理论力学何国兴东华大学应用物理系第一章 牛顿动力学方程
§ 1.1 经典力学基础 ——,原理,
牛顿三大定律
§ 1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿第二定律矢量表达式
F = dP/dt = d(mv)/dt
若 m 为常数,F = mdv /dt = ma
1、直角坐标系
Fx = mdvx /dt = max
Fy = mdvy /dt = may
Fz = mdvz /dt = maz
例题：假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧毁时，有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速 vo
抛出，已知空气阻力与速度成正比，即 f = - kv
（ k 为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程。
解,牛顿第二定律,mg + f = mg - kv = mdv/dt
建立坐标系,x 轴 —— vo 方向 ;
y 轴 —— 垂直向下方向。
初始条件,t = 0,xo = 0,yo = 0,zo = 0；
vxo = vo,vyo = 0,vzo = 0;
运动微分方程,- kvx = mdvx /dt
mg - kvy = mdvy /dt
0 = mdvz /dt
运动微分方程,- kvx = mdvx /dt
mg - kvy = mdvy /dt
0 = mdvz /dt
x方向,dvx / vx = - (k/ m) dt
→ v x = vo e - kt/m
y方向,- kdvy/(mg-kvy) = -(k/ m)dt
→ v y = (mg/k)(1-e - kt/m )
z方向,dvz = 0 → v z = vzo = 0
vx = vo e - kt/m
vy = (mg /k)( 1- e - kt/m )
vz = 0
vx = vo e - kt/m,vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ),vz = 0
→ x - xo = ∫ot vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m )
→ y - yo = ∫ot (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt
= mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )
→ z - zo = ∫ot 0 dt = 0
运动方程,x = (mvo /g)( 1- e - kt/m )
y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )
z = 0
→ kt/m = - ln( 1-kx/mvo )
轨迹方程,y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvo
z = 0
§ 1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
2、平面极坐标系 (r,φ)
与 直角坐标系关系,
(1) (x,y) → (r,φ)
x = r cosφ
y = r sinφ
vx= vr cosφ-vφsin φ
vy= vr sinφ+ vφ cosφ
r
vφ
o
x
y ro
φ
c o srs i nrv
s i nr -c o srv
y
x
r
r
c o ss i n
s i nc o s
v
v
y
x
v
v
c o ss i n
s i nc o s
v
v r
y
x
§ 1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
2、平面极坐标系 (r,φ)
(2) ( vx,vy ) → ( vr,vφ)
dt
d
rrv
dt
dr
rv
r
rr
rr
c o ss i n
s i nc o s
a
a
y
x
2
2
rra
rra r
2
2
c o srs i nrv
s i nr -c o srv
y
x
(3) ( ax,ay ) → ( ar,aφ)
作 业已知球坐标系与直角坐标系关系,
x = r sin? cos?
y = r sin? sin?
z = r cos?
推导球坐标系（ r,?,φ）中的
（ 1）速度分量（ v r,v?,vφ ）；
（ 2）加速度分量（ a r,a?,aφ ） 。
y
x
z
q1
q2
q3
e1
e2
e3
o
3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式
x = x(q1,q2,q3 ),y = y(q1,q2,q3 ),z = z(q1,q2,q3 )
ii
iii
i
ii
i
2
i
2
i
2
ii
i
iiii
321
q
r
H
1
e eH
q
r
e P q
q
r
q
z
q
y
q
x
q
r
H,
) 3 2 1i ( k
q
z
j
q
y
i
q
x
q
r
k zj yi x)q,q,q(rr
