) e)r(FF ( e)r(Fr
Fr
m/Fm/F 0FF
m
F
m
F
Fr,)1(
m
1
m
11
,""
m
F
m
F
F
m
1
m
1
m
FF
m
FF
r-rr
,FF,FF,r-rr
r12r
12
221121
2
2
1
1
12
21
2
2
1
1
12
212
212
1
121
21
21211221
若或或若式重写成折合质量引入
，外力内力相对坐标第三章 两体问题
§ 3.1 两体问题化为单粒子问题
)r(Ur
2
1
L
)r(Ur)mm(
2
1
L:
LL
)r(U)r(Ur
2
1
r)mm(
2
1
VTL
rU
rU
i2
2
C
e2
C211
21
i
C
e22
C21
i
C
e
，其中
：体系的拉格朗日函数为有关。置只与两粒子间的相对位相互作用势能有关，只与体系的质心位置假设外场势能这样，两体问题分解为两个单粒子问题。
§ 3.2 有心力场中单粒子的运动
)r(U
mr2
L
rm
2
1
)r(Umr/Lrrm
2
1
E
mr/Lmrm r vL
)r(U2/)rr(mE
t
)r(U2/)rr(m
r
2
2
2
2
222
22
222
222
：，因此粒子角动量守恒标因拉格朗日函数不含坐常数
，因此粒子能量守恒：间因拉格朗日函数不含时拉格朗日函数：
），选取平面极坐标系（
。动量守恒，作平面运动在有心力势场中，因角运动方程
r ( t ) r
mr2
L
)r(UE
m
2
dr
t
mr2
L
)r(UE
m
2
/drdt
mr2
L
)r(UE
m
2
dt
dr
r
)r(U
mr2
L
rm
2
1
E
r ( t )
r ( 0 )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
则可得轨道方程。消去和由角动量守恒：
,t )t( )t(r
mr2
L
)r(UEm2
drr/L
)0()t(
mr2
L
)r(UE
m
2
dr
mr
L
dt
mr
L
d
mr
L
dt
d
mrL
mr2
L
)r(UE
m
2
/drdt
)t(r
)0(r
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
。是整数）、（轨道闭合的条件是为：，矢径转过角度之间。从和，轨道位于两圆）若（
离去；处后又向来，到，则粒子从）若（
即：
的条件决定。的变化范围由称为离心势能有效势能的变化范围
nmn/m2
mr2/L)r(UEm2
drr/L
2
rrr
rrrrrrr2
rrr1
Emr2/L)r(U
0rr
mr2/L
mr2/L)r(U)r(U,r
m a x
m i n
r
r 22
2
m a xm i nm a x
m a xm i nm i nm a x
m i nm i n
22
22
22
e f f
运动定性讨论讨论粒子在吸引势 U = - a / r3中的运动情况解,粒子的有效势能,Ueff = L2 / 2mr2 - a / r3
(1) 曲线渐近行为
r → ∞,Ueff → 0 ；
r →0,Ueff → - ∞ 。
(2)曲线零点：
Ueff = 0→r = r o = 2ma/L2
(3)曲线极值：
dUeff / dr = 0
→ r = r m = 3ma/L2
(Ueff )max = L6 / 54 m3 a2 - a / r
3
L2 / 2mr2
O
E
(Ueff )max
r
Ueff
rm
ro r1 r2
§ 3.3 与距离成反比的有心力场吸引势,U(r) = - a / r
有效势能,Ueff = L2 / 2mr2 - a / r
(1) r →0,Ueff → + ∞ ；
r → ∞,Ueff → 0 。
(2)曲线极值,dUeff /dr = 0
→ r = r m = L2 / ma
(Ueff )min = m a2 / 2L2
(3)曲线零点：
Ueff = 0→r = r o = L2 / 2ma - a / r
L2 / 2mr2
O
E
(Ueff )max
r
Ueff
rmro r1 r2
比耐公式 ——轨道方程
( 2 ) )r(F)rr(m
( 1 ) )r(F)rr(m
,r?
