98
§4.2 积分的性质
教学目的 本节介绍积分的一些基本性质,包括积分的线性性质,积分的不等式性质和积分的绝对连续性等,这些性质都没有涉及到积分号下取极限的问题,积分取极限的性质讲在下一节介绍,
本节要点 一般测度空间上的积分,除了具有一些与经典积分类似的性质外,还具有一些新的性质.应注意比较.学习本节的内容,除了应了解积分的基本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧,
本节所有的讨论都是给定的测度空间),,( μFX进行的,
定理1 ).i(若f的积分存在,c是实数,则cf的积分存在,并且
,.
∫ ∫
= μμ fdccfd (1)
).ii(若gf,的积分存在,并且
∫∫
+ μμ gdfd有意义,则gf +的积分也存在并且
∫∫∫
+=+,)( μμμ gdfddgf (2)
特别地,若f,g可积,则cf和gf +也可积,并且(1)和(2)式成立,
证明 ).i(当0≥c时,,)(
++
= cfcf,)(
= cfcf 由此知道cf的积分存在,由定理
4.1.5,我们有
∫∫∫∫∫∫
=?=?=
+?+
.)()( μμμμμμ fdcdcfdcfdcfdcfcfd
类似可证当0<c时(1)成立,因此)i(得证,
).ii(由于
=+?+
+
)()( gfgf,
+?+
+?=+ ggffgf
因此
.)()(
+++
+++=+++ gfgfgfgf
上式两边积分并利用§4.1定理5得到
,)()(
_
μμμμμμ dgfdgdfdgdfdgf
∫∫∫∫∫∫
+++=+++
+++
(3)
由于,)(
+++
+≤+ gfgf,)(
+≤+ gfgf仍由§4.1定理5我们有
,)(
∫∫∫
+++
+≤+ μμμ dgdfdgf (4)
99
,)(
∫∫∫
+≤+ μμμ dgdfdgf (5)
由于
∫∫
+ μμ gdfd有意义,因此
∫∫
++
+ μμ dgdf和
∫∫
+ μμ dgdf中至少有一项是有限的.不妨设.+∞<+
∫∫
μμ dgdf 则由(5)得到.)( +∞<+
∫
μdgf 从(3)式两边减去
μ
∫
+ dgf )(
∫∫
++ μμ dgdf得到
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
+=
+?=
+?+=+
+?+
+
.
)()()(
μμ
μμμμ
μμμ
gdfd
dgdgdfdf
dgfdgfdgf
这表明gf +的积分存在并且(2)式成立,■
定理2 设f在可测集E上的积分存在,则
).i( f在E的任意可测子集上的积分也存在,
).ii(设BA,是E的可测子集并且.?=∩BA 则成立
.
AB A B
fdfdfdμ μμ
∪
=+
∫∫∫
(6)
特别地,在)i(和)ii(中将积分存在换成可积,结论仍成立,
证明 由积分的定义容易知道)i(成立,下面证明).ii( 由)i(知道(6)式中的积分都存在,
并且(6)式右边的和式有意义,由定理1得到
()
.
AB A B
AB
AB
AB
fd fI d fI fI d
fId fId fd fd
μμ μ
μ μμμ
∪
∪
==+
=+=+
∫∫ ∫
∫∫∫∫
■
定理3 设gf,的积分存在,则
).i(若a.e.,gf ≤则
∫∫
≤,μμ gdfd
).ii(若a.e.,gf =则
∫∫
=,μμ gdfd
证明 由于a.e.,gf ≤ 易知有a.e.
++
≤ gf,a.e.
=?
≥ gf由§4.1定理5 ),iii( 我们有
∫∫
++
≤,μμ dgdf
∫∫
≥,.μμ dgdf于是
∫∫∫∫ ∫∫
=?≤?=
+?+
.μμμμμμ gddgdgdfdffd
因此)i(得证.由)i(立即得到).ii( ■
推论4 ).i(若a.e.0=f,则对任意可测集A,有0.
A
fdμ=
∫
100
).ii(若,0)( =Aμ 则对任意可测函数f,有0.
