1
第一章 集与集类
n
R中的点集
集与集的运算是测度与积分理论的基础,本章先介绍集论的一些基本内容,包括集与集的运算,可数集和基数,一些具有某些运算封闭性的集类如环与?σ代数等,然后介绍
n
R中的一些常见的点集,
§ 1.1 集与集的运算
教学目的 集合论是本课程的基础,本节将引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的运算的基本概念,
本节要点 De Morgan公式是以后常用的公式,证明两个集的相等是经常要遇到论证,应通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的极限,学生应注意理解其概念,
集是数学的基本概念之一,它不能用其它更基本的数学概念严格定义之,只能给予一种描述性的说明,
集的定义 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集(或集合),
例如,数学分析中的实数集,有理数集,函数的定义域和值域,满足某些给定条件的数列或函数的全体所成的集等都是常用的集,几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平面或空间的点所构成的集,
一般用大写字母如A,B,C等表示集,用小写字母如a,b,c等表示集的元素,若a是集
A的元素,则用记号Aa∈表示(读作a属于A),若a不是集A的元素,则用记号Aa?表示
(读作a不属于A),
不含任何元素的集称为空集,用符号?表示,约定分别用
1
R,Q,N和Z表示实数集,有理数集,自然数集和整数集,
集的表示方法
第一种方法,列举法,即列出给定集的全部元素,例如
}.,12,,5,3,1{
}.,,{
nullnull?=
=
nB
cbaA
第二种方法,描述法,当集A是由具有某种性质P的元素的全体所构成时,用下面的方式表示集A,
2
}.:{ PxxA具有性质=
例如,设f是定义在
1
R上的实值函数,则f的零点所成的集A可表示成
}.0)(:{ == xfxA
集的相等与包含 设A和B是两个集,如果A和B具有完全相同的元素,则称A与B
相等,记为A=B,如果A的元素都是B的元素,则称A是B的子集,记为BA? (读作A包含与B),或AB? (读作B包含A),若BA?并且,BA ≠则称A为B的真子集,按照这个定义,空集?是任何集的子集,由定义知道当且仅当BA = BA?并且.AB?
集的运算
并运算与交运算 设A和B是两个集,由A和B的所有元素所构成的集称为A与B的并集,简称为并(图1—1),记为.BA∪ 即
}.:{ BxAxxBA ∈∈=∪或者
由同时属于A和B的元素所构成的集称为A与B的交集,简称为交(图1—2),记为.BA∩
即
}.:{ BxAxxBA ∈∈=∩并且
若,?=∩ BA 则称A与B不相交.此时称BA∪为A与B的不相交并
图1—1 图1—2
设T是一非空集(T 可以是有限集或无限集),
Ttt
A
∈
}{是一族集,这一族集的并集和交集分别定义为
∪
Tt
tt
AxTtxA
∈
∈∈= },,:{使得存在某个
∩
Tt
tt
AxTtxA
∈
∈∈= }.,:{个对每
当T=N为自然数集时,
∪
N∈n
n
A和
∩
N∈n
n
A分别记成
∪
∞
=1n
n
A和,
1
∩
∞
=n
n
A 分别称为}{
n
A的可数并
BA∪
B
B
BA∩
AA
3
和可数交,
并与交的运算性质
(1),,AAAAAA =∩=∪ (幂等性)
(2),,?=?∩=?∪ AAA
(3),,ABBAABBA ∩=∩∪=∪ (交换律)
(4) ),()( CBACBA ∪∪=∪∪
).()( CBACBA ∩∩=∩∩ (结合律)
(5) ),.()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩
).()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ (分配率),
分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形,
( )
∪∪
TtTt
tt
BABA
∈∈
∩=∩,)(
∩∩
∪∪
TtTt
tt
BABA
∈∈
= ).()(
差运算与余运算 设A和B是两个集,由A中的不属于B的那些元素所构成的集称为A
与B的差集(图1—3),记为BA?或\AB,即
}.:{ BxAxxBA?∈=?并且
通常我们所讨论的集都是某一固定集X的子集,X称为全空间,我们称全空间X与子集A的差集AX?为A的余集(图1—4),记为
C
A,设A和B是两个集,称集
)()( ABBA?∪?为A与B的对称差集,记为.BA?