2
2
运动方程守恒量因为有心力
rh0)r(
dt
d
r
1
0r2r0)r(F
22
( 3 ) /rmhF ( r )mrF ( r )rm
,)1(
322
式得由比耐公式 ——轨道方程我们得由引入守恒量
,h / r,1 / r u
( 3 ) /rhF ( r )rm,rh,
2
322
( 4)
d
ud
uh)
d
du
h(
d
d
)
d
du
h(
dt
d
dt
rd
r
d
du
hhu
d
du
u
1
u
1
d
d
dt
d
d
dr
dt
dr
r
/mh
2
2
22
2
2
2
( 5 ) m/)r(F)u
d
ud
(uh
,)3()4(
2
2
22 比耐公式式得式代入
例：已知引力作用 F(r) = - GMm / r2 ro,
求运行轨迹。
解：比耐公式
h2 u2 (d2u /dθ2 + u ) = GM/r2 = GMu2
→ d2u /dθ2 + u = μ/ h2 (μ= GM )
轨迹方程,u = 1 / r = C1 cosθ+ C2 sinθ+ μ/ h2
齐次解 非齐次解取近日点 ( r 极小值 )的 θ为零,
r 极小值条件,dr/dθ= 0,d2r /dθ2 > 0,
∵ d(1/u)/dθ= - (1/u2) du/dθ│θ=0
= (1/u2) ( C1 sinθ- C2 cosθ)│θ=0 = 0 → C 2 = 0
∴ r = ( C1 cosθ + μ/ h2 ) -1 = p /( 1+ e cosθ)
r = p /( 1+ e cosθ)
其中 p = h2 /μ(正焦弦长度一半 ),
e = C1 h2 /μ(偏心率 )。
这是一原点在焦点上的圆锥曲线，
力心位于焦点上。
e < 1 椭圆
e = 1 抛物线
e > 1 双曲线抛物线双曲线椭圆
])2( c o s2s i n3)2( c o s2[
a
1
d
ud
)2( c o s2s i n
a
1
d
du
2c osa
1
r
1
u
,
r
hma3
F
2c osar
2/522/1
2
2
2/3
7
74
22
证明：
试证明之。的运动时，则用而作双纽线例：如质点受有心力作
7
74
2/7
2
2
3
2
2/7
3
2
2/522/1
2
2
2
2
22
2/522/1
2
2
22
r
Lma3
a
r
a
mL3
)2( c o s
a
mL3
2c o sa
1
])2( c o s2s i n3)2( c o s2[
a
1
2c o sa
mL
u
d
ud
umLF
])2( c o s2s i n3)2( c o s2[
a
1
d
ud
2c o sar
比耐公式：
双纽线：
补充作业,
求 e 与能量 E 的关系，
即证明：
并讨论 E 与圆锥曲线型的关系,
2
2
m
EL2
1e
§ 3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性轨道闭合与轨道稳定轨道稳定的含义,
由于初始条件的微小变化或势场本身的扰动，使粒子偏离原轨道 ro变为 r 。若 r 始终保持在 ro附近作小振动，则称此种轨道是 稳定的；反之,若随着时间增加,r 偏离 ro 越来越大，则称此种轨道是不 稳定的。
§ 3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性设粒子在势场 U(Z)中的轨道为 u = uo，
轨道偏离,u = uo +? （? 为小量）
22
2
2
2 L/)r(mFmh/)r(F)u
d
ud(u,
比耐公式
o
o
u22
o
2
o
2
o
2
2
uoo
o2o2
2
2
o
2
2
o
2
o
du
dF
Lu
m
d
ud
u
2
3A 0A
d
d
du
dF
)u(F)u(F
)u(F
L
m
u
d
d
d
ud
)u2u(
其中：。
§ 3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性
2
2
2
2 L/)r(mF)u
d
ud(u,
比耐公式
ou22
o
2
o
2
o
2
2
du
dF
Lu
m
d
ud
u
23A 0A
d
d?
