90
第四章 积 分
在引言中我们已经提到,Riemann积分在处理连续函数或者逐段连续函数时,在计算一些几何和物理的量时它是很有用的,但它也存在一些缺陷,使得Riemann积分在处理分析数学中的一些问题时显得不够有力,因此需要建立新的积分的理论,二十世纪初,Lebesgue建立了一种新的积分理论,新的积分理论消除了上述缺陷,并且包含了原有的Riemann积分理论,这就是本章将要介绍的Lebesgue积分理论,
由于现代数学的许多分支如概率论,泛函分析,群上调和分析等越来越多的用到一般空间上的测度与积分理论,因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论,
§4.1 积分的定义
教学目的 由于理论和应用的需要,需要建立新的积分理论.本节在抽象测度空间上定义可测函数的积分,并简单讨论可积条件,
本节要点 定义积分的过程分三个步骤,逐步定义非负简单函数,非负可测函数和一般可测函数的积分,其中第一,二个步骤要验证定义的合理性,
本节介绍的积分是在一般测度空间上的,Lebesgue积分是其特例,
设),,( μFX为一测度空间,我们通过三个步骤定义简单函数的积分,
I,非负简单函数的积分
定义1 设
1
i
n
iA
i
f aI
=
=
∑
是一非负简单函数.定义f关于测度μ的积分为
X
fdμ
∫
=
1
().
n
ii
i
aAμ
=
∑
在不引起混淆的情况下,
X
fdμ
∫
可简记为
∫
μfd,
由定义知道这里.0≥
∫
μfd 一般情况下
∫
μfd可能为.∞+
在上述定义中,
∫
μfd的值是确定的,即不依赖于f的表达式的选取,事实上,设
∑
=
=
m
j
Bj
j
Ibf
1
是f的另一表达式,注意到,
11
∪∪
m
j
j
n
i
i
BAX
==
==并且当当?≠∩
ji
BA时必有,
ji
ba = 我们有
91
∑∑∑
===
∩=
n
i
n
i
m
j
jiiii
BAaAa
111
)()( μμ
∑∑
==
∩=
m
j
n
i
jii
BAb
11
)(μ ).(
1
j
m
j
j
Bb
∑
=
= μ
这表明的
∫
μfd值不依赖于f的表达式的选取,
上面定义的非负简单函数的积分,在Lebesgue测度空间的情形有明显的几何意义,例如,若
i
J
n
i
i
Iaf
∑
=
=
1
为],[ ba上的非负阶梯函数,其中
1
,,
n
JJ "为],[ ba上的互不相交的子区间,则
[,]
11
()
nn
ii ii
ab
fdm am J a J
==
∑∑
∫
恰好是函数f的下方图形)}(0,:),{( xfybxayx ≤≤≤≤的面积(见图4—1),若
i
J
n
i
i
Iaf
∑
=
=
1
是],[ ba上一般的非负简单函数,其中
n
JJ null,
1
是],[ ba上互不相交的L可测集,则
[,]ab
fdm
∫
也可以想象为某个平面图形的面积,借助于非负简单函数的几何意义,读者可以自己作出下面将要定义的非负可测函数和一般可测函数积分的几何解释,
图4—1
当然在一般测度空间的情形,积分
∫
μfd无几何意义可言,但仍可以看成是一种加权和,而
∫
μ
μ
fd
X )(
1
则可以看成是f在X上的一种平均值,
例1 设A是一可测集,则A的特征函数
A
I是非负简单函数,因此
x
y
O
5
a
1
a
2
a
3
a
4
a
2
J
3
J
1
J
5
J
4
J
)(xf
b
a
92
∫
=?= ).()(1 AAdI
A
μμμ
这个简单事实以后会经常用到,
为进一步定义可测函数的积分,我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质,
定理2 设gf,是非负简单函数,则
).i(
∫∫
= μμ fdcfdc,(c 0≥是实数),
).ii(
∫∫∫
+=+,)( μμμ gdfddgf
).iii(若a.e.gf ≤,则
∫∫
≤ μμ gdfd,
).iv(若)1(,≥nfg
n
是非负简单函数,满足)1(
1
≥≤
+
nff
nn
,并且
)()(lim xgxf
n
n
≥
∞→
处处成立,则
∫∫
≥
∞→
μμ gddf
n
n
lim,
证明 ).i(是显然的,).ii(设
∑
=
=
n
i
Ai
i
Iaf
1
,.
