148
习 题 五
1,设E是
1
R中一族(开的、闭的、半开半闭的)区间的并集,证明E是Lebesgue
可测集,
2,设f是
1
R上有界的单调增加函数,证明f在
1
R上几乎处处可导并且f ′在
1
R
上L可积,
3,试在]1,0[上作一严格单调增加的函数),(xf 使得在]1,0[上a.e..0)( =′ xf
提示,利用§5.1定理6,
4,计算函数xxf sin)( =在]2,0[ π上的全变差,并求).(
0
fV
x
5,设f和g是],[ ba上的有界变差函数,证明fg是],[ ba上的有界变差函数,
6,证明若f是],[ ba上的有界变差函数,则f也是],[ ba上的有界变差函数.举
例说明反过来结论不一定对,
7,若f是],[ ba上的有界变差函数,并且f在],[ ba上连续,则f是],[ ba上的有
界变差函数,
8,设f是],[ ba上的可微函数并且f ′有界,则f是],[ ba上的有界变差函数,
9,证明
2
cos)( xxf =是],0[ π上的有界变差函数,
10,设f是],0[ a上的有界变差函数,
0
1
( ) ( ) ( (0) 0).
x
Fx ftdtF
x
==
∫
证明F是
],0[ a上的有界变差函数,
提示,先设f是单调增加的,
11,设}{
n
f是],[ ba上的一列有界变差函数,使得),1()( ≥≤ nMfV
n
b
a
并且
].,[),()(lim baxxfxf
n
n
∈=
∞→
证明],[ baVf ∈并且.)( MfV
b
a
≤
12,证明,函数f在],[ ba上是有界变差的当且仅当存在],[ ba上的有界增函数?,
使得当byxa ≤<≤时,
).()()()( xyxfyf≤?
13,证明函数
=
≤<?
=
.00
,
2
1
0,
ln
1
)(
x
x
xxf
当当
在]
2
1
,0[是连续的有界变差的,但f在]
2
1
,0[上不满足任何0>α阶的Lipschitz条件,即不
149
存在常数,0>M 使得对任意],
2
1
,0[,∈yx 成立
.)()(
α
yxMyfxf?≤?
14,设f是],[ ba上的连续函数,g是],[ ba上的有界变差函数,则成立
() () sup () ().
bb
aa
axb
f xdgx f xVg
≤≤
≤
∫
15,设f在],[ dc上满足Lipschitz 条件,g是],[ ba上的绝对连续函数,并且
.)( dxgc ≤≤ 则复合函数))(( xgf是],[ ba上的绝对连续函数,
16,设f是],[ dc上的绝对连续函数,g是],[ ba上严格增加的绝对连续函数,并且
.)( dxgc ≤≤ 则复合函数))(( xgf是],[ ba上的绝对连续函数,
17,设f是],[ ba上的绝对连续函数,.1≥p 则
p
f是],[ ba上的绝对连续函数,
18,设gf,是],[ ba上的绝对连续函数,证明fg是],[ ba上的绝对连续函数,
19,设f是],[ ba上的绝对连续函数,并且在],[ ba上a.e..0)( =′ xf 证明f在
],[ ba上为常数,
20,利用 5.3定理5证明,若f是],[ ba上的L可积函数,并且对任意,bca ≤≤ 恒
有,0=
∫
c
a
fdx 则a.e..0=f
21,设}{
n
f是],[ ba上的一列绝对连续函数,并且存在],[ ba上的可积函数),(xF
使得a.e..)1( ≥≤′ nFf
n
又设a.e..),()(lim),()(lim xgxfxfxf
n
n
n
n
=′= 证明f是
],[ ba上的绝对连续函数,并且a.e..gf =′
22,设f是],[ ba上的绝对连续函数,并且a.e..,0)( ≥′ xf证明f是单调增加的,
23,设f是],[ ba上的单调增加函数,证明f可以分解成,hgf += 其中g是单
调增加的绝对连续函数,h是单调增加的函数并且a.e..0=′h
24,设f是],[ ba上的单调增加函数,并且成立
() () ().
b
a
f xdx fb f a
′
=?
∫
则f是],[ ba上的绝对连续函数,
25,证明函数)0)0((
1
sin)(
2
2
== f
x
xxf 在]1,0[上处处可导,但不是绝对连续的,
提示,考察)(xf ′在]1,0[上的可积性,
150
26,证明,定义在区间],[ ba上的实值函数满足Lipschitz条件当且仅当它是有界可
测函数的不定积分,
27,设),2,1( "=nf
n
是],[ ba上的单调增加的绝对连续函数,并且级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xf在
],[ ba处处收敛,证明=)(xf
∑
∞
=1
)(
n
n
xf是],[ ba上的绝对连续函数,
28,设}{
n
f是],[ ba上的一列绝对连续函数,使得
1
(),
b
n
a
n
fxdx
∞
=
′
<+∞
∑
∫
并且级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xf在],[ ba中某点c收敛,证明
).i(级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xf在],[ ba上处处收敛,
).ii( =)(xf
∑
∞
=1
)(
n
n
xf是],[ ba上的绝对连续函数,并且成立
a.e..)()(
1
∑
∞
=
′=′
n
n
xfxf
提示,利用定理6.3.7和第四章习题第18题的结论,
29,设f是],[ ba上的绝对连续函数,证明
() ( ).