图1—3 图1—4
容易知道关于差运算和余运算成立以下性质,
.)8(
.,)7(
.,)6(
C
CC
CC
BABA
XX
AAXAA
∩=?
==
=∩=∪
A
B
BA?
A
C
A
X
4
关于余运算还成立下面重要的运算法则,
定理1 (De Morgan公式)设
Ttt
A
∈
)(是一族集,则
∩∪
Tt
C
t
C
Tt
t
AA
∈∈
=)().i( (并的余集等于余集的交),
)ii(
∪∩
Tt
C
t
C
Tt
t
AA
∈∈
=)( (交的余集等于余集的并),
证明 ).i(设,)(
C
Tt
t
Ax
∪
∈
∈ 则.
∪
Tt
t
Ax
∈
故对任意,Tt ∈,
t
Ax? 即对任意,Tt ∈
.
c
t
Ax∈ 因此.
∩
Tt
c
t
Ax
∈
∈这表明.)(
∩∪
Tt
c
t
C
Tt
t
AA
∈∈
上述推理可以反过来,即从
∩
Tt
c
t
Ax
∈
∈
可以推出.)(
C
Tt
t
Ax
∪
∈
∈ 这表明.)(
C
Tt
t
Tt
c
t
AA
∪∩
∈∈
因此)i(成立,类似地可以证明).ii( ■
定理1的证明过程是证明两个集相等的典型方法,
例1 设}{
n
f是定义在集X上的一列实值函数,令.}.0)(lim:{ ==
∞→
xfxA
n
n
.}
1
)(:{
11
∩∪∩
∞
=
∞
=
∞
=
<=
km mn
n
k
xfxA (1)
证明 由于0)(lim =
∞→
xf
n
n
当且仅当对任意,1≥k 存在,1≥m 使得对任意mn ≥成立
.
1
)(
k
xf
n
< 因此我们有
.}
1
)(:{
}
1
)(:{,1
}
1
)(:{,1,1
}
1
)(:{,,1,1
11
1
∩∪∩
∪∩
∩
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
<∈?
<∈≥
<∈≥?≥
<∈≥?≥?≥∈
km mn
n
mmn
n
mn
n
n
k
xfxx
k
xfxxk
k
xfxxmk
k
xfxxmnmkAx
使得使得
因此(1)成立.■
在例1中,集A的表达式(1)看起来较复杂,但它是通过比较简单的集}
1
)(:{
k
xfx
n
<
的运算得到的,以后会看到集的这种表示方法是很有用的,
乘积集 设
n
AA,,
1
null为n个集,称集
},,1,:),,{(
1
niAxxx
iin
nullnull =∈
为
n
AA,,
1
null的乘积集(简称为乘积),记为
n
AA ××null
1
或者
∏
=
n
i
i
A
1
,
例如,二维欧氏空间
2
R可以看作是
1
R与
1
R的乘积,即
112
RRR ×= (见图1—5),
5
图1—5
又例如,],[],[ dcbaE ×=就是平面上的长方形,
集列的极限 设}{
n
A是一列集,称集
xx,{属于无穷多个}1,≥nA
n
为集列}{
n
A的上极限,记为.lim
n
n
A
∞→
称集
xx,{至多不属于有限多个}1,≥nA
n
为集列}{
n
A的下极限,记为.lim
n
n
A
∞→
显然?
∞→
n
n
Alim,lim
n
n
A
∞→
若=
∞→
n
n
Alim,lim
n
n
A
∞→
则称集列
}{
n
A存在极限,并称=A =
∞→
n
n
Alim
n
n
A
∞→
lim为集列}{
n
A的极限,记为.lim
n
n
A
∞→
定理2 设}{
n
A是一列集,则
∪∩∩∪
∞
=
∞
=
∞→
∞
=
∞
=
∞→
==
11
.lim,lim
nnk
kn
n
nnk
kn
n
AAAA
证明 我们有
.},1:{
},,1:{
}1,:{lim
1
∩∪∪
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
=∈≥=
∈≥≥=
≥=
nnk
k
nk
k
k
nn
n
AAxnx
Axnknx
nAxxA
对任意使得存在对任意属于无穷多个
类似地可证明第二式.■
设}{
n
A是一列集,若对每个,1≥n 均有
1+
nn
AA (相应地
nn
AA?
