四种正则变换中
换。的显函数，故为正则变不是母函数证为一正则变换。，证明：变换
t F
dF)Q c t g PPQ(d
)PQ(d)Q c t g P(d
)PQ(dP d Pc s cQc t g P d Q
Q d PP d QP d PQ c t gQ d Pc t g P d Q
P d QP d PQ c t gc t g P d Q
P d Q)dP
Ps i n
Pc os
dQ
Q
1
(Q c t g PP d Qp d q:
Q c t g Pp
Ps i n
Q
lnq
2
2
2
常数。
令
。求母函数
，已知正则变换为例
f0
p
f
ps i nq2
p
f
ps i nq2)]p(f)pc osps i np(q[
pp
F
)p(f)pc osps i np(q
)p(fdq)pc osps i np(F
ps i nq2
p
F
,pc osps i np
q
F
Fpps i nq2q)pc osps i np(
,ps i nq2Ppc osq2Q,
2
2
2
2
21
1
2
1
Qq2
2
Q
q2
Q
c o sq
)pc o sps i np(q)Q,q(F
q2
Q
1p s i n,
q2
Q
c o sp
)pc o sps i np(qF
f)p(f)pc o sps i np(qF
ps i nq2Ppc o sq2Q,
于是母函数可取为常数。，
。，正则变换
2/Qc s cym
Q
F
P
yc t gQm
y
F
p
/2Qc s cxm
Q
F
P
xc t gQm
x
F
p
)c t gQyω2/c t gQx(m)t,Q,q F
2/)yωx(mm2/)p(pH:
2
22
2
2
1
2
22
1
y
1
22
1
1
1
1
11
1
x
2
2
21
2
11
22
2
22
1
2
y
2
x
（选解例,用正则变换法求平面谐振子的运动,
2211
2
222
21
222
1
2
222
21
222
1
22
2
22
1
2
222
2
2
1
222
1
2
1*
2
22
22
22y
1
22
11
11x
2
2
21
2
11
22
2
22
1
2
y
2
x
PP
2/Qc s cym2/Qc s cxm
2/)Qc t g1(ym2/)Qc t g1(xm
2/)yωx(m
m2/)Qc t gymQc t gxm(
H
t
F
HH
,
2/Qc s cymP
y c t g Qmp
,
/2Qc s cxmP
x c t g Qmp
)c t g Qyω2/c t g Qx(m)t,Q,q F
2/)yωx(mm2/)p(pH:
（选解
。，；，
为表示谐振子的正则方程，新变量
tQ
CP
Q
0P
tQ
CP
P
H
Q
0
Q
H
P
,PQ
PPH
,Qc s cym
2
1
P,Qc s cxm
2
1
P
222
22
22
2
111
11
1
1
*
1
1
*
1
jj
2211
*
2
22
221
22
11
）（
）（
）（
）（
。；
22
2
2
11
1
1
222
22
22
22
22
111
22
11
22
11
222
22
111
11
2
22
221
22
11
ts i n
m
C2
y
ts i n
m
C2
x
Ctc s cym
2
1
Qc s cym
2
1
P
Ctc s cxm
2
1
Qc s cxm
2
1
P
tQ
CP
tQ
CP
Qc s cym
2
1
P,Qc s cxm
2
1
P
§ 7.6 泊松括号和泊松定理
j jjjj
j
j
j
j
j
q
H
p
f
p
H
q
f
t
f
p
p
f
q
q
f
t
f
dt
df
,f f H
.
)t,p,q(f
是否是运动积分的关系来判断和下面研究坐标而求出力学量守恒可通过循环学量正则变量描写系统：力一、泊松括号
ji ii
j
ii
j
jj
ji ii
j
ii
j
jj
i
i
i
i
i
j
i
i
i
j
i
i
j jjjj
p
H
q
H
p
q
p
H
q
q
]H,q[q
q
H
q
H
p
p
p
H
q
p
]H,p[p
1
q
q
1
p
p
0
p
q
0
p
q
0
q
p
0
q
p
]H,f[
t
f
dt
df
q
H
p
f
p
H
q
f
]H,f[
。，，，，，
力学量的运动方程：
定义泊松括号：
守恒条件不显含时间，即若的条件守恒量是运动积分正则方程：
0]H,f[
0
t
f
f
0]H,f[
t
f
dt
df
,)( f
p
H
q
q
H
p
j
j
j
j
)(m xy
yxmmppxymmpp
y
H
p
L
p
H
y
L
x
H
p
L
p
H
x
L
q
H
p
L
p
H
q
L
]H,L[
k )ypxp(L,
)yx(m
2
1
)pp(m
2
1
H
,
:
2
1
2
2
2
2yx
2
1xy
y
z
y
z
x
z
x
z
j jj
z
jj
z
z
xy
22
2
22
1
2
y
2
x
平面谐振子的角动量为解函数为已知平面谐振子哈密顿量的守恒性。讨论平面谐振子的角动例为非中心力场。因为力场不守恒。角动量时）当（
为中心力场。因为力场守恒。角动量时）当（
解函数为已知平面谐振子哈密顿量的守恒性。讨论平面谐振子的角动例
)yx(m
2
1
U
L 0]H,L[,2
)yx(m
2
1
U
L 0]H,L[,1
)(m x y]H,L[,
)yx(m
2
1
)pp(m
2
1
H
,
:
22
2
22
1
zz21
222
1
zz21
2
1
2
2z
22
2
22
1
2
y
2
x
0],[ ],[ )3(
0
1
],q[ )2(
c 0],c[ )1(
qppq
],[
)t,p,q()t,p,q(
j jjjj
，若
，若为常数。，如果泊松括号的性质：
的泊松括号为
，定义任意两个力学量
0]],[,[]],[,[]],[,[ )7(
t
,,
t
],[
t
)6(
],[],[ )5(
],[ ],[ )4(
qppq
],[,
n
j
j
n
j
j
j jjjj
，则如泊松括号的性质：
泊松括号
]],H[,[]]H,[,[]],[,H[]H],,[[
t
,,
t
],[
t
],,[],[
,0],[],[,0]],[,[]],[,[]],[,[
].H,[
t
],H,[
t
0]H,[
t
C],[
C)t,p,q( C)t,p,q(
21
守恒可知：，证明：由也是守恒量。则都是守恒量，和若二、泊松定理守恒量即二、泊松定理
C],[0]H],,[[],[
t
,
],[
t
],[
t
t
,,
tt
,,
t
]]H,[,[]],H,[[
]],H[,[]]H,[,[]],[,H[]H],,[[
t
,,
t
],[
t
],,[],[
].H,[
t
],H,[
t
z
n
i
ixiiiy
n
i i
y
iz
x
iz
y
i
x
n
i i
y
iy
x
iy
y
i
x
n
i i
y
ix
x
ix
y
i
x
yx
n
i
ixiiyiz
n
i
iziixiy
n
i
iyiizix
