43
§2.2 外测度与测度的延拓
教学目的 本节讨论如何将环R上的测度延拓到R生成的σ -代数上去,这是定义测度常用的方法,下一节将用这个方法定义重要的Lebesgue测度,
本节要点 本节所述测度的延拓过程思路较复杂,论证较繁难,应注意讲清主要思路,定理的证明应注意交代主要思想,
一般说来,要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度,往往并非易事,设R是一个环,)(Rσ是由R生成的σ -代数,一般情况下,)(Rσ要比R大得多,
显然,在R上定义一个测度要比直接在)(Rσ定义容易,因此,如果我们要在)(Rσ定义一个满足某些特定条件的测度,我们可以先在R上定义这个测度,然后再设法延拓到
)(Rσ上去,本节将证明,若μ是定义在环R上的测度,则μ总可以延拓到一个包含
)(Rσ的σ -代数上去,利用测度的延拓定理,许多重要的测度可以用这种方法构造出来,
本节仍设X是一固定的非空集,)(XP是X的全体子集所成的集类,
外测度 设C是一个非空集类,.XA? 若}{
n
A是C中的有限或无穷序列,使得
∪
k
n
n
AA
1=
(或
∪
∞
=
1n
n
AA ),则称}{
n
A是A的一个C覆盖,由于有限并总可以写成可数并
(只要令),( knAA
kn
>=则
∪∪
∞
==
=
11 n
n
k
n
n
AA ),因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖,
设μ是环R上的测度,对每个,XA? 令
}.}{:)(inf{)(
1
覆盖的是RAAAA
n
n
n∑
∞
=
= μμ
若A无R覆盖,则令.)( +∞=
Aμ 这样定义的
μ是定义在)(XP上的非负值集函数,称
μ为由μ导出的外测度,
定理1设μ是环R上的测度,
μ为由μ导出的外测度,则
μ满足,
).i(,0)( =?
μ
).ii(单调性,若≤ )(,ABA μ则).(B
μ
44
).iii(次可数可加性,对X中的任意一列集}{
n
A成立
).()(
11
n
nn
n
AA
∑
∞
=
∞
=
≤ μμ
∪
(1)
证明 由于}{?是空集?的一个R覆盖,故.0)()( =?≤?
μμ 因此.0)( =?
μ
设,BA? 则B的每个R覆盖也是A的R覆盖,这蕴涵).()( BA
≤ μμ 下面证明
μ具有次可数可加性,设}{
n
A是X的一列子集,不妨设1,)( ≥+∞<
nA
n
μ (否则(1)显然成立),
现在任意给定0>ε,由
μ的定义,对每个,1≥n 存在
n
A的一个R覆盖,}{
1,≥kkn
C 使得
,)()(
1
,
n
n
k
kn
AC
2
+≤
∑
∞
=
ε
μμ (2)
由于}1,,{
,
≥knC
kn
是
∪
∞
=1n
n
A的一个R覆盖,由(2)得到
,)())(()()(
111
,
11
εμ
ε
μμμ +=
2
+≤≤
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
n
n
n
n
nn
kn
kn
n
AACA
∪
由于0>ε是任意的,因此得到.)()(
11
∑
∞
=
∞
=
≤
n
n
n
n
AA μμ
∪
即
μ具有次可数可加性.■
可测集 由μ导出的外测度
μ定义在X的全体子集所成的集类上,但
μ的定义域太大,一般不满足可数可加性,因而一般不是测度,下面将证明,可以通过适当的限制条件挑选出一部分集即所谓“可测集”,这些集构成一个σ?代数,将
μ限制在这个σ?代数上,
μ满足可数可加性,因而成为一个测度,而且这个σ?代数一般要比μ的定义域R要大,
于是就扩大了原来测度的定义域,
定义2 设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,又设.XE? 若对任意
XA?,均有
).()()(
c
EAEAA ∩+∩=
μμμ (3)
( 图2—1)则称E是
μ -可测集,
μ -可测集的全体所成的集类记为.
R
A
E
C
EA∩
EA∩
45
图2—1
等式(3)称为Caratheodory条件(简称为卡氏条件),由于外测度
μ具有次可数可加性,
因此对任意XA?成立
).()())()(()(
cc
EAEAEAEAA ∩+∩≤∩∪∩=
μμμμ
所以(3)式等价于
).()()(
c
EAEAA ∩+∩≥
μμμ (4)
因此集E是
μ -可测的当且仅当对任意,XA? (4)式成立,又由于当+∞=
)(Aμ时(4)总是成立的,因此若对任意,XA? 当+∞<
)(Aμ时(4)式成立,则E是
μ -可测的,
显然,空集?和全空间X是
μ -可测集,又由
μ 的单调性和(4)可以看出若
,0)( =
Eμ 则E是
μ -可测集,
思考题 证明:集E是
μ -可测集当且仅当对任意EA?和
C
EB?成立
).()()( BABA
+=∪ μμμ
引理3 设
n
EE,,
1
null是互不相交的
μ -可测集,则对任意XA?,成立
).())((
11
i
n
i
n
i
i
EAEA ∩=∩
∑
=
=
μμ
∪
(5)
证明 用数学归纳法,当1=n时(5)显然成立,假定(5)对kn =时成立,因为
n
EE,,
1
null
是互不相交的,所以
).()(
,)(
1
1
1
1
11
1
1
∪∪
∪
k
i
i
c
k
k
i
i
kk
k
i
i
EAEEA
EAEEA
=
+
+
=
++
+
=
∩=∩∩
∩=∩∩
于是由
1+k
E的
μ -可测性和归纳法假设,我们有
11 1
11
1
1
1
1
(),
().
kk k
c
iik ik
k
ki
i
k
i
i
AE AEE AEE
AE A E
AE
μμ μ
μμ
μ
++ +
++
== =
+
=
+
=
∩ =∩∩+ ∩∩?