bb
aa
f xdx Vf
′
=
∫
30,设f是],[ ba上的绝对连续函数,],[ baE?并且.0)( =Em 证明.0))(( =Efm
提示,利用定理2.3.6和直线上开集的构造定理,
习 题 五
1,设E是
1
R中一族(开的、闭的、半开半闭的)区间的并集,证明E是Lebesgue
可测集,
2,设f是
1
R上有界的单调增加函数,证明f在
1
R上几乎处处可导并且f ′在
1
R
上L可积,
3,试在]1,0[上作一严格单调增加的函数),(xf 使得在]1,0[上a.e..0)( =′ xf
提示,利用§5.1定理6,
4,计算函数xxf sin)( =在]2,0[ π上的全变差,并求).(
0
fV
x
5,设f和g是],[ ba上的有界变差函数,证明fg是],[ ba上的有界变差函数,
6,证明若f是],[ ba上的有界变差函数,则f也是],[ ba上的有界变差函数.举
例说明反过来结论不一定对,
7,若f是],[ ba上的有界变差函数,并且f在],[ ba上连续,则f是],[ ba上的有
界变差函数,
8,设f是],[ ba上的可微函数并且f ′有界,则f是],[ ba上的有界变差函数,
9,证明
2
cos)( xxf =是],0[ π上的有界变差函数,
10,设f是],0[ a上的有界变差函数,
0
1
( ) ( ) ( (0) 0).
x
Fx ftdtF
x
==
∫
证明F是
],0[ a上的有界变差函数,
提示,先设f是单调增加的,
11,设}{
n
f是],[ ba上的一列有界变差函数,使得),1()( ≥≤ nMfV
n
b
a
并且
].,[),()(lim baxxfxf
n
n
∈=
∞→
证明],[ baVf ∈并且.)( MfV
b
a
≤
12,证明,函数f在],[ ba上是有界变差的当且仅当存在],[ ba上的有界增函数?,
使得当byxa ≤<≤时,
).()()()( xyxfyf≤?
13,证明函数
=
≤<?
=
.00
,
2
1
0,
ln
1
)(
x
x
xxf
当当
在]
2
1
,0[是连续的有界变差的,但f在]
2
1
,0[上不满足任何0>α阶的Lipschitz条件,即不
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存在常数,0>M 使得对任意],
2
1
,0[,∈yx 成立
.)()(
α
yxMyfxf?≤?
14,设f是],[ ba上的连续函数,g是],[ ba上的有界变差函数,则成立
() () sup () ().
bb
aa
axb
f xdgx f xVg
≤≤
≤
∫
15,设f在],[ dc上满足Lipschitz 条件,g是],[ ba上的绝对连续函数,并且
.)( dxgc ≤≤ 则复合函数))(( xgf是],[ ba上的绝对连续函数,
16,设f是],[ dc上的绝对连续函数,g是],[ ba上严格增加的绝对连续函数,并且
.)( dxgc ≤≤ 则复合函数))(( xgf是],[ ba上的绝对连续函数,
17,设f是],[ ba上的绝对连续函数,.1≥p 则
p
f是],[ ba上的绝对连续函数,
18,设gf,是],[ ba上的绝对连续函数,证明fg是],[ ba上的绝对连续函数,
19,设f是],[ ba上的绝对连续函数,并且在],[ ba上a.e..0)( =′ xf 证明f在
],[ ba上为常数,
20,利用 5.3定理5证明,若f是],[ ba上的L可积函数,并且对任意,bca ≤≤ 恒
有,0=
∫
c
a
fdx 则a.e..0=f
21,设}{
n
f是],[ ba上的一列绝对连续函数,并且存在],[ ba上的可积函数),(xF
使得a.e..)1( ≥≤′ nFf
n
又设a.e..),()(lim),()(lim xgxfxfxf
n
n
n
n
=′= 证明f是
],[ ba上的绝对连续函数,并且a.e..gf =′
22,设f是],[ ba上的绝对连续函数,并且a.e..,0)( ≥′ xf证明f是单调增加的,
23,设f是],[ ba上的单调增加函数,证明f可以分解成,hgf += 其中g是单
调增加的绝对连续函数,h是单调增加的函数并且a.e..0=′h
24,设f是],[ ba上的单调增加函数,并且成立
() () ().
b
a
f xdx fb f a
′
=?
∫
则f是],[ ba上的绝对连续函数,
25,证明函数)0)0((
1
sin)(
2
2
== f
x
xxf 在]1,0[上处处可导,但不是绝对连续的,
提示,考察)(xf ′在]1,0[上的可积性,
150
26,证明,定义在区间],[ ba上的实值函数满足Lipschitz条件当且仅当它是有界可
测函数的不定积分,
27,设),2,1( "=nf
n
是],[ ba上的单调增加的绝对连续函数,并且级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xf在
],[ ba处处收敛,证明=)(xf
∑
∞
=1
)(
n
n
xf是],[ ba上的绝对连续函数,
28,设}{
n
f是],[ ba上的一列绝对连续函数,使得
1
(),
b
n
a
n
fxdx
∞
=
′
<+∞
∑
∫
并且级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xf在],[ ba中某点c收敛,证明
).i(级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xf在],[ ba上处处收敛,
).ii( =)(xf
∑
∞
=1
)(
n
n
xf是],[ ba上的绝对连续函数,并且成立
a.e..)()(
1
∑
∞
=
′=′
n
n
xfxf
提示,利用定理6.3.7和第四章习题第18题的结论,
29,设f是],[ ba上的绝对连续函数,证明
() ( ).
bb
aa
f xdx Vf
′
=
∫
30,设f是],[ ba上的绝对连续函数,],[ baE?并且.0)( =Em 证明.0))(( =Efm
提示,利用定理2.3.6和直线上开集的构造定理,