1
∑
=
=
m
j
Bj
j
Ibg
不妨设.
11
∪∪
m
j
j
n
i
i
BAX
==
== 则gf,可以写成
,
11
∑∑
==
∩
=
n
i
m
j
BAi
ji
Iaf,
11
∑∑
==
∩
=
m
j
n
i
BAj
ji
Ibg
故不妨设
∑
=
=
n
i
Ei
i
Iaf
1
∑
=
=
n
i
Ei
i
Ibg
1
于是
∫∫
∑∑∑
∫
+=+=+=+
===
..)()()()()(
111
μμμμμμ gdfdEbEaEbadgf
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iii
).iii(不妨设
∑
=
=
n
i
Ai
i
Iaf
1
,.
1
∑
=
=
n
i
Ai
i
Ibg由于a.e.gf ≤,因此对任意,,,1 ni null=
当0)( >
i
Aμ时,,
ii
ba ≤ 所以
.)()(
11
μμμμ
∫
∑
∫
∑
==
=≤=
n
i
ii
n
i
ii
gdAbAafd
).iv(由于}{
n
f是单调增加的,由)iii(知道
∫
μdf
n
是单调增加的,故极限
∫
∞→
μdf
n
n
lim存在.设.
1
∑
=
=
k
i
Ai
i
Ibg又设ε是任意给定的,满足10 <<ε,对每个ki,,1null=和自然数
93
,1≥n 令
}.)1()(:{
,inini
bxfAxA ε?≥∈=
则对每个,,,1 ki null=
1,
}{
≥nni
A是单调增加的可测集列,并且由于)()(lim xgxf
n
n
≥
∞→
,我们有
.
1
,∪
∞
=
=
n
nii
AA 对每个自然数,1≥n 令
.)1(
,
1
ni
Ai
k
i
n
Ibg
∑
=
= ε
则}{
n
g是非负简单函数列满足.1,≥≤ nfg
nn
.由)iii(和测度的下连续性,我们得到
..)1()()1(
)()1(limlimlim
1
,
1
∫
∑
∑
∫∫
=?=
=≥
=
=
∞→∞→∞→
μεμε
μεμμ
gdAb
Abdgdf
ii
k
i
nii
k
i
n
n
n
n
n
由于ε是任意的,我们得到
∫∫
≥
∞→
μμ gddf
n
n
lim,■
引理3 设f是一非负可测函数,}{
n
f是一非负简单函数列并且.ff
n ↑
则有
}.,:sup{lim
∫∫
≤∈=
+
∞→
fgSggddf
n
n
并且μμ (1)
(其中
+
S表示非负简单函数的全体),
证明 显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边.反过来,设g是非负简单函数并且.fg ≤ 由于,lim gff
n
n
≥=
∞→
由定理2,必有
∫∫
≥
∞→
μμ gddf
n
n
lim,因此
}.,:sup{lim
∫∫
≤∈≥
+
∞→
fgSggddf
n
n
并且μμ
所以(1)成立.■
II,非负可测函数积分
定义4 设f是一非负可测函数.定义f关于测度μ的积分为
∫∫
∞→
=,lim μμ dffd
n
n
其中}{
n
f是非负简单函数列并且.ff
n ↑
由§3.1定理9,上述的}{
n
f是存在的.又有引理3,
∫
μfd的值不依赖于}{
n
f的选取.因此
∫
μfd的定义是确定的.而且我们也可以用(1)式的右边作为
∫
μfd的定义,这两种定义式等价的,
94
定理5 设gf,是非负可测函数,则
).i(
∫∫
= μμ fdcfdc,( 0≥c是实数),
).ii(
∫∫∫
+=+,)( μμμ gdfddgf
).iii( 若a.e.gf ≤,则
∫∫
≤ μμ gdfd,
证明 )i(和)ii(是显然的,下面证明)iii(,设}{
n
f和}{
n
g是非负简单函数列使得