A
fdμ=
∫
证明 ).i(由于a.e.0=f,因此对任意可测集A,a.e..0=
A
fI 由定理3 )ii(得到
0.
A
A
fd fI dμμ==
∫∫
).ii(若,0)( =Aμ 则对任意可测函数,f a.e..0=
A
fI 同上面一样得0.
A
fdμ=
∫
■
由定理3知道,在一个零测度集上改变一个函数的函数值,不改变该函数的可积性和积分值,因此,在讨论可测函数积分的性质的时候,可测函数所要满足的条件通常只需要几乎处处成立就可以了,
定理5 设f是可测函数,则
).i(若f的积分存在,则.μμ dffd
∫∫
≤
).ii( f可积当且仅当f可积,
证明 ).i(由于,fff ≤≤? 由定理3,
∫ ∫ ∫
≤≤?,μμμ dffddf这表明
∫∫
≤,μμ dffd
).ii(若f可积,则
+
f和
f都可积,于是
+
+= fff也可积,反过来,设f可积,
由于,,ffff ≤≤
+
故
+
f和
f都可积,从而
+
= fff也可积.■
将定理5应用到Lebesgue积分上得到,f Lebesgue可积当且仅当f Lebesgue可积,
但我们知道f在区间],[ ba上Riemann可积不能蕴涵f Riemann可积,因此这是两种积分的又一不同之处,
在继续讨论积分的性质之前,先证明一个有用的不等式,这个不等式有时称为
Chebyshev不等式,
引理6 设f是一个可测函数,则对任意,0>λ 成立
.
1
}))(:({
∫
≤≥ μ
λ
λμ dfxfx
证明 由于在}{ λ≥f上,.1)(
1
≥xf
λ
由定理3,我们有
{}
{}
11
({ }),
f
f
f Id fd fd
λ
λ
μ λμμμ
λλ
≥
≥
≥= ≤ ≤
∫ ∫∫
■
定理7 若f是一个非负可测函数并且
∫
=,0μfd 则a.e..0=f
证明 令.1},
1
{},0{ ≥>=>= n
n
fAfA
n
则}{
n
A是单调增加的并且.
1
∪
∞
=
=
n
n
AA
101
由引理6,
∫
=≤≤,0)(0 μμ fdnA
n
因此.1,0)( ≥= nA
n
μ 由测度的下连续性得
.0)(lim)( ==
∞→
n
n
AA μμ这表明a.e..0=f ■
定理8 若f可积,则f几乎处处有限,
证明 设f可积,由定理5知道f可积.令
},{ +∞== fA,1},{ ≥≥= nnfA
n
则}{
n
A是单调减少的并且.
1
∩
∞
=
=
n
n
AA 由引理6得到
∫
≥≤≤,1,
1
)(0 ndf
n
A
n
μμ (7)
注意到,)(
1
∫
+∞<≤ μμ dfA 由测度的上连续性和(7)得.0)(lim)( ==
∞→
n
n
AAμ这表明
a.e..,+∞<f ■
定理9 (积分的绝对连续性)若f可积,则对任意,0>ε 存在相应的,0>δ 使得当
δμ <)(A时,成立.
A
fdμ ε<
∫
证明 设f可积,则f可积.设}{
n
g是非负简单函数列使得.fg
n ↑
由积分的定义,
.lim
∫∫
+∞<=
∞→
μμ dfdg
n
n
于是对任意,0>ε 存在自然数
0
n使得.
2
)(0
0∫
<?≤
ε
μdgf
n
令),(sup
0
xgM
n
Xx∈
= 则
.0 +∞<< M 再令,
2M
ε
δ = 则对任意可测集,A 当δμ <)(A时,
00
() ().