L)pyxp(00
z
L
p
L
p
L
z
L
y
L
p
L
p
L
y
L
x
L
p
L
p
L
x
L
]L,L[
)pypx(L
)pxpz(L)pzpy(L,
L
。
，，解所组成的泊松括号。
的直角坐标分量试求由质点组角动量例：
0]L,L[ 0]L,L[
0]L,L[ ]L,L[]L,L[
L]L,L[ L]L,L[
L]L,L[
zzyy
xxxxxx
yxzxzy
zyx
，同理：；而
。，同理：
ijjijiji
s21s21jj
s21s21jj
ijjijiji
s21s21jj
s21s21jj
]PQ[ 0]PP[ 0]QQ[
)t,PP,P,QQ,Q(pp
)t,PP,P,QQ,Q(qq
]pq[ 0]pp[ 0]qq[
)t,pp,p,qq,q(PP
)t,pp,p,qq,q(QQ
，，，，，满足或
，，，，，满足则变换（证明略）三、用泊松括号判别正
0]pp[ 0]qq[
1Pc t gPc s c
c t g P c t g P
Ps i n
Q
Q
1
Q
p
P
q
P
p
Q
q
]pq[
Q c t g Pp
Ps i n
Q
lnq
]PQ[ 0]PP[ 0]QQ[
]pq[ 0]pp[ 0]qq[
22
2
ijjijiji
ijjijiji
，，，显然有
，
。，例：变换
，，，，，或满足
，，，，，正则变换满足
§ 7.7 哈密顿 -雅科毕理论一、哈密顿 -雅科毕方程
),,,,(
),,,,(
),,,,(
),,,,(
*
tpp
tqq
tpppqqqPP
tpppqqqQQ
P
Q
P
Q
H
ssjj
ssjj
ssjj
ssjj
jj
jj
j
j
2121
2121
2121
2121
0
0
0
常数常数新正则方程变为，最理想的正则变换使雅科毕方程即为哈密顿得到利用正则变换关系称为主函数并记为）（选取
。满足：，则要求母函数欲使
-
0)t,
q
S
q
S
,
q
S
,qq,q(H
t
S
:
,
)t,,q(S
Q
,
q
)t,,q(S
p,
,,)t,,q(S,t,P,qFF
0
t
F
H F 0H
s21
s21
j
jj
jj
j
jj
j
jj2
*
。又称为哈密顿作用函数密顿作用量即是积分限不确定的哈的物理意义哈密顿主函数讨论雅方程哈正则变换
,dt L S
LHqp
t
S
q
q
S
dt
dS
S,
0)t,
q
S
q
S
,
q
S
,qq,q(H
t
S
:-
)t,,q(S
Q,
q
)t,,q(S
p,
jjj
j
s21
s21
j
jj
jj
j
jj
j
h
q
W
q
W
,
q
W
,qq,qH
h
),,,qq,q(WhtdthS
h
t
S
q
S
,qH,
.h)p,q(H
t
t 1
s21
s21
1
s21s21
雅科毕方程变为哈密顿且令雅科毕方程可写成哈密顿常数
，存在能量积分哈密顿函数不显含时间间、哈密顿函数不显含时二,变量的分离例：设一力学系统的哈密顿函数 H = q + p，写出其哈密顿 -雅科毕方程，并求它的主函数 S。
c2/qhqhtS
c2/qhqdq)qh(W
dq)qh(dWqh
dq
dW
h
dq
dW
q
dq
dW
q
S
p
)h,q(Whth d tS
h
t
S
q
S
q
q
S
p
2
2
所以雅方程：哈，解,?
0
t
S
2
kq
q
S
m2
1
t
S
2
kq
m2
p
t
S
H
,
S
Q,
q
S
p,
2
kq
m2
p
H
2
2
22
22
解统的哈密顿函数为点的线性谐振动。设系度质雅科毕方程求解单自由例：用哈密顿
dqq
k
E2
mkEt)t,,q(S
dqq
k
E2
mkWdqq
k
E2
mkdW
0E
2
kq
dq
dW
m2
1
t
S
2
kq
q
S
m2
1
),q(WEt)t,,q(S
,H
0
t
S
2
kq
q
S
m2
1
t
S
H
2
22
2
2
2
2
2
2
则设不显含时间且稳定约束?
)]t(s i n [
k
E2
mq
k
E2
mk
q
S
p
)]t(c os [
k
E2
q
E2
k
qc os
k
m
t
q
k
E2
dq
k
m
t
E
SS
dqq
k
E2
mkEt)t,,q(S
2
1
2
2
)t,qq,q(W)q(SS,
)t,
q
S
q
S
,
q
S
,qq,q(F
)
q
S
,q(
,F,
0)t,
q
S
q
S
,
q
S
,qq,q(F)
q
S
,q(
0
t
S
H
2
s32111
1
s32
s321
1
1
11
11
s32
s321
1
11
其解可写成此时即都必须为常数和欲使上式成立可以写成雅方程以分离出来哈相应偏导数可雅方程中有一个变量及、哈
2
2
s
2
4
2
3
2
s432
22222
2
2
22
s4322221
21
1
1
s
1
3
1
2
1
s321
11111
1
1
11
s32111
)t,
t
W
,
q
W
q
W
,
q
W
,qq,q(F
),q(SS,)
q
S
,q(
)t,qq,q(W),q(SW
,,q,F
)t,
t
W
,
q
W
q
W
,
q
W
,qq,q(F
),q(SS,)
q
S
,q(
)t,qq,q(W)q(SS
积分得可设同理如还有可分离变量如果积分得解可写成
)t,qq,qq,q('SqS
,qS
q
S
)
q
S
,q(,-
,H q,q
),q(S),q(S ),q(SS
s1i1i21ii
iiii
i
i
i
i
ii
ii
sss222111
于是常数这时中雅方程哈显含在也不中不显含在则为循环坐标若到母函数的形式为应用上面方法，最后得部分离，则可逐次如果方程的变量可以全
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
22211221
qh2
dq
dW
2q
dq
dW
hq
dq
dW
dq
dW
2q
dq
dW
2
1
dq
dW
p
dq
dW
p
),q(W)h,q(Wht),h,q,q(WhtS
tH
，
，所以不显含时间解：因为哈密顿函数例：已知力学系统的哈密顿函数为
H = (p1q2+ p1p2 +q12)/2，
试求它的主函数（全积分）。
c2/)2/qq(/)3/qhq2(htS
c2/)2/qq(W2/)q(
dq
dW
c/)3/qhq2(W/)qh2(
dq
dW
dq
dW
/)qh2(
dq
dW
2q
qh2
dq
dW
2q
dq
dW
2
2222
3
11
2
2
222222
2
2
12
3
1112
2
1
1
1
2
1
12
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
例：已知力学系统的哈密顿函数为
H = (p1q2+ p1p2 +q12)/2，
试求它的主函数（全积分）。
的轨道方程。
间，因此是系统个方程，它们都不含时
），，常数，（
，
）轨道方程（
都可决定。则轨道方程，运动方程
），，，（，如果取
1s
( 1) 32i
W
P
S
Q
1
32i PPh
i
i
i
i
ii1
.