,ff
n ↑
.gg
n ↑
由于a.e.gf ≤,我们可适当选取}{
n
f和}{
n
g使得
.1a.e.,,≥≤ ngf
nn
于是由定理2 ),iii( 我们有
∫∫∫∫
=≤=
∞→
.limlim μμμμ gddgdffd
n
n
n
n
故)iii(成立.■
III,一般可测函数的积分
定义6 设f是一可测函数,
+
f和
f分别是f的正部和负部.若μ
∫
+
df和
∫
μdf
至少有一个是有限的,则称f的积分存在,并定义f关于测度μ的积分为
∫ ∫∫
+
=,μμμ dfdffd
当μ
∫
+
df和
∫
μdf都是有限值时,称f是可积的.设XE?是一可测集,f是定义在E
上的可测函数,若
E
fI的积分存在(或可积),则称f在E上的积分存在(相应地,可积),并定义f在E上的积分为
E
fd =
∫
μ
E
fIdμ
∫
,
测度空间),,( μFX上的可积函数的全体记为),,( μFXL或者简记为).(μL
注 注意f的积分存在与f可积之间的区别,当f的积分存在的时候,其积分值可能是有限的,也可能为.∞± 只有当f可积的时候,其积分值才是有限的,另外非负可测函数的积分总是存在的,但积分值可能为.∞+ 之所以允许积分值为,∞±是因为这样处理有时会带来一些方便,例如可以使得某些定理的条件叙述得更简明一些,
当测度空间),,( μFX取为Lebesgue测度空间)),(,( m
nn
RR M时,相应的积分称为
Lebesgue积分,f在L可测集E上的L积分记为.
E
f dx
∫
设?E
n
R是L可测集,E上的
L可积函数的全体记为).(EL 又设F是一单调增加的右连续函数,
F
μ是由F导出的
95
Lebesgue-Stieltjes测度,则称测度空间),,(
1
F
μ
RR上的积分为关于F的
Lebesgue-Stieltjes积分,定义6中定义的一般测度空间上的积分可以称为抽象Lebesgue积分,
以后Lebesgue积分简称为L积分,Lebesgue-Stieltjes积分简称为L-S积分,
一个自然的问题是,
n
R上的Lebesgue积分与我们熟悉的Riemann积分有什么联系和区别? 在§4.4中我们将详细考察Riemann积分与Lebesgue积分的关系.这里只考虑一个简单的例子,设)(xD是区间]1,0[上的Dirichlet函数,即),()(
0
xIxD
Q
= 其中
0
Q表示]1,0[中的有理数的全体,则由例1知道
00
[0,1] [0,1]
()0.
Q
Ddx I dx m===
∫∫
Q
即)(xD在]1,0[上是Lebesgue可积的并且积分值为零,但我们知道)(xD在]1,0[上不是
Riemann可积的,
关于积分的性质,在后面几节将系统讨论.下面只给出关于函数可积性的几个结果,
定理7 设f,g是可测函数,
).i(若g可积,并且a.e.gf ≤或者a.e.,gf ≥ 则f的积分存在,
).ii(若g可积,并且a.e.,gf ≤ 则f可积,
).iii(若a.e.,,)( +∞<≤+∞< MfXμ 则f可积,即有界测度空间上的有界可测函数必可积,
证明 ).i(设a.e.gf ≤ 则a.e.
++
≤ gf,由于g可积,因此.
∫
+∞<
+
μdg 于是由定理5 )iii(得到
.
∫ ∫
+∞<≤
++
μμ dgdf
因此f的积分存在,类似可以证明若a.e.,gf ≥ 则f的积分存在,
).ii(若a.e.,gf ≤ 则a.e.gf ≤
+
并且a.e.gf ≤
由于g可积,因此
∫
+
μdg和
∫
μdg都是有限的.由定理5 )iii(知道
∫
+
μdf和
∫
μdf都是有限值的,因此f可积,
).iii(若,)( +∞<Xμ 则常数函数Mg =可积,由)ii(即知f可积.■
例2 设
≥
<
=
.
