76
§3.2 可测函数的收敛性
教学目的 可测函数列可以定义各种收敛性,本节讨论几乎处处收敛,
依测度收敛和几乎一致收敛,几种收敛性之间存在一些蕴涵关系,通过本节的学习,可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解,
本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性,
特别是依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异,
Egorov定理和Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系,Riesz定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁,
以下所有的讨论都是在某一固定的测度空间),,( μFX上进行的,
几乎处处成立的性质 设)(xP是一个与x有关的命题,若存在一个零测度集N,使得当
NXx?∈时)(xP成立(换言之,{,()x Px不成立} N? ),则称)(xP (关于测度μ )几乎处处成立,记为)(xP a.e.?μ,或者)(xP a.e,
在上面的定义中,若)(xP几乎处处成立,则集})(:{不成立xPx包含在一个零测度集内,若})(:{不成立xPx是可测集,则由测度的单调性知道({,( ) }) 0.xPxμ =不成立
显然,若),,( μFX是完备的测度空间,则)(xP几乎处处成立当且仅当
.0}))(:({ =不成立xPxμ
例1 设给定两个函数f和g,若存在一个零测度集N,使得当Nx?时
),()( xgxf = 则称f和g几乎处处相等,记为gf = a.e,
例2 设f为一广义实值函数,若存在一个零测度集N,使得当Nx?时,+∞<f 则称f是几乎处处有限的,记为+∞<f,a.e,
可测函数的几种收敛性 设E是X的子集,)1(,≥nff
n
定义在E上的函数,若对任意0>ε,存在,0>N 使得当Nn ≥时,对一切Ex∈成立,)()( ε<? xfxf
n
则称}{
n
f
在E上一致收敛于f,记为..unff
n
→
定义1 设为}{
n
f一可测函数列,f为一可测函数,
(1) 若存在一个零测度集N,使得当Nx?时,有)()(lim xfxf
n
n
=
∞→
,则称}{
n
f几乎处处收敛于f,记为ff
n
n
=
∞→
lim a.e.,或ff
n
→?
a.e.
,
77
(2) 若对任给的0>ε,总有
.0}{lim =≥?
+∞→
εμ ff
n
n
则称}{
n
f依测度收敛于f,记为.ff
n
→?
μ
(3) 若对任给的0>δ,存在可测集
δ
E,δμ
δ
<)(E,使得}{
n
f在
δ
EX?上一致收敛于f,则称}{
n
f几乎一致收敛于f,记为ff
n
n
=
∞→
lim a.un,或 ff
n
→?
a..un.
,
容易证明,若将两个a.e.相等的函数不加区别,则上述几种极限的极限是唯一的,例如,
若,
a.e.
ff
n
→? gf
n
→?
a.e.
,则gf = a.e.,其证明留作习题,
例3 设))),,0[(),,0([ m+∞+∞ M为区间),0[ ∞+上的Lebesgue测度空间,其中
)),0[( +∞M是),0[ ∞+上的L可测集所成的σ -代数,m是
1
R上的L测度在),0[ ∞+上的限制,令
.1),(1)(
),
1
(
≥?= nxIxf
n
n
n
则对任意,0>x ).(0)( ∞→→ nxf
n
当0=x时)(xf
n
不收敛于0,但,0})0({ =m 因此在),0[ ∞+上.0
a.e.
→?
n
f 由于对,
2
1
=ε
/
11
({ }) ([0,] [,)) 0,( ).
2
n
mf m n n
n
≥= ∪+∞=+∞? →→+∞
因此}{
n
f不依测度收敛于0,这个例子表明在一般情况下,几乎处处收敛不一定能推出依测度收敛,
例4 设)]),1,0[(],1,0[( mM是]1,0[上的Lebesgue测度空间,令
.1,)( ≥= nxxf
n
n
则对任意0>δ,}{
n
f在]1,0[ δ?上一致收敛于0,由于δδ =? ])1,1((m可以任意小,因此0
a..un.
→?
n
f,又显然.0
a.e.
