106
§4.4 Lebesgue积分与Riemann积分
教学目的 本节讨论直线上的Riemann积分(包括广义Riemann积分)
与Lebesgue积分之间的关系.同时给出Riemann可积函数的一个判别条件,
本节要点 用测度理论可以给出函数Riemann可积的一个简明的充要条件,本节的主要结果表明Lebesgue积分是Riemann积分的推广,利用
Lebesgue积分的性质,可以解决一些Riemann积分的问题,
Riemann积分的回顾 设],[ ba是直线上的一个有界闭区间,一个有限序列
},,,{
10 k
xxxP "=称为是],[ ba的一个分割,若.
10
bxxxa
k
=<<<= " 设P和Q是
],[ ba的两个分割,如果,QP? 则称Q是P的一个加细,
设f是定义在],[ ba上的有界实值函数,
k
ii
xP
0
}{
=
=是],[ ba的一个分割,对每个
,,,1 ki "= 令
]}.,[:)(sup{,]},[:)(inf{
11 iiiiii
xxxxfMxxxxfm
∈=∈=
f关于分割P的Darboux下和与Darboux上和分别定义为
.)(),(,)(),(
1
1
1
1 ∑∑
=
=
=?=
k
i
iii
k
i
iii
xxMPfSxxmPfs
),( Pfs和),( PfS的几何意义分别是曲线)(xfy =的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯形与外接阶梯形面积(见引言的插图),显然对],[ ba的任意一个分割P,总有
).,(),( PfSPfs ≤ 又容易验证以下实事,
(1),若
1
P和
2
P是],[ ba的两个分割,并且
2
P是
1
P的加细,则有
),,(),(
21
PfsPfs ≤ ).,(),(
12
PfSPfS ≤
(2).对],[ ba的任意两个分割
1
P和
2
P,总有
).,(),(
21
PfSPfs ≤
因此当P取遍],[ ba的所有分割时,f的下和),( Pfs的全体所成的数集上有界,上和
),( PfS的全体所成的数集下有界.令
},],[:),(sup{)(的分割是baPPfsfI =
}.],[:),(inf{)(的分割是baPPfSfI =
107
分别称I和I为f的下积分和上积分,如果,II = 则称f在],[ ba上是Riemann可积的,并且称I和I的公共值为f在],[ ba上的Riemann积分(简称为R积分),为避免与
Lebesgue积分混淆,下面将f在],[ ba上的Riemann积分和Lebesgue积分分别暂记为
(R)
b
a
fdx
∫
和(L),
b
a
fdx
∫
引理1 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数,则以下三项是等价的;
).i( f在],[ ba上是Riemann可积的
).ii(对任意,0>ε 存在],[ ba的一个分割P,使得
.),(),( ε<? PfsPfS
).iii(存在],[ ba的一列分割},{
n
P 使得
.0)),(),((lim =?
∞→
nn
n
PfsPfS
证明 ).ii()i(? 设f在],[ ba上是Riemann可积的.记=I (R),
b
a
fdx
∫
则对任意
,0>ε 存在],[ ba的两个分割
1
P和
2
P使得
,
2
),(
1
ε
<? PfsI,
2
),(
2
ε
<?IPfS
令.
21
PPP ∪= 则P是
1
P和
2
P的加细,于是我们有
.)),(()),((),(),(),(),(
1212
ε<?+?≤?≤? PfsIIPfSPfsPfSPfsPfS
).iii()ii(?显然
).i()iii(?设
n
P是],[ ba的一列分割,使得
.0)),(),((lim =?
∞→
nn
n
PfsPfS
对任意,0>ε 取
0
n使得.),(),(
00
ε<?
nn
PfsPfS 于是
ε<?≤? ),(),(
00
nn
PfsPfSII,
由于0>ε是任意的,故必有.II =即f在],[ ba上是Riemann可积的.■
Riemann可积的充要条件与两种积分的关系
定理2 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数,则
).i( f在],[ ba上Riemann可积的充要条件是f在],[ ba上几乎处处连续(即f的不连续点的全体是一个Lebesgue零测度集),
).ii(若f是Riemann可积的,则f是Lebesgue可积的,并且两种积分相等,即
(R)
b
a
fdx=
∫
(L),
b
a
fdx
∫
108
证明 设f在],[ ba上是Riemann可积的,由引理1知存在],[ ba的一列分割
)1}(,{
0
≥= nxxP
n
kn
"使得
.0)),(),((lim =?