1
10
)(
2
xx
x
xF
若若
又设.)(
]2,1(}1{)1,(
cIbIaIxf ++=
∞
其中.0,,≥cba
计算L-S积分
(0,)
.
F
fdμ
+∞
∫
解 注意到
]2,1(}1{)1,0(),0(
cIbIaIfI ++=
+∞
是非负简单函数,由积分的定义得到
96
(0,)
((0,1)) ({1}) ((1,2]).
FF F F
fd a bμμ μ μ
+∞
=++
∫
不难算出
.3)]2,1((,1})1({,0))1,0(( ===
FFF
μμμ
所以
(0,)
3.
F
fdbcμ
+∞
=+
∫
例3 设
∑
∞
=1i
i
a是一个正项级数,对任意,1≥i 令.)(
i
aif = 则f是自然数集的计数测度空间)),(,( μNN P上的非负可测函数,对每个,1≥n 令.
1
}{∑
=
=
n
i
iin
Iaf 则}{
n
f是非负简单函数列并且处处成立).( ∞→→ nff
n
由积分的定义,我们有
111
lim lim ({ }) lim,
nn
ni ii
nn n
ii
f dfdai aaμμμ
∞
→∞ →∞ →∞
===
== =
∑∑∑
∫∫
这表明正项级数可以表示成一个积分,一般地,若任意项级数
∑
∞
=1i
i
a绝对收敛,则
∑
∞
=1i
i
a可以表示成)),(,( μNN P上一个可积函数的积分,其证明留作习题,
例4 设)(xf是
n
R上的L可积函数,∈y
n
R,则)( yxf +是 L可积的并且成立,
() ().
n
f x y ddx f x dx+=
∫∫n
RR
(2)
证明 由第三章习题第13题的结果,当)(xf是L 可测函数时,)( yxf +是L可测的,
下面证明)( yxf +是L可积的,先设
i
A
k
i
i
Iaf
∑
=
=
1
是非负简单函数,则
).()()(
11
xIayxIayxf
yA
k
i
iA
k
i
i
ii
==
∑∑
=+=+
由积分的定义和L测度的平移不变性(§2.3定理8),我们有
11
() ( ) () ().
n
kk
ii i
f x y dx am A y am A f x dx
==
+=?= =
∑∑
∫∫n
R R
因此当f是非负简单函数时,结论成立,当f是非负可测函数时,存在一列非负简单函数
}{
k
f使得.ff
k ↑
则由积分的定义和上面所证的结果 我们有
( ) lim ( ) lim () (),
n
kk
kk
f xydx fxydx fxdx fxdx
→∞ →∞
+= += =
∫∫∫∫nnn
RR RR
当f是L可积函数时,.易知)( yxf +是L可积的,并且
97
() () ()
nn n
f x y dx f x y dx f x y dx
+?
+= +? +
∫∫∫
RR R
() ()
(),
f xdx f xdx
fxdx
+?
=?