→?
n
f
例5 设)]),1,0[(],1,0[( mM是]1,0[上的Lebesgue测度空间,令
.1,,,1],,
1
[ ≥=
= nni
n
i
n
i
A
i
n
null
图2—1
)1(
3
A
X0 1
nullnullnullnullnullnullnull
2
1
)1(
2
A
)2(
2
A
)2(
3
A
)3(
3
A
nullnullnullnullnull3
1
3
2
nullnullnullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull
78
(图2—1)将}{
i
n
A先按照n后按照i的顺序重新编号记为}{
n
E,显然.0)( →
n
Em 令
)()( xIxf
n
En
=,1≥n,.0)( =xf
对任意0>ε,由于
.,0)(})({ ∞→→=≥? nEmffm
nn
ε
故}{
n
f依测度收敛于f,但}{
n
f在]1,0[上处处不收敛,事实上,对任意]1,0[
0
∈x,必有无穷多个
n
E包含
0
x,也有无穷多个
n
E不包含
0
x,故有无穷多个n使得,1)(
0
=xf
n
又有无穷多个n使得.0)(
0
=xf
n
因此}{
n
f在
0
x不收敛,这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛,例3和例4表明,依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大,
几种收敛性之间的关系 为叙述简单计,以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数,
但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明),
引理2 设+∞<)(Xμ,若.
a.e.
ff
n
→? 则对任意0>ε有
.0)}{(lim =≥?
∞
=
∞→
∪
ni
i
n
ff εμ
证明 设0>ε是一给定的正数,任取Xx∈,若对任意,1≥n 存在,ni ≥ 使得
.)()( ε≥? xfxf
i
则)()( xfxf
n
不收敛于,这表明
∩∪
∞
=
∞
=
≥?
1
}{
nni
i
ff ε )}.()(:{ / xfxfx
n
→
由于,
a.e.
ff
n
→? 因此由上式知道
.0}{
1
=
≥?
∞
=
∞
=
∩∪
nni
i
ff εμ
由于+∞<)(Xμ,由测度的上连续性,我们有
0}{}{lim
1
=
≥?=
≥?
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
∩∪∪
nni
i
ni
i
n
ffff εμεμ,■
容易证明,若,
a..un.
ff
n
→? 则ff
n
→?
a.e.
(其证明留作习题),下面的定理表明当
+∞<)(Xμ时,其逆也成立,
定理3 (叶戈洛夫)若+∞<)(Xμ,则ff
n
→?
a.e.
蕴涵.
a..un.
ff
n
→?
证明 设+∞<)(Xμ,.
a.e.
ff
n
→? 由引理2,对任意0>ε,有
.0}{lim =
≥?
∞
=
∞→
∪
ni
i
n
ff εμ
于是对任意的0>δ和自然数1≥k,存在自然数
k
n使得
79
.
2
}
1
{
k
ni
i
k
k
ff
δ
μ <
≥?
∞
=
∪
令.}
1
{
1
∪∪
∞
=
∞
=
≥?=
kni
i
k
k
ffE
δ
由测度的次可数可加性我们有
.
2
}
1
{)(
11
δ
δ
μμ
δ
=≤
≥?≤
∑∑
∞
=
∞
=
∞
= k
k
k ni
i
k
k
ffE
∪
往证在
C
E
δ
上,}{
n
f一致收敛于f,事实上,由De Morgan公式得
1
11
{}{},1.
kk
C
ii
kin in
Eff ffk
kk
δ
∞∞ ∞
== =
=?<<≥
∩∩ ∩
(1)
对任意0>ε 取k足够大使得.
1
ε<
k
则由(1)式知道,当
k
ni ≥时对一切
C
x E
δ
∈,有
.
1
)()( ε<<?
k
xfxf
i
即在
C
E
δ
上}{
n
f一致收敛于f,这就证明了ff
n
→?
a..un.
■
注2 在叶戈洛夫定理中,条件+∞<)(Xμ不能去掉,例如,若令),()(
),[
xIxf
nn +∞
=
.1≥n 则}{
n
f在
1
R上处处收敛于0,但容易知道}{
n
f不是几乎一致收敛于0,
定理4 若+∞<)(Xμ,则ff
n
→?
a.e.
蕴涵.ff
n
→?
μ
证明 设+∞<)(Xμ,.
a.e.
ff
n
→?,由引理2,对任意0>ε有
.0}{lim =
≥?
∞
=
∞→
∪
ni
i
n
ff εμ
由测度的单调性立即得到
()≤≥?
∞→
}{lim εμ ff
n
n
.0}{lim =
≥?
∞
=
∞→
∪
ni
i
n
ff εμ
即.ff
n
→?
μ
■
本节例3表明,在定理4中,条件+∞<)(Xμ不能去掉,
定理5 (Riesz)若,ff
n
→?
μ
则存在}{
n
f的子列}{
k
n
f,使得.
a.e.
ff
k
n
→?
证明 设.ff
n
→?
μ
对任意0>ε和0>δ,存在1≥N,使得当Nn ≥时,有
δεμ <≥? })({ ff
n
,
于是对任意自然数1≥k,存在自然数
k
n,使得
80
.