=∩+∩
=∩
∑
∪∪ ∪
∪
因此当1+= kn时(5)式成立,因此(5)对任意n成立.■
定理4 设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,
R是
μ -可测集的全体所成的集类,则有
).i(
R是σ -代数,
).ii(
μ限制在是
R上是一个测度,
46
证明 ).i(先证明
R是一个代数,由于空集?和全空间X是
μ -可测集,故
R非空,
由
μ -可测集的定义立即可以看出若E是可测?
μ的,则
c
E也是
μ -可测的,因此
R对余运算封闭,往证
R对有限并的封闭性,设∈
21
,EE
R,令
21
EEE ∪=,注意到
)(
211
EEEE
c
∩∪=,利用
21
EE和的可测性,对任意,XA? 我们有
112 12
11
()( )
[( ) ( )] ( )
()[(())(())]
()( )()
c
ccc
c
AE AE
AE AE E AE E
AE AE E AE E
AE AE A
μμ
μ
μμ
μ
∩+ ∩
≤∩+∩∩+∩∩
=∩+ ∩∩+ ∩∩
=∩+∩=
图2—2
(参见图2—2)即E满足卡氏条件(4)式,这表明∈∪=
21
EEE
R,因此
R是一个代数,
为证
R是一个σ -代数,只需再证明
R对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第
20题),设?}{
n
E
R,并且).( jiEE
ji
≠?=∩ 令.
1
∪
∞
=
=
n
n
EE 由于
R是代数,故
∈
=
∪
n
i
i
E
1
R,.1≥n 利用引理2.2.3,对任意,XA? 我们有
).()(
)(
)()(
1
1
11
c
n
i
i
c
n
i
i
c
n
i
i
n
i
i
EAEA
EAEA
EAEAA
∩+∩=
∩+
∩≥
∩+
∩=
=
=
=
=
∑
μμ
μμ
μμμ
∪
∪∪
(6)
A
1
E
2
E
12
CCC
A EAEE∩=∩∩
1
EA∩
21
EEA
C
∩∩
47
(6)式对任意n都成立,在(6)中令,∞→n 并利用外测度的次可数可加性,得到
).()()()()(
1
cc
i
i
EAEAEAEAA ∩+∩≥∩+∩≥
∞
=
∑
μμμμμ
上式表明E满足卡氏条件(4)式 因此∈=
∞
=
∪
1n
n
EE
R,这就证明了
R是σ -代数,
).ii(为证
μ是
R上的测度,只需证明
μ在
R上是可数可加的,设?}{
n
E
R,并且).( jiEE
ji
≠?=∩ 由外测度的次可数可加性,我们有.)()(
11
∑
∞
=
∞
=
≤
i
i
i
i
EE μμ
∪
另一方面,在(5)中令A=X得到
).()()(
111
∪∪
∞
=
=
=
≤=
∑
i
i
n
i
i
n
i
i
EEE μμμ
上式中令,∞→n 得到
).()(
11
∪
∞
=
∞
=
≤
∑
i
i
i
i
EE μμ
因此
∑
∞
=
∞
=
=
11
)()(
i
i
i
i
EE μμ
∪
,
即
μ在
R上是可数可加的,所以
μ是
R上的测度.■
注1 从定理.4的证明可以看出,定理4的结论)i(和)ii(并不依赖于环R上的测度μ,
只用到了定理1中
μ所满足的性质,因此,我们可以定义任何满足定理1中的)i(,)ii(和
)iii(的集函数
μ为外测度,然后和定义2一样定义
μ可测集,则定理4的结论对这样定义的一般的外测度
μ仍成立,
测度的延拓 由定理4知道
R是一个σ -代数,
μ限制在
R上是一个测度,一个自然的问题是,在R上
μ是否等于μ?
R有多大? 下面的定理回答了这两个问题,
定理5 设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,
R是可测集?