或同向点的切线单位向量坐标线在与拉密系数
，，
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
ji
333222111
3
3
2
2
1
1
ii
iii
i
)dq(H)dq(H)dq(Hv d tds,
qHqHqHvvv,
ji,1
ji,0
ee,
eqHeqHeqH
dt
dq
q
r
dt
dq
q
r
dt
dq
q
r
dt
rd
v,
q
r
H
1
e eH
q
r
弧元速率正交性正交曲线坐标系速度或
2
iiiii
i
3
3
2
2
1
1iii
iii
ii
ii
ii
v
2
1
qq
v
vv
q
v
2
1
q
v
v
q
r
v
q
r
q
q
r
q
q
r
q
q
r
qdt
rd
qq
v
q
r
dt
d
v
q
r
v
dt
d
q
r
dt
vd
Ha
q
r
H
1
dt
vd
eaa
,
分量加速度在基矢方向上的
iii
iiii
ii
iii
iiii
ii
iiii
ii
q
T
q
T
dt
d
H
v
T
v
q
v
qdt
d
q
r
dt
d
v
q
r
v
dt
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v
qq
v
v
q
r
dt
d
v
q
r
dt
d
q
q
r
q
q
q
r
q
q
q
r
q
q
q
r
q
q
r
q
q
r
qq
v
v
qq
r
v
q
r
dt
d
v
q
r
v
dt
d
Ha
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
22
2
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
2
i
a,,
,
则加速度令例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式。
zz,s i nry,cosrx, φφ坐标变换解
10s i nc o s
r
z
r
y
r
xH 222222
r
r0c o srs i nrzyxH 22222
222
1100
z
z
z
y
z
xH 222222
z
zzHv
rHv
rrHv,
zz
rr
分量
)zrr(
v
T
zrrv
2222
2
2222
2
1
2
)zrr(T 222221
z
z
T
z
T
dt
d
H
rrrrr
r
r
dt
d
r
TT
dt
d
H
a
rr
r
T
r
T
dt
d
H
z
z
r
1
22
1
0
11
1
2
2
2
a
][
a,
r
加速度
4、球坐标系（作业）
C B
L
A
O x
y
rd
ω
θ
例：细杆 OL 绕 O 点以匀角速 ω转动，并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动,d
为常数。试求小环的速度及加速度的量值。
i
d
dx
xid
dt
vd
a
i
d
dx
id
dt
rd
v
jditgdjyixr
tg s e c
s e c
OC
O x y
2
22
222
22
2
22
1
设
。建立直角坐标系解：方法
C
BA
O
d
ω
θ
or?
o
d
dx
s e cd
)s e cd(-)tgs e cd(v
s e cdr tgs e cd
rr rv
)s e ctg( s e cdr
tgs e cdtgs e cdr
s e cdr
2
22
2
22
oo
oo
322
建立极坐标系方法
2
22
2
2
22
2
22
2222
r
22
22
23222
r
322
d
dx
x2
d
x
d
dx
d2
tgs e cd2
tg1tgs e cd2aaa
tgs e cd2tgs e cd2r2ra
tgs e cd2
s e cd)s e ctg( s e cdrra
)s e ctg( s e cdr
tgs e cdtgs e cdr
2
建立极坐标系方法
C1
C2
r M
A φ
φo
φ
例：小船 M 被水流冲走后，
用一绳将它拉回岸 A边点。
假定水速 C1 沿河宽不变，
而拉绳子的速度则为 C2 。
如小船可以看成一个质点，
求小船的轨迹。
1
2
oo
C
C
o
o
o1
2
o
1
2
r
r
1
2
1
2
φ
r
1φ2r
)2/(tg
2/(tg
rr
)2/(tg
)2/(tg
ln
C
C
r
r
ln
d
s i nC
C
r
dr
d
s i nC
C
r
dr
s i nC
C
rd
dr
v
v
s i nC
dt
d
rv,- C
dt
dr
v,
,
已知根据题意采用极坐标系解
mg
v
P
θ
y
xo
-b
-a a
t
gbvgdyv d v
gdyv d v
ds
dy
mgv
ds
dv
m
v
ds
dv
dt
ds
ds
dv
dt
dv
θ
ds
dy
mgP
v
m
mg
dt
dv
m
b
2
1
0
2
s i n
2 c o s
1 s i n
::
v
0
）代入（
，，
）（
）（
动力学方程解
例：求质量为 m 小球无摩擦从长轴的端点静止滑动到椭圆的最低点时，它对椭圆的压力 P。
5、自然坐标系 (自学 )
mg
v
P
θ
y
xo
-b
-a a
t
.