2
nn
AA A
fd f g d gd M A
ε
μ μμμε=?+ <+ <
∫∫ ∫
■
小 结 本节介绍了一般测度空间上积分的一些基本性质.一般测度空间上的积分,除了具有一些经典积分所具有的性质,如线性性质和对被积函数的单调性等性质外,还具有一些新的特点,如积分的绝对连续性,Chebyshev不等式等.另外,f可积当且仅当f可积这个性质是与经典积分有重要差别的,
习 题 习题四,第5题—第15题,
§4.2 积分的性质
教学目的 本节介绍积分的一些基本性质,包括积分的线性性质,积分的不等式性质和积分的绝对连续性等,这些性质都没有涉及到积分号下取极限的问题,积分取极限的性质讲在下一节介绍,
本节要点 一般测度空间上的积分,除了具有一些与经典积分类似的性质外,还具有一些新的性质.应注意比较.学习本节的内容,除了应了解积分的基本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧,
本节所有的讨论都是给定的测度空间),,( μFX进行的,
定理1 ).i(若f的积分存在,c是实数,则cf的积分存在,并且
,.
∫ ∫
= μμ fdccfd (1)
).ii(若gf,的积分存在,并且
∫∫
+ μμ gdfd有意义,则gf +的积分也存在并且
∫∫∫
+=+,)( μμμ gdfddgf (2)
特别地,若f,g可积,则cf和gf +也可积,并且(1)和(2)式成立,
证明 ).i(当0≥c时,,)(
++
= cfcf,)(
= cfcf 由此知道cf的积分存在,由定理
4.1.5,我们有
∫∫∫∫∫∫
=?=?=
+?+
.)()( μμμμμμ fdcdcfdcfdcfdcfcfd
类似可证当0<c时(1)成立,因此)i(得证,
).ii(由于
=+?+
+
)()( gfgf,
+?+
+?=+ ggffgf
因此
.)()(
+++
+++=+++ gfgfgfgf
上式两边积分并利用§4.1定理5得到
,)()(
_
μμμμμμ dgfdgdfdgdfdgf
∫∫∫∫∫∫
+++=+++
+++
(3)
由于,)(
+++
+≤+ gfgf,)(
+≤+ gfgf仍由§4.1定理5我们有
,)(
∫∫∫
+++
+≤+ μμμ dgdfdgf (4)
99
,)(
∫∫∫
+≤+ μμμ dgdfdgf (5)
由于
∫∫
+ μμ gdfd有意义,因此
∫∫
++
+ μμ dgdf和
∫∫
+ μμ dgdf中至少有一项是有限的.不妨设.+∞<+
∫∫
μμ dgdf 则由(5)得到.)( +∞<+
∫
μdgf 从(3)式两边减去
μ
∫
+ dgf )(
∫∫
++ μμ dgdf得到
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
+=
+?=
+?+=+
+?+
+
.
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μμ
μμμμ
μμμ
gdfd
dgdgdfdf
dgfdgfdgf
这表明gf +的积分存在并且(2)式成立,■
定理2 设f在可测集E上的积分存在,则
).i( f在E的任意可测子集上的积分也存在,
).ii(设BA,是E的可测子集并且.?=∩BA 则成立
.
AB A B
fdfdfdμ μμ
∪
=+
∫∫∫
(6)
特别地,在)i(和)ii(中将积分存在换成可积,结论仍成立,
证明 由积分的定义容易知道)i(成立,下面证明).ii( 由)i(知道(6)式中的积分都存在,
并且(6)式右边的和式有意义,由定理1得到
()
.
AB A B
AB
AB
AB
fd fI d fI fI d
fId fId fd fd
μμ μ
μ μμμ
∪
∪
==+
=+=+
∫∫ ∫
∫∫∫∫
■
定理3 设gf,的积分存在,则
).i(若a.e.,gf ≤则
∫∫
≤,μμ gdfd
).ii(若a.e.,gf =则
∫∫
=,μμ gdfd
证明 由于a.e.,gf ≤ 易知有a.e.
++
≤ gf,a.e.
=?
≥ gf由§4.1定理5 ),iii( 我们有
∫∫
++
≤,μμ dgdf
∫∫
≥,.μμ dgdf于是
∫∫∫∫ ∫∫
=?≤?=
+?+
.μμμμμμ gddgdgdfdffd
因此)i(得证.由)i(立即得到).ii( ■
推论4 ).i(若a.e.0=f,则对任意可测集A,有0.
A
fdμ=
∫
100
).ii(若,0)( =Aμ 则对任意可测函数f,有0.