μ的全体所成的集类,则
)i(,
μ在R上的限制等于μ,即当∈A R时).()( AA μμ =
).ii(?)(Rσ
R,
证明 )i(设∈A,R 由于}{A是A的一个R覆盖,故).()( AA μμ ≤
另一方面,对
A的任意一个R覆盖},{
n
A 由于
∪
∞
=
∩=
1
),(
n
n
AAA 我们有
48
).()()()(
111
n
n
n
nn
n
AAAAAA
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
≤∩≤
∩= μμμμ
∪
对A的所有R覆盖取下确界即得).()( AA
≤ μμ 因此).()( AA μμ =
).ii( 先证明?R
R,设∈E,R 又设,XA? 并且.)( +∞<
Aμ 对任给的0>ε,
存在A的一个R覆盖},{
n
A使得
.)()(
1
εμμ +<
∞
=
∑
AA
n
n
于是我们有
,)()()()(
111
εμμμμ +<=∩+∩
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑
AAEAEA
n
n
c
n
n
n
n
(7)
由于}{ EA
n
∩和}{
c
n
EA ∩分别是EA∩和
c
EA∩的R覆盖,故有
∑
∞
=
∩≤∩
1
),()(
n
n
EAEA μμ
∑
∞
=
∩≤∩
1
).()(
n
c
n
c
EAEA μμ
将以上两式代入(7)得
.)()()( εμμμ +<∩+∩
AEAEA
c
由0>ε的任意性得到
).()()( AEAEA
c
≤∩+∩ μμμ
即E满足卡氏条件(4),故E是
μ可测集,这表明?R
R,由定理4,
R是一个σ -代数,
因此?)(Rσ
R,■
设
1
R和
2
R是两个环并且?
1
R
2
R,
1
μ和
2
μ分别是
1
R和
2
R上的测度,如果对任意
∈A
1
R,成立),()(
21
AA μμ = 则称
2
μ是
1
μ在
2
R上的延拓,
设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,由定理4,
μ限制在
R上是一个测度,又由定理5,?)(Rσ
R并且在R上.μμ =
因此
R上的测度
μ是μ的延拓,
延拓后的测度仍记为μ,这表明定义在R上的测度总可以延拓为一个包含)(Rσ的σ -代数上去,一般情况下,延拓测度可能不是唯一的,但我们有如下结果,
定理6 (延拓测度的唯一性)设R是一个环,并且全空间X可表为R中一列互不相交的集的并,
1
μ和
2
μ是)(Rσ上的两个测度并且在R上是σ有限的,若在R上,
21
μμ =
则在)(Rσ上.
21
μμ =
证明 由于全空间X可表为R中一列互不相交的集的并,并且μ在R上是σ有限的,
49
容易证明存在R中一列互不相交的集}{
n
E,使得
∪
∞
=
=
1n
n
EX并且.1,)( ≥+∞< nE
n
μ
(见本章习题第11题),对每个,1≥n 令
)}.()(:)({
21 nnn
EAEAA ∩=∩∈= μμσ RF
若∈A,R 则∈∩
n
EA,R 于是由假设条件有
).()(
21 nn
EAEA ∩=∩ μμ
因此∈A,
n
F 这表明?R,
n
F 容易证明
n
F是一个λ类,由§1.3推论12,?)(Rσ,
n
F
即对每个∈A )(Rσ成立
.1),()(
21
≥∩=∩ nEAEA
nn
μμ
对n求和,即得).()(
21
AA μμ = 因此在)(Rσ上.
21
μμ = ■
结合定理5和定理6知道,若μ是环R上的σ有限测度,则μ可以唯一地延拓成为
)(Rσ上的测度(事实上,可以延拓成为更大的σ -代数即
R上的测度),测度的延拓过程如图2—3,
图2—3
半环上的测度及延拓 上面讨论了定义在环上的测度的延拓,但有时验证环上的一个集函数是一个测度也并非易事,下面我们讨论如何从半环上的集函数得到一个测度,
设C是一个半环,)(CRR =是由C生成的环,即
}.1,,,:{
1
1
≥==
=
kAAAA
k
k
i
i
并且互不相交属于其中CR null
∪
(参见§1.3),称
∪
k
i
i
AA
1=
=为A的一个分解式,又设μ是C上的非负值集函数并且满足
0)( =?μ和有限可加性,按下面的方式将μ延拓到R上,对每个∈A R,若A的一个分解式为
∪
k
i
i
AA
1=
=,则令
R环上的测度
μ
→?
扩大
→→?
)(XP上的外测度
μ
缩小
R
上的测度
μ
)(Rσ上的测度
μ
缩小
50
,)()(
1
∑
=
=
k
i
i
AA μμ (8)
由于对给定的∈A R,A的分解式
∪
k
i
i
AA
1=
=不是唯一的,因此需要证明如下的引理,
引理7 设μ是半环C上的非负值集函数并且满足0)( =?μ和有限可加性,则由(8)式定义的集函数μ的值不依赖于集的分解式的选取,
证明 设∈A R,
∪
k
i
i
AA
1=
=和
∪
m
j
j
BA
1=
=是A的两个分解式,令
.,,1,,,1,mjkiBAE
jiij
nullnull ==∩=
则}1,1,{ mjkiE
ij
≤≤≤≤是C中的一组互不相交的集,并且对每个ki ≤≤1和
,1 mj ≤≤ 成立
∪
m
j
iji
EA
1
,
=
=
∪
k
i
ijj
EB
1
.