sqs,( 1 )( 2 )
( 2 ) tt),,h,,q,q(f:
t
),,h,,q,q(ft
h
W
t
h
S
),,h,,q,W ( q- h tS
P
S
Q
2
32i PPh
i
o2221
o1
2221
2221
1
1
ii1
得运动方程个方程，即可共个对联立起来与式式即
，
）运动方程（
都可决定。则轨道方程，运动方程
），，，（，如果取
。
），（；，；，解：选广义坐标：
运动的轨道方程。
真空中雅可毕方程求抛射体在例：试用哈密顿
2
2
2
2
yx
2
y
2
x
2
y
2
x
21
y
W
)m gyE(m2
x
W
Em gy
y
W
x
W
m2
1
y
W
p
x
W
pEm gy)pp(
m2
1
H
m gyU)pp(
m2
1
T
yqxq
-
3
2
222
3
2
2y
2
2
y
22x2
x
yx
2
2
2
cdya)m g yE(m2cxaW
cdya)m g yE(m2W
a)m g yE(m2
dy
dW
cxaWa
dx
dW
WWW
a
y
W
)m g yE(m2
x
W
可分离变量，设
）（抛物线方程故：
，
。，，初始条件：
c o sv2/gxxt gy
g/gy2s i nvc o svxg/c o ss i nv
cg/c o ss i nv
cgm/c o svm)02/mv(m2c o smv0
2/mvEc o smvxmpa
c o svx0yx0t
cgm/a)m gyE(m2ax
dy
a)m gyE(m2
a2
2
1
x
a
W
a
S
cdya)m gyE(m2cxaW
22
o
2
22
oo
2
o
4
2
o
4
222
o
22
oo
2
oox2
o
4
22
22
2
2
2
22
2
3
2
222
）（运动方程故：
，
。，，初始条件：
2/gtc o stvy
g/gy2s i nvtg/s i nv
cg/s i nv
cmg/c o svm)02/mv(m20
2/mvEc o smvxmpa
c o svx0yx0t
cmg/a)m gyE(m2t
dy
a)m gyE(m2
m
t
E
S
a
S
cdya)m gyE(m2cxaEtS
2
o
22
oo
5o
5
22
o
22
o1
2
oox2
o
5
2
2
2
2
1
1
3
2
222
§ 7.8 用哈密顿理论解开普勒问题例,用哈 - 雅方程求行星绕太阳运动时轨道方程。
caWap
E
r
G M m
r
1
d
dW
dr
dW
m2
1
H
d
dW
p
dr
dW
pWWEtS
)(E
r
G M m
)
r
p
p(
m2
1
H
mr
p
mr
L
p
m
p
rrm
r
L
p
r
G M m
)rr(m
2
1
L
r
G M m
U)rr(m
2
1
T
.G,M,m ),,r(
2
22
r
r
rr
2
2
2
r
2
2r
r
222222
（常数）为循环坐标，因雅方程：故哈
，，，设主函数：
总能量
。；
，，
引力常数为太阳为设行星为解：采用极坐标
c
m E a2mMGr
rG M ma
s i n
r
a
r
G M m2
mE2
r/1da
a
S
dr
r
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G M m2
mE2aEtS
dr
r
a
r
G M m2
mE2W
E
r
G M m
mr2
a
dr
dW
m2
1
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22
1
2
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2
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2
22
r
2
2
2
r
，
2422
m i n
m i n
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1
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m i n
m i n
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1
2422
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m i n
m i n
22
1
m i n
m E a2mMGr
rG M ma
s i ns i n
m E a2mMGr
arG M m
m E a2mMGr
rG M ma
s i n
m E a2mMGr
rG M ma
s i n
c
m E a2mMGr
rG M ma
s i n
0,rr,0t:初始条件
G M m/Ea21e,G M m/ap )c o se1/(p
c o sG M m/Ea211
G M m/a
c o sm E a2mMGG M m
a
)]2/s i n (m E a2mMGG M m/[ar
rr
2
m E a2mMGr
rG M ma
s i n
m E a2mMGr
rG M ma
s i ns i nm E a2mMGG M m
a
r
m E a2mMGr
rG M ma
s i ns i n
m E a2mMGr
arG M m
222
2
22
24222
2
242222
m i n
2422
m i n
m i n
22
1
2422
m i n
m i n
22
124222
2
2422
m i n
m i n
22
1
2422
22
。时，当运动方程积分形式）(
r
a
r
G M m2
mE2
m d r
t-t
r
a
r
G M m2
mE2
m d r
t
E
S
t
dr
r
a
r
G M m2
mE2aEtS
2
22
o
2
22
o
2
22
试求行星绕太阳运动时运动方程。
§ 7.1 正则共轭坐标
§ 7.2 哈密顿函数和正则方程
§ 7.3 变分问题的欧拉方程
§ 7.4 哈密顿原理
§ 7.5 正则变换
§ 7.6 泊松括号和泊松定理
§ 7.7 哈密顿 -雅科毕理论
§ 7.8 用哈密顿理论解开普勒问题第七章 经典力学的哈密顿理论
§ 7.1 正则共轭坐标完全独立的。是与数学的术语来说，
，可以有无穷多个，用对应的意的，因此是任。由于将是两个不同的力学量和因此中都含有和对应。由于也是唯一的，两者一一对应的是唯一的，那么，，若拉氏函数量是对应的广义动标在拉氏理论中，广义坐
ii
ii
i
2
i
1
i
ii
i
i
i
qp
pq
)t,q(f
q
L
q
L
,qdt/)t,q(df)t,q,q(L
pq
L
q
L
p
q
§ 7.1 正则共轭坐标本章所要讨论的哈密顿理论，其使用的坐标（共有 s 对 pi,qi,其中 pi完全独立于 qi）称为 正则共轭坐标,或 正则共轭变量。
