82
§3.3
n
R上的可测函数与连续函数
教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系,本节将证明重要的Lusin定理,它表明Lebesgue可测函数可以用性质较好连续函数逼近,这个结果在有些情况下是很有用的,
本节要点 一方面,L可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin定理表明,Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近,Lusin 定理有两个等价形式,另外,作为准备定理的Tietze扩张定理本身也是一个很有用的结果,
在§1.4我们已经给出了在
n
R的任意子集上E连续函数的定义,这里先看两个例子,
例1 考虑
1
R上的Dirichlet函数
=
.0
1
)(
为无理数若为有理数若
x
x
xD
显然)(xD在
1
R上处处不连续,若用Q表示有理数的全体,则将)(xD限制在Q上所得到的函数
Q
D在Q上恒等于1,故
Q
D是Q上的连续函数.(注意D与
Q
D是两个不同的函数),
这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数,
例2 设
k
FF,,
1
null是
n
R上的k个互不相交的闭集,
∪
k
i
i
FF
1=
=,则简单函数
∑
=
=
k
i
Fi
xIaxf
i
1
)()(是F上的连续函数,
证明 设,
0
Fx ∈ 则存在
0
i使得.
0
0 i
Fx ∈ 由于
k
FF,,
1
null互不相交,故
∪
0
ii
i
Fx
≠
,
由于
∪
0
ii
i
F
≠
是闭集,因此
.0),(
0
0
>=
≠
∪
ii
i
Fxdδ
对任意,0>ε 当Fx∈并且δ<),(
0
xxd时,必有.
0
i
Fx∈ 于是
0)()(
0
=? xfxf,ε<
因此)(xf在
0
x连续,所以)(xf在F上连续(图3—1),■
83
图3—1
定理1 设E是
n
R中的Lebesgue可测集,f是E上的连续函数连续,则f是E上
Lebesgue可测函数,
证明 设∈a,
1
R 记}.)(:{}{ axfExafE <∈=<我们证明,存在
n
R中的开集G,
使得
,}{ GEafE ∩=< (1)
事实上,对任意},{ afEx <∈ 由于axf <)(并且f在x连续,故存在x的邻域
),(
x
xU δ,使得当),(
x
xUy δ∈并且Ey∈时,成立.)( ayf < 即
}.{),( afExUE
x
<?∩ δ (2)
令,),(
}{
∪
afEx
x
xUG
<∈
= δ 则G是开集,(2)式表明}.{ afEGE <?∩另一方面,包含关系
GEafE ∩?< }{是显然的,因此(1)式成立,(1)式表明对任意∈a,
1
R }{ afE <是
Lebesgue可测集,因此f是E上Lebesgue可测函数,■
定理2 (Lusin鲁津)设E是
n
R上的Lebesgue可测集,f是E上a.e.有限的Lebesgue可测函数,则对任意,0>δ 存在E的闭子集,
δ
E 使得f是
δ
E上的连续函数(即
δ
E
f在
δ
E
上连续),并且.)( δ
δ
<?EEm
证明 分两步证明,(1) 先设f是简单函数,即
,
1
∑
=
=
k
i
Ei
i
Iaf
其中
k
EE,,
1
null是互不相交的L可测集,.
1
∪
k
i
i
EE
=
= 由§2.3定理6,对任意给定的,0>δ 对每个,,,1 ki null= 存在
X
Y
1
F
0
x
nullnullnull
nullnullnullnullnullnullnull
δ+
0
xδ?
0
x
2
F
3
F
nullnullnull
1
a
2
a
3
a
84
i
E的闭子集,
i
F 使得
.,,1,)( ki
k
FEm
ii
null=<?
δ
令,
1
∪
k
i
i
FE
=
=
δ
则
δ
E是E的闭子集,并且
.)())(()(
11
δ
δ
<?≤?=?
∑
==
k
i
ii
k
i
ii
FEmFEmEEm
∪
由于
∑
=
=
k
i
Fi
E i
Iaf
1
,
δ
由例2知f是
δ
E上的连续函数,
(2) 一般情形,设f是E上的L可测函数.不妨设f是处处有限的.若令
).
1
(,
1 g
g
f
f
f
g
=
+
=
则g是有界可测函数,并且f连续当且仅当g连续,故不妨设f有界,由§3.1推论10,存在简单函数列}{
k
f在E上一致收敛于f,对任给的,0>δ 由已证的情形(1),对每个
k
f存在
E的闭子集
k
F,使得
k
f在
k
F上连续,并且.
2
)(
k
k
FEm
δ
<? 令,
1
∩
∞
=
=
k
k
FE
δ
则
δ
E是E的闭子集,并且
.)())(()(
11
δ
δ
<?≤?=?