=
=
由于μ在C上是有限可加的,我们有
.)()()()(
111111
∑∑∑∑∑∑
======
===
m
j
j
m
j
k
i
ij
k
i
m
j
ij
k
i
i
BEEA μμμμ
这表明)(Aμ的值不依赖于A的分解式的选取.■
在§2.1中我们定义了环上的测度,同样,若μ是半环C上的非负值集函数满足
0)( =?μ和可数可加性,则我们称μ是C上的测度,
定理8 设μ是半环C上的测度,R是由C生成的环,则由(8)式定义的集函数μ是环
R上的测度,
证明 由引理7,对任意∈A,R )(Aμ的值不依赖于A的分解式的选取,因此μ在R
上的定义是确定的,为证μ是环R上的测度,只需证明μ在R上是可数可加的,设}{
n
A
是R中的一列互不相交的集,使得∈=
∞
=
∪
1n
n
AA,R 设A和)1( ≥nA
n
的分解式分别为
,
1
∪
k
i
i
EA
=
=,1,
1
,
≥=
=
nFA
n
k
j
jnn ∪
则}1,1:{
,
≥≤≤ nkjF
njn
是C中的一列互不相交的集,我们有
51
.,,1,
1
,
kiCE
l
lii
null
∪
==
∞
=
其中}1,1,{
,
≥≤≤ lkiC
li
是由}1,1:{
,
≥≤≤ nkjF
njn
重新编号得到的,由于μ在C上是可数可加的,我们有
.)()()()()(
111
,
11
,
1
∑∑∑∑∑∑
∞
=
∞
===
∞
==
====
n
n
n
k
j
jn
k
il
li
k
i
i
AFCEA
n
μμμμμ
即μ在R上是可数可加的,因此μ是环R上的测度.■
定理8使得我们构造一个测度时更加容易,在§2.3和§4.6我们将看到这个定理的应用,
测度的完备性 下面我们考虑测度的完备性,设),,( μFX为一测度空间,.XE?
若存在∈A,F,0)( =Aμ 使得,AE? 则称E为μ -可略集,在有些问题中会涉及到关于μ -可略集可测性的讨论,如果μ -可略集不一定是可测集,有时会带来一些不便,然而对一般的测度空间而言,μ -可略集不一定是可测集,
例1 设],1,0[=X F = }.,{?X令,0)()( =?= μμ X 则μ是σ -代数F上的测度,
令E ],0[
2
1
=,则E是μ -可略集,但?E F,
定义9 设),,( μFX为一测度空间,若每个μ -可略集E都是可测集(即∈E F ),则称F关于测度μ是完备的,或称测度空间),,( μFX是完备的,
例如,例2 中的F关于μ不是完备的,
定理10 设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,
R是
μ -的全体所成的集类,则
R关于测度
μ是完备的,
证明 设E是可略集?μ,则存在∈A
R,使得0)( =
Aμ并且.AE? 由外测度的单调性得到.0)( =
Eμ 显然此时E满足卡氏条件,故∈E
R,因此
R关于测度
μ是完备的,■
以下部分不作为课堂讲授内容,这里仅介绍结果,略去证明,
设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,
R是
μ -可测集的全体所成的σ -
代数,由定理5,
μ是
R上的测度并且?)(Rσ
μ
M,一般情况下)(Rσ关于
μ不一定是完备的,而由定理10,
R关于测度
μ总是完备的,因此一般情况下集类
R要比)(Rσ
大,下面的定理表明
R中的集与)(Rσ中的集至多相差一个零测度集,
定理11设μ是环R上的测度,则对任意∈E
R,存在∈F ),(Rσ 使得EF?并且
).()( EF
= μμ 特别地当+∞<
)(Eμ时,.0)( =?
EFμ
定理12 设μ是环R上σ -有限的测度,则对任意∈E
R,存在∈F ),(Rσ 使得
52
EF?并且.0)( =?
EFμ
定理13 设μ是环R上σ -有限的测度,则∈E
R当且仅当满足以下条件之一,
).i(存在∈F )(Rσ和
μ -零测度集A使得EF?并且.AFE?=,
).ii(存在∈G )(Rσ和
μ -零测度集A使得EG?并且.AGE ∪=,
定理14 ),,( μFX为一测度空间,令
}.,:{可略集是?∈∪= μ
μ
EAEA FF
对任意,
μ
F∈∪= EAB 令).()(
~
AB μμ = 则
).i(
μ
F是σ -代数并且?F
μ
F,
).ii( μ
~
是
μ
F上的测度并且在F上.