b
a
y
y1
a
b
y0y0xby
a
x
1
a
bx
a
x
1
a
b
y
a
x
1x
a
b
y
a
x
1by1
b
y
a
x
22/32
2
2/3
2
2
4
2
2/1
2
2
2
2/1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
）（
曲率半径：
，，在最低点时：
，
椭圆方程：
mg
v
P
θ
y
xo
-b
-a a
t
1
a
b2
mgP,0
c o smg
a
gb2
mP
c o smgP
a
gb2
m
c o smgP
v
m
:)2(
b
a
y
y1
2
2
2
2
2
2
2
22/32
时在得，代入
）（
曲率半径：
§ 1.2 动量定律一、质心
RC= ∑mi ri /∑mi = ∑mi ri /M
质心定理,MdvC /dt2 Md2RC /dt2 = F
二、质点组运动的分解,平动 + 转动地面参照系 质心参照系
ri = RC + ri’
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
ii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jiC
n
1i
ii
n
1i
1n
ji
1j
jiiC
n
1i
ii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
ji
1j
n
1i
iiji
n
1i
ii
n
1i
iii
n
1i
iii
n
1i
iii
F'rFr
F'rFRFr
F)'rR(Fr
FrFr)]FF(r[
rrmrrmrrm
dt
d
dt
Ld
§ 1.4 动量定律
n
1i
1n
ji
1j
jiji
n
1i
1n
ji
1j
jij
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jij
n
1i
1n
ji
1j
ijj
n
1i
1n
ji
1j
jii
F)'r'r(
2
1
F'r
2
1
F'r
2
1
F'r
2
1
F'r
2
1
F'r
F'rF'rF'r
所以因为角动量定理则若
MFr
dt
Ld
,
0F'r F//)'r'r(
F)'r'r(
2
1
F'r
F'rFr
dt
Ld
n
1i
ii
n
1i
1n
ji
1j
jiijiji
n
1i
1n
ji
1j
jiji
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
ii
量质点组相对质心的角动’
转动的角动量质点绕地面参照系原点总角动量转动的分解
iii
CCC
C
iiiCC
iiiCii
iCiCCi
iCiCiiii
'r'rm L
RRML
'L L L
'r'rm 0 0 RRM
'r'rmR'rm
'rRmRRm
)'rR()'rR(mrrmL
,
'F'rF'r
R)'rm()]FF('r[
)Rr('rm
'r'rm'r'rm'r'rm
dt
d
dt
'Ld
'M
dt
'Ld
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
ii
n
ji
1j
n
1i
Ciiji
n
1i
ii
n
1i
Ciii
n
1i
iii
n
1i
iii
n
1i
iii
的证明质心系中的角动量定理
'MF'r
dt
'Ld
0F'r,F//)'r'r(
F'rF'r
dt
'Ld
'M
dt
'Ld
n
1i
ii
n
1i
1n
ji
1j
jiijiji
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
ii
时若的证明质心系中的角动量定理相对质心动能质心动能总动能
'rm
2
1
RM
2
1
T
'rmR'rm
2
1
RM
2
1
)'rR(m
2
1
rm
2
1
T
2
ii
2
C
iiC
2
ii
2
C
2
iCi
2
ii
§ 1.5 克尼希定理
0
00
F r o tF
Sd)F(rdF
S
保守力：
U F,
) 0)rU( ( rdF)r(U:
FFF
zyx
kji
F
k
z
j
y
i
x
o
r
r
zyx
o
力势能
zayaxaF
zayaxaF
zayaxaF
,
333231z
232221y
131211x
为已知作用在质点上的力例试计算其势能。
如这些条件满足在才有势能存什么条件应满足问都是常数式中系数
,?
