143
§5.3 绝对连续函数与不定积分
教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛顿-莱布尼兹公式,
教学要点 绝对连续函数,不定积分,牛顿-莱布尼兹公式,
定义1 设)(xf是定义在],[ ba上的实值函数,若对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对
],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时,成立
,)()(
1
ε<?
∑
=
n
i
ii
afbf
则称)(xf是],[ ba上的绝对连续函数,
关于绝对连续函数显然成立如下事实,
).i( 绝对连续函数是连续函数,
).ii( 若gf,是绝对连续函数,α是实数,则fα和gf +是绝对连续函数,
例1设f是],[ ba上的Lebesgue可积函数,则f的不定积分
() ()
x
a
Fx ftdt C=+
∫
(其中C是任意常数)是],[ ba上的绝对连续函数,
证明 由积分的绝对连续性(§4.2定理9),对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对],[ ba中的任意可测集A,当δ<)(Am时,(),
A
ftdt ε<
∫
于是对],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时,令,),(
1
∪
n
i
ii
baA
=
= 则
.)()(
1
δ<?=
∑
=
n
i
ii
abAm于是
111
( ) ( ) () () (),
ii
nnn
bb
ii
aaA
iii
F b F a f t dt f t dt f t dt ε
===
= ≤ = <
∑∑∑
∫∫∫
因此F是],[ ba上的绝对连续函数,
144
例2 若f在],[ ba上满足Lipschitz条件,则f是],[ ba上的绝对连续函数,
证明 对任意,0>ε 令
M
ε
δ = ( M是Lipschitz常数),则当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时,
.)()()(
11
ε<?≤?
∑∑
==
n
i
ii
n
i
ii
abMafbf
故f是],[ ba上的绝对连续函数,■
定理2 绝对连续函数是有界变差函数,
证明 设f是],[ ba上的绝对连续函数,则对,1=ε 存在,0>δ 使得对],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时,成立
.1)()(
1
<?
∑
=
n
i
ii
afbf 取自然数k使得.δ<
k
ab
设bxxa
n
=<<= null
0
是],[ ba的一个分割,它将区间],[ ba分成k等分,对],[
1 ii
xx
任一分割,
01 imi
xttx =<<=
null 由于
,)(
1
1
1
δ<?=?
=
∑ ii
m
i
ii
xxtt因此
.1)()(),,(
1
10
≤?=
∑
=
m
i
iimf
fftfttV null
于是.,,1,1)(
1
kifV
i
i
x
x
null=≤
利用§5.2定理2,得到.)()(
1
1
kfVfV
k
i
x
x
b
a
i
i
≤=
∑
=
因此f是],[ ba上的有界变差函数,■
推论3 设f是],[ ba上的绝对连续函数,则f在],[ ba上几乎处处可导,并且f ′是
Lebesgue可积的,
证明 利用推论4即知推论成立,
定理4 若f是],[ ba上的绝对连续函数,则f的变差函数)( fV
x
a
也是绝对连续的,
证明 设f是],[ ba上的绝对连续函数,由定理2,f是],[ ba上的有界变差函数,因此函数)( fV
x
a
有意义,对任意,0>ε 设δ是绝对连续函数定义中相应的正数,现在设
n
iii
ba
1
)},{(
=
是],[ ba上的互不相交的开区间使得δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(,对每个,,,1 ni null= 设
145
i
i
k
ii
i
bxxxa
i
=<<<=
)()(
1
)(
0
null
是),(
ii
ba的任一分割,则},,1,,,1),,{(
1
nikjxx
i
i
j
i
j
nullnull ==
是],[ ba上的限个互不相交的开区间,并且这些小区间的长度之和
.)()(
111
)(
1
)(
δ<?=?
∑∑∑
===
n
i
n
i
ii
k
j
i
j
i
j
abxx
i
由f的绝对连续性得到
.)()(),,(
11
)(
1
)(
1
)()(
1
)(
0
ε<?=
∑∑∑
==
=
n
i
n
j
i
j
i
j
n
i
i
n
ii
f
i
i
xfxfxxxV null
对),(
ii
ba (,,,1 ni null= )的所有分割取上确界得到
.)()()(
11
ε≤=?