A
fdμ=
∫
证明 ).i(由于a.e.0=f,因此对任意可测集A,a.e..0=
A
fI 由定理3 )ii(得到
0.
A
A
fd fI dμμ==
∫∫
).ii(若,0)( =Aμ 则对任意可测函数,f a.e..0=
A
fI 同上面一样得0.
A
fdμ=
∫
■
由定理3知道,在一个零测度集上改变一个函数的函数值,不改变该函数的可积性和积分值,因此,在讨论可测函数积分的性质的时候,可测函数所要满足的条件通常只需要几乎处处成立就可以了,
定理5 设f是可测函数,则
).i(若f的积分存在,则.μμ dffd
∫∫
≤
).ii( f可积当且仅当f可积,
证明 ).i(由于,fff ≤≤? 由定理3,
∫ ∫ ∫
≤≤?,μμμ dffddf这表明
∫∫
≤,μμ dffd
).ii(若f可积,则
+
f和
f都可积,于是
+
+= fff也可积,反过来,设f可积,
由于,,ffff ≤≤
+
故
+
f和
f都可积,从而
+
= fff也可积.■
将定理5应用到Lebesgue积分上得到,f Lebesgue可积当且仅当f Lebesgue可积,
但我们知道f在区间],[ ba上Riemann可积不能蕴涵f Riemann可积,因此这是两种积分的又一不同之处,
在继续讨论积分的性质之前,先证明一个有用的不等式,这个不等式有时称为
Chebyshev不等式,
引理6 设f是一个可测函数,则对任意,0>λ 成立
.
1
}))(:({
∫
≤≥ μ
λ
λμ dfxfx
证明 由于在}{ λ≥f上,.1)(
1
≥xf
λ
由定理3,我们有
{}
{}
11
({ }),
f
f
f Id fd fd
λ
λ
μ λμμμ
λλ
≥
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≥= ≤ ≤
∫ ∫∫
■
定理7 若f是一个非负可测函数并且
∫
=,0μfd 则a.e..0=f
证明 令.1},
1
{},0{ ≥>=>= n
n
fAfA
n
则}{
n
A是单调增加的并且.
1
∪
∞
=
=
n
n
AA
101
由引理6,
∫
=≤≤,0)(0 μμ fdnA
n
因此.1,0)( ≥= nA
n
μ 由测度的下连续性得
.0)(lim)( ==
∞→
n
n
AA μμ这表明a.e..0=f ■
定理8 若f可积,则f几乎处处有限,
证明 设f可积,由定理5知道f可积.令
},{ +∞== fA,1},{ ≥≥= nnfA
n
则}{
n
A是单调减少的并且.
1
∩
∞
=
=
n
n
AA 由引理6得到
∫
≥≤≤,1,
1
)(0 ndf
n
A
n
μμ (7)
注意到,)(
1
∫
+∞<≤ μμ dfA 由测度的上连续性和(7)得.0)(lim)( ==
∞→
n
n
AAμ这表明
a.e..,+∞<f ■
定理9 (积分的绝对连续性)若f可积,则对任意,0>ε 存在相应的,0>δ 使得当
δμ <)(A时,成立.
A
fdμ ε<
∫
证明 设f可积,则f可积.设}{
n
g是非负简单函数列使得.fg
n ↑
由积分的定义,
.lim
∫∫
+∞<=
∞→
μμ dfdg
n
n
于是对任意,0>ε 存在自然数
0
n使得.
2
)(0
0∫
<?≤
ε
μdgf
n
令),(sup
0
xgM
n
Xx∈
= 则
.0 +∞<< M 再令,
2M
ε
δ = 则对任意可测集,A 当δμ <)(A时,
00
() ().
2
nn
AA A
fd f g d gd M A
ε
μ μμμε=?+ <+ <
∫∫ ∫
■
小 结 本节介绍了一般测度空间上积分的一些基本性质.一般测度空间上的积分,除了具有一些经典积分所具有的性质,如线性性质和对被积函数的单调性等性质外,还具有一些新的特点,如积分的绝对连续性,Chebyshev不等式等.另外,f可积当且仅当f可积这个性质是与经典积分有重要差别的,
习 题 习题四,第5题—第15题,