∞→
nn
n
PfsPfS
我们可适当选取上面的分割序列}{
n
P,使得
1+n
P是
n
P的加细,对每个自然数,1≥n 令
]},,[:)(inf{
1
)(
ii
n
i
xxxxfm
∈=
]}.,[:)(sup{
1
)(
ii
n
i
xxxxfM
∈=,,,1
n
ki "=
再对每个自然数,1≥n 令
.)(,)(
1
],(
)(
1
],(
)(
11
∑∑
==
+=+=
n
ii
n
ii
k
i
xx
n
in
k
i
xx
n
in
IMafhImafg
则}{
n
g和}{
n
h都是简单函数列,并且}{
n
g单调增加,}{
n
h单调减少.而且满足
.1,≥≤≤ nhfg
nn
再令.lim,lim
n
n
n
n
hhgg
∞→∞→
== 由于f是有界的,故g和h都是有界可测函数,并且成立
].,[),()()( baxxhxfxg ∈≤≤ (1)
由控制收敛定理和
n
g与
n
h的定义,我们有
(L) lim(L) lim (,),
bb
nn
nnaa
gdx g dx s f P
→∞ ←∞
==
∫∫
(2)
(L) lim(L) lim (,).
bb
nn
nnaa
hdx h dx S f P
→∞ ←∞
==
∫∫
(3)
由于,0)),(),((lim =?
∞→
nn
n
PfsPfS 结合(2)与(3)得到
(L) ( ) 0.
b
a
hgdx?=
∫
注意到,hg ≤ 由§4.2定理7和上式得到a.e..hg = 因此若令},{ hgA ≠= 则.0)( =Am
再设B是所有分割
n
P的分点的全体,则B是可数集,因此.0)( =∪BAm 容易知道当
BAx ∪?时,f在x连续,因此f在],[ ba上几乎处处连续,故)i(的必要性得证,由于
a.e.,hg = 结合)1(知道a.e..gf = 故f是L可测的,又由于f在],[ ba上是有界的,因此f在],[ ba上是Lebesgue可积的,又由于当∞→n时,
0(R) (,) (,) (,) 0.
b
nnn
a
fdx sfP SfP sfP≤?≤?→
∫
因此 lim (,) (R),
b
n
n a
sfP fdx
→∞
=
∫
再结合(2)我们有
(L) (L) lim (,) (R),
bb b
n
naa a
fdx gdx s f P fdx
→∞
== =
∫∫ ∫
故)ii(得证,
109
往证)i(的充分性,设f在],[ ba上几乎处处连续,又设}{
n
P是],[ ba的一列分割,其中}{
n
P把],[ ba分成
n
2个等长的小区间,按前述方式定义函数g和.h 显然当x是f的连续点时,).()()( xhxfxg == 因此a.e..hg = 由(2)与(3)得到
0)),(),((lim =?
∞→
nn
n
PfsPfS
由引理1知道f在],[ ba上是Riemann可积的,故)i(的充分性得证.■
定理2给出了函数f在],[ ba上Riemann可积的一个简单明了的判别条件,同时也表明
Lebesgue积分是Riemann积分的推广,并且Lebesgue积分的可积函数类比Riemann积分的可积函数类大,在§4.1中我们曾指出]1,0[上的Dirichlet函数)(xD是L可积的,但由于
)(xD在]1,0[上处处不连续,由定理2知道)(xD不是Riemann可积的,这个例子表明
Lebesgue积分的可积函数类严格地大于Riemann积分的可积函数类,
广义Riemann积分与Lebesgue积分的关系 下面仅以无穷区间),[ ∞+a的广义
Riemann积分为例,对其他无穷区间上的广义Riemann积分和无界函数的广义Riemann积分也有类似的结果,
定理3 设f是定义在),[ ∞+a上的实值函数,并且对任意,ab > f在],[ ba上是有界的几乎处处连续的,则有
(R) (L),
aa
f dx f dx
+∞ +∞
=
∫∫
(4)
因此f在),[ ∞+a上Lebesgue可积当且仅当广义Riemann积分(R)
a
fdx
+∞
∫
绝对收敛,并且当(R)
a
fdx
+∞
∫
绝对收敛时,成立
(R) (L),
aa
fdx fdx
+∞ +∞
=
∫ ∫
证明 由定理2知道对任意,ab > f在],[ ba上是Riemann可积的,对每个,an ≥ 令令.