§ 7.2 哈密顿函数和正则方程一、哈密顿函数
)s 21j( p
q
L
dt
d
q
L
pq
q
L
p
p q
q q,
j
jj
jj
j
j
jj
jj
，，拉氏方程变为：
称为正则共轭。，；定义广义动量：
组。方程化为一阶微分方程
。，广义动量哈密顿函数：广义坐标
。方程为二阶微分方程组
。，广义速度广义坐标拉格朗日函数
dt
t
L
qdpdqp
dt
t
L
qd
q
L
dq
q
L
dL
dLdpqqdpdH
dt
t
H
dp
p
H
dq
q
H
)t,p,q(dH
)t,q,q(Lqp)t,p,q(H
s
1j
jjjj
s
1j
j
j
j
j
s
1j
jjjj
s
1j
j
j
j
j
jj
s
1j
jj
）（
其中
）（右边微分：
左边微分：
二、正则方程
正则方程），（
海森条件；独立，故得：，因为
）（
）（）（
s21j
q
H
p
p
H
q
t
L
t
H
dpdq
dt
t
H
dp
p
H
dq
q
H
dt
t
L
dpqdqpdH
dt
t
L
qdpdqpdL,dLdpqqdpdH
j
j
j
j
jj
s
1j
j
j
j
j
s
1j
jjjj
s
1j
jjjj
s
1j
jjjj
广义能量积分非稳定约束机械能稳定约束
）（
）（
非稳定约束稳定约束意义三、哈密顿函数的物理
)( UTT
)( UT
UTTTTT2
UTT2
Lqp)t,p,q(H
)( TT2
)( T2
q
q
T
qp
q
T
q
L
p
o2
o1212
s
1j
jj
12
s
1j
j
j
s
1j
jj
jj
j
循环（动量）积分。
常数，则，不出现若能量积分；常数
，则，即不显含若分四、能量积分和循环积
j
j
jj
s
1j jjjj
s
1j
j
j
j
j
p 0
q
H
p q H
hH
0
dt
dH
0
t
H
t H
t
H
t
H
q
H
p
H
p
H
q
H
t
H
p
p
H
q
q
H
dt
dH
)z,y,x(Uppp
m2
1
)z,y,x(U
m2
p
m2
p
m2
p
m
p
m
p
m
p
LqpH
zm
z
L
pym
y
L
pxm
x
L
p
)z,y,x(U2/)zyx(mL
)1(
2
z
2
y
2
x
2
z
2
y
2
x
2
z
2
y
2
x
ii
zyx
222
）（
，，，
直角坐标系解：
例：在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中分别写出自由质点在势场 U(r) 中运动的哈密顿函数,
),,r(U)s i nr/pr/pp(
m2
1
H
)( )3(
)z,,r(U)pr/pp(
m2
1
)z,,r(U)zrr(m
2
1
H
zm
z
L
pmr
L
prm
r
L
p
)z,,r(U)zrr(m
2
1
L
)2(
222222
r
2
z
222
r
2222
z
2
r
2222
作业球坐标系
，，，
柱坐标系
例：写出粒子在中心势场 U = - a / r 中的哈密顿函数和正则方程。
常数正则方程：
哈密顿函数：解
2
2
2
2
23
2
r
r
r
222
r
mrp
0
H
p
mr
p
p
H
r
a
)rr(m
r
a
mr
p
r
H
p
m
p
p
H
r
r
a
)r/pp(
m2
1
H:
例：写出带点粒子在电磁场中的哈密顿函数
q)Aqp(
2m
1
qmv
2
1
vAqqmv
2
1
v)Aqvm(
LvpLqpH
Aqvm
v
L
p
vAqqmv
2
1
L
2
2
2
i
ii
2
哈密顿函数：
粒子的动量为：
解：
例,轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速 ω绕轴转动，
一质量为 m 的小环，套在此金属丝上，并可沿着丝滑动。求小环在 x 方向的运动微分方程。
已知抛物线方程为 x2 = 4ay,
式中 a 为常数。
ω
mgv
r
x
xo
y
a4/m g xx)a4/x1(xm
2
1
UTTH
a4/m g xx)a4/x1(xm
2
1
UTL
a/m g xU,2/)xyx(mT
222222
o2
222222
22222
解：
0
a2
x
mgxmx
a4
x
mx)
a4
x
1(m
a2
x
mgxm
)a4/x1(
a2/x
m2
p
x
H
x
a2
x
mx)
a4
x
1(mp
x
a4
mg
xm
2
1
)a4/x1(m
p
m2
1
H
)a4/x1(m
p
x)a4/x1(xm
x
L
p
a4/m gx2/x)a4/x1(xmH
a4/m gx2/x)a4/x1(xmL
22
22
2
2
222
22
x
2
22
2
x
222
22
2
x
22
x22
x
222222
222222
解：
非保守体系的哈密顿正则方程
），（ s21j
Q
q
H
p
p
H
q
j
j
j
j
j
§ 7.3 变分问题的欧拉方程力学第一性原理
1、牛顿定律
2、虚功原理
3、达朗贝尔原理
4、最小作用量原理
（ 1）等时不等能变分 —— 哈密顿原理
（ 2）不等时等能变分 —— 莫培督原理
,dx
dt
'y1
dt
)dy()dx(
dt
ds
v
,gy2v,)x(y v
B
A
B A
1
222
而的关系与坐标速度
。解：这是泛函极值问题点。间到达擦地下滑时，以最短时点沿它无摩在重力作用下，自零的质点，曲线来，使得初速度为的曲线中，找出一条和定点二个铅直平面内在所有联结
、最速落径问题程一、变分问题的欧勒方
o x
y
A
B
泛函取极小值。取什么函数时问题到点所需的时间为质点自沿曲线自由滑下
、最速落径问题程一、变分问题的欧勒方
,:
dx
gy2
'y1
dtT
dx
dt
'y1
dt
)dy()dx(
dt
ds
v
1
B
A
B
A
x
x
2
x
x
2
22
o x
y
A
B
2
1
x
x
2
2
dx)y,y',x(f )]x(y[J,)]x(y[J
)y(
dx
d
dx
dy)x(ddx)y(d
dx
dy)dx(dx)dy(
dx
dy
),y(d)dy(
0dx0x
0.T )]x(y[T
的普遍形式为泛函变分运算性质：
。，，不同处为变分和微分的运算相似取极值的条件为泛函
0y d x
y
f
'y
f
dx
d
y
'y
f
dxy
'y
f
dx
d
y
'y
f
dx
d
y
y
f
dx'y
'y
f
y
y
f
dx)y,y ',x(fdx)y,y ',x(f J
dx)y,y ',x(f )]x(y[J,)]x(y[J
)y(
dx
d
dx
dy
),y(d)dy(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
的普遍形式为泛函变分运算性质：
0
y
f
'y''y
'y
f
''y
'y
f
'y
y
f
'y
f
dx
d
'y''y
'y
f
''y
'y
f
'y
y
f
'y
f
y' - f
dx
d
:
.