~
μμ =
).iii(测度空间)
~
,,( μ
μ
FX是完备的,
定理14 中的测度空间)
~
,,( μ
μ
FX称为是),,( μFX的完备化空间,定理14表明任何测度空间都存在其完备化空间,
定理15 设μ是环R上?σ有限的测度,则)),(,(
μσ RX的完备化空间是
),,(
μRX,
特别地,如果),,( μFX是一个σ -有限的测度空间,则可以通过本节测度延拓的方法得到的),,( μFX的完备化空间,这个测度空间就是),,(
μFX,其中
F是
μ -可测集的全体所成的σ -代数,
小 结 从较简单的集类环上的测度μ出发,扩大其定义域得到外测度
μ,再根据卡氏条件挑出
μ -可测集,
μ -可测集的全体成为一个σ -代数,外测度限制在
μ -可测集上成为测度,这样就将环上的测度延拓到一个更大的集类σ -代数上.这种方法构是造测度常用的方法.下一节将用这种方法构造重要的测度—Lebesgue测度,
习 题 习题二,第9题—第14题,
§2.2 外测度与测度的延拓
教学目的 本节讨论如何将环R上的测度延拓到R生成的σ -代数上去,这是定义测度常用的方法,下一节将用这个方法定义重要的Lebesgue测度,
本节要点 本节所述测度的延拓过程思路较复杂,论证较繁难,应注意讲清主要思路,定理的证明应注意交代主要思想,
一般说来,要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度,往往并非易事,设R是一个环,)(Rσ是由R生成的σ -代数,一般情况下,)(Rσ要比R大得多,
显然,在R上定义一个测度要比直接在)(Rσ定义容易,因此,如果我们要在)(Rσ定义一个满足某些特定条件的测度,我们可以先在R上定义这个测度,然后再设法延拓到
)(Rσ上去,本节将证明,若μ是定义在环R上的测度,则μ总可以延拓到一个包含
)(Rσ的σ -代数上去,利用测度的延拓定理,许多重要的测度可以用这种方法构造出来,
本节仍设X是一固定的非空集,)(XP是X的全体子集所成的集类,
外测度 设C是一个非空集类,.XA? 若}{
n
A是C中的有限或无穷序列,使得
∪
k
n
n
AA
1=
(或
∪
∞
=
1n
n
AA ),则称}{
n
A是A的一个C覆盖,由于有限并总可以写成可数并
(只要令),( knAA
kn
>=则
∪∪
∞
==
=
11 n
n
k
n
n
AA ),因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖,
设μ是环R上的测度,对每个,XA? 令
}.}{:)(inf{)(
1
覆盖的是RAAAA
n
n
n∑
∞
=
= μμ
若A无R覆盖,则令.)( +∞=
Aμ 这样定义的
μ是定义在)(XP上的非负值集函数,称
μ为由μ导出的外测度,
定理1设μ是环R上的测度,
μ为由μ导出的外测度,则
μ满足,
).i(,0)( =?
μ
).ii(单调性,若≤ )(,ABA μ则).(B
μ
44
).iii(次可数可加性,对X中的任意一列集}{
n
A成立
).()(
11
n
nn
n
AA
∑
∞
=
∞
=
≤ μμ
∪
(1)
证明 由于}{?是空集?的一个R覆盖,故.0)()( =?≤?
μμ 因此.0)( =?
μ
设,BA? 则B的每个R覆盖也是A的R覆盖,这蕴涵).()( BA
≤ μμ 下面证明
μ具有次可数可加性,设}{
n
A是X的一列子集,不妨设1,)( ≥+∞<
nA
n
μ (否则(1)显然成立),
现在任意给定0>ε,由
μ的定义,对每个,1≥n 存在
n
A的一个R覆盖,}{
1,≥kkn
C 使得
,)()(
1
,
n
n
k
kn
AC
2
+≤
∑
∞
=
ε
μμ (2)
由于}1,,{
,
≥knC
kn
是
∪
∞
=1n
n
A的一个R覆盖,由(2)得到
,)())(()()(
111
,
11
εμ
ε
μμμ +=
2
+≤≤
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
n
n
n
n
nn
kn
kn
n
AACA
∪
由于0>ε是任意的,因此得到.)()(
11
∑
∞
=
∞
=
≤
n
n
n
n
AA μμ
∪
即
μ具有次可数可加性.■
可测集 由μ导出的外测度
μ定义在X的全体子集所成的集类上,但
μ的定义域太大,一般不满足可数可加性,因而一般不是测度,下面将证明,可以通过适当的限制条件挑选出一部分集即所谓“可测集”,这些集构成一个σ?代数,将
μ限制在这个σ?代数上,
μ满足可数可加性,因而成为一个测度,而且这个σ?代数一般要比μ的定义域R要大,
于是就扩大了原来测度的定义域,
定义2 设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,又设.XE? 若对任意
XA?,均有
).()()(
c
EAEAA ∩+∩=
μμμ (3)
( 图2—1)则称E是
μ -可测集,
μ -可测集的全体所成的集类记为.
R
A
E
C
EA∩
EA∩
45
图2—1
等式(3)称为Caratheodory条件(简称为卡氏条件),由于外测度
μ具有次可数可加性,
因此对任意XA?成立
).()())()(()(
cc
EAEAEAEAA ∩+∩≤∩∪∩=
μμμμ
所以(3)式等价于
).()()(
c
EAEAA ∩+∩≥
μμμ (4)
因此集E是
μ -可测的当且仅当对任意,XA? (4)式成立,又由于当+∞=
)(Aμ时(4)总是成立的,因此若对任意,XA? 当+∞<
)(Aμ时(4)式成立,则E是
μ -可测的,
显然,空集?和全空间X是
μ -可测集,又由
μ 的单调性和(4)可以看出若
,0)( =
Eμ 则E是
μ -可测集,
思考题 证明:集E是
μ -可测集当且仅当对任意EA?和
C
EB?成立
).()()( BABA
+=∪ μμμ
引理3 设
n
EE,,
1
null是互不相交的
μ -可测集,则对任意XA?,成立
).())((
11
i
n
i
n
i
i
EAEA ∩=∩
∑
=
=
μμ
∪
(5)
证明 用数学归纳法,当1=n时(5)显然成立,假定(5)对kn =时成立,因为
n
EE,,
1
null
是互不相交的,所以
).()(
,)(
1
1
1
1
11
1
1
∪∪
∪
k
i
i
c
k
k
i
i
kk
k
i
i
EAEEA
EAEEA
=
+
+
=
++
+
=
∩=∩∩
∩=∩∩
于是由
1+k
E的
μ -可测性和归纳法假设,我们有
11 1
11
1
1
1
1
(),
().
kk k
c
iik ik
k
ki
i
k
i
i
AE AEE AEE
AE A E
AE
μμ μ
μμ
μ
++ +
++
== =
+
=
+
=
∩ =∩∩+ ∩∩?