],[ nan
fIf = 则.ff
n ↑
由于每个
n
f是L可测的,因此f是L可测的,由单调收敛定理和定理2,我们有
(L) lim(L) lim(L)
lim (R) (R),
n
n
nnaaa
n
n aa
f dx f dx f dx
f dx f dx
+∞ +∞
→∞ →∞
+∞
←∞∞
==
∫∫∫
∫ ∫
(5)
故(4)成立,因此f在),[ ∞+a上Lebesgue可积当且仅当广义Riemann积分(R)
a
fdx
+∞
∫
绝对收敛.,当(R)
a
fdx
+∞
∫
绝对收敛时,f在),[ ∞+a上是Lebesgue可积的,由于ff
n
≤
并且ff
n
→处处成立,由控制收敛定理和定理2,我们有
110
(L) lim(L) lim(L)
lim (R) (R),
n
n
nnaa a
n
n aa
fdx f dx fdx
fdx fdx
+∞ +∞
→∞ →∞
+∞
←∞∞
==
∫∫∫
∫ ∫
(6)
定理证毕.■
定理2和定理3表明,若f在],[ ba上Riemann可积,或者f在有界或无界区间上的广义Riemann积分绝对收敛,则f是Lebesgue可积的并且这两种积分值相等,在这种情况下,
此时f的Riemann积分可视为Lebesgue积分,因而可以应用Lebesgue积分的性质例如极限定理等,
定理2和定理3也表明,若f在某区间上同时是(正常或者广义)R可积和L可积的,则这两种积分值相等,因此以后f在区间上的R积分和L积分都用
b
a
fdx
∫
和
a
fdx
+∞
∫
等表示,不会发生混淆,
例1 设.
sin
)(
x
x
xf = 在数学分析课程中熟知,f在),0[ ∞+上的广义Riemann积分是收敛的但不是绝对收敛的,由定理3,f在),0[ ∞+上不是L可积的,
例2 证明
2
0
sin
lim,
2
(1 )
n
x
n
n
dx
xx
π
+∞
→∞
=
+
∫
证明 令
,
)1(
sin
)(
2
xx
n
x
n
xf
n
+
=,1≥n,
1
1
)(
2
x
xg
+
=
则.1,≥≤ ngf
n
由于广义Riemann积分
0
gdx
+∞
∫
收敛,由定理3知道g在),0[ ∞+上是
L可积的,因此每个
n
f是L可积的,由定理3,
0
n
f dx
+∞
∫
可以视为Lebesgue 积分.由于
,
1
1
2
x
f
n
+
→ ).( ∞→n 利用控制收敛定理得到
220
00
sin
1
lim arctg,
2
(1 ) 1
n
x
n
n
dx dx x
xx x
π
+∞ +∞
+∞
→∞
===
++
∫∫
例3 证明
1
2
0
1
11 1
ln,
1
n
dx
x x
n
∞
=
=
∑
∫
证明 由泰勒级数知道
111
.10,
1
1
ln
1
1
1
<<=
∑
∞
=
x
n
x
xx
n
n
(7)
(6)式在0=x和1=x不成立,但,0})1,0({ =m 故(7)式在]1,0[上几乎处处成立,由于在
]1,0[上
,0
1
1
ln
1
)( ≥
=
xx
xf,0)(
1
≥=
n
x
xf
n
n
由定理3知道它们的积分都可以视为Lebesgue积分,利用推论3我们有
11
11 1
2
00 0
11 1
1
ln,
1
nn
nn n
xx
dx dx dx
xnnx
n
∞∞ ∞
== =
==
∑∑ ∑
∫∫ ∫
小 结 本节讨论了直线上的Riemann积分(包括广义Riemann积分)与Lebesgue积分之间的关系,同时给出Riemann可积函数的一个简明的充要条件,定理2表明Lebesgue积分是Riemann积分的推广,定理3表明当广义Riemann积分绝对收敛时,广义Riemann积分与Lebesgue积分相等,利用以上结果和Lebesgue积分的性质,可以解决一些Riemann积分的问题,
习 题 习题四,第26题—第38题,
§4.4 Lebesgue积分与Riemann积分
教学目的 本节讨论直线上的Riemann积分(包括广义Riemann积分)
与Lebesgue积分之间的关系.同时给出Riemann可积函数的一个判别条件,
本节要点 用测度理论可以给出函数Riemann可积的一个简明的充要条件,本节的主要结果表明Lebesgue积分是Riemann积分的推广,利用
Lebesgue积分的性质,可以解决一些Riemann积分的问题,
Riemann积分的回顾 设],[ ba是直线上的一个有界闭区间,一个有限序列
},,,{
10 k
xxxP "=称为是],[ ba的一个分割,若.