其中：。
若 A=0,?随? ( 从而随 t ) 线性增加；
若 A<0,?随 t 线性增加。
轨道不稳定若 A> 0,?作简谐振动,轨道稳定 。
轨道稳定条件：
0dr UdrLmdrdUrL m21A 2
2
4
2
3
2
讨 论
(1) U =? a / r,A = 1 > 0,轨道稳定。
(2) U = - a / r3，
A = 1 – 6ma / r L2 = 1 - 3 rm / r
轨道稳定条件 A > 0 变为 r > 3 rm
(3) U = k r2,A = 1 + 6mk r4 / L2 > 0
轨道永远稳定条件 。
圆形轨道稳定性条件为,(Ueff = L2 / 2mr2 + U)
dUeff /dr = 0,dUeff /dr > 0
3 dU/dr + d2U/dr2 > 0
或 - 3 F - dF/dr > 0
O
A
ρφo
ψ
§ 3.6 粒子散射问题设有心力场的力心在 O 点，
由于有心力场对力心是中心对称的，所以轨道对 OA是轴对称的。设无穷远处质点速率为 v∞,瞄准距离为 ρ。
m i n
r
2
2
2
o
2
o
mr2
L
)r(UEm2
drr/L
v mL,2/mvE,2
O
A
ρφo
ψ 0
mv
)r(U2
r
1
0r,Ar
r
dr
mv
)r(U2
r
1
mr2
L
)r(UEm2
drr/L
v mL,2/mvE 2
2
m i n
2
m i n
2
m i n
2
r
22
2
r
2
2
2
o
2
o
m i n
m i n
即：
，该处点对应于
，
散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假设粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不同的瞄准距离，相应有不同的散射角 ψ 。
dρ
ρ
假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角 ψ到 ψ+dψ内的粒子数为 dN,则定义散射的有效截面为
dσ= dN/n,dN个粒子可能来自 ρ(ψ) 到 ρ(ψ) + dρ(ψ)
区间内的粒子。
假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角 ψ到 ψ+dψ
内的粒子数为 dN,则定义 散射的有效截面为
dσ= dN/n,dN个粒子可能来自 ρ(ψ) 到 ρ(ψ)+
dρ(ψ) 区间内的粒子，即
dN = 2πnρdρ,所以
dσ= 2πρdρ
= 2πρ│dρ/ dψ│dψ
φ到 φ+ dφ对应的立体角为
dΩ=2πsinψdψ
因而 dσ=(ρ/sinψ)│dρ/ dψ│dΩ
dρρ
试求粒子在半径为 a 的刚性上散射的有效截面
2
4
0
2
2
4
422
2
22
22
ad
a
d
a
d
a
a
d
d
d
d
a
d
d
aa
s i n
s i n
c o s
s i n
s i n
c o ss i n
ar
ar 0
U,解：势能为
φ ρ
ψ
例：卢瑟福公式的推导，即带电粒子在
U(r) = a / r 场中 散射的有效截面。
0
mv
a
rmv
a
1 rr
r
d
mv
a
rmv
a
1
1
r
dr
rmv
a2
r
1
r
dr
mv
)r(U2
r
1
vmL,2/mvE,2
2
2
m i n
2
2m i n
r 2
2
2
2
2
r
22
2
2
r
22
2
o
2
o
m i n
m i nm i n
时，当
0)1(c osx
,
mv
a
1
mv
a
r
x c os
,0
mv
a
r mv
a
1
1
rr
2
2
2
2
2
m i n
2
2
m i n
令
d
)2/(s i n
1
mv2
a
d
)2/(s i n
)2/c o s (
mv
a
d
d
)(d
d
d
d
2d
2
c t g
mv
a
tg
mv
a
mv
a
c t g
mv
a
1
mv
a
c o sxdx
4
2
2
3
2
2
2
2
2
2o
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