'y
f
y' - f
,,x f
0
y
f
'y
f
dx
d
,y,0yy
0y d x
y
f
'y
f
dx
d
y
'y
f
T
BA
x
x
x
x
2
1
2
1
因为常数则欧勒方程有初积分不显含自变量如果欧勒方程是任意的且?
)2c o s1(
2
C
c t g1
C
yc t g'y
C)'y1(y )'y1(gy2
)'y1(gy2
'y
'y
gy2
'y1
gy2
'y1
'y
'y
gy2
'y1
.C
'y
f
y' - f,x f
)
gy2
'y1
f (,
1
2
1
1
22
2
2
22
1
2
，使引入参数常数常数常数即：
则有不显含因解：
已知例：求最速落径方程旋轮线方程程为所以最速落径的参数方而
，
)2c o s1(
2
C
y
C)2s i n2(
2
C
x
,
C)2s i n2(
2
C
d)2c o s1(Cdxx
d)2c o s1(Cds i nC2
c t g
dc o ss i n2
C
c t g
d2s i n
C
'y
dy
dx
)2c o s1(
2
C
yc t g'y
1
2
1
2
1
1
1
2
1
11
1
给出。的条件为动可由作用函数取极值学规律所决定的真实运由动力中的运动约束所允许的各种可能在相同和如果时间内和在哈密顿原理
），，
，比较与定义哈密顿作用函数：
、适用完整保守力系
0dt)t,q,q(LS,
,)t(q
,)t(q)t(q,t t
:
Lfqytx
dx)y,y ',x(f )]x(y[J (
dt)t,q,q(LS
1
2
1
2
1
2
1
t
t
2121
x
x
t
t
§ 7.4 哈密顿原理
) Q (,Q
q
L
q
L
dt
d
Q
q
T
q
T
dt
d
0dt]qQ)t,q,q(T[S
,2
0
q
L
q
L
dt
d
,0
y
f
'y
f
dx
d
0dt)t,q,q(LS
'
j
'
j
jj
j
jj
t
t
jjjj
t
t
2
1
2
1
为非有势力其中或可导出拉格朗日方程：
，
哈密顿原理、用完整非保守力系的拉格朗日方程可得由欧勒方程
rninrnin
hxp
xp
n
hx
x
n
dx
dl
hxpnhxnDBnADnl
s i ns i n s i ns i n
)(
)(,
,)( ; ( 1 ),
).(
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
121
0
0
2
光程折射定律的证明反射定律的证明例光程最短学中称为费马原理最小作用原理在几何光
p
A
B
D
h2
h1 i
r
x
n1
n2
S1
S1’ θ
θ θ
S2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
t
t
jjjj
t
t
j
j
jj
j
j
t
t
j
j
j
j
jjjj
t
t
jjjj
t
t
jjjj
t
t
jj
jjjjjj
jjjjjj
dt]qpqp(
dtq
q
H
pp
p
H
q
dtq
q
H
p
p
H
qpqp
dt)]t,q,p(Hqp[S
dt)]t,q,p(Hqp[dt)t,q,q(LS
)t,q,p(Hqp)t,q,q(L
)t,q,q(Lqp)t,q,p(H
则方程三、哈密顿原理导出正
正则方程是任意的
q
H
p
p
H
q
,q,p
0dtq
q
H
pp
p
H
qS
) 0q,0q ( 0qp
dtqp
dt
d
dt)qp(
dt
d
dt]qpqp(
j
j
j
j
jj
t
t
j
j
jj
j
j
tt
j
tt
j
t
t
jj
t
t
jj
t
t
jj
t
t
jjjj
2
1
21
2
1
2
1
2
1
2
1
§ 7.5 正则变换一、正则变换目的通过变量变换获得更多的循环坐标。
广义动量守恒常数则为循环坐标若正则方程
,
j
j
jj
j
j
j
j
p
q
H
pq
q
H
p
p
H
q
0?
),(
:,
,
),(
),,,,(
),,,,(
,,,
*
*
*
sj
Q
H
P
P
H
Q
F
dt
dF
HqpHQP
sj
tpppqqqPP
tpppqqqQQ
PQpq
j
j
j
j
jjjj
ssjj
ssjj
jjjj
21
21
2121
2121
则形式体系运动方程仍具有正称为母函数其中正则变换条件其变换关系为变换为二、正则变换条件
,P,Q
0FF
dt)
dt
dF
δdt)Hqp(δ
dt)HQP(δ
,0dt)Hqp(δ
dt
dF
HqpHQP,
jj
tttt
t
t
t
t
jj
t
t
*
jj
t
t
jj
jj
*
jj
12
2
1
2
1
2
1
2
1
是正则变量由哈密顿原理可知正则变换条件证明
0dt
t
F
HH
dQ
Q
F
Pdq
q
F
p
t
F
Q
Q
F
q
q
F
HqpHQP
t
F
Q
Q
F
q
q
F
dt
dF
dt
dF
)t,Q,qF Qq 1
dt
dF
HqpHQP
1*
j
j
1
jj
j
1
j
1
j
j
1
j
j
1
jj
*
jj
1
j
j
1
j
j
11
1
jj
*
jj
（是独立变量，，设、
正则变换条件三、四种不同正则变换的母函数
t
F
HH ),s1,2,j (
Q
F
P
q
F
p
,t,Qq
0dt
t
F
HH
dQ
Q
F
Pdq
q
F
p
)t,Q,qF Qq 1
1*
j
1
j
j
1
j
1*
j
j
1
jj
j
1
j
1
所以有皆是独立变量，由于
（是独立变量，，设、
0dt
t
F
HH
dP
P
F
Qdq
q
F
p
dt
dF
dt
)QPF(d
HHQPqp
dt
dF
HqpHQPQP
dt
d
QPQP