∑
∞
=
∞
= k
k
k
k
FEmFEmEEm
∪
由于每个
k
f都在
δ
E上连续并且}{
k
f在
δ
E上一致收敛于f,因此f在
δ
E上连续,■
例3 仍考虑例1中的Dirichlet函数).(xD 设},,{
21
nullrrQ =是有理数集,对任意
,0>δ 令
.)
2
,
2
(
1
11
1
∪
∞
=
++
=
i
i
i
i
i
rrRE
δδ
δ
则
δ
E是闭集,并且
.
2
)
2
,
2
(
)
2
,
2
()(
1
11
1
1
11
1
δ
δδδ
δδ
δ
==≤
=?
∑∑
∞
=
++
∞
=
∞
=
++
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
rrm
rrmERm
∪
由于
δ
E中不含有理数,因此)(xD在
δ
E恒为零,所以)(xD在
δ
E上连续,
85
下面我们将给出鲁津定理另一种形式,为此,先作一些准备,
引理3 若?BA,
n
R是两个闭集并且,?=∩BA ∈ba,,
1
R,ba <则存在
n
R上的一个连续函数f,使得,af
A
= bf
B
=并且∈≤≤ xbxfa,)(
n
R,
证明 容易证明,若A是闭集,则),( Axd作为x的函数在
n
R上连续,并且
0),( =Axd当且仅当Ax∈ (见第一章习题第34题),因此,若令
.
),(),(
),(),(
)(
AxdBxd
AxbdBxad
xf
+
+
=
容易验证f满足所要求的性质.■
定理4 (Tietze扩张定理)设F是
n
R中的闭子集,f是定义在F上的连续函数,则存在
n
R上的连续函数,g 使得,fg
F
= 并且.)(sup)(sup xfxg
FxRx
n
∈∈
=
证明 先设.sup +∞<=
∈
Mf
Fx
令
},
3
{
M
fMA?≤≤?= }.
3
{ Mf
M
B ≤≤=
则BA,是两个闭集并且.?=∩BA 由引理3,存在
n
R上的连续函数,
1
g 使得
,
3
1
M
g
A
=,
3
1
M
g
B
= 并且
∈≤ x
M
xg,
3
)(
1
.
n
R
.,
3
2
)()(
1
FxMxgxf ∈≤?
对函数
1
gf?应用引理3,注意此时gf?的上界是.
3
2
M 因此存在
n
R上的一个连续函数
2
g,使得
∈?≤ xMxg,
3
2
3
1
)(
2
.
n
R
.,
3
2
3
2
3
2
)()(
2
21
FxMMgxgxf ∈
=?≤
这样一直作下去,得到
n
R上的一列连续函数},{
k
g 使得
∈
≤
xMxg
k
k
,
3
2
3
1
)(
1
,
n
R,,2,1 null=k (4)
,,
3
2
)()(
1
FxMxgxf
k
k
i
i
∈
≤?
∑
=
null,2,1=k,(5)
86
由(4)知道级数
∑
∞
=1
)(
k
k
xg在
n
R上一致收敛,记其和为),(xg 则)(xg是
n
R上的连续函数,
而(5)表明在F上).()( xfxg = 并且
,
3
2
3
)()(
1
1
1
M
M
xgxg
k
k
k
k
=
≤≤
∑∑
∞
=
∞
=
∈x,
n
R
因此当f有界时,定理的结论成立,
若)(xf无界,令),(tg)(
1
xfx
=? 则≤)(x?,
2
π
由上面所证,存在
n
R上的连续函数,ψ 使得.?ψ =
F
令)(tg)( xxg ψ=,则g是
n
R上的连续函数并且.fg
F
= ■
定理5 (Lusin鲁津) 设E是
n
R上的Lebesgue可测集,f是E上a.e.有限的Lebesgue
可测函数,则对任意,0>δ 存在
n
R上的连续函数g,使得
.)})()(:({ δ<≠∈ xgxfExm
并且.)(sup)(sup xfxg
ExRx
n
∈∈
≤
证明 由定理2,对任意,0>δ 存在E的闭子集F,使得f在F上连续并且
.)( δ<?FEm 由定理4,存在
n
R上的连续函数,g使得当Fx∈时,).()( xfxg =并且
.)(sup)(sup)(sup xfxfxg
ExFxRx
n
∈∈∈
≤=
由于.)}()(:{ FExgxfEx≠∈ 因此
.)()})()(:({ δ<?≤≠∈ FEmxgxfExm ■
思考题,在直线上的情形,用直线上开集的构造定理给出定理5的另一证明,
小 结 本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节的主要结果是Lusin
定理(有两个等价形式),Lusin定理表明,Lebesgue可测函数可以用连续函数在某种意义下逼近,由于连续函数的具有较好的性质,比较容易处理,因此这个结果在有些情况下是很有用的,本节还证明了Tietze扩张定理,它也是一个很有用的结果,
习 题 习题三,第29题—第31题,
§3.3
n
R上的可测函数与连续函数
教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系,本节将证明重要的Lusin定理,它表明Lebesgue可测函数可以用性质较好连续函数逼近,这个结果在有些情况下是很有用的,
本节要点 一方面,L可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin定理表明,Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近,Lusin 定理有两个等价形式,另外,作为准备定理的Tietze扩张定理本身也是一个很有用的结果,
在§1.4我们已经给出了在
n
R的任意子集上E连续函数的定义,这里先看两个例子,
例1 考虑
1
R上的Dirichlet函数
=
.0
1
)(
为无理数若为有理数若
x
x
xD
显然)(xD在
1
R上处处不连续,若用Q表示有理数的全体,则将)(xD限制在Q上所得到的函数
Q
D在Q上恒等于1,故
Q
D是Q上的连续函数.(注意D与
Q
D是两个不同的函数),
这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数,
例2 设
k
FF,,
1
null是
n
R上的k个互不相交的闭集,
∪
k
i
i
FF
1=
=,则简单函数
∑
=
=
k
i
Fi
xIaxf
i
1
)()(是F上的连续函数,
证明 设,
0
Fx ∈ 则存在
0
i使得.