10
bxxxa
k
=<<<= " 设P和Q是
],[ ba的两个分割,如果,QP? 则称Q是P的一个加细,
设f是定义在],[ ba上的有界实值函数,
k
ii
xP
0
}{
=
=是],[ ba的一个分割,对每个
,,,1 ki "= 令
]}.,[:)(sup{,]},[:)(inf{
11 iiiiii
xxxxfMxxxxfm
∈=∈=
f关于分割P的Darboux下和与Darboux上和分别定义为
.)(),(,)(),(
1
1
1
1 ∑∑
=
=
=?=
k
i
iii
k
i
iii
xxMPfSxxmPfs
),( Pfs和),( PfS的几何意义分别是曲线)(xfy =的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯形与外接阶梯形面积(见引言的插图),显然对],[ ba的任意一个分割P,总有
).,(),( PfSPfs ≤ 又容易验证以下实事,
(1),若
1
P和
2
P是],[ ba的两个分割,并且
2
P是
1
P的加细,则有
),,(),(
21
PfsPfs ≤ ).,(),(
12
PfSPfS ≤
(2).对],[ ba的任意两个分割
1
P和
2
P,总有
).,(),(
21
PfSPfs ≤
因此当P取遍],[ ba的所有分割时,f的下和),( Pfs的全体所成的数集上有界,上和
),( PfS的全体所成的数集下有界.令
},],[:),(sup{)(的分割是baPPfsfI =
}.],[:),(inf{)(的分割是baPPfSfI =
107
分别称I和I为f的下积分和上积分,如果,II = 则称f在],[ ba上是Riemann可积的,并且称I和I的公共值为f在],[ ba上的Riemann积分(简称为R积分),为避免与
Lebesgue积分混淆,下面将f在],[ ba上的Riemann积分和Lebesgue积分分别暂记为
(R)
b
a
fdx
∫
和(L),
b
a
fdx
∫
引理1 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数,则以下三项是等价的;
).i( f在],[ ba上是Riemann可积的
).ii(对任意,0>ε 存在],[ ba的一个分割P,使得
.),(),( ε<? PfsPfS
).iii(存在],[ ba的一列分割},{
n
P 使得
.0)),(),((lim =?
∞→
nn
n
PfsPfS
证明 ).ii()i(? 设f在],[ ba上是Riemann可积的.记=I (R),
b
a
fdx
∫
则对任意
,0>ε 存在],[ ba的两个分割
1
P和
2
P使得
,
2
),(
1
ε
<? PfsI,
2
),(
2
ε
<?IPfS
令.
21
PPP ∪= 则P是
1
P和
2
P的加细,于是我们有
.)),(()),((),(),(),(),(
1212
ε<?+?≤?≤? PfsIIPfSPfsPfSPfsPfS
).iii()ii(?显然
).i()iii(?设
n
P是],[ ba的一列分割,使得
.0)),(),((lim =?
∞→
nn
n
PfsPfS
对任意,0>ε 取
0
n使得.),(),(
00
ε<?
nn
PfsPfS 于是
ε<?≤? ),(),(
00
nn
PfsPfSII,
由于0>ε是任意的,故必有.II =即f在],[ ba上是Riemann可积的.■
Riemann可积的充要条件与两种积分的关系
定理2 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数,则
).i( f在],[ ba上Riemann可积的充要条件是f在],[ ba上几乎处处连续(即f的不连续点的全体是一个Lebesgue零测度集),
).ii(若f是Riemann可积的,则f是Lebesgue可积的,并且两种积分相等,即
(R)
b
a
fdx=
∫
(L),
b
a
fdx
∫
108
证明 设f在],[ ba上是Riemann可积的,由引理1知存在],[ ba的一列分割
)1}(,{
0
≥= nxxP
n
kn
"使得
.0)),(),((lim =?