dt
d
QP
dt
dF
HqpHQP
)t,P,qF Pq 2
2*
j
j
2
jj
j
2
j
2
jj1*
jjjj
1
jj
*
jjjj
jjjjjj
1
jj
*
jj
2
）（
）（
，
（是独立变量，，设、
t
F
HH ),s1,2,j (
P
F
Q
q
F
p
,t,Pq
0dt
t
F
HH
dP
P
F
Qdq
q
F
p
)t,P,qF Pq 2
2*
j
2
j
j
2
j
2*
j
j
2
jj
j
2
j
2
所以有皆是独立变量，由于
（是独立变量，，设、
0dt
t
F
HH
dQ
Q
F
Pdp
p
F
q
dt
dF
dt
)qpF(d
HHQPqp
dt
dF
Hqpqp
dt
d
HQP
qpqp
dt
d
qp
dt
dF
HqpHQP
)t,Q,pF Qp 3
3*
j
j
3
jj
j
3
j
3
jj1*
jjjj
1
jjjj
*
jj
jjjjjj
1
jj
*
jj
3
）（
）（
，
（是独立变量，，设、
t
F
HH ),s1,2,j (
Q
F
P
p
F
q
,t,Qp
0dt
t
F
HH
dQ
Q
F
Pdp
p
F
q
)t,Q,pF Qp 3
3*
j
3
j
j
3
j
3*
j
j
3
jj
j
3
j
3
所以有皆是独立变量，由于
（是独立变量，，设、
t
F
HHsj
P
F
Q
p
F
q
tPpFPp
j
j
j
j
4
4
4
4
4
*
),1,2,(
),,
（是独立变量，，设、
作为作业同学们自己推导,
,
,q
Q
F
P,Q
q
F
p
Qq)q,Q,t(F,
.Q
dF)dQPdqp(:
.HH,0
t
F
,
) s1,2,i (
t
F
HH,
,
j
j
1
jj
j
1
j
jj1
j
iiii
*i
i*
换动量与坐标的名称已互取母函数例如的意义了已经没有纯粹空间坐标注意正则变换的条件则如果母函数不显含时间有同一种形式关系新旧哈密顿函数之间的四种正则变换中
换。的显函数，故为正则变不是母函数证为一正则变换。，证明：变换
t F
dF)Q c t g PPQ(d
)PQ(d)Q c t g P(d
)PQ(dP d Pc s cQc t g P d Q
Q d PP d QP d PQ c t gQ d Pc t g P d Q
P d QP d PQ c t gc t g P d Q
P d Q)dP
Ps i n
Pc os
dQ
Q
1
(Q c t g PP d Qp d q:
Q c t g Pp
Ps i n
Q
lnq
2
2
2
常数。
令
。求母函数
，已知正则变换为例
f0
p
f
ps i nq2
p
f
ps i nq2)]p(f)pc osps i np(q[
pp
F
)p(f)pc osps i np(q
)p(fdq)pc osps i np(F
ps i nq2
p
F
,pc osps i np
q
F
Fpps i nq2q)pc osps i np(
,ps i nq2Ppc osq2Q,
2
2
2
2
21
1
2
1
Qq2
2
Q
q2
Q
c o sq
)pc o sps i np(q)Q,q(F
q2
Q
1p s i n,
q2
Q
c o sp
)pc o sps i np(qF
f)p(f)pc o sps i np(qF
ps i nq2Ppc o sq2Q,
于是母函数可取为常数。，
。，正则变换
2/Qc s cym
Q
F
P
yc t gQm
y
F
p
/2Qc s cxm
Q
F
P
xc t gQm
x
F
p
)c t gQyω2/c t gQx(m)t,Q,q F
2/)yωx(mm2/)p(pH:
2
22
2
2
1
2
22
1
y
1
22
1
1
1
1
11
1
x
2
2
21
2
11
22
2
22
1
2
y
2
x
（选解例,用正则变换法求平面谐振子的运动,
2211
2
222
21
222
1
2
222
21
222
1
22
2
22
1
2
222
2
2
1
222
1
2
1*
2
22
22
22y
1
22
11
11x
2
2
21
2
11
22
2
22
1
2
y
2
x
PP
2/Qc s cym2/Qc s cxm
2/)Qc t g1(ym2/)Qc t g1(xm
2/)yωx(m
m2/)Qc t gymQc t gxm(
H
t
F
HH
,
2/Qc s cymP
y c t g Qmp
,
/2Qc s cxmP
x c t g Qmp
)c t g Qyω2/c t g Qx(m)t,Q,q F
2/)yωx(mm2/)p(pH:
（选解
。，；，
为表示谐振子的正则方程，新变量
tQ
CP
Q
0P
tQ
CP
P
H
Q
0
Q
H
P
,PQ
PPH
,Qc s cym
2
1
P,Qc s cxm
2
1
P
222
22
22
2
111
11
1
1
*
1
1
*
1
jj
2211
*
2
22
221
22
11
）（
）（
）（
）（
。；
22
2
2
11
1
1
222
22
22
22
22
111
22
11
22
11
222
22
111
11
2
22
221
22
11
ts i n
m
C2
y
ts i n
m
C2
x
Ctc s cym
2
1
Qc s cym
2
1
P
Ctc s cxm
2
1
Qc s cxm
2
1
P
tQ
CP
tQ
CP
Qc s cym
2
1
P,Qc s cxm
2
1
P
§ 7.6 泊松括号和泊松定理
j jjjj
j
j
j
j
j
q
H
p
f
p
H
q
f
t
f
p
p
f
q
q
f
t
f
dt
df
,f f H
.