0
0 i
Fx ∈ 由于
k
FF,,
1
null互不相交,故
∪
0
ii
i
Fx
≠
,
由于
∪
0
ii
i
F
≠
是闭集,因此
.0),(
0
0
>=
≠
∪
ii
i
Fxdδ
对任意,0>ε 当Fx∈并且δ<),(
0
xxd时,必有.
0
i
Fx∈ 于是
0)()(
0
=? xfxf,ε<
因此)(xf在
0
x连续,所以)(xf在F上连续(图3—1),■
83
图3—1
定理1 设E是
n
R中的Lebesgue可测集,f是E上的连续函数连续,则f是E上
Lebesgue可测函数,
证明 设∈a,
1
R 记}.)(:{}{ axfExafE <∈=<我们证明,存在
n
R中的开集G,
使得
,}{ GEafE ∩=< (1)
事实上,对任意},{ afEx <∈ 由于axf <)(并且f在x连续,故存在x的邻域
),(
x
xU δ,使得当),(
x
xUy δ∈并且Ey∈时,成立.)( ayf < 即
}.{),( afExUE
x
<?∩ δ (2)
令,),(
}{
∪
afEx
x
xUG
<∈
= δ 则G是开集,(2)式表明}.{ afEGE <?∩另一方面,包含关系
GEafE ∩?< }{是显然的,因此(1)式成立,(1)式表明对任意∈a,
1
R }{ afE <是
Lebesgue可测集,因此f是E上Lebesgue可测函数,■
定理2 (Lusin鲁津)设E是
n
R上的Lebesgue可测集,f是E上a.e.有限的Lebesgue可测函数,则对任意,0>δ 存在E的闭子集,
δ
E 使得f是
δ
E上的连续函数(即
δ
E
f在
δ
E
上连续),并且.)( δ
δ
<?EEm
证明 分两步证明,(1) 先设f是简单函数,即
,
1
∑
=
=
k
i
Ei
i
Iaf
其中
k
EE,,
1
null是互不相交的L可测集,.
1
∪
k
i
i
EE
=
= 由§2.3定理6,对任意给定的,0>δ 对每个,,,1 ki null= 存在
X
Y
1
F
0
x
nullnullnull
nullnullnullnullnullnullnull
δ+
0
xδ?
0
x
2
F
3
F
nullnullnull
1
a
2
a
3
a
84
i
E的闭子集,
i
F 使得
.,,1,)( ki
k
FEm
ii
null=<?
δ
令,
1
∪
k
i
i
FE
=
=
δ
则
δ
E是E的闭子集,并且
.)())(()(
11
δ
δ
<?≤?=?
∑
==
k
i
ii
k
i
ii
FEmFEmEEm
∪
由于
∑
=
=
k
i
Fi
E i
Iaf
1
,
δ
由例2知f是
δ
E上的连续函数,
(2) 一般情形,设f是E上的L可测函数.不妨设f是处处有限的.若令
).
1
(,
1 g
g
f
f
f
g
=
+
=
则g是有界可测函数,并且f连续当且仅当g连续,故不妨设f有界,由§3.1推论10,存在简单函数列}{
k
f在E上一致收敛于f,对任给的,0>δ 由已证的情形(1),对每个
k
f存在
E的闭子集
k
F,使得
k
f在
k
F上连续,并且.
2
)(
k
k
FEm
δ
<? 令,
1
∩
∞
=
=
k
k
FE
δ
则
δ
E是E的闭子集,并且
.)())(()(
11
δ
δ
<?≤?=?