=
∫∫
∫
nn
n
RR
R
因此对任意L可积函数),(xf (2)式成立.■
例4的证明方法是证明关于积分性质时常用的一种方法,设我们要证明某一命题对所有的可积函数都成立,若一开始就对一般可积函数证明比较困难时,可以先对可测集的特征函数或者非负简单函数证明,然后在利用所证明的结果对非负可测函数证明,最后再对一般的可积函数证明命题成立,
小 结 本节在抽象测度空间上定义了可测函数的积分,Lebesgue积分和
Lebesgue-Stieljes积分都是其特例,Lebesgue积分有明显的几何意义.本节还简单讨论可积条件,例3表明,在抽象测度空间上积分的框架下,可以把无穷级数与积分统一起来,例4的证明方法是证明积分性质时常用的一种方法,应引起注意,
习 题 习题四,第1题—第4题,
第四章 积 分
在引言中我们已经提到,Riemann积分在处理连续函数或者逐段连续函数时,在计算一些几何和物理的量时它是很有用的,但它也存在一些缺陷,使得Riemann积分在处理分析数学中的一些问题时显得不够有力,因此需要建立新的积分的理论,二十世纪初,Lebesgue建立了一种新的积分理论,新的积分理论消除了上述缺陷,并且包含了原有的Riemann积分理论,这就是本章将要介绍的Lebesgue积分理论,
由于现代数学的许多分支如概率论,泛函分析,群上调和分析等越来越多的用到一般空间上的测度与积分理论,因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论,
§4.1 积分的定义
教学目的 由于理论和应用的需要,需要建立新的积分理论.本节在抽象测度空间上定义可测函数的积分,并简单讨论可积条件,
本节要点 定义积分的过程分三个步骤,逐步定义非负简单函数,非负可测函数和一般可测函数的积分,其中第一,二个步骤要验证定义的合理性,
本节介绍的积分是在一般测度空间上的,Lebesgue积分是其特例,
设),,( μFX为一测度空间,我们通过三个步骤定义简单函数的积分,
I,非负简单函数的积分
定义1 设
1
i
n
iA
i
f aI
=
=
∑
是一非负简单函数.定义f关于测度μ的积分为
X
fdμ
∫
=
1
().
n
ii
i
aAμ
=
∑
在不引起混淆的情况下,
X
fdμ
∫
可简记为
∫
μfd,
由定义知道这里.0≥
∫
μfd 一般情况下
∫
μfd可能为.∞+
在上述定义中,
∫
μfd的值是确定的,即不依赖于f的表达式的选取,事实上,设
∑
=
=
m
j
Bj
j
Ibf
1
是f的另一表达式,注意到,
11
∪∪
m
j
j
n
i
i
BAX
==
==并且当当?≠∩
ji
BA时必有,
ji
ba = 我们有
91
∑∑∑
===
∩=
n
i
n
i
m
j
jiiii
BAaAa
111
)()( μμ
∑∑
==
∩=
m
j
n
i
jii
BAb
11
)(μ ).(
1
j
m
j
j
Bb
∑
=
= μ
这表明的
∫
μfd值不依赖于f的表达式的选取,
上面定义的非负简单函数的积分,在Lebesgue测度空间的情形有明显的几何意义,例如,若
i
J
n
i
i
Iaf
∑
=
=
1
为],[ ba上的非负阶梯函数,其中
1
,,
n
JJ "为],[ ba上的互不相交的子区间,则
[,]
11
()
nn
ii ii
ab
fdm am J a J
==
∑∑
∫
恰好是函数f的下方图形)}(0,:),{( xfybxayx ≤≤≤≤的面积(见图4—1),若
i
J
n
i
i
Iaf
∑
=
=
1
是],[ ba上一般的非负简单函数,其中
n
JJ null,
1
是],[ ba上互不相交的L可测集,则
[,]ab
fdm
∫
也可以想象为某个平面图形的面积,借助于非负简单函数的几何意义,读者可以自己作出下面将要定义的非负可测函数和一般可测函数积分的几何解释,
图4—1
当然在一般测度空间的情形,积分
∫
μfd无几何意义可言,但仍可以看成是一种加权和,而
∫
μ
μ
fd
X )(
1
则可以看成是f在X上的一种平均值,
例1 设A是一可测集,则A的特征函数
A
I是非负简单函数,因此
x
y
O
5
a
1
a
2
a
3
a
4
a
2
J
3
J
1
J
5
J
4
J
)(xf
b
a
92
∫
=?= ).()(1 AAdI
A
μμμ
这个简单事实以后会经常用到,
为进一步定义可测函数的积分,我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质,
定理2 设gf,是非负简单函数,则
).i(
∫∫
= μμ fdcfdc,(c 0≥是实数),
).ii(
∫∫∫
+=+,)( μμμ gdfddgf
).iii(若a.e.gf ≤,则
∫∫
≤ μμ gdfd,
).iv(若)1(,≥nfg
n
是非负简单函数,满足)1(
1
≥≤
+
nff
nn
,并且
)()(lim xgxf
n
n
≥
∞→
处处成立,则
∫∫
≥
∞→
μμ gddf
n
n
lim,
证明 ).i(是显然的,).ii(设
∑
=
=
n
i
Ai
i
Iaf
1
,.