∑∑
==
n
i
b
a
n
i
a
a
b
a
fVfVfV
i
i
ii
这表明)( fV
x
a
是],[ ba上的绝对连续函数.■
定理5 设f是],[ ba上的Lebesgue可积函数,则f的不定积分
() ()
x
a
F x f t dt C=+
∫
在],[ ba上几乎处处可导并且a.e..)()( xfxF =′
证明 由例1知道)(xF是],[ ba上的绝对连续函数,因而由推论3知道)(xF在],[ ba上几乎处处可导,往证a.e..)()( xfxF =′先证明若?是],[ ba上的Lebesgue可积函数,则
() ( ),
bx b
aa a
tdt dx x dx
′
≤
∫∫ ∫
(1)
事实上,由于
∫
+
x
a
dtt)(?和
∫
x
a
dtt)(?都是单调增加的函数,§5.1定理5,我们有
() ( ),
bx b
aa a
tdt dx xdx
++
′
≤
∫∫ ∫
() ( ),
bx b
aa a
tdt dx xdx
′
≤
∫∫ ∫
因此
() () ()
() () (),
bx bx bx
a a aa aa
bbb
aaa
t dt dx t dt dx t dt dx
x dx x dx x dx
+?+
+?
′′′
≤+
≤+=
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫ ∫∫
146
即(1)成立,由§4.5定理2,对任意,0>ε 存在],[ ba上的一个连续函数g,使得
.
b
a
fgdtε?<
∫
由数学分析中熟知的定理知道() ( ).
x
a
gtdt gx
′
=
∫
对函数gf?应用(2)式,我们有
() () ( () ()) () ()
( () ()) () ()
2()()2.
bx bx
aa aa
bx b
aa a
b
a
f t dt f x dx f t g t dt g x f x dx
f tgtdtdx gxfxdx
fx gxdx
′′
=? +?
′
≤?+?
≤?<
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
∫
ε
由0>ε的任意性我们得到() ( ) 0.
bx
aa
f t dt f x dx
′
=
∫∫
因此
( ) ( ) 0 a.e..
x
a
ftdt fx
′
=
∫
此即a.e..)()( xfxF =′ ■,
定理6 设f是],[ ba上的绝对连续函数,并且在],[ ba上0)( =′ xf a.e,则f在],[ ba
上恒为常数,
证明 先证明).()( bfaf = 对任意0,>ε 存在,0>δ 使得对],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当
1
()
n
ii
i
ba δ
=
<
∑
时,成立
.)()(
1
ε<?
∑
=
n
i
ii
afbf
设},0)(:],[{
0
=′∈= xfbaxE,],[
0
EbaE?= 则.0=mE 对于上面的,δ 由§2.3定理
6(i),存在开集,EG? 使得.<δmG由直线使开集的构造定理,存在一列开区间
)},,{(
ii
ba 使得(,).
ii
i
Gab=
∪
另一方面,由于当,],[
0
EGba 故对任意,],[ Gbay?∈,0)( =′ yf于是存在相应的,0>h 使得当),( hyhyy +?∈′时,.)()( yyyfyf?′<?′ ε这样开区间族
}],[),,({)},{( Gbayhyhyba
ii
∈+?∪构成了],[ ba的一个开覆盖,由有限覆盖定理,
可以从中选出有限个区间,不放设为
),,(,),,(
11 kk
baba null ),(,),,(
1111 llll
hyhyhyhy +?+? null
仍然覆盖],[ ba,我们可以在点
lkk
yybaba,,,,,,,
111
nullnull之外再加上一些分点,构成
],[ ba的一个分点组,
10
bxxxa
n
=<<<= null 使得对任何给定的小区间),(
1 ii
xx
,不外
147
乎出现以下两种情况,
(1),对某个,j ).,(),(
1 jjii
baxx?
(2),对某个,j ),(),(
1 jjjii
yhyxx
或),(),(
1 jjjii
hyyxx +?