∞→
nn
n
PfsPfS
我们可适当选取上面的分割序列}{
n
P,使得
1+n
P是
n
P的加细,对每个自然数,1≥n 令
]},,[:)(inf{
1
)(
ii
n
i
xxxxfm
∈=
]}.,[:)(sup{
1
)(
ii
n
i
xxxxfM
∈=,,,1
n
ki "=
再对每个自然数,1≥n 令
.)(,)(
1
],(
)(
1
],(
)(
11
∑∑
==
+=+=
n
ii
n
ii
k
i
xx
n
in
k
i
xx
n
in
IMafhImafg
则}{
n
g和}{
n
h都是简单函数列,并且}{
n
g单调增加,}{
n
h单调减少.而且满足
.1,≥≤≤ nhfg
nn
再令.lim,lim
n
n
n
n
hhgg
∞→∞→
== 由于f是有界的,故g和h都是有界可测函数,并且成立
].,[),()()( baxxhxfxg ∈≤≤ (1)
由控制收敛定理和
n
g与
n
h的定义,我们有
(L) lim(L) lim (,),
bb
nn
nnaa
gdx g dx s f P
→∞ ←∞
==
∫∫
(2)
(L) lim(L) lim (,).
bb
nn
nnaa
hdx h dx S f P
→∞ ←∞
==
∫∫
(3)
由于,0)),(),((lim =?
∞→
nn
n
PfsPfS 结合(2)与(3)得到
(L) ( ) 0.
b
a
hgdx?=
∫
注意到,hg ≤ 由§4.2定理7和上式得到a.e..hg = 因此若令},{ hgA ≠= 则.0)( =Am
再设B是所有分割
n
P的分点的全体,则B是可数集,因此.0)( =∪BAm 容易知道当
BAx ∪?时,f在x连续,因此f在],[ ba上几乎处处连续,故)i(的必要性得证,由于
a.e.,hg = 结合)1(知道a.e..gf = 故f是L可测的,又由于f在],[ ba上是有界的,因此f在],[ ba上是Lebesgue可积的,又由于当∞→n时,
0(R) (,) (,) (,) 0.
b
nnn
a
fdx sfP SfP sfP≤?≤?→
∫
因此 lim (,) (R),
b
n
n a
sfP fdx
→∞
=
∫
再结合(2)我们有
(L) (L) lim (,) (R),
bb b
n
naa a
fdx gdx s f P fdx
→∞
== =
∫∫ ∫
故)ii(得证,
109
往证)i(的充分性,设f在],[ ba上几乎处处连续,又设}{
n
P是],[ ba的一列分割,其中}{
n
P把],[ ba分成
n
2个等长的小区间,按前述方式定义函数g和.h 显然当x是f的连续点时,).()()( xhxfxg == 因此a.e..hg = 由(2)与(3)得到
0)),(),((lim =?
∞→
nn
n
PfsPfS
由引理1知道f在],[ ba上是Riemann可积的,故)i(的充分性得证.■
定理2给出了函数f在],[ ba上Riemann可积的一个简单明了的判别条件,同时也表明
Lebesgue积分是Riemann积分的推广,并且Lebesgue积分的可积函数类比Riemann积分的可积函数类大,在§4.1中我们曾指出]1,0[上的Dirichlet函数)(xD是L可积的,但由于
)(xD在]1,0[上处处不连续,由定理2知道)(xD不是Riemann可积的,这个例子表明
Lebesgue积分的可积函数类严格地大于Riemann积分的可积函数类,
广义Riemann积分与Lebesgue积分的关系 下面仅以无穷区间),[ ∞+a的广义
Riemann积分为例,对其他无穷区间上的广义Riemann积分和无界函数的广义Riemann积分也有类似的结果,
定理3 设f是定义在),[ ∞+a上的实值函数,并且对任意,ab > f在],[ ba上是有界的几乎处处连续的,则有
(R) (L),
aa
f dx f dx
+∞ +∞
=
∫∫
(4)
因此f在),[ ∞+a上Lebesgue可积当且仅当广义Riemann积分(R)
a
fdx
+∞
∫
绝对收敛,并且当(R)
a
fdx
+∞
∫
绝对收敛时,成立
(R) (L),
aa
fdx fdx
+∞ +∞
=
∫ ∫
证明 由定理2知道对任意,ab > f在],[ ba上是Riemann可积的,对每个,an ≥ 令令.