1
∑
=
=
m
j
Bj
j
Ibg
不妨设.
11
∪∪
m
j
j
n
i
i
BAX
==
== 则gf,可以写成
,
11
∑∑
==
∩
=
n
i
m
j
BAi
ji
Iaf,
11
∑∑
==
∩
=
m
j
n
i
BAj
ji
Ibg
故不妨设
∑
=
=
n
i
Ei
i
Iaf
1
∑
=
=
n
i
Ei
i
Ibg
1
于是
∫∫
∑∑∑
∫
+=+=+=+
===
..)()()()()(
111
μμμμμμ gdfdEbEaEbadgf
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iii
).iii(不妨设
∑
=
=
n
i
Ai
i
Iaf
1
,.
1
∑
=
=
n
i
Ai
i
Ibg由于a.e.gf ≤,因此对任意,,,1 ni null=
当0)( >
i
Aμ时,,
ii
ba ≤ 所以
.)()(
11
μμμμ
∫
∑
∫
∑
==
=≤=
n
i
ii
n
i
ii
gdAbAafd
).iv(由于}{
n
f是单调增加的,由)iii(知道
∫
μdf
n
是单调增加的,故极限
∫
∞→
μdf
n
n
lim存在.设.
1
∑
=
=
k
i
Ai
i
Ibg又设ε是任意给定的,满足10 <<ε,对每个ki,,1null=和自然数
93
,1≥n 令
}.)1()(:{
,inini
bxfAxA ε?≥∈=
则对每个,,,1 ki null=
1,
}{
≥nni
A是单调增加的可测集列,并且由于)()(lim xgxf
n
n
≥
∞→
,我们有
.
1
,∪
∞
=
=
n
nii
AA 对每个自然数,1≥n 令
.)1(
,
1
ni
Ai
k
i
n
Ibg
∑
=
= ε
则}{
n
g是非负简单函数列满足.1,≥≤ nfg
nn
.由)iii(和测度的下连续性,我们得到
..)1()()1(
)()1(limlimlim
1
,
1
∫
∑
∑
∫∫
=?=
=≥
=
=
∞→∞→∞→
μεμε
μεμμ
gdAb
Abdgdf
ii
k
i
nii
k
i
n
n
n
n
n
由于ε是任意的,我们得到
∫∫
≥
∞→
μμ gddf
n
n
lim,■
引理3 设f是一非负可测函数,}{
n
f是一非负简单函数列并且.ff
n ↑
则有
}.,:sup{lim
∫∫
≤∈=
+
∞→
fgSggddf
n
n
并且μμ (1)
(其中
+
S表示非负简单函数的全体),
证明 显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边.反过来,设g是非负简单函数并且.fg ≤ 由于,lim gff
n
n
≥=
∞→
由定理2,必有
∫∫
≥
∞→
μμ gddf
n
n
lim,因此
}.,:sup{lim
∫∫
≤∈≥
+
∞→
fgSggddf
n
n
并且μμ
所以(1)成立.■
II,非负可测函数积分
定义4 设f是一非负可测函数.定义f关于测度μ的积分为
∫∫
∞→
=,lim μμ dffd
n
n
其中}{
n
f是非负简单函数列并且.ff
n ↑
由§3.1定理9,上述的}{
n
f是存在的.又有引理3,
∫
μfd的值不依赖于}{
n
f的选取.因此
∫
μfd的定义是确定的.而且我们也可以用(1)式的右边作为
∫
μfd的定义,这两种定义式等价的,
94
定理5 设gf,是非负可测函数,则
).i(
∫∫
= μμ fdcfdc,( 0≥c是实数),
).ii(
∫∫∫
+=+,)( μμμ gdfddgf
).iii( 若a.e.gf ≤,则
∫∫
≤ μμ gdfd,
证明 )i(和)ii(是显然的,下面证明)iii(,设}{
n
f和}{
n
g是非负简单函数列使得