,
于是我们有
).(
)()()()(
)()()()(0
)2(
1
)2(
1
)1(
1
1
1
abxx
xfxfxfxf
xfxfafbf
ii
iiii
n
i
ii
+≤?+<
+?≤
≤?≤
∑
∑∑
∑
=
εεεε
其中
∑
)1(
表示对出现情况(1)的),(
1 ii
xx
求和,
∑
)2(
表示对出现情况(2)的),(
1 ii
xx
求和,
由0>ε的任意性得到).()( bfaf = 对任意],,[ bax∈ 用],[ xa代替],[ ba,同样可以得到).()( afxf =因此f在],[ ba上恒为常数.■
定理7 (微积分基本定理)设)(xf是定义在],[ ba上的实值函数,则成立牛顿-莱布尼兹公式
() () (),[,]
x
a
f xfa ftdtxab
′
= ∈
∫
(2)
的充要条件是)(xf是绝对连续函数,
证明 由例1即知必要性成立,往证充分性,设)(xf是绝对连续的,由推论3,f在
],[ ba上几乎处处可导,并且f ′是Lebesgue可积的,令
() () (),
x
a
x fx f tdt?
′
=?
∫
.],[ bax∈ (4)
由定理5知道,在],[ ba上0)( =′ x? a.e.,根据定理6,)(x?在],[ ba使恒为常数,因此
).()()( afax == 代入(4)即得(2).■
推论8 (分部积分公式)设gf,是],[ ba上的绝对连续函数,则成立
.
bb
b
a
aa
fgdx fg gfdx
′′
=?
∫∫
(5)
证明 容易知道fg是],[ ba上的绝对连续函数,利用定理7,我们有
() () () () ( ),
bbb
aaa
f bgb faga fg dx fgdx gfdx
′′′
= =+
∫ ∫∫
由此即得(5),推论证毕,
小 结 由于绝对连续函数的引进,微积分基本定理成功地推广到Lebesgue积分,这使得Lebesgue积分理论更加完善,同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证,
习 题 习题五,第15题—第30题,
§5.3 绝对连续函数与不定积分
教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛顿-莱布尼兹公式,
教学要点 绝对连续函数,不定积分,牛顿-莱布尼兹公式,
定义1 设)(xf是定义在],[ ba上的实值函数,若对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对
],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时,成立
,)()(
1
ε<?
∑
=
n
i
ii
afbf
则称)(xf是],[ ba上的绝对连续函数,
关于绝对连续函数显然成立如下事实,
).i( 绝对连续函数是连续函数,
).ii( 若gf,是绝对连续函数,α是实数,则fα和gf +是绝对连续函数,
例1设f是],[ ba上的Lebesgue可积函数,则f的不定积分
() ()
x
a
Fx ftdt C=+
∫
(其中C是任意常数)是],[ ba上的绝对连续函数,
证明 由积分的绝对连续性(§4.2定理9),对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对],[ ba中的任意可测集A,当δ<)(Am时,(),
A
ftdt ε<
∫
于是对],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时,令,),(
1
∪
n
i
ii
baA
=
= 则
.)()(
1
δ<?=
∑
=
n
i
ii
abAm于是
111
( ) ( ) () () (),
ii
nnn
bb
ii
aaA
iii
F b F a f t dt f t dt f t dt ε
===
= ≤ = <
∑∑∑
∫∫∫
因此F是],[ ba上的绝对连续函数,
144
例2 若f在],[ ba上满足Lipschitz条件,则f是],[ ba上的绝对连续函数,
证明 对任意,0>ε 令
M
ε
δ = ( M是Lipschitz常数),则当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时,
.)()()(
11
ε<?≤?
∑∑
==
n
i
ii
n
i
ii
abMafbf
故f是],[ ba上的绝对连续函数,■
定理2 绝对连续函数是有界变差函数,
证明 设f是],[ ba上的绝对连续函数,则对,1=ε 存在,0>δ 使得对],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(时,成立
.1)()(
1
<?