=∩+∩
=∩
∑
∪∪ ∪
∪
因此当1+= kn时(5)式成立,因此(5)对任意n成立.■
定理4 设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,
R是
μ -可测集的全体所成的集类,则有
).i(
R是σ -代数,
).ii(
μ限制在是
R上是一个测度,
46
证明 ).i(先证明
R是一个代数,由于空集?和全空间X是
μ -可测集,故
R非空,
由
μ -可测集的定义立即可以看出若E是可测?
μ的,则
c
E也是
μ -可测的,因此
R对余运算封闭,往证
R对有限并的封闭性,设∈
21
,EE
R,令
21
EEE ∪=,注意到
)(
211
EEEE
c
∩∪=,利用
21
EE和的可测性,对任意,XA? 我们有
112 12
11
()( )
[( ) ( )] ( )
()[(())(())]
()( )()
c
ccc
c
AE AE
AE AE E AE E
AE AE E AE E
AE AE A
μμ
μ
μμ
μ
∩+ ∩
≤∩+∩∩+∩∩
=∩+ ∩∩+ ∩∩
=∩+∩=
图2—2
(参见图2—2)即E满足卡氏条件(4)式,这表明∈∪=
21
EEE
R,因此
R是一个代数,
为证
R是一个σ -代数,只需再证明
R对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第
20题),设?}{
n
E
R,并且).( jiEE
ji
≠?=∩ 令.
1
∪
∞
=
=
n
n
EE 由于
R是代数,故
∈
=
∪
n
i
i
E
1
R,.1≥n 利用引理2.2.3,对任意,XA? 我们有
).()(
)(
)()(
1
1
11
c
n
i
i
c
n
i
i
c
n
i
i
n
i
i
EAEA
EAEA
EAEAA
∩+∩=
∩+
∩≥
∩+
∩=
=
=
=
=
∑
μμ
μμ
μμμ
∪
∪∪
(6)
A
1
E
2
E
12
CCC
A EAEE∩=∩∩
1
EA∩
21
EEA
C
∩∩
47
(6)式对任意n都成立,在(6)中令,∞→n 并利用外测度的次可数可加性,得到
).()()()()(
1
cc
i
i
EAEAEAEAA ∩+∩≥∩+∩≥
∞
=
∑
μμμμμ
上式表明E满足卡氏条件(4)式 因此∈=
∞
=
∪
1n
n
EE
R,这就证明了
R是σ -代数,
).ii(为证
μ是
R上的测度,只需证明
μ在
R上是可数可加的,设?}{
n
E
R,并且).( jiEE
ji
≠?=∩ 由外测度的次可数可加性,我们有.)()(
11
∑
∞
=
∞
=
≤
i
i
i
i
EE μμ
∪
另一方面,在(5)中令A=X得到
).()()(
111
∪∪
∞
=
=
=
≤=
∑
i
i
n
i
i
n
i
i
EEE μμμ
上式中令,∞→n 得到
).()(
11
∪
∞
=
∞
=
≤
∑
i
i
i
i
EE μμ
因此
∑
∞
=
∞
=
=
11
)()(
i
i
i
i
EE μμ
∪
,
即
μ在
R上是可数可加的,所以
μ是
R上的测度.■
注1 从定理.4的证明可以看出,定理4的结论)i(和)ii(并不依赖于环R上的测度μ,
只用到了定理1中
μ所满足的性质,因此,我们可以定义任何满足定理1中的)i(,)ii(和
)iii(的集函数
μ为外测度,然后和定义2一样定义
μ可测集,则定理4的结论对这样定义的一般的外测度
μ仍成立,
测度的延拓 由定理4知道
R是一个σ -代数,
μ限制在
R上是一个测度,一个自然的问题是,在R上
μ是否等于μ?
R有多大? 下面的定理回答了这两个问题,
定理5 设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,
R是可测集?