,
a,
) 1,2,3j ( a
ij
ij
才有势能存在。
时，
力场必是无旋场，即解：要满足势能存在，
aa
y
F
x
F
aa
z
F
x
F
aa
z
F
y
F
0
FFF
zyx
kji
1221
xy
1331
xz
2332
yz
zyx
）yza2xza2xya2zayaxa(
2
1
)za
2
1
yzaxza()ya
2
1
xya(xa
2
1
dz)zayaxa(
dy)zayaxa(dx)zayaxa(
dzFdyFdxFrdFU
zayaxaF
zayaxaF
zayaxaF
231312
2
33
2
22
2
11
2
332313
2
2212
2
11
z,y,x
0,y,x
333231
0,y,x
0,0,x
232221
0,0,x
0,0,0
131211
z,y,x
0,y,x
z
0,y,x
0,0,x
y
0,0,x
0,0,0
x
z,y,x
0,0,0
333231z
232221y
131211x
§ 1.1 经典力学基础 ——,原理,
牛顿三大定律
§ 1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿第二定律矢量表达式
F = dP/dt = d(mv)/dt
若 m 为常数,F = mdv /dt = ma
1、直角坐标系
Fx = mdvx /dt = max
Fy = mdvy /dt = may
Fz = mdvz /dt = maz
例题：假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧毁时，有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速 vo
抛出，已知空气阻力与速度成正比，即 f = - kv
（ k 为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程。
解,牛顿第二定律,mg + f = mg - kv = mdv/dt
建立坐标系,x 轴 —— vo 方向 ;
y 轴 —— 垂直向下方向。
初始条件,t = 0,xo = 0,yo = 0,zo = 0；
vxo = vo,vyo = 0,vzo = 0;
运动微分方程,- kvx = mdvx /dt
mg - kvy = mdvy /dt
0 = mdvz /dt
运动微分方程,- kvx = mdvx /dt
mg - kvy = mdvy /dt
0 = mdvz /dt
x方向,dvx / vx = - (k/ m) dt
→ v x = vo e - kt/m
y方向,- kdvy/(mg-kvy) = -(k/ m)dt
→ v y = (mg/k)(1-e - kt/m )
z方向,dvz = 0 → v z = vzo = 0
vx = vo e - kt/m
vy = (mg /k)( 1- e - kt/m )
vz = 0
vx = vo e - kt/m,vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ),vz = 0
→ x - xo = ∫ot vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m )
→ y - yo = ∫ot (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt
= mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )
→ z - zo = ∫ot 0 dt = 0
运动方程,x = (mvo /g)( 1- e - kt/m )
y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )
z = 0
→ kt/m = - ln( 1-kx/mvo )
轨迹方程,y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvo
z = 0
§ 1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
2、平面极坐标系 (r,φ)
与 直角坐标系关系,
(1) (x,y) → (r,φ)
x = r cosφ
y = r sinφ
vx= vr cosφ-vφsin φ
vy= vr sinφ+ vφ cosφ
r
vφ
o
x
y ro
φ
c o srs i nrv
s i nr -c o srv
y
x
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c o ss i n
s i nc o s
v
v
y
x
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v
v r
y
x
§ 1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
2、平面极坐标系 (r,φ)
(2) ( vx,vy ) → ( vr,vφ)
dt
d
rrv
dt
dr
rv
r
rr
rr
c o ss i n
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a
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2
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s i nr -c o srv
y
x
(3) ( ax,ay ) → ( ar,aφ)
作 业已知球坐标系与直角坐标系关系,
x = r sin? cos?
y = r sin? sin?
z = r cos?