+1
),则称}{
n
A是单调增加的,记为
↑n
A (相应地,单调减少的,记为
↓
n
A ),单调增加和单调减少的集列统称为单调集列,
定理3 单调集列必存在极限,并且
O
1
R
1
x
2
x
),(
21
xx
1
R
2
R
6
.lim,).ii(
.lim,).i(
1
1
∩
∪
∞
=
∞→
∞
=
∞→
=
↓
=
↑
n
nn
n
n
n
nn
n
n
AAA
AAA
则若则若
证明 ).i( 因为
↑n
A,故对任意,1≥n 有,
n
nk
k
AA =
∞
=
∩
,
1
∪∪
∞
=
∞
=
=
k
k
nk
k
AA 因此由定理2
得到
.lim
11
∪∪∩
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
==
n
n
nnk
kn
n
AAA
.lim
1111
∪∩∪∩∪
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
===
k
k
nk
k
nnk
kn
n
AAAA
所以.limlim
1
∪
∞
=
∞→
∞→
==
n
nn
n
n
n
AAA这表明
n
n
A
∞→
lim存在,并且.lim
1
∪
∞
=
∞→
=
n
nn
n
AA类似可证明结论
).ii( ■
例2 设].
1
1,0(],
1
1,0(
n
B
n
A
nn
+=?= 则,,
↓↑ nn
BA并且
),1,0(lim
1
==
∞
=
∞→
∪
n
nn
n
AA ].1,0(lim
1
==
∞
=
∞→
∩
n
nn
n
BB
集的特征函数 设A是X的子集,令
∈
=
.0
1
)(
Ax
Ax
xI
A
若若
则)(xI
A
为定义在X上的函数,称之为A的特征函数,
小 结 本节介绍了集的基本概念,集的运算和运算性质,这些知识是本课程的基础,证明两个集的相等是经常会遇到的,应掌握其证明方法,De Morgan公式很重要,以后会经常用到,例1中把一个集分解为一些较简单的集的运算,是应该掌握的有用的技巧,集列的极限是一种与数列极限不同的极限,应正确理解其概念,
习 题 习题一,第1题—第9题
,
第一章 集与集类
n
R中的点集
集与集的运算是测度与积分理论的基础,本章先介绍集论的一些基本内容,包括集与集的运算,可数集和基数,一些具有某些运算封闭性的集类如环与?σ代数等,然后介绍
n
R中的一些常见的点集,
§ 1.1 集与集的运算
教学目的 集合论是本课程的基础,本节将引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的运算的基本概念,
本节要点 De Morgan公式是以后常用的公式,证明两个集的相等是经常要遇到论证,应通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的极限,学生应注意理解其概念,
集是数学的基本概念之一,它不能用其它更基本的数学概念严格定义之,只能给予一种描述性的说明,
集的定义 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集(或集合),
例如,数学分析中的实数集,有理数集,函数的定义域和值域,满足某些给定条件的数列或函数的全体所成的集等都是常用的集,几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平面或空间的点所构成的集,
一般用大写字母如A,B,C等表示集,用小写字母如a,b,c等表示集的元素,若a是集
A的元素,则用记号Aa∈表示(读作a属于A),若a不是集A的元素,则用记号Aa?表示
(读作a不属于A),
不含任何元素的集称为空集,用符号?表示,约定分别用
1
R,Q,N和Z表示实数集,有理数集,自然数集和整数集,
集的表示方法
第一种方法,列举法,即列出给定集的全部元素,例如
}.,12,,5,3,1{
}.,,{
nullnull?=
=
nB
cbaA
第二种方法,描述法,当集A是由具有某种性质P的元素的全体所构成时,用下面的方式表示集A,
2
}.:{ PxxA具有性质=
例如,设f是定义在
1
R上的实值函数,则f的零点所成的集A可表示成
}.0)(:{ == xfxA
集的相等与包含 设A和B是两个集,如果A和B具有完全相同的元素,则称A与B
相等,记为A=B,如果A的元素都是B的元素,则称A是B的子集,记为BA? (读作A包含与B),或AB? (读作B包含A),若BA?并且,BA ≠则称A为B的真子集,按照这个定义,空集?是任何集的子集,由定义知道当且仅当BA = BA?并且.AB?