2
1
})
1
({
k
n
k
ff
k
<≥?μ (2)
我们可适当选取
k
n使得null,2,1,
1
=<
+
knn
kk
,往证.
a.e.
ff
k
n
→? 令
null
∩
,2,1,}
1
{ =<?=
∞
=
i
k
ffE
ik
ni
k
,
对任意
i
Ex∈,当ik ≥时,
.
1
)()(
k
xfxf
k
n
<?
这表明}{
k
n
f在
i
E上收敛于f,令.
1
∪
∞
=
=
i
i
EE 则}{
k
n
f在E上收敛于f,往证
()0.
C
Eμ = 由De Morgan公式,我们有
.}
1
{
11
∩∩∪
∞
=
∞
=
∞
=
≥?==
iiik
n
c
i
c
k
ffEE
k
利用(2)容易得到
1
()1.
C
Eμ ≤ 因此由测度的上连续性并且利用(2),我们有
.0
2
1
lim
})
1
({lim
}
1
{lim)(
=≤
≥?≤
≥?=
∑
∑
∞
=
∞→
∞
=
∞→
∞
=
∞→
ik
k
i
ik
n
i
ik
n
i
c
k
ff
k
ffE
k
k
μ
μμ
∪
这就证明了.
a.e.
ff
k
n
→? ■
几种收敛性之间的关系如图2—2
图2—2
定理5给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系,利用这种联系,常常可以把依测度几乎处处收敛几乎一致收敛 依测度收敛
∞<)(Xμ
叶戈洛夫定理
∞<)(Xμ
存在子列
k
n
f
Riese定理
81
收敛的问题转化为几乎处处的问题,而几乎处处收敛是比较容易处理的,
思考题 设+∞<)(Xμ,证明,ff
n
→?
μ
当且仅当}{
n
f的任一子列}{
k
n
f都存在其子列}{
k
n
f
′
,使得).(
a.e.
∞→′?→?
′
kff
k
n
小 结 本节介绍了几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛,它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系,其中最重要的是Egorov定理和
Riesz定理.利用Riesz定理,可以把较难处理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题,
本节还介绍了几乎处处成立的性质的概念,后面讨论积分的性质时,将会更清楚地看到这个概念的意义,
习 题 习题三,第18题—第28题,
§3.2 可测函数的收敛性
教学目的 可测函数列可以定义各种收敛性,本节讨论几乎处处收敛,
依测度收敛和几乎一致收敛,几种收敛性之间存在一些蕴涵关系,通过本节的学习,可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解,
本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性,
特别是依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异,
Egorov定理和Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系,Riesz定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁,
以下所有的讨论都是在某一固定的测度空间),,( μFX上进行的,
几乎处处成立的性质 设)(xP是一个与x有关的命题,若存在一个零测度集N,使得当
NXx?∈时)(xP成立(换言之,{,()x Px不成立} N? ),则称)(xP (关于测度μ )几乎处处成立,记为)(xP a.e.?μ,或者)(xP a.e,
在上面的定义中,若)(xP几乎处处成立,则集})(:{不成立xPx包含在一个零测度集内,若})(:{不成立xPx是可测集,则由测度的单调性知道({,( ) }) 0.xPxμ =不成立
显然,若),,( μFX是完备的测度空间,则)(xP几乎处处成立当且仅当
.0}))(:({ =不成立xPxμ
例1 设给定两个函数f和g,若存在一个零测度集N,使得当Nx?时
),()( xgxf = 则称f和g几乎处处相等,记为gf = a.e,
例2 设f为一广义实值函数,若存在一个零测度集N,使得当Nx?时,+∞<f 则称f是几乎处处有限的,记为+∞<f,a.e,
可测函数的几种收敛性 设E是X的子集,)1(,≥nff
n
定义在E上的函数,若对任意0>ε,存在,0>N 使得当Nn ≥时,对一切Ex∈成立,)()( ε<? xfxf
n
则称}{
n
f
在E上一致收敛于f,记为..unff
n
→
定义1 设为}{
n
f一可测函数列,f为一可测函数,
(1) 若存在一个零测度集N,使得当Nx?时,有)()(lim xfxf
n
n
=
∞→
,则称}{
n
f几乎处处收敛于f,记为ff
n
n
=
∞→
lim a.e.,或ff
n
→?
a.e.
,
77
(2) 若对任给的0>ε,总有
.0}{lim =≥?
+∞→
εμ ff
n
n
则称}{
n
f依测度收敛于f,记为.ff
n
→?