],[ nan
fIf = 则.ff
n ↑
由于每个
n
f是L可测的,因此f是L可测的,由单调收敛定理和定理2,我们有
(L) lim(L) lim(L)
lim (R) (R),
n
n
nnaaa
n
n aa
f dx f dx f dx
f dx f dx
+∞ +∞
→∞ →∞
+∞
←∞∞
==
∫∫∫
∫ ∫
(5)
故(4)成立,因此f在),[ ∞+a上Lebesgue可积当且仅当广义Riemann积分(R)
a
fdx
+∞
∫
绝对收敛.,当(R)
a
fdx
+∞
∫
绝对收敛时,f在),[ ∞+a上是Lebesgue可积的,由于ff
n
≤
并且ff
n
→处处成立,由控制收敛定理和定理2,我们有
110
(L) lim(L) lim(L)
lim (R) (R),
n
n
nnaa a
n
n aa
fdx f dx fdx
fdx fdx
+∞ +∞
→∞ →∞
+∞
←∞∞
==
∫∫∫
∫ ∫
(6)
定理证毕.■
定理2和定理3表明,若f在],[ ba上Riemann可积,或者f在有界或无界区间上的广义Riemann积分绝对收敛,则f是Lebesgue可积的并且这两种积分值相等,在这种情况下,
此时f的Riemann积分可视为Lebesgue积分,因而可以应用Lebesgue积分的性质例如极限定理等,
定理2和定理3也表明,若f在某区间上同时是(正常或者广义)R可积和L可积的,则这两种积分值相等,因此以后f在区间上的R积分和L积分都用
b
a
fdx
∫
和
a
fdx
+∞
∫
等表示,不会发生混淆,
例1 设.
sin
)(
x
x
xf = 在数学分析课程中熟知,f在),0[ ∞+上的广义Riemann积分是收敛的但不是绝对收敛的,由定理3,f在),0[ ∞+上不是L可积的,
例2 证明
2
0
sin
lim,
2
(1 )
n
x
n
n
dx
xx
π
+∞
→∞
=
+
∫
证明 令
,
)1(
sin
)(
2
xx
n
x
n
xf
n
+
=,1≥n,
1
1
)(
2
x
xg
+
=
则.1,≥≤ ngf
n
由于广义Riemann积分
0
gdx
+∞
∫
收敛,由定理3知道g在),0[ ∞+上是
L可积的,因此每个
n
f是L可积的,由定理3,
0
n
f dx
+∞
∫
可以视为Lebesgue 积分.由于
,
1
1
2
x
f
n
+
→ ).( ∞→n 利用控制收敛定理得到
220
00
sin
1
lim arctg,
2
(1 ) 1
n
x
n
n
dx dx x
xx x
π
+∞ +∞
+∞
→∞
===
++
∫∫
例3 证明
1
2
0
1
11 1
ln,
1
n
dx
x x
n
∞
=
=
∑
∫
证明 由泰勒级数知道
111
.10,
1
1
ln
1
1
1
<<=
∑
∞
=
x
n
x
xx
n
n
(7)
(6)式在0=x和1=x不成立,但,0})1,0({ =m 故(7)式在]1,0[上几乎处处成立,由于在
]1,0[上
,0
1
1
ln
1
)( ≥
=
xx
xf,0)(
1
≥=
n
x
xf
n
n
由定理3知道它们的积分都可以视为Lebesgue积分,利用推论3我们有
11
11 1
2
00 0
11 1
1
ln,
1
nn
nn n
xx
dx dx dx
xnnx
n
∞∞ ∞
== =
==
∑∑ ∑
∫∫ ∫
小 结 本节讨论了直线上的Riemann积分(包括广义Riemann积分)与Lebesgue积分之间的关系,同时给出Riemann可积函数的一个简明的充要条件,定理2表明Lebesgue积分是Riemann积分的推广,定理3表明当广义Riemann积分绝对收敛时,广义Riemann积分与Lebesgue积分相等,利用以上结果和Lebesgue积分的性质,可以解决一些Riemann积分的问题,
习 题 习题四,第26题—第38题,