集的运算
并运算与交运算 设A和B是两个集,由A和B的所有元素所构成的集称为A与B的并集,简称为并(图1—1),记为.BA∪ 即
}.:{ BxAxxBA ∈∈=∪或者
由同时属于A和B的元素所构成的集称为A与B的交集,简称为交(图1—2),记为.BA∩
即
}.:{ BxAxxBA ∈∈=∩并且
若,?=∩ BA 则称A与B不相交.此时称BA∪为A与B的不相交并
图1—1 图1—2
设T是一非空集(T 可以是有限集或无限集),
Ttt
A
∈
}{是一族集,这一族集的并集和交集分别定义为
∪
Tt
tt
AxTtxA
∈
∈∈= },,:{使得存在某个
∩
Tt
tt
AxTtxA
∈
∈∈= }.,:{个对每
当T=N为自然数集时,
∪
N∈n
n
A和
∩
N∈n
n
A分别记成
∪
∞
=1n
n
A和,
1
∩
∞
=n
n
A 分别称为}{
n
A的可数并
BA∪
B
B
BA∩
AA
3
和可数交,
并与交的运算性质
(1),,AAAAAA =∩=∪ (幂等性)
(2),,?=?∩=?∪ AAA
(3),,ABBAABBA ∩=∩∪=∪ (交换律)
(4) ),()( CBACBA ∪∪=∪∪
).()( CBACBA ∩∩=∩∩ (结合律)
(5) ),.()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩
).()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ (分配率),
分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形,
( )
∪∪
TtTt
tt
BABA
∈∈
∩=∩,)(
∩∩
∪∪
TtTt
tt
BABA
∈∈
= ).()(
差运算与余运算 设A和B是两个集,由A中的不属于B的那些元素所构成的集称为A
与B的差集(图1—3),记为BA?或\AB,即
}.:{ BxAxxBA?∈=?并且
通常我们所讨论的集都是某一固定集X的子集,X称为全空间,我们称全空间X与子集A的差集AX?为A的余集(图1—4),记为
C
A,设A和B是两个集,称集
)()( ABBA?∪?为A与B的对称差集,记为.BA?
图1—3 图1—4
容易知道关于差运算和余运算成立以下性质,
.)8(
.,)7(
.,)6(
C
CC
CC
BABA
XX
AAXAA
∩=?
==
=∩=∪
A
B
BA?
A
C
A
X
4
关于余运算还成立下面重要的运算法则,
定理1 (De Morgan公式)设
Ttt
A
∈
)(是一族集,则
∩∪
Tt
C
t
C
Tt
t
AA
∈∈
=)().i( (并的余集等于余集的交),
)ii(
∪∩
Tt
C
t
C
Tt
t
AA
∈∈
=)( (交的余集等于余集的并),
证明 ).i(设,)(
C
Tt
t
Ax
∪
∈
∈ 则.
∪
Tt
t
Ax
∈
故对任意,Tt ∈,
t
Ax? 即对任意,Tt ∈
.
c
t
Ax∈ 因此.
∩
Tt
c
t
Ax
∈
∈这表明.)(
∩∪
Tt
c
t
C
Tt
t
AA
∈∈
上述推理可以反过来,即从
∩
Tt
c
t
Ax
∈
∈
可以推出.)(
C
Tt
t
Ax
∪
∈
∈ 这表明.)(
C
Tt
t
Tt
c
t
AA
∪∩
∈∈
因此)i(成立,类似地可以证明).ii( ■
定理1的证明过程是证明两个集相等的典型方法,
例1 设}{
n
f是定义在集X上的一列实值函数,令.}.0)(lim:{ ==
∞→
xfxA
n
n
.}
1
)(:{
11
∩∪∩
∞
=
∞
=
∞
=
<=
km mn
n
k
xfxA (1)
证明 由于0)(lim =
∞→
xf
n
n
当且仅当对任意,1≥k 存在,1≥m 使得对任意mn ≥成立
.
1
)(
k
xf
n
< 因此我们有
.}
1
)(:{
}
1
)(:{,1
}
1
)(:{,1,1
}
1
)(:{,,1,1
11
1
∩∪∩
∪∩
∩
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
<∈?
