112
§4.5 Lebesgue可积函数的逼近
教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题,本节要证明几个关于积分的逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理,
教学要点Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近,由于连续函数具有较好的性质,因此L可积函数的逼近性质在处理有些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法,
设给定一个测度空间),,,( μFX C是可积函数类)(μL的一个子类,若对任意可积函数)(μLf ∈和,0>ε 存在一个∈g,C 使得,εμ <?
∫
dgf 则称可积函数可以用C
中的函数逼近,
一般测度空间上积分的逼近
定理1 设),,( μFX是一个测度空间,).(μLf ∈ 则对任意,0>ε 存在)(μL中的简单函数,g 使得.εμ <?
∫
dgf
证明 设).(μLf ∈ 由§3.1推论10,存在一个简单函数列},{
n
f 使得}{
n
f处处收敛于f,并且.1,≥≤ nff
n
由于f可积,因此每个
n
f都可积,注意到fff
n
2≤?并且),(0 ∞→→? nff
n
利用控制收敛定理得到
.0lim
∫
=?
∞→
μdff
n
n
因此存在一个,
0
n 使得.
0
εμ <?
∫
dff
n
令
0
n
fg =即知定理成立.■
Lebesgue积分的逼近 设E是
n
R中的L可测集,用)(EL表示E上的Lebesgue可积函数的全体,
定理 2 设E是
n
R上的一个Lebesgue可测集,).(ELf ∈ 则对任意,0>ε 存在
n
R
上具有紧支集的连续函数,g 使得.
E
fgdxε?<
∫
证明 设).(ELf ∈ 先设设
A
If = 是特征函数,其中EA?并且.)( +∞<Am 对任
113
意,0>ε 由§2.3定理6,存在开集G和有界闭集,F 使得,GAF 使得
.)( ε<?FGm 由于F是有界集,因此存在半径充分大的开球),0( rU使得).,0( rUF?
令,)),0((
c
rUGB ∩= 则B是闭集并且.?=∩BF 由§3.3引理3,存在
n
R上的连续函数,g 使得,1=
F
g,0=
B
g 则g是
n
R上具有紧支集的连续函数,注意到,1)(0 ≤≤ xg
我们有
()()
().
EEAA
EA AF
f gdx f gdx f gdx
gdx fdx
mE A mA F
mG F ε
=?+?
=+
≤?+?
≤?<
∫∫ ∫
∫∫
一般情形,由定理1,存在)(EL中的简单函数,? 使得.
2
ε
<?
∫
E
dxf 设.
1
i
A
k
i
i
Ia
∑
=
=?
不妨设,0≠
i
a 则,)( +∞<
i
Am,,,1 ki null= 由上面所证的结果,对每个,,,1 ki null= 存在
n
R上具有紧支集的连续函数,
i
g 使得.
2
i
Ai
E
i
Igdx
ka
ε
<
∫
令,
1
∑
=
=
k
i
ii
gag 则g
是
n
R上具有紧支集的连续函数,我们得到
1
.
222
i
EEE
k
iAi
E
i
f g dx f dx g dx
aIgdx
εεε
ε
=
=?+?
<+? <+=
∫∫∫
∑
∫
■
设],[ ba是直线上的有界闭区间,称型如
i
J
n
i
i
Iaf
∑
=
=
1
的函数为],[ ba上的阶梯函数,
其中
n
JJ,,
1
为],[ ba的互不相交的子区间,由于阶梯函数是有界可测函数,因此每个阶梯函数属于.],[ baL
定理 3 设],[ baLf ∈,则对任意,0>ε 存在],[ ba上的一个阶梯函数g,使得
.
b
a
fgdxε?<
∫
证明 设).(ELf ∈ 类似于定理2的证明,我们不妨设,
A
If = 其中],[ baA?并且
.)( +∞<Am 由§2.3例3,对任意,0>ε存在开集,U U是有限个开区间的并集,使得
..))()(( ε<?∪? AUUAm 显然我们可以设),,( baU? 令,
U
Ig = 则g是阶梯函数,
并且
114
()()
()().
b
AU
aAUA
f gdx I I dx m A U m U A
∪?