μ的全体所成的集类,则
)i(,
μ在R上的限制等于μ,即当∈A R时).()( AA μμ =
).ii(?)(Rσ
R,
证明 )i(设∈A,R 由于}{A是A的一个R覆盖,故).()( AA μμ ≤
另一方面,对
A的任意一个R覆盖},{
n
A 由于
∪
∞
=
∩=
1
),(
n
n
AAA 我们有
48
).()()()(
111
n
n
n
nn
n
AAAAAA
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
≤∩≤
∩= μμμμ
∪
对A的所有R覆盖取下确界即得).()( AA
≤ μμ 因此).()( AA μμ =
).ii( 先证明?R
R,设∈E,R 又设,XA? 并且.)( +∞<
Aμ 对任给的0>ε,
存在A的一个R覆盖},{
n
A使得
.)()(
1
εμμ +<
∞
=
∑
AA
n
n
于是我们有
,)()()()(
111
εμμμμ +<=∩+∩
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑
AAEAEA
n
n
c
n
n
n
n
(7)
由于}{ EA
n
∩和}{
c
n
EA ∩分别是EA∩和
c
EA∩的R覆盖,故有
∑
∞
=
∩≤∩
1
),()(
n
n
EAEA μμ
∑
∞
=
∩≤∩
1
).()(
n
c
n
c
EAEA μμ
将以上两式代入(7)得
.)()()( εμμμ +<∩+∩
AEAEA
c
由0>ε的任意性得到
).()()( AEAEA
c
≤∩+∩ μμμ
即E满足卡氏条件(4),故E是
μ可测集,这表明?R
R,由定理4,
R是一个σ -代数,
因此?)(Rσ
R,■
设
1
R和
2
R是两个环并且?
1
R
2
R,
1
μ和
2
μ分别是
1
R和
2
R上的测度,如果对任意
∈A
1
R,成立),()(
21
AA μμ = 则称
2
μ是
1
μ在
2
R上的延拓,
设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,由定理4,
μ限制在
R上是一个测度,又由定理5,?)(Rσ
R并且在R上.μμ =
因此
R上的测度
μ是μ的延拓,
延拓后的测度仍记为μ,这表明定义在R上的测度总可以延拓为一个包含)(Rσ的σ -代数上去,一般情况下,延拓测度可能不是唯一的,但我们有如下结果,
定理6 (延拓测度的唯一性)设R是一个环,并且全空间X可表为R中一列互不相交的集的并,
1
μ和
2
μ是)(Rσ上的两个测度并且在R上是σ有限的,若在R上,
21
μμ =
则在)(Rσ上.
21
μμ =
证明 由于全空间X可表为R中一列互不相交的集的并,并且μ在R上是σ有限的,
49
容易证明存在R中一列互不相交的集}{
n
E,使得
∪
∞
=
=
1n
n
EX并且.1,)( ≥+∞< nE
n
μ
(见本章习题第11题),对每个,1≥n 令
)}.()(:)({
21 nnn
EAEAA ∩=∩∈= μμσ RF
若∈A,R 则∈∩
n
EA,R 于是由假设条件有
).()(
21 nn
EAEA ∩=∩ μμ
因此∈A,
n
F 这表明?R,
n
F 容易证明
n
F是一个λ类,由§1.3推论12,?)(Rσ,
n
F
即对每个∈A )(Rσ成立
.1),()(
21
≥∩=∩ nEAEA
nn
μμ
对n求和,即得).()(
21
AA μμ = 因此在)(Rσ上.
21
μμ = ■
结合定理5和定理6知道,若μ是环R上的σ有限测度,则μ可以唯一地延拓成为
)(Rσ上的测度(事实上,可以延拓成为更大的σ -代数即
R上的测度),测度的延拓过程如图2—3,
图2—3
半环上的测度及延拓 上面讨论了定义在环上的测度的延拓,但有时验证环上的一个集函数是一个测度也并非易事,下面我们讨论如何从半环上的集函数得到一个测度,
设C是一个半环,)(CRR =是由C生成的环,即
}.1,,,:{
1
1
≥==
=
kAAAA
k
k
i
i
并且互不相交属于其中CR null
∪
(参见§1.3),称
∪
k
i
i
AA
1=
=为A的一个分解式,又设μ是C上的非负值集函数并且满足
0)( =?μ和有限可加性,按下面的方式将μ延拓到R上,对每个∈A R,若A的一个分解式为
∪
k
i
i
AA
1=
=,则令
R环上的测度
μ
→?
扩大
→→?
)(XP上的外测度
μ
缩小
R
上的测度
μ
)(Rσ上的测度
μ
缩小
50
,)()(
1
∑
=
=
k
i
i
AA μμ (8)
由于对给定的∈A R,A的分解式
∪
k
i
i
AA
1=
=不是唯一的,因此需要证明如下的引理,
引理7 设μ是半环C上的非负值集函数并且满足0)( =?μ和有限可加性,则由(8)式定义的集函数μ的值不依赖于集的分解式的选取,
证明 设∈A R,
∪
k
i
i
AA
1=
=和
∪
m
j
j
BA
1=
=是A的两个分解式,令
.,,1,,,1,mjkiBAE
jiij
nullnull ==∩=
则}1,1,{ mjkiE
ij
≤≤≤≤是C中的一组互不相交的集,并且对每个ki ≤≤1和
,1 mj ≤≤ 成立
∪
m
j
iji
EA
1
,
=
=
∪
k
i
ijj
EB
1
.