)t,p,q(f
是否是运动积分的关系来判断和下面研究坐标而求出力学量守恒可通过循环学量正则变量描写系统：力一、泊松括号
ji ii
j
ii
j
jj
ji ii
j
ii
j
jj
i
i
i
i
i
j
i
i
i
j
i
i
j jjjj
p
H
q
H
p
q
p
H
q
q
]H,q[q
q
H
q
H
p
p
p
H
q
p
]H,p[p
1
q
q
1
p
p
0
p
q
0
p
q
0
q
p
0
q
p
]H,f[
t
f
dt
df
q
H
p
f
p
H
q
f
]H,f[
。，，，，，
力学量的运动方程：
定义泊松括号：
守恒条件不显含时间，即若的条件守恒量是运动积分正则方程：
0]H,f[
0
t
f
f
0]H,f[
t
f
dt
df
,)( f
p
H
q
q
H
p
j
j
j
j
)(m xy
yxmmppxymmpp
y
H
p
L
p
H
y
L
x
H
p
L
p
H
x
L
q
H
p
L
p
H
q
L
]H,L[
k )ypxp(L,
)yx(m
2
1
)pp(m
2
1
H
,
:
2
1
2
2
2
2yx
2
1xy
y
z
y
z
x
z
x
z
j jj
z
jj
z
z
xy
22
2
22
1
2
y
2
x
平面谐振子的角动量为解函数为已知平面谐振子哈密顿量的守恒性。讨论平面谐振子的角动例为非中心力场。因为力场不守恒。角动量时）当（
为中心力场。因为力场守恒。角动量时）当（
解函数为已知平面谐振子哈密顿量的守恒性。讨论平面谐振子的角动例
)yx(m
2
1
U
L 0]H,L[,2
)yx(m
2
1
U
L 0]H,L[,1
)(m x y]H,L[,
)yx(m
2
1
)pp(m
2
1
H
,
:
22
2
22
1
zz21
222
1
zz21
2
1
2
2z
22
2
22
1
2
y
2
x
0],[ ],[ )3(
0
1
],q[ )2(
c 0],c[ )1(
qppq
],[
)t,p,q()t,p,q(
j jjjj
，若
，若为常数。，如果泊松括号的性质：
的泊松括号为
，定义任意两个力学量
0]],[,[]],[,[]],[,[ )7(
t
,,
t
],[
t
)6(
],[],[ )5(
],[ ],[ )4(
qppq
],[,
n
j
j
n
j
j
j jjjj
，则如泊松括号的性质：
泊松括号
]],H[,[]]H,[,[]],[,H[]H],,[[
t
,,
t
],[
t
],,[],[
,0],[],[,0]],[,[]],[,[]],[,[
].H,[
t
],H,[
t
0]H,[
t
C],[
C)t,p,q( C)t,p,q(
21
守恒可知：，证明：由也是守恒量。则都是守恒量，和若二、泊松定理守恒量即二、泊松定理
C],[0]H],,[[],[
t
,
],[
t
],[
t
t
,,
tt
,,
t
]]H,[,[]],H,[[
]],H[,[]]H,[,[]],[,H[]H],,[[
t
,,
t
],[
t
],,[],[
].H,[
t
],H,[
t
z
n
i
ixiiiy
n
i i
y
iz
x
iz
y
i
x
n
i i
y
iy
x
iy
y
i
x
n
i i
y
ix
x
ix
y
i
x
yx
n
i
ixiiyiz
n
i
iziixiy
n
i
iyiizix
L)pyxp(00
z
L
p
L
p
L
z
L
y
L
p
L
p
L
y
L
x
L
p
L
p
L
x
L
]L,L[
)pypx(L
)pxpz(L)pzpy(L,
L
。
，，解所组成的泊松括号。
的直角坐标分量试求由质点组角动量例：
0]L,L[ 0]L,L[
0]L,L[ ]L,L[]L,L[
L]L,L[ L]L,L[
L]L,L[
zzyy
xxxxxx
yxzxzy
zyx
，同理：；而
。，同理：
ijjijiji
s21s21jj
s21s21jj
ijjijiji
s21s21jj
s21s21jj
]PQ[ 0]PP[ 0]QQ[
)t,PP,P,QQ,Q(pp
)t,PP,P,QQ,Q(qq
]pq[ 0]pp[ 0]qq[
)t,pp,p,qq,q(PP
)t,pp,p,qq,q(QQ
，，，，，满足或
，，，，，满足则变换（证明略）三、用泊松括号判别正
0]pp[ 0]qq[
1Pc t gPc s c
c t g P c t g P
Ps i n
Q
Q
1
Q
p
P
q
P
p
Q
q
]pq[
Q c t g Pp
Ps i n
Q
lnq
]PQ[ 0]PP[ 0]QQ[
]pq[ 0]pp[ 0]qq[
22
2
ijjijiji
ijjijiji
，，，显然有
，
。，例：变换
，，，，，或满足
，，，，，正则变换满足
§ 7.7 哈密顿 -雅科毕理论一、哈密顿 -雅科毕方程
),,,,(
),,,,(
),,,,(
),,,,(
*
tpp
tqq
tpppqqqPP
tpppqqqQQ
P
Q
P
Q
H
ssjj
ssjj
ssjj
ssjj
jj
jj
j
j
2121
2121
2121
2121
0
0
0
常数常数新正则方程变为，最理想的正则变换使雅科毕方程即为哈密顿得到利用正则变换关系称为主函数并记为）（选取
。满足：，则要求母函数欲使
-
0)t,
q
S
q
S
,
q
S
,qq,q(H
t
S
:
,
)t,,q(S
Q
,
q
)t,,q(S
p,
,,)t,,q(S,t,P,qFF
0
t
F
H F 0H
s21
s21
j
jj
jj
j
jj
j
jj2
*
。又称为哈密顿作用函数密顿作用量即是积分限不确定的哈的物理意义哈密顿主函数讨论雅方程哈正则变换
,dt L S
LHqp
t
S
q
q
S
dt
dS
S,
0)t,
q
S
q
S
,
q
S
,qq,q(H
t
S
:-
)t,,q(S
Q,
q
)t,,q(S
p,
jjj
j
s21
s21
j
jj
jj
j
jj
j
h
q
W
q
W
,
q
W
,qq,qH
h
),,,qq,q(WhtdthS
h
t
S
q
S
,qH,
.h)p,q(H
t
t 1
s21
s21
1
s21s21
雅科毕方程变为哈密顿且令雅科毕方程可写成哈密顿常数
，存在能量积分哈密顿函数不显含时间间、哈密顿函数不显含时二,变量的分离例：设一力学系统的哈密顿函数 H = q + p，写出其哈密顿 -雅科毕方程，并求它的主函数 S。
c2/qhqhtS
c2/qhqdq)qh(W
dq)qh(dWqh
dq
dW
h
dq
dW
q
dq
dW
q
S
p
)h,q(Whth d tS
h
t
S
q
S
q
q
S
p
2
2
所以雅方程：哈，解,?
0
t
S
2
kq
q
S
m2
1
t
S
2
kq
m2
p
t
S
H
,
S
Q,
q
S
p,
2
kq
m2
p
H
2
2
22
22
解统的哈密顿函数为点的线性谐振动。设系度质雅科毕方程求解单自由例：用哈密顿
dqq
k
E2
mkEt)t,,q(S
dqq
k
E2
mkWdqq
k
E2
mkdW
0E
2
kq
dq
dW
m2
1
t
S
2
kq
q
S
m2
1
),q(WEt)t,,q(S
,H
0
t
S
2
kq
q
S
m2
1
t
S
H
2
22
2
2
2
2
2
2
则设不显含时间且稳定约束?