≤? =?+?<
∫∫
ε ■
定理4 设∈f ).
1
(RL 则对任意,0>ε 存在
1
R上的一个具有紧支集的阶梯函数,g
使得
1
.fgdxε?<
∫
R
证明 设∈f ).
1
(RL 类似于定理2的证明,我们不妨设,
A
If =其中.)( +∞<Am 令
.,2,1],,[ null=?∩= kkkAA
k
则
↑k
A并且.
1
∪
∞
=
=
k
k
AA 于是).()(lim AmAm
k
k
=
∞→
因此对任意,0>ε 存在
0
k使得.
2
)()(
0
ε
<?
k
AmAm 令.
0
k
A
I=? 则].,[ kkL?∈? 由定理3,存在],[ kk?上的阶梯函数,g 使得.
2
k
k
gdx
ε
<
∫
延拓g的定义使得g在
c
kk ],[?上为零,则g是为
1
R上的具有紧支集的阶梯函数,我们得到
111
0
() ( ),
22
k
k
k
f gdx f dx gdx
mA mA gdx
εε
ε
≤?+?
=? +?<+=
∫∫∫
∫
RRR
■
下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子,
例1 (Riemann-Lebesgue引理)设].,[ baLf ∈ 则
lim ( )cos 0.
b
n a
f x nxdx
→∞
=
∫
(1)
lim ( )sin 0.
b
n a
f x nxdx
→∞
=
∫
(2)
证明 先设
),( βα
If =,其中].,[),( ba?βα 则
sin sin
()cos ()cos 0,.
b
a
nn
f x nxdx f x nxdx n
n
==→∞
∫∫
β
α
βα
于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数,f (1)式成立,现在设].,[ baLf ∈ 对任意
,0>ε 由定理3,存在一个阶梯函数g,使得.
2
ε
<?
∫
b
a
dxgf 由上面证明的结果,存在
,0>N 使得当Nn >时,.
2
cos)(
ε
<
∫
b
a
nxdxxg 于是当Nn >时有
()cos ( () ())cos ()cos
.
2
bb b
aa a
b
a
f x nxdx f x g x nxdx g x nxdx
fgdx
ε
ε
≤? +
≤?+<
∫∫ ∫
∫
115
因此(1)成立,类似地可以证明(2)成立,■
例2 设f是
n
R 上的L可积函数,则
0
lim ( ) ( ) 0.
n
t
fx t fxdx
→
+? =
∫
R
(3)
证明 先设f是具有紧支集的连续函数,则存在闭球),,0( rS使得当),0( rSx?时
.0=f 由于f在),0( rS上连续,因此f在),0( rS上一致连续,因此对任意,0>ε 存在
,0>δ 使得当),,0(,rSxx ∈′′′ δ<′′′ ),( xxd时,成立.)()( ε<′′?′ xfxf 记
).()( txfxf
t
+= 于是当δ<),0( td时,我们有
(0,)
((0,)).
n
tt
Sr
f fdx f fdx mS rε?=?<
∫∫
R
这表明当f是具有紧支集的连续函数时,(3)成立.一般情形,由定理2,存在
n
R上的具有紧支集的连续函数g,使得.
3
n
fgdx
ε
<
∫
R
由上面所证,存在,0>δ 使得当
δ<),0( td时,.
3
n
t
ggdx
ε
<
∫
R
由§4.1例4,有
.
3
nn
tt
f g dx f g dx
ε
=?<
∫∫
RR
于是当δ<),0( td时,我们有
.
333
nn nn
tttt
f fdx fgdxggdxgfdx
εεε
ε
≤?+?+?