∑
=
n
i
ii
afbf 取自然数k使得.δ<
k
ab
设bxxa
n
=<<= null
0
是],[ ba的一个分割,它将区间],[ ba分成k等分,对],[
1 ii
xx
任一分割,
01 imi
xttx =<<=
null 由于
,)(
1
1
1
δ<?=?
=
∑ ii
m
i
ii
xxtt因此
.1)()(),,(
1
10
≤?=
∑
=
m
i
iimf
fftfttV null
于是.,,1,1)(
1
kifV
i
i
x
x
null=≤
利用§5.2定理2,得到.)()(
1
1
kfVfV
k
i
x
x
b
a
i
i
≤=
∑
=
因此f是],[ ba上的有界变差函数,■
推论3 设f是],[ ba上的绝对连续函数,则f在],[ ba上几乎处处可导,并且f ′是
Lebesgue可积的,
证明 利用推论4即知推论成立,
定理4 若f是],[ ba上的绝对连续函数,则f的变差函数)( fV
x
a
也是绝对连续的,
证明 设f是],[ ba上的绝对连续函数,由定理2,f是],[ ba上的有界变差函数,因此函数)( fV
x
a
有意义,对任意,0>ε 设δ是绝对连续函数定义中相应的正数,现在设
n
iii
ba
1
)},{(
=
是],[ ba上的互不相交的开区间使得δ<?
∑
=
n
i
ii
ab
1
)(,对每个,,,1 ni null= 设
145
i
i
k
ii
i
bxxxa
i
=<<<=
)()(
1
)(
0
null
是),(
ii
ba的任一分割,则},,1,,,1),,{(
1
nikjxx
i
i
j
i
j
nullnull ==
是],[ ba上的限个互不相交的开区间,并且这些小区间的长度之和
.)()(
111
)(
1
)(
δ<?=?
∑∑∑
===
n
i
n
i
ii
k
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abxx
i
由f的绝对连续性得到
.)()(),,(
11
)(
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)(
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1
)(
0
ε<?=
∑∑∑
==
=
n
i
n
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j
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j
n
i
i
n
ii
f
i
i
xfxfxxxV null
对),(
ii
ba (,,,1 ni null= )的所有分割取上确界得到
.)()()(
11
ε≤=?
∑∑
==
n
i
b
a
n
i
a
a
b
a
fVfVfV
i
i
ii
这表明)( fV
x
a
是],[ ba上的绝对连续函数.■
定理5 设f是],[ ba上的Lebesgue可积函数,则f的不定积分
() ()
x
a
F x f t dt C=+
∫
在],[ ba上几乎处处可导并且a.e..)()( xfxF =′
证明 由例1知道)(xF是],[ ba上的绝对连续函数,因而由推论3知道)(xF在],[ ba上几乎处处可导,往证a.e..)()( xfxF =′先证明若?是],[ ba上的Lebesgue可积函数,则
() ( ),
bx b
aa a
tdt dx x dx
′
≤
∫∫ ∫
(1)
事实上,由于
∫
+
x
a
dtt)(?和
∫
x
a
dtt)(?都是单调增加的函数,§5.1定理5,我们有
() ( ),
bx b
aa a
tdt dx xdx
++
′
≤
∫∫ ∫
() ( ),
bx b
aa a
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′
≤
∫∫ ∫
因此
() () ()
() () (),
bx bx bx
a a aa aa
bbb
aaa
t dt dx t dt dx t dt dx
x dx x dx x dx
+?+
+?
′′′
≤+
≤+=
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫ ∫∫
146
即(1)成立,由§4.5定理2,对任意,0>ε 存在],[ ba上的一个连续函数g,使得
.
b
a
fgdtε?<
∫
由数学分析中熟知的定理知道() ( ).
x
a
gtdt gx
′
=
∫
对函数gf?应用(2)式,我们有
() () ( () ()) () ()
( () ()) () ()
2()()2.
bx bx
aa aa
bx b
aa a
b
a
f t dt f x dx f t g t dt g x f x dx
f tgtdtdx gxfxdx
fx gxdx
′′
=? +?
′
≤?+?