推导球坐标系（ r,?,φ）中的
（ 1）速度分量（ v r,v?,vφ ）；
（ 2）加速度分量（ a r,a?,aφ ） 。
y
x
z
q1
q2
q3
e1
e2
e3
o
3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式
x = x(q1,q2,q3 ),y = y(q1,q2,q3 ),z = z(q1,q2,q3 )
ii
iii
i
ii
i
2
i
2
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iiii
321
q
r
H
1
e eH
q
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H,
) 3 2 1i ( k
q
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j
q
y
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x
q
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k zj yi x)q,q,q(rr
或同向点的切线单位向量坐标线在与拉密系数
，，
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
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3
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1
ii
iii
i
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qHqHqHvvv,
ji,1
ji,0
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eqHeqHeqH
dt
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q
r
dt
dq
q
r
dt
dq
q
r
dt
rd
v,
q
r
H
1
e eH
q
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弧元速率正交性正交曲线坐标系速度或
2
iiiii
i
3
3
2
2
1
1iii
iii
ii
ii
ii
v
2
1
v
vv
q
v
2
1
q
v
v
q
r
v
q
r
q
q
r
q
q
r
q
q
r
qdt
rd
v
q
r
dt
d
v
q
r
v
dt
d
q
r
dt
vd
Ha
q
r
H
1
dt
vd
eaa
,
分量加速度在基矢方向上的
iii
iiii
ii
iii
iiii
ii
iiii
ii
q
T
q
T
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H
v
T
v
q
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qdt
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q
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v
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q
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q
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q
q
r
q
q
r
v
v
r
v
q
r
dt
d
v
q
r
v
dt
d
Ha
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
22
2
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
2
i
a,,
,
则加速度令例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式。
zz,s i nry,cosrx, φφ坐标变换解
10s i nc o s
r
z
r
y
r
xH 222222
r
r0c o srs i nrzyxH 22222
222
1100
z
z
z
y
z
xH 222222
z
zzHv
rHv
rrHv,
zz
rr
分量
)zrr(
v
T
zrrv
2222
2
2222
2
1
2
)zrr(T 222221
z
z
T
z
T
dt
d
H
rrrrr
r
r
dt
d
r
TT
dt
d
H
a
rr
r
T
r
T
dt
d
H
z
z
r
1
22
1
0
11
1
2
2
2
a
][
a,
r
加速度
4、球坐标系（作业）
C B
L
A
O x
y
rd
ω
θ
例：细杆 OL 绕 O 点以匀角速 ω转动，并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动,d
为常数。试求小环的速度及加速度的量值。
i
d
dx
xid
dt
vd
a
i
d
dx
id
dt
rd
v
jditgdjyixr
tg s e c
s e c
OC
O x y
2
22
222
22
2
22
1
设
。建立直角坐标系解：方法
C
BA
O
d
ω
θ
or?
o
d
dx
s e cd
)s e cd(-)tgs e cd(v
s e cdr tgs e cd
rr rv
)s e ctg( s e cdr
tgs e cdtgs e cdr
s e cdr
2
22
2
22
oo
oo
322
建立极坐标系方法
2
22
2
2
22
2
22
2222
r
22
22
23222
r
322
d
dx
x2
d
x
d
dx
d2
tgs e cd2
tg1tgs e cd2aaa
tgs e cd2tgs e cd2r2ra
tgs e cd2
s e cd)s e ctg( s e cdrra
)s e ctg( s e cdr
tgs e cdtgs e cdr
2
建立极坐标系方法
C1
C2
r M
A φ
φo
φ
例：小船 M 被水流冲走后，
用一绳将它拉回岸 A边点。
假定水速 C1 沿河宽不变，
而拉绳子的速度则为 C2 。
如小船可以看成一个质点，
求小船的轨迹。
1
2
oo
C
C
o
o
o1
2
o
1
2
r
r
1
2
1
2
φ
r
1φ2r
)2/(tg
2/(tg
rr
)2/(tg
)2/(tg
ln
C
C
r
r
ln
d
s i nC
C
r
dr
d
s i nC
C
r
dr
s i nC
C
rd
dr
v
v
s i nC
dt
d
rv,- C
dt
dr
v,
,
已知根据题意采用极坐标系解
mg
v
P
θ
y
xo
-b
-a a
t
gbvgdyv d v
gdyv d v
ds
dy
mgv
ds
dv
m
v
ds
dv
dt
ds
ds
dv
dt
dv
θ
ds
dy
mgP
v
m
mg
dt
dv
m
b
2
1
0
2
s i n
2 c o s
1 s i n
::
v
0
）代入（
，，
）（
）（
动力学方程解
例：求质量为 m 小球无摩擦从长轴的端点静止滑动到椭圆的最低点时，它对椭圆的压力 P。
5、自然坐标系 (自学 )
mg
v
P
θ
y
xo
-b
-a a
t
.