<++=
∫∫∫∫
RR RR
因此(3)成立.■
小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理,本节的结果表明Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近,利用积分的逼近定理,可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例1和例2
说明了可积函数的逼近定理的典型方法,
习 题 习题四,第40题—第42题,
§4.5 Lebesgue可积函数的逼近
教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题,本节要证明几个关于积分的逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理,
教学要点Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近,由于连续函数具有较好的性质,因此L可积函数的逼近性质在处理有些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法,
设给定一个测度空间),,,( μFX C是可积函数类)(μL的一个子类,若对任意可积函数)(μLf ∈和,0>ε 存在一个∈g,C 使得,εμ <?
∫
dgf 则称可积函数可以用C
中的函数逼近,
一般测度空间上积分的逼近
定理1 设),,( μFX是一个测度空间,).(μLf ∈ 则对任意,0>ε 存在)(μL中的简单函数,g 使得.εμ <?
∫
dgf
证明 设).(μLf ∈ 由§3.1推论10,存在一个简单函数列},{
n
f 使得}{
n
f处处收敛于f,并且.1,≥≤ nff
n
由于f可积,因此每个
n
f都可积,注意到fff
n
2≤?并且),(0 ∞→→? nff
n
利用控制收敛定理得到
.0lim
∫
=?
∞→
μdff
n
n
因此存在一个,
0
n 使得.
0
εμ <?
∫
dff
n
令
0
n
fg =即知定理成立.■
Lebesgue积分的逼近 设E是
n
R中的L可测集,用)(EL表示E上的Lebesgue可积函数的全体,
定理 2 设E是
n
R上的一个Lebesgue可测集,).(ELf ∈ 则对任意,0>ε 存在
n
R
上具有紧支集的连续函数,g 使得.
E
fgdxε?<
∫
证明 设).(ELf ∈ 先设设
A
If = 是特征函数,其中EA?并且.)( +∞<Am 对任
113
意,0>ε 由§2.3定理6,存在开集G和有界闭集,F 使得,GAF 使得
.)( ε<?FGm 由于F是有界集,因此存在半径充分大的开球),0( rU使得).,0( rUF?
令,)),0((
c
rUGB ∩= 则B是闭集并且.?=∩BF 由§3.3引理3,存在
n
R上的连续函数,g 使得,1=
F
g,0=
B
g 则g是
n
R上具有紧支集的连续函数,注意到,1)(0 ≤≤ xg
我们有
()()
().
EEAA
EA AF
f gdx f gdx f gdx
gdx fdx
mE A mA F
mG F ε
=?+?
=+
≤?+?
≤?<
∫∫ ∫
∫∫
一般情形,由定理1,存在)(EL中的简单函数,? 使得.
2
ε
<?
∫
E
dxf 设.
1
i
A
k
i
i
Ia
∑
=
=?
不妨设,0≠
i
a 则,)( +∞<
i
Am,,,1 ki null= 由上面所证的结果,对每个,,,1 ki null= 存在
n
R上具有紧支集的连续函数,
i
g 使得.
2
i
Ai
E
i
Igdx
ka
ε
<
∫
令,
1
∑
=
=
k
i
ii
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是
n
R上具有紧支集的连续函数,我们得到
1
.
222
i
EEE
k
iAi
E
i
f g dx f dx g dx
aIgdx
εεε
ε
=
=?+?
<+? <+=
∫∫∫
∑
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■
设],[ ba是直线上的有界闭区间,称型如
i
J
n
i
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Iaf
∑
=
=
1
的函数为],[ ba上的阶梯函数,
其中
n
JJ,,
1
为],[ ba的互不相交的子区间,由于阶梯函数是有界可测函数,因此每个阶梯函数属于.],[ baL
定理 3 设],[ baLf ∈,则对任意,0>ε 存在],[ ba上的一个阶梯函数g,使得
.
b
a
fgdxε?<
∫
证明 设).(ELf ∈ 类似于定理2的证明,我们不妨设,
A
If = 其中],[ baA?并且
.)( +∞<Am 由§2.3例3,对任意,0>ε存在开集,U U是有限个开区间的并集,使得
..))()(( ε<?∪? AUUAm 显然我们可以设),,( baU? 令,
U
Ig = 则g是阶梯函数,
并且
114
()()
()().
b
AU
aAUA
f gdx I I dx m A U m U A
∪?