r
x
0
o
r
Fr
m/Fm/F 0FF
m
F
m
F
Fr,)1(
m
1
m
11
,""
m
F
m
F
F
m
1
m
1
m
FF
m
FF
r-rr
,FF,FF,r-rr
r12r
12
221121
2
2
1
1
12
21
2
2
1
1
12
212
212
1
121
21
21211221
若或或若式重写成折合质量引入
，外力内力相对坐标第三章 两体问题
§ 3.1 两体问题化为单粒子问题
)r(Ur
2
1
L
)r(Ur)mm(
2
1
L:
LL
)r(U)r(Ur
2
1
r)mm(
2
1
VTL
rU
rU
i2
2
C
e2
C211
21
i
C
e22
C21
i
C
e
，其中
：体系的拉格朗日函数为有关。置只与两粒子间的相对位相互作用势能有关，只与体系的质心位置假设外场势能这样，两体问题分解为两个单粒子问题。
§ 3.2 有心力场中单粒子的运动
)r(U
mr2
L
rm
2
1
)r(Umr/Lrrm
2
1
E
mr/Lmrm r vL
)r(U2/)rr(mE
t
)r(U2/)rr(m
r
2
2
2
2
222
22
222
222
：，因此粒子角动量守恒标因拉格朗日函数不含坐常数
，因此粒子能量守恒：间因拉格朗日函数不含时拉格朗日函数：
），选取平面极坐标系（
。动量守恒，作平面运动在有心力势场中，因角运动方程
r ( t ) r
mr2
L
)r(UE
m
2
dr
t
mr2
L
)r(UE
m
2
/drdt
mr2
L
)r(UE
m
2
dt
dr
r
)r(U
mr2
L
rm
2
1
E
r ( t )
r ( 0 )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
则可得轨道方程。消去和由角动量守恒：
,t )t( )t(r
mr2
L
)r(UEm2
drr/L
)0()t(
mr2
L
)r(UE
m
2
dr
mr
L
dt
mr
L
d
mr
L
dt
d
mrL
mr2
L
)r(UE
m
2
/drdt
)t(r
)0(r
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
。是整数）、（轨道闭合的条件是为：，矢径转过角度之间。从和，轨道位于两圆）若（
离去；处后又向来，到，则粒子从）若（
即：
的条件决定。的变化范围由称为离心势能有效势能的变化范围
nmn/m2
mr2/L)r(UEm2
drr/L
2
rrr
rrrrrrr2
rrr1
Emr2/L)r(U
0rr
mr2/L
mr2/L)r(U)r(U,r
m a x
m i n
r
r 22
2
m a xm i nm a x
m a xm i nm i nm a x
m i nm i n
22
22
22
e f f
运动定性讨论讨论粒子在吸引势 U = - a / r3中的运动情况解,粒子的有效势能,Ueff = L2 / 2mr2 - a / r3
(1) 曲线渐近行为
r → ∞,Ueff → 0 ；
r →0,Ueff → - ∞ 。
(2)曲线零点：
Ueff = 0→r = r o = 2ma/L2
(3)曲线极值：
dUeff / dr = 0
→ r = r m = 3ma/L2
(Ueff )max = L6 / 54 m3 a2 - a / r
3
L2 / 2mr2
O
E
(Ueff )max
r
Ueff
rm
ro r1 r2
§ 3.3 与距离成反比的有心力场吸引势,U(r) = - a / r
有效势能,Ueff = L2 / 2mr2 - a / r
(1) r →0,Ueff → + ∞ ；
r → ∞,Ueff → 0 。
(2)曲线极值,dUeff /dr = 0
→ r = r m = L2 / ma
(Ueff )min = m a2 / 2L2
(3)曲线零点：
Ueff = 0→r = r o = L2 / 2ma - a / r
L2 / 2mr2
O
E
(Ueff )max
r
Ueff
rmro r1 r2
比耐公式 ——轨道方程
( 2 ) )r(F)rr(m
( 1 ) )r(F)rr(m
,r?