≤?<
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
∫
ε
由0>ε的任意性我们得到() ( ) 0.
bx
aa
f t dt f x dx
′
=
∫∫
因此
( ) ( ) 0 a.e..
x
a
ftdt fx
′
=
∫
此即a.e..)()( xfxF =′ ■,
定理6 设f是],[ ba上的绝对连续函数,并且在],[ ba上0)( =′ xf a.e,则f在],[ ba
上恒为常数,
证明 先证明).()( bfaf = 对任意0,>ε 存在,0>δ 使得对],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(
1
n
iii
ba
=
当
1
()
n
ii
i
ba δ
=
<
∑
时,成立
.)()(
1
ε<?
∑
=
n
i
ii
afbf
设},0)(:],[{
0
=′∈= xfbaxE,],[
0
EbaE?= 则.0=mE 对于上面的,δ 由§2.3定理
6(i),存在开集,EG? 使得.<δmG由直线使开集的构造定理,存在一列开区间
)},,{(
ii
ba 使得(,).
ii
i
Gab=
∪
另一方面,由于当,],[
0
EGba 故对任意,],[ Gbay?∈,0)( =′ yf于是存在相应的,0>h 使得当),( hyhyy +?∈′时,.)()( yyyfyf?′<?′ ε这样开区间族
}],[),,({)},{( Gbayhyhyba
ii
∈+?∪构成了],[ ba的一个开覆盖,由有限覆盖定理,
可以从中选出有限个区间,不放设为
),,(,),,(
11 kk
baba null ),(,),,(
1111 llll
hyhyhyhy +?+? null
仍然覆盖],[ ba,我们可以在点
lkk
yybaba,,,,,,,
111
nullnull之外再加上一些分点,构成
],[ ba的一个分点组,
10
bxxxa
n
=<<<= null 使得对任何给定的小区间),(
1 ii
xx
,不外
147
乎出现以下两种情况,
(1),对某个,j ).,(),(
1 jjii
baxx?
(2),对某个,j ),(),(
1 jjjii
yhyxx
或),(),(
1 jjjii
hyyxx +?
,
于是我们有
).(
)()()()(
)()()()(0
)2(
1
)2(
1
)1(
1
1
1
abxx
xfxfxfxf
xfxfafbf
ii
iiii
n
i
ii
+≤?+<
+?≤
≤?≤
∑
∑∑
∑
=
εεεε
其中
∑
)1(
表示对出现情况(1)的),(
1 ii
xx
求和,
∑
)2(
表示对出现情况(2)的),(
1 ii
xx
求和,
由0>ε的任意性得到).()( bfaf = 对任意],,[ bax∈ 用],[ xa代替],[ ba,同样可以得到).()( afxf =因此f在],[ ba上恒为常数.■
定理7 (微积分基本定理)设)(xf是定义在],[ ba上的实值函数,则成立牛顿-莱布尼兹公式
() () (),[,]
x
a
f xfa ftdtxab
′
= ∈
∫
(2)
的充要条件是)(xf是绝对连续函数,
证明 由例1即知必要性成立,往证充分性,设)(xf是绝对连续的,由推论3,f在
],[ ba上几乎处处可导,并且f ′是Lebesgue可积的,令
() () (),
x
a
x fx f tdt?
′
=?
∫
.],[ bax∈ (4)
由定理5知道,在],[ ba上0)( =′ x? a.e.,根据定理6,)(x?在],[ ba使恒为常数,因此
).()()( afax == 代入(4)即得(2).■
推论8 (分部积分公式)设gf,是],[ ba上的绝对连续函数,则成立
.
bb
b
a
aa
fgdx fg gfdx
′′
=?
∫∫
(5)
证明 容易知道fg是],[ ba上的绝对连续函数,利用定理7,我们有
() () () () ( ),
bbb
aaa
f bgb faga fg dx fgdx gfdx
′′′
= =+
∫ ∫∫
由此即得(5),推论证毕,
小 结 由于绝对连续函数的引进,微积分基本定理成功地推广到Lebesgue积分,这使得Lebesgue积分理论更加完善,同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证,
习 题 习题五,第15题—第30题,