≤? =?+?<
∫∫
ε ■
定理4 设∈f ).
1
(RL 则对任意,0>ε 存在
1
R上的一个具有紧支集的阶梯函数,g
使得
1
.fgdxε?<
∫
R
证明 设∈f ).
1
(RL 类似于定理2的证明,我们不妨设,
A
If =其中.)( +∞<Am 令
.,2,1],,[ null=?∩= kkkAA
k
则
↑k
A并且.
1
∪
∞
=
=
k
k
AA 于是).()(lim AmAm
k
k
=
∞→
因此对任意,0>ε 存在
0
k使得.
2
)()(
0
ε
<?
k
AmAm 令.
0
k
A
I=? 则].,[ kkL?∈? 由定理3,存在],[ kk?上的阶梯函数,g 使得.
2
k
k
gdx
ε
<
∫
延拓g的定义使得g在
c
kk ],[?上为零,则g是为
1
R上的具有紧支集的阶梯函数,我们得到
111
0
() ( ),
22
k
k
k
f gdx f dx gdx
mA mA gdx
εε
ε
≤?+?
=? +?<+=
∫∫∫
∫
RRR
■
下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子,
例1 (Riemann-Lebesgue引理)设].,[ baLf ∈ 则
lim ( )cos 0.
b
n a
f x nxdx
→∞
=
∫
(1)
lim ( )sin 0.
b
n a
f x nxdx
→∞
=
∫
(2)
证明 先设
),( βα
If =,其中].,[),( ba?βα 则
sin sin
()cos ()cos 0,.
b
a
nn
f x nxdx f x nxdx n
n
==→∞
∫∫
β
α
βα
于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数,f (1)式成立,现在设].,[ baLf ∈ 对任意
,0>ε 由定理3,存在一个阶梯函数g,使得.
2
ε
<?
∫
b
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,0>N 使得当Nn >时,.
2
cos)(
ε
<
∫
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nxdxxg 于是当Nn >时有
()cos ( () ())cos ()cos
.
2
bb b
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b
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f x nxdx f x g x nxdx g x nxdx
fgdx
ε
ε
≤? +
≤?+<
∫∫ ∫
∫
115
因此(1)成立,类似地可以证明(2)成立,■
例2 设f是
n
R 上的L可积函数,则
0
lim ( ) ( ) 0.
n
t
fx t fxdx
→
+? =
∫
R
(3)
证明 先设f是具有紧支集的连续函数,则存在闭球),,0( rS使得当),0( rSx?时
.0=f 由于f在),0( rS上连续,因此f在),0( rS上一致连续,因此对任意,0>ε 存在
,0>δ 使得当),,0(,rSxx ∈′′′ δ<′′′ ),( xxd时,成立.)()( ε<′′?′ xfxf 记
).()( txfxf
t
+= 于是当δ<),0( td时,我们有
(0,)
((0,)).
n
tt
Sr
f fdx f fdx mS rε?=?<
∫∫
R
这表明当f是具有紧支集的连续函数时,(3)成立.一般情形,由定理2,存在
n
R上的具有紧支集的连续函数g,使得.
3
n
fgdx
ε
<
∫
R
由上面所证,存在,0>δ 使得当
δ<),0( td时,.
3
n
t
ggdx
ε
<
∫
R
由§4.1例4,有
.
3
nn
tt
f g dx f g dx
ε
=?<
∫∫
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于是当δ<),0( td时,我们有
.
333
nn nn
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f fdx fgdxggdxgfdx
εεε
ε
≤?+?+?
<++=
∫∫∫∫
RR RR
因此(3)成立.■
小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理,本节的结果表明Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近,利用积分的逼近定理,可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例1和例2
说明了可积函数的逼近定理的典型方法,
习 题 习题四,第40题—第42题,