b
a
y
y1
a
b
y0y0xby
a
x
1
a
bx
a
x
1
a
b
y
a
x
1x
a
b
y
a
x
1by1
b
y
a
x
22/32
2
2/3
2
2
4
2
2/1
2
2
2
2/1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
）（
曲率半径：
，，在最低点时：
，
椭圆方程：
mg
v
P
θ
y
xo
-b
-a a
t
1
a
b2
mgP,0
c o smg
a
gb2
mP
c o smgP
a
gb2
m
c o smgP
v
m
:)2(
b
a
y
y1
2
2
2
2
2
2
2
22/32
时在得，代入
）（
曲率半径：
§ 1.2 动量定律一、质心
RC= ∑mi ri /∑mi = ∑mi ri /M
质心定理,MdvC /dt2 Md2RC /dt2 = F
二、质点组运动的分解,平动 + 转动地面参照系 质心参照系
ri = RC + ri’
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
ii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jiC
n
1i
ii
n
1i
1n
ji
1j
jiiC
n
1i
ii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
ji
1j
n
1i
iiji
n
1i
ii
n
1i
iii
n
1i
iii
n
1i
iii
F'rFr
F'rFRFr
F)'rR(Fr
FrFr)]FF(r[
rrmrrmrrm
dt
d
dt
Ld
§ 1.4 动量定律
n
1i
1n
ji
1j
jiji
n
1i
1n
ji
1j
jij
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jij
n
1i
1n
ji
1j
ijj
n
1i
1n
ji
1j
jii
F)'r'r(
2
1
F'r
2
1
F'r
2
1
F'r
2
1
F'r
2
1
F'r
F'rF'rF'r
所以因为角动量定理则若
MFr
dt
Ld
,
0F'r F//)'r'r(
F)'r'r(
2
1
F'r
F'rFr
dt
Ld
n
1i
ii
n
1i
1n
ji
1j
jiijiji
n
1i
1n
ji
1j
jiji
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
ii
量质点组相对质心的角动’
转动的角动量质点绕地面参照系原点总角动量转动的分解
iii
CCC
C
iiiCC
iiiCii
iCiCCi
iCiCiiii
'r'rm L
RRML
'L L L
'r'rm 0 0 RRM
'r'rmR'rm
'rRmRRm
)'rR()'rR(mrrmL
,
'F'rF'r
R)'rm()]FF('r[
)Rr('rm
'r'rm'r'rm'r'rm
dt
d
dt
'Ld
'M
dt
'Ld
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
ii
n
ji
1j
n
1i
Ciiji
n
1i
ii
n
1i
Ciii
n
1i
iii
n
1i
iii
n
1i
iii
的证明质心系中的角动量定理
'MF'r
dt
'Ld
0F'r,F//)'r'r(
F'rF'r
dt
'Ld
'M
dt
'Ld
n
1i
ii
n
1i
1n
ji
1j
jiijiji
n
1i
1n
ji
1j
jii
n
1i
ii
时若的证明质心系中的角动量定理相对质心动能质心动能总动能
'rm
2
1
RM
2
1
T
'rmR'rm
2
1
RM
2
1
)'rR(m
2
1
rm
2
1
T
2
ii
2
C
iiC
2
ii
2
C
2
iCi
2
ii
§ 1.5 克尼希定理
0
00
F r o tF
Sd)F(rdF
S
保守力：
U F,
) 0)rU( ( rdF)r(U:
FFF
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kji
F
k
z
j
y
i
x
o
r
r
zyx
o
力势能
zayaxaF
zayaxaF
zayaxaF
,
333231z
232221y
131211x
为已知作用在质点上的力例试计算其势能。
如这些条件满足在才有势能存什么条件应满足问都是常数式中系数
,?
,
a,
) 1,2,3j ( a
ij
ij
才有势能存在。
时，
力场必是无旋场，即解：要满足势能存在，
aa
y
F
x
F
aa
z
F
x
F
aa
z
F
y
F
0
FFF
zyx
kji
1221
xy
1331
xz
2332
yz
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）yza2xza2xya2zayaxa(
2
1
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2
1
yzaxza()ya
2
1
xya(xa
2
1
dz)zayaxa(
dy)zayaxa(dx)zayaxa(
dzFdyFdxFrdFU
zayaxaF
zayaxaF
zayaxaF
231312
2
33
2
22
2
11
2
332313
2
2212
2
11
z,y,x
0,y,x
333231
0,y,x
0,0,x
232221
0,0,x
0,0,0
131211
z,y,x
0,y,x
z
0,y,x
0,0,x
y
0,0,x
0,0,0
x
z,y,x
0,0,0
333231z
232221y
131211x