<∈≥
<∈≥?≥
<∈≥?≥?≥∈
km mn
n
mmn
n
mn
n
n
k
xfxx
k
xfxxk
k
xfxxmk
k
xfxxmnmkAx
使得使得
因此(1)成立.■
在例1中,集A的表达式(1)看起来较复杂,但它是通过比较简单的集}
1
)(:{
k
xfx
n
<
的运算得到的,以后会看到集的这种表示方法是很有用的,
乘积集 设
n
AA,,
1
null为n个集,称集
},,1,:),,{(
1
niAxxx
iin
nullnull =∈
为
n
AA,,
1
null的乘积集(简称为乘积),记为
n
AA ××null
1
或者
∏
=
n
i
i
A
1
,
例如,二维欧氏空间
2
R可以看作是
1
R与
1
R的乘积,即
112
RRR ×= (见图1—5),
5
图1—5
又例如,],[],[ dcbaE ×=就是平面上的长方形,
集列的极限 设}{
n
A是一列集,称集
xx,{属于无穷多个}1,≥nA
n
为集列}{
n
A的上极限,记为.lim
n
n
A
∞→
称集
xx,{至多不属于有限多个}1,≥nA
n
为集列}{
n
A的下极限,记为.lim
n
n
A
∞→
显然?
∞→
n
n
Alim,lim
n
n
A
∞→
若=
∞→
n
n
Alim,lim
n
n
A
∞→
则称集列
}{
n
A存在极限,并称=A =
∞→
n
n
Alim
n
n
A
∞→
lim为集列}{
n
A的极限,记为.lim
n
n
A
∞→
定理2 设}{
n
A是一列集,则
∪∩∩∪
∞
=
∞
=
∞→
∞
=
∞
=
∞→
==
11
.lim,lim
nnk
kn
n
nnk
kn
n
AAAA
证明 我们有
.},1:{
},,1:{
}1,:{lim
1
∩∪∪
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
=∈≥=
∈≥≥=
≥=
nnk
k
nk
k
k
nn
n
AAxnx
Axnknx
nAxxA
对任意使得存在对任意属于无穷多个
类似地可证明第二式.■
设}{
n
A是一列集,若对每个,1≥n 均有
1+
nn
AA (相应地
nn
AA?
+1
),则称}{
n
A是单调增加的,记为
↑n
A (相应地,单调减少的,记为
↓
n
A ),单调增加和单调减少的集列统称为单调集列,
定理3 单调集列必存在极限,并且
O
1
R
1
x
2
x
),(
21
xx
1
R
2
R
6
.lim,).ii(
.lim,).i(
1
1
∩
∪
∞
=
∞→
∞
=
∞→
=
↓
=
↑
n
nn
n
n
n
nn
n
n
AAA
AAA
则若则若
证明 ).i( 因为
↑n
A,故对任意,1≥n 有,
n
nk
k
AA =
∞
=
∩
,
1
∪∪
∞
=
∞
=
=
k
k
nk
k
AA 因此由定理2
得到
.lim
11
∪∪∩
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
==
n
n
nnk
kn
n
AAA
.lim
1111
∪∩∪∩∪
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
===
k
k
nk
k
nnk
kn
n
AAAA
所以.limlim
1
∪
∞
=
∞→
∞→
==
n
nn
n
n
n
AAA这表明
n
n
A
∞→
lim存在,并且.lim
1
∪
∞
=
∞→
=
n
nn
n
AA类似可证明结论
).ii( ■
例2 设].
1
1,0(],
1
1,0(
n
B
n
A
nn
+=?= 则,,
↓↑ nn
BA并且
),1,0(lim
1
==
∞
=
∞→
∪
n
nn
n
AA ].1,0(lim
1
==
∞
=
∞→
∩
n
nn
n
BB
集的特征函数 设A是X的子集,令
∈
=
.0
1
)(
Ax
Ax
xI
A
若若
则)(xI
A
为定义在X上的函数,称之为A的特征函数,
小 结 本节介绍了集的基本概念,集的运算和运算性质,这些知识是本课程的基础,证明两个集的相等是经常会遇到的,应掌握其证明方法,De Morgan公式很重要,以后会经常用到,例1中把一个集分解为一些较简单的集的运算,是应该掌握的有用的技巧,集列的极限是一种与数列极限不同的极限,应正确理解其概念,
习 题 习题一,第1题—第9题
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