μ
(3) 若对任给的0>δ,存在可测集
δ
E,δμ
δ
<)(E,使得}{
n
f在
δ
EX?上一致收敛于f,则称}{
n
f几乎一致收敛于f,记为ff
n
n
=
∞→
lim a.un,或 ff
n
→?
a..un.
,
容易证明,若将两个a.e.相等的函数不加区别,则上述几种极限的极限是唯一的,例如,
若,
a.e.
ff
n
→? gf
n
→?
a.e.
,则gf = a.e.,其证明留作习题,
例3 设))),,0[(),,0([ m+∞+∞ M为区间),0[ ∞+上的Lebesgue测度空间,其中
)),0[( +∞M是),0[ ∞+上的L可测集所成的σ -代数,m是
1
R上的L测度在),0[ ∞+上的限制,令
.1),(1)(
),
1
(
≥?= nxIxf
n
n
n
则对任意,0>x ).(0)( ∞→→ nxf
n
当0=x时)(xf
n
不收敛于0,但,0})0({ =m 因此在),0[ ∞+上.0
a.e.
→?
n
f 由于对,
2
1
=ε
/
11
({ }) ([0,] [,)) 0,( ).
2
n
mf m n n
n
≥= ∪+∞=+∞? →→+∞
因此}{
n
f不依测度收敛于0,这个例子表明在一般情况下,几乎处处收敛不一定能推出依测度收敛,
例4 设)]),1,0[(],1,0[( mM是]1,0[上的Lebesgue测度空间,令
.1,)( ≥= nxxf
n
n
则对任意0>δ,}{
n
f在]1,0[ δ?上一致收敛于0,由于δδ =? ])1,1((m可以任意小,因此0
a..un.
→?
n
f,又显然.0
a.e.
→?
n
f
例5 设)]),1,0[(],1,0[( mM是]1,0[上的Lebesgue测度空间,令
.1,,,1],,
1
[ ≥=
= nni
n
i
n
i
A
i
n
null
图2—1
)1(
3
A
X0 1
nullnullnullnullnullnullnull
2
1
)1(
2
A
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2
A
)2(
3
A
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A
nullnullnullnullnull3
1
3
2
nullnullnullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull
78
(图2—1)将}{
i
n
A先按照n后按照i的顺序重新编号记为}{
n
E,显然.0)( →
n
Em 令
)()( xIxf
n
En
=,1≥n,.0)( =xf
对任意0>ε,由于
.,0)(})({ ∞→→=≥? nEmffm
nn
ε
故}{
n
f依测度收敛于f,但}{
n
f在]1,0[上处处不收敛,事实上,对任意]1,0[
0
∈x,必有无穷多个
n
E包含
0
x,也有无穷多个
n
E不包含
0
x,故有无穷多个n使得,1)(
0
=xf
n
又有无穷多个n使得.0)(
0
=xf
n
因此}{
n
f在
0
x不收敛,这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛,例3和例4表明,依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大,
几种收敛性之间的关系 为叙述简单计,以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数,
但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明),
引理2 设+∞<)(Xμ,若.
a.e.
ff
n
→? 则对任意0>ε有
.0)}{(lim =≥?
∞
=
∞→
∪
ni
i
n
ff εμ
证明 设0>ε是一给定的正数,任取Xx∈,若对任意,1≥n 存在,ni ≥ 使得
.)()( ε≥? xfxf
i
则)()( xfxf
n
不收敛于,这表明
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∞
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1
}{
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i
ff ε )}.()(:{ / xfxfx
n
→
由于,
a.e.
ff
n
→? 因此由上式知道
.0}{
1
=
≥?
∞
=
∞
=
∩∪
nni
i
ff εμ
由于+∞<)(Xμ,由测度的上连续性,我们有
0}{}{lim
1
=
≥?=
≥?
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
∩∪∪
nni
i
ni
i
n
ffff εμεμ,■
容易证明,若,
a..un.
ff
n
→? 则ff
n
→?
a.e.
(其证明留作习题),下面的定理表明当
+∞<)(Xμ时,其逆也成立,
定理3 (叶戈洛夫)若+∞<)(Xμ,则ff
n
→?
a.e.
蕴涵.
a..un.
ff
n
→?
证明 设+∞<)(Xμ,.
a.e.
ff
n
→? 由引理2,对任意0>ε,有
.0}{lim =
≥?
∞
=
∞→
∪
ni
i
n
ff εμ
于是对任意的0>δ和自然数1≥k,存在自然数
k
n使得
79
.