2
2
运动方程守恒量因为有心力
rh0)r(
dt
d
r
1
0r2r0)r(F
22
( 3 ) /rmhF ( r )mrF ( r )rm
,)1(
322
式得由比耐公式 ——轨道方程我们得由引入守恒量
,h / r,1 / r u
( 3 ) /rhF ( r )rm,rh,
2
322
( 4)
d
ud
uh)
d
du
h(
d
d
)
d
du
h(
dt
d
dt
rd
r
d
du
hhu
d
du
u
1
u
1
d
d
dt
d
d
dr
dt
dr
r
/mh
2
2
22
2
2
2
( 5 ) m/)r(F)u
d
ud
(uh
,)3()4(
2
2
22 比耐公式式得式代入
例：已知引力作用 F(r) = - GMm / r2 ro,
求运行轨迹。
解：比耐公式
h2 u2 (d2u /dθ2 + u ) = GM/r2 = GMu2
→ d2u /dθ2 + u = μ/ h2 (μ= GM )
轨迹方程,u = 1 / r = C1 cosθ+ C2 sinθ+ μ/ h2
齐次解 非齐次解取近日点 ( r 极小值 )的 θ为零,
r 极小值条件,dr/dθ= 0,d2r /dθ2 > 0,
∵ d(1/u)/dθ= - (1/u2) du/dθ│θ=0
= (1/u2) ( C1 sinθ- C2 cosθ)│θ=0 = 0 → C 2 = 0
∴ r = ( C1 cosθ + μ/ h2 ) -1 = p /( 1+ e cosθ)
r = p /( 1+ e cosθ)
其中 p = h2 /μ(正焦弦长度一半 ),
e = C1 h2 /μ(偏心率 )。
这是一原点在焦点上的圆锥曲线，
力心位于焦点上。
e < 1 椭圆
e = 1 抛物线
e > 1 双曲线抛物线双曲线椭圆
])2( c o s2s i n3)2( c o s2[
a
1
d
ud
)2( c o s2s i n
a
1
d
du
2c osa
1
r
1
u
,
r
hma3
F
2c osar
2/522/1
2
2
2/3
7
74
22
证明：
试证明之。的运动时，则用而作双纽线例：如质点受有心力作
7
74
2/7
2
2
3
2
2/7
3
2
2/522/1
2
2
2
2
22
2/522/1
2
2
22
r
Lma3
a
r
a
mL3
)2( c o s
a
mL3
2c o sa
1
])2( c o s2s i n3)2( c o s2[
a
1
2c o sa
mL
u
d
ud
umLF
])2( c o s2s i n3)2( c o s2[
a
1
d
ud
2c o sar
比耐公式：
双纽线：
补充作业,
求 e 与能量 E 的关系，
即证明：
并讨论 E 与圆锥曲线型的关系,
2
2
m
EL2
1e
§ 3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性轨道闭合与轨道稳定轨道稳定的含义,
由于初始条件的微小变化或势场本身的扰动，使粒子偏离原轨道 ro变为 r 。若 r 始终保持在 ro附近作小振动，则称此种轨道是 稳定的；反之,若随着时间增加,r 偏离 ro 越来越大，则称此种轨道是不 稳定的。
§ 3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性设粒子在势场 U(Z)中的轨道为 u = uo，
轨道偏离,u = uo +? （? 为小量）
22
2
2
2 L/)r(mFmh/)r(F)u
d
ud(u,
比耐公式
o
o
u22
o
2
o
2
o
2
2
uoo
o2o2
2
2
o
2
2
o
2
o
du
dF
Lu
m
d
ud
u
2
3A 0A
d
d
du
dF
)u(F)u(F
)u(F
L
m
u
d
d
d
ud
)u2u(
其中：。
§ 3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性
2
2
2
2 L/)r(mF)u
d
ud(u,
比耐公式
ou22
o
2
o
2
o
2
2
du
dF
Lu
m
d
ud
u
23A 0A
d
d?