,ff
n ↑
.gg
n ↑
由于a.e.gf ≤,我们可适当选取}{
n
f和}{
n
g使得
.1a.e.,,≥≤ ngf
nn
于是由定理2 ),iii( 我们有
∫∫∫∫
=≤=
∞→
.limlim μμμμ gddgdffd
n
n
n
n
故)iii(成立.■
III,一般可测函数的积分
定义6 设f是一可测函数,
+
f和
f分别是f的正部和负部.若μ
∫
+
df和
∫
μdf
至少有一个是有限的,则称f的积分存在,并定义f关于测度μ的积分为
∫ ∫∫
+
=,μμμ dfdffd
当μ
∫
+
df和
∫
μdf都是有限值时,称f是可积的.设XE?是一可测集,f是定义在E
上的可测函数,若
E
fI的积分存在(或可积),则称f在E上的积分存在(相应地,可积),并定义f在E上的积分为
E
fd =
∫
μ
E
fIdμ
∫
,
测度空间),,( μFX上的可积函数的全体记为),,( μFXL或者简记为).(μL
注 注意f的积分存在与f可积之间的区别,当f的积分存在的时候,其积分值可能是有限的,也可能为.∞± 只有当f可积的时候,其积分值才是有限的,另外非负可测函数的积分总是存在的,但积分值可能为.∞+ 之所以允许积分值为,∞±是因为这样处理有时会带来一些方便,例如可以使得某些定理的条件叙述得更简明一些,
当测度空间),,( μFX取为Lebesgue测度空间)),(,( m
nn
RR M时,相应的积分称为
Lebesgue积分,f在L可测集E上的L积分记为.
E
f dx
∫
设?E
n
R是L可测集,E上的
L可积函数的全体记为).(EL 又设F是一单调增加的右连续函数,
F
μ是由F导出的
95
Lebesgue-Stieltjes测度,则称测度空间),,(
1
F
μ
RR上的积分为关于F的
Lebesgue-Stieltjes积分,定义6中定义的一般测度空间上的积分可以称为抽象Lebesgue积分,
以后Lebesgue积分简称为L积分,Lebesgue-Stieltjes积分简称为L-S积分,
一个自然的问题是,
n
R上的Lebesgue积分与我们熟悉的Riemann积分有什么联系和区别? 在§4.4中我们将详细考察Riemann积分与Lebesgue积分的关系.这里只考虑一个简单的例子,设)(xD是区间]1,0[上的Dirichlet函数,即),()(
0
xIxD
Q
= 其中
0
Q表示]1,0[中的有理数的全体,则由例1知道
00
[0,1] [0,1]
()0.
Q
Ddx I dx m===
∫∫
Q
即)(xD在]1,0[上是Lebesgue可积的并且积分值为零,但我们知道)(xD在]1,0[上不是
Riemann可积的,
关于积分的性质,在后面几节将系统讨论.下面只给出关于函数可积性的几个结果,
定理7 设f,g是可测函数,
).i(若g可积,并且a.e.gf ≤或者a.e.,gf ≥ 则f的积分存在,
).ii(若g可积,并且a.e.,gf ≤ 则f可积,
).iii(若a.e.,,)( +∞<≤+∞< MfXμ 则f可积,即有界测度空间上的有界可测函数必可积,
证明 ).i(设a.e.gf ≤ 则a.e.
++
≤ gf,由于g可积,因此.
∫
+∞<
+
μdg 于是由定理5 )iii(得到
.
∫ ∫
+∞<≤
++
μμ dgdf
因此f的积分存在,类似可以证明若a.e.,gf ≥ 则f的积分存在,
).ii(若a.e.,gf ≤ 则a.e.gf ≤
+
并且a.e.gf ≤
由于g可积,因此
∫
+
μdg和
∫
μdg都是有限的.由定理5 )iii(知道
∫
+
μdf和
∫
μdf都是有限值的,因此f可积,
).iii(若,)( +∞<Xμ 则常数函数Mg =可积,由)ii(即知f可积.■
例2 设
≥
<
=
.