2
}
1
{
k
ni
i
k
k
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δ
μ <
≥?
∞
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∪
令.}
1
{
1
∪∪
∞
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∞
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i
k
k
ffE
δ
由测度的次可数可加性我们有
.
2
}
1
{)(
11
δ
δ
μμ
δ
=≤
≥?≤
∑∑
∞
=
∞
=
∞
= k
k
k ni
i
k
k
ffE
∪
往证在
C
E
δ
上,}{
n
f一致收敛于f,事实上,由De Morgan公式得
1
11
{}{},1.
kk
C
ii
kin in
Eff ffk
kk
δ
∞∞ ∞
== =
=?<<≥
∩∩ ∩
(1)
对任意0>ε 取k足够大使得.
1
ε<
k
则由(1)式知道,当
k
ni ≥时对一切
C
x E
δ
∈,有
.
1
)()( ε<<?
k
xfxf
i
即在
C
E
δ
上}{
n
f一致收敛于f,这就证明了ff
n
→?
a..un.
■
注2 在叶戈洛夫定理中,条件+∞<)(Xμ不能去掉,例如,若令),()(
),[
xIxf
nn +∞
=
.1≥n 则}{
n
f在
1
R上处处收敛于0,但容易知道}{
n
f不是几乎一致收敛于0,
定理4 若+∞<)(Xμ,则ff
n
→?
a.e.
蕴涵.ff
n
→?
μ
证明 设+∞<)(Xμ,.
a.e.
ff
n
→?,由引理2,对任意0>ε有
.0}{lim =
≥?
∞
=
∞→
∪
ni
i
n
ff εμ
由测度的单调性立即得到
()≤≥?
∞→
}{lim εμ ff
n
n
.0}{lim =
≥?
∞
=
∞→
∪
ni
i
n
ff εμ
即.ff
n
→?
μ
■
本节例3表明,在定理4中,条件+∞<)(Xμ不能去掉,
定理5 (Riesz)若,ff
n
→?
μ
则存在}{
n
f的子列}{
k
n
f,使得.
a.e.
ff
k
n
→?
证明 设.ff
n
→?
μ
对任意0>ε和0>δ,存在1≥N,使得当Nn ≥时,有
δεμ <≥? })({ ff
n
,
于是对任意自然数1≥k,存在自然数
k
n,使得
80
.
2
1
})
1
({
k
n
k
ff
k
<≥?μ (2)
我们可适当选取
k
n使得null,2,1,
1
=<
+
knn
kk
,往证.
a.e.
ff
k
n
→? 令
null
∩
,2,1,}
1
{ =<?=
∞
=
i
k
ffE
ik
ni
k
,
对任意
i
Ex∈,当ik ≥时,
.
1
)()(
k
xfxf
k
n
<?
这表明}{
k
n
f在
i
E上收敛于f,令.
1
∪
∞
=
=
i
i
EE 则}{
k
n
f在E上收敛于f,往证
()0.
C
Eμ = 由De Morgan公式,我们有
.}
1
{
11
∩∩∪
∞
=
∞
=
∞
=
≥?==
iiik
n
c
i
c
k
ffEE
k
利用(2)容易得到
1
()1.
C
Eμ ≤ 因此由测度的上连续性并且利用(2),我们有
.0
2
1
lim
})
1
({lim
}
1
{lim)(
=≤
≥?≤
≥?=
∑
∑
∞
=
∞→
∞
=
∞→
∞
=
∞→
ik
k
i
ik
n
i
ik
n
i
c
k
ff
k
ffE
k
k
μ
μμ
∪
这就证明了.
a.e.
ff
k
n
→? ■
几种收敛性之间的关系如图2—2
图2—2
定理5给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系,利用这种联系,常常可以把依测度几乎处处收敛几乎一致收敛 依测度收敛
∞<)(Xμ
叶戈洛夫定理
∞<)(Xμ
存在子列
k
n
f
Riese定理
81
收敛的问题转化为几乎处处的问题,而几乎处处收敛是比较容易处理的,
思考题 设+∞<)(Xμ,证明,ff
n
→?
μ
当且仅当}{
n
f的任一子列}{
k
n
f都存在其子列}{
k
n
f
′
,使得).(
a.e.
∞→′?→?
′
kff
k
n
小 结 本节介绍了几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛,它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系,其中最重要的是Egorov定理和
Riesz定理.利用Riesz定理,可以把较难处理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题,
本节还介绍了几乎处处成立的性质的概念,后面讨论积分的性质时,将会更清楚地看到这个概念的意义,
习 题 习题三,第18题—第28题,