=
=
由于μ在C上是有限可加的,我们有
.)()()()(
111111
∑∑∑∑∑∑
======
===
m
j
j
m
j
k
i
ij
k
i
m
j
ij
k
i
i
BEEA μμμμ
这表明)(Aμ的值不依赖于A的分解式的选取.■
在§2.1中我们定义了环上的测度,同样,若μ是半环C上的非负值集函数满足
0)( =?μ和可数可加性,则我们称μ是C上的测度,
定理8 设μ是半环C上的测度,R是由C生成的环,则由(8)式定义的集函数μ是环
R上的测度,
证明 由引理7,对任意∈A,R )(Aμ的值不依赖于A的分解式的选取,因此μ在R
上的定义是确定的,为证μ是环R上的测度,只需证明μ在R上是可数可加的,设}{
n
A
是R中的一列互不相交的集,使得∈=
∞
=
∪
1n
n
AA,R 设A和)1( ≥nA
n
的分解式分别为
,
1
∪
k
i
i
EA
=
=,1,
1
,
≥=
=
nFA
n
k
j
jnn ∪
则}1,1:{
,
≥≤≤ nkjF
njn
是C中的一列互不相交的集,我们有
51
.,,1,
1
,
kiCE
l
lii
null
∪
==
∞
=
其中}1,1,{
,
≥≤≤ lkiC
li
是由}1,1:{
,
≥≤≤ nkjF
njn
重新编号得到的,由于μ在C上是可数可加的,我们有
.)()()()()(
111
,
11
,
1
∑∑∑∑∑∑
∞
=
∞
===
∞
==
====
n
n
n
k
j
jn
k
il
li
k
i
i
AFCEA
n
μμμμμ
即μ在R上是可数可加的,因此μ是环R上的测度.■
定理8使得我们构造一个测度时更加容易,在§2.3和§4.6我们将看到这个定理的应用,
测度的完备性 下面我们考虑测度的完备性,设),,( μFX为一测度空间,.XE?
若存在∈A,F,0)( =Aμ 使得,AE? 则称E为μ -可略集,在有些问题中会涉及到关于μ -可略集可测性的讨论,如果μ -可略集不一定是可测集,有时会带来一些不便,然而对一般的测度空间而言,μ -可略集不一定是可测集,
例1 设],1,0[=X F = }.,{?X令,0)()( =?= μμ X 则μ是σ -代数F上的测度,
令E ],0[
2
1
=,则E是μ -可略集,但?E F,
定义9 设),,( μFX为一测度空间,若每个μ -可略集E都是可测集(即∈E F ),则称F关于测度μ是完备的,或称测度空间),,( μFX是完备的,
例如,例2 中的F关于μ不是完备的,
定理10 设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,
R是
μ -的全体所成的集类,则
R关于测度
μ是完备的,
证明 设E是可略集?μ,则存在∈A
R,使得0)( =
Aμ并且.AE? 由外测度的单调性得到.0)( =
Eμ 显然此时E满足卡氏条件,故∈E
R,因此
R关于测度
μ是完备的,■
以下部分不作为课堂讲授内容,这里仅介绍结果,略去证明,
设μ是环R上的测度,
μ是由μ导出的外测度,
R是
μ -可测集的全体所成的σ -
代数,由定理5,
μ是
R上的测度并且?)(Rσ
μ
M,一般情况下)(Rσ关于
μ不一定是完备的,而由定理10,
R关于测度
μ总是完备的,因此一般情况下集类
R要比)(Rσ
大,下面的定理表明
R中的集与)(Rσ中的集至多相差一个零测度集,
定理11设μ是环R上的测度,则对任意∈E
R,存在∈F ),(Rσ 使得EF?并且
).()( EF
= μμ 特别地当+∞<
)(Eμ时,.0)( =?
EFμ
定理12 设μ是环R上σ -有限的测度,则对任意∈E
R,存在∈F ),(Rσ 使得
52
EF?并且.0)( =?
EFμ
定理13 设μ是环R上σ -有限的测度,则∈E
R当且仅当满足以下条件之一,
).i(存在∈F )(Rσ和
μ -零测度集A使得EF?并且.AFE?=,
).ii(存在∈G )(Rσ和
μ -零测度集A使得EG?并且.AGE ∪=,
定理14 ),,( μFX为一测度空间,令
}.,:{可略集是?∈∪= μ
μ
EAEA FF
对任意,
μ
F∈∪= EAB 令).()(
~
AB μμ = 则
).i(
μ
F是σ -代数并且?F
μ
F,
).ii( μ
~
是
μ
F上的测度并且在F上.
~
μμ =
).iii(测度空间)
~
,,( μ
μ
FX是完备的,
定理14 中的测度空间)
~
,,( μ
μ
FX称为是),,( μFX的完备化空间,定理14表明任何测度空间都存在其完备化空间,
定理15 设μ是环R上?σ有限的测度,则)),(,(
μσ RX的完备化空间是
),,(
μRX,
特别地,如果),,( μFX是一个σ -有限的测度空间,则可以通过本节测度延拓的方法得到的),,( μFX的完备化空间,这个测度空间就是),,(
μFX,其中
F是
μ -可测集的全体所成的σ -代数,
小 结 从较简单的集类环上的测度μ出发,扩大其定义域得到外测度
μ,再根据卡氏条件挑出
μ -可测集,
μ -可测集的全体成为一个σ -代数,外测度限制在
μ -可测集上成为测度,这样就将环上的测度延拓到一个更大的集类σ -代数上.这种方法构是造测度常用的方法.下一节将用这种方法构造重要的测度—Lebesgue测度,
习 题 习题二,第9题—第14题,