)]t(s i n [
k
E2
mq
k
E2
mk
q
S
p
)]t(c os [
k
E2
q
E2
k
qc os
k
m
t
q
k
E2
dq
k
m
t
E
SS
dqq
k
E2
mkEt)t,,q(S
2
1
2
2
)t,qq,q(W)q(SS,
)t,
q
S
q
S
,
q
S
,qq,q(F
)
q
S
,q(
,F,
0)t,
q
S
q
S
,
q
S
,qq,q(F)
q
S
,q(
0
t
S
H
2
s32111
1
s32
s321
1
1
11
11
s32
s321
1
11
其解可写成此时即都必须为常数和欲使上式成立可以写成雅方程以分离出来哈相应偏导数可雅方程中有一个变量及、哈
2
2
s
2
4
2
3
2
s432
22222
2
2
22
s4322221
21
1
1
s
1
3
1
2
1
s321
11111
1
1
11
s32111
)t,
t
W
,
q
W
q
W
,
q
W
,qq,q(F
),q(SS,)
q
S
,q(
)t,qq,q(W),q(SW
,,q,F
)t,
t
W
,
q
W
q
W
,
q
W
,qq,q(F
),q(SS,)
q
S
,q(
)t,qq,q(W)q(SS
积分得可设同理如还有可分离变量如果积分得解可写成
)t,qq,qq,q('SqS
,qS
q
S
)
q
S
,q(,-
,H q,q
),q(S),q(S ),q(SS
s1i1i21ii
iiii
i
i
i
i
ii
ii
sss222111
于是常数这时中雅方程哈显含在也不中不显含在则为循环坐标若到母函数的形式为应用上面方法，最后得部分离，则可逐次如果方程的变量可以全
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
22211221
qh2
dq
dW
2q
dq
dW
hq
dq
dW
dq
dW
2q
dq
dW
2
1
dq
dW
p
dq
dW
p
),q(W)h,q(Wht),h,q,q(WhtS
tH
，
，所以不显含时间解：因为哈密顿函数例：已知力学系统的哈密顿函数为
H = (p1q2+ p1p2 +q12)/2，
试求它的主函数（全积分）。
c2/)2/qq(/)3/qhq2(htS
c2/)2/qq(W2/)q(
dq
dW
c/)3/qhq2(W/)qh2(
dq
dW
dq
dW
/)qh2(
dq
dW
2q
qh2
dq
dW
2q
dq
dW
2
2222
3
11
2
2
222222
2
2
12
3
1112
2
1
1
1
2
1
12
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
例：已知力学系统的哈密顿函数为
H = (p1q2+ p1p2 +q12)/2，
试求它的主函数（全积分）。
的轨道方程。
间，因此是系统个方程，它们都不含时
），，常数，（
，
）轨道方程（
都可决定。则轨道方程，运动方程
），，，（，如果取
1s
( 1) 32i
W
P
S
Q
1
32i PPh
i
i
i
i
ii1
.
sqs,( 1 )( 2 )
( 2 ) tt),,h,,q,q(f:
t
),,h,,q,q(ft
h
W
t
h
S
),,h,,q,W ( q- h tS
P
S
Q
2
32i PPh
i
o2221
o1
2221
2221
1
1
ii1
得运动方程个方程，即可共个对联立起来与式式即
，
）运动方程（
都可决定。则轨道方程，运动方程
），，，（，如果取
。
），（；，；，解：选广义坐标：
运动的轨道方程。
真空中雅可毕方程求抛射体在例：试用哈密顿
2
2
2
2
yx
2
y
2
x
2
y
2
x
21
y
W
)m gyE(m2
x
W
Em gy
y
W
x
W
m2
1
y
W
p
x
W
pEm gy)pp(
m2
1
H
m gyU)pp(
m2
1
T
yqxq
-
3
2
222
3
2
2y
2
2
y
22x2
x
yx
2
2
2
cdya)m g yE(m2cxaW
cdya)m g yE(m2W
a)m g yE(m2
dy
dW
cxaWa
dx
dW
WWW
a
y
W
)m g yE(m2
x
W
可分离变量，设
）（抛物线方程故：
，
。，，初始条件：
c o sv2/gxxt gy
g/gy2s i nvc o svxg/c o ss i nv
cg/c o ss i nv
cgm/c o svm)02/mv(m2c o smv0
2/mvEc o smvxmpa
c o svx0yx0t
cgm/a)m gyE(m2ax
dy
a)m gyE(m2
a2
2
1
x
a
W
a
S
cdya)m gyE(m2cxaW
22
o
2
22
oo
2
o
4
2
o
4
222
o
22
oo
2
oox2
o
4
22
22
2
2
2
22
2
3
2
222
）（运动方程故：
，
。，，初始条件：
2/gtc o stvy
g/gy2s i nvtg/s i nv
cg/s i nv
cmg/c o svm)02/mv(m20
2/mvEc o smvxmpa
c o svx0yx0t
cmg/a)m gyE(m2t
dy
a)m gyE(m2
m
t
E
S
a
S
cdya)m gyE(m2cxaEtS
2
o
22
oo
5o
5
22
o
22
o1
2
oox2
o
5
2
2
2
2
1
1
3
2
222
§ 7.8 用哈密顿理论解开普勒问题例,用哈 - 雅方程求行星绕太阳运动时轨道方程。
caWap
E
r
G M m
r
1
d
dW
dr
dW
m2
1
H
d
dW
p
dr
dW
pWWEtS
)(E
r
G M m
)
r
p
p(
m2
1
H
mr
p
mr
L
p
m
p
rrm
r
L
p
r
G M m
)rr(m
2
1
L
r
G M m
U)rr(m
2
1
T
.G,M,m ),,r(
2
22
r
r
rr
2
2
2
r
2
2r
r
222222
（常数）为循环坐标，因雅方程：故哈
，，，设主函数：
总能量
。；
，，
引力常数为太阳为设行星为解：采用极坐标
c
m E a2mMGr
rG M ma
s i n
r
a
r
G M m2
mE2
r/1da
a
S
dr
r
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G M m2
mE2aEtS
dr
r
a
r
G M m2
mE2W
E
r
G M m
mr2
a
dr
dW
m2
1
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22
1
2
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2
22
2
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r
2
2
2
r
，
2422
m i n
m i n
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1
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m i n
m i n
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1
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m i n
m i n
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1
m i n
m E a2mMGr
rG M ma
s i ns i n
m E a2mMGr
arG M m
m E a2mMGr
rG M ma
s i n
m E a2mMGr
rG M ma
s i n
c
m E a2mMGr
rG M ma
s i n
0,rr,0t:初始条件
G M m/Ea21e,G M m/ap )c o se1/(p
c o sG M m/Ea211
G M m/a
c o sm E a2mMGG M m
a
)]2/s i n (m E a2mMGG M m/[ar
rr
2
m E a2mMGr
rG M ma
s i n
m E a2mMGr
rG M ma
s i ns i nm E a2mMGG M m
a
r
m E a2mMGr
rG M ma
s i ns i n
m E a2mMGr
arG M m
222
2
22
24222
2
242222
m i n
2422
m i n
m i n
22
1
2422
m i n
m i n
22
124222
2
2422
m i n
m i n
22
1
2422
22
。时，当运动方程积分形式）(
r
a
r
G M m2
mE2
m d r
t-t
r
a
r
G M m2
mE2
m d r
t
E
S
t
dr
r
a
r
G M m2
mE2aEtS
2
22
o
2
22
o
2
22
试求行星绕太阳运动时运动方程。