其中：。
若 A=0,?随? ( 从而随 t ) 线性增加；
若 A<0,?随 t 线性增加。
轨道不稳定若 A> 0,?作简谐振动,轨道稳定 。
轨道稳定条件：
0dr UdrLmdrdUrL m21A 2
2
4
2
3
2
讨 论
(1) U =? a / r,A = 1 > 0,轨道稳定。
(2) U = - a / r3，
A = 1 – 6ma / r L2 = 1 - 3 rm / r
轨道稳定条件 A > 0 变为 r > 3 rm
(3) U = k r2,A = 1 + 6mk r4 / L2 > 0
轨道永远稳定条件 。
圆形轨道稳定性条件为,(Ueff = L2 / 2mr2 + U)
dUeff /dr = 0,dUeff /dr > 0
3 dU/dr + d2U/dr2 > 0
或 - 3 F - dF/dr > 0
O
A
ρφo
ψ
§ 3.6 粒子散射问题设有心力场的力心在 O 点，
由于有心力场对力心是中心对称的，所以轨道对 OA是轴对称的。设无穷远处质点速率为 v∞,瞄准距离为 ρ。
m i n
r
2
2
2
o
2
o
mr2
L
)r(UEm2
drr/L
v mL,2/mvE,2
O
A
ρφo
ψ 0
mv
)r(U2
r
1
0r,Ar
r
dr
mv
)r(U2
r
1
mr2
L
)r(UEm2
drr/L
v mL,2/mvE 2
2
m i n
2
m i n
2
m i n
2
r
22
2
r
2
2
2
o
2
o
m i n
m i n
即：
，该处点对应于
，
散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假设粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不同的瞄准距离，相应有不同的散射角 ψ 。
dρ
ρ
假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角 ψ到 ψ+dψ内的粒子数为 dN,则定义散射的有效截面为
dσ= dN/n,dN个粒子可能来自 ρ(ψ) 到 ρ(ψ) + dρ(ψ)
区间内的粒子。
假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角 ψ到 ψ+dψ
内的粒子数为 dN,则定义 散射的有效截面为
dσ= dN/n,dN个粒子可能来自 ρ(ψ) 到 ρ(ψ)+
dρ(ψ) 区间内的粒子，即
dN = 2πnρdρ,所以
dσ= 2πρdρ
= 2πρ│dρ/ dψ│dψ
φ到 φ+ dφ对应的立体角为
dΩ=2πsinψdψ
因而 dσ=(ρ/sinψ)│dρ/ dψ│dΩ
dρρ
试求粒子在半径为 a 的刚性上散射的有效截面
2
4
0
2
2
4
422
2
22
22
ad
a
d
a
d
a
a
d
d
d
d
a
d
d
aa
s i n
s i n
c o s
s i n
s i n
c o ss i n
ar
ar 0
U,解：势能为
φ ρ
ψ
例：卢瑟福公式的推导，即带电粒子在
U(r) = a / r 场中 散射的有效截面。
0
mv
a
rmv
a
1 rr
r
d
mv
a
rmv
a
1
1
r
dr
rmv
a2
r
1
r
dr
mv
)r(U2
r
1
vmL,2/mvE,2
2
2
m i n
2
2m i n
r 2
2
2
2
2
r
22
2
2
r
22
2
o
2
o
m i n
m i nm i n
时，当
0)1(c osx
,
mv
a
1
mv
a
r
x c os
,0
mv
a
r mv
a
1
1
rr
2
2
2
2
2
m i n
2
2
m i n
令
d
)2/(s i n
1
mv2
a
d
)2/(s i n
)2/c o s (
mv
a
d
d
)(d
d
d
d
2d
2
c t g
mv
a
tg
mv
a
mv
a
c t g
mv
a
1
mv
a
c o sxdx
4
2
2
3
2
2
2
2
2
2o
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
r
x
0
o
r
