63
习 题 二
1,设μ是环R上的有限可加测度,即μ是R上的非负值集函数满足0)( =?μ
和有限可加性,证明若μ