∑
∞
=
∞
= k
k
k
k
FEmFEmEEm
∪
由于每个
k
f都在
δ
E上连续并且}{
k
f在
δ
E上一致收敛于f,因此f在
δ
E上连续,■
例3 仍考虑例1中的Dirichlet函数).(xD 设},,{
21
nullrrQ =是有理数集,对任意
,0>δ 令
.)
2
,
2
(
1
11
1
∪
∞
=
++
=
i
i
i
i
i
rrRE
δδ
δ
则
δ
E是闭集,并且
.
2
)
2
,
2
(
)
2
,
2
()(
1
11
1
1
11
1
δ
δδδ
δδ
δ
==≤
=?
∑∑
∞
=
++
∞
=
∞
=
++
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
rrm
rrmERm
∪
由于
δ
E中不含有理数,因此)(xD在
δ
E恒为零,所以)(xD在
δ
E上连续,
85
下面我们将给出鲁津定理另一种形式,为此,先作一些准备,
引理3 若?BA,
n
R是两个闭集并且,?=∩BA ∈ba,,
1
R,ba <则存在
n
R上的一个连续函数f,使得,af
A
= bf
B
=并且∈≤≤ xbxfa,)(
n
R,
证明 容易证明,若A是闭集,则),( Axd作为x的函数在
n
R上连续,并且
0),( =Axd当且仅当Ax∈ (见第一章习题第34题),因此,若令
.
),(),(
),(),(
)(
AxdBxd
AxbdBxad
xf
+
+
=
容易验证f满足所要求的性质.■
定理4 (Tietze扩张定理)设F是
n
R中的闭子集,f是定义在F上的连续函数,则存在
n
R上的连续函数,g 使得,fg
F
= 并且.)(sup)(sup xfxg
FxRx
n
∈∈
=
证明 先设.sup +∞<=
∈
Mf
Fx
令
},
3
{
M
fMA?≤≤?= }.
3
{ Mf
M
B ≤≤=
则BA,是两个闭集并且.?=∩BA 由引理3,存在
n
R上的连续函数,
1
g 使得
,
3
1
M
g
A
=,
3
1
M
g
B
= 并且
∈≤ x
M
xg,
3
)(
1
.
n
R
.,
3
2
)()(
1
FxMxgxf ∈≤?
对函数
1
gf?应用引理3,注意此时gf?的上界是.
3
2
M 因此存在
n
R上的一个连续函数
2
g,使得
∈?≤ xMxg,
3
2
3
1
)(
2
.
n
R
.,
3
2
3
2
3
2
)()(
2
21
FxMMgxgxf ∈
=?≤
这样一直作下去,得到
n
R上的一列连续函数},{
k
g 使得
∈
≤
xMxg
k
k
,
3
2
3
1
)(
1
,
n
R,,2,1 null=k (4)
,,
3
2
)()(
1
FxMxgxf
k
k
i
i
∈
≤?
∑
=
null,2,1=k,(5)
86
由(4)知道级数
∑
∞
=1
)(
k
k
xg在
n
R上一致收敛,记其和为),(xg 则)(xg是
n
R上的连续函数,
而(5)表明在F上).()( xfxg = 并且
,
3
2
3
)()(
1
1
1
M
M
xgxg
k
k
k
k
=
≤≤
∑∑
∞
=
∞
=
∈x,
n
R
因此当f有界时,定理的结论成立,
若)(xf无界,令),(tg)(
1
xfx
=? 则≤)(x?,
2
π
由上面所证,存在
n
R上的连续函数,ψ 使得.?ψ =
F
令)(tg)( xxg ψ=,则g是
n
R上的连续函数并且.fg
F
= ■
定理5 (Lusin鲁津) 设E是
n
R上的Lebesgue可测集,f是E上a.e.有限的Lebesgue
可测函数,则对任意,0>δ 存在
n
R上的连续函数g,使得
.)})()(:({ δ<≠∈ xgxfExm
并且.)(sup)(sup xfxg
ExRx
n
∈∈
≤
证明 由定理2,对任意,0>δ 存在E的闭子集F,使得f在F上连续并且
.)( δ<?FEm 由定理4,存在
n
R上的连续函数,g使得当Fx∈时,).()( xfxg =并且
.)(sup)(sup)(sup xfxfxg
ExFxRx
n
∈∈∈
≤=
由于.)}()(:{ FExgxfEx≠∈ 因此
.)()})()(:({ δ<?≤≠∈ FEmxgxfExm ■
思考题,在直线上的情形,用直线上开集的构造定理给出定理5的另一证明,
小 结 本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节的主要结果是Lusin
定理(有两个等价形式),Lusin定理表明,Lebesgue可测函数可以用连续函数在某种意义下逼近,由于连续函数的具有较好的性质,比较容易处理,因此这个结果在有些情况下是很有用的,本节还证明了Tietze扩张定理,它也是一个很有用的结果,
习 题 习题三,第29题—第31题,