1
10
)(
2
xx
x
xF
若若
又设.)(
]2,1(}1{)1,(
cIbIaIxf ++=
∞
其中.0,,≥cba
计算L-S积分
(0,)
.
F
fdμ
+∞
∫
解 注意到
]2,1(}1{)1,0(),0(
cIbIaIfI ++=
+∞
是非负简单函数,由积分的定义得到
96
(0,)
((0,1)) ({1}) ((1,2]).
FF F F
fd a bμμ μ μ
+∞
=++
∫
不难算出
.3)]2,1((,1})1({,0))1,0(( ===
FFF
μμμ
所以
(0,)
3.
F
fdbcμ
+∞
=+
∫
例3 设
∑
∞
=1i
i
a是一个正项级数,对任意,1≥i 令.)(
i
aif = 则f是自然数集的计数测度空间)),(,( μNN P上的非负可测函数,对每个,1≥n 令.
1
}{∑
=
=
n
i
iin
Iaf 则}{
n
f是非负简单函数列并且处处成立).( ∞→→ nff
n
由积分的定义,我们有
111
lim lim ({ }) lim,
nn
ni ii
nn n
ii
f dfdai aaμμμ
∞
→∞ →∞ →∞
===
== =
∑∑∑
∫∫
这表明正项级数可以表示成一个积分,一般地,若任意项级数
∑
∞
=1i
i
a绝对收敛,则
∑
∞
=1i
i
a可以表示成)),(,( μNN P上一个可积函数的积分,其证明留作习题,
例4 设)(xf是
n
R上的L可积函数,∈y
n
R,则)( yxf +是 L可积的并且成立,
() ().
n
f x y ddx f x dx+=
∫∫n
RR
(2)
证明 由第三章习题第13题的结果,当)(xf是L 可测函数时,)( yxf +是L可测的,
下面证明)( yxf +是L可积的,先设
i
A
k
i
i
Iaf
∑
=
=
1
是非负简单函数,则
).()()(
11
xIayxIayxf
yA
k
i
iA
k
i
i
ii
==
∑∑
=+=+
由积分的定义和L测度的平移不变性(§2.3定理8),我们有
11
() ( ) () ().
n
kk
ii i
f x y dx am A y am A f x dx
==
+=?= =
∑∑
∫∫n
R R
因此当f是非负简单函数时,结论成立,当f是非负可测函数时,存在一列非负简单函数
}{
k
f使得.ff
k ↑
则由积分的定义和上面所证的结果 我们有
( ) lim ( ) lim () (),
n
kk
kk
f xydx fxydx fxdx fxdx
→∞ →∞
+= += =
∫∫∫∫nnn
RR RR
当f是L可积函数时,.易知)( yxf +是L可积的,并且
97
() () ()
nn n
f x y dx f x y dx f x y dx
+?
+= +? +
∫∫∫
RR R
() ()
(),
f xdx f xdx
fxdx
+?
=?
=
∫∫
∫
nn
n
RR
R
因此对任意L可积函数),(xf (2)式成立.■
例4的证明方法是证明关于积分性质时常用的一种方法,设我们要证明某一命题对所有的可积函数都成立,若一开始就对一般可积函数证明比较困难时,可以先对可测集的特征函数或者非负简单函数证明,然后在利用所证明的结果对非负可测函数证明,最后再对一般的可积函数证明命题成立,
小 结 本节在抽象测度空间上定义了可测函数的积分,Lebesgue积分和
Lebesgue-Stieljes积分都是其特例,Lebesgue积分有明显的几何意义.本节还简单讨论可积条件,例3表明,在抽象测度空间上积分的框架下,可以把无穷级数与积分统一起来,例4的证明方法是证明积分性质时常用的一种方法,应引起注意,
习 题 习题四,第1题—第4题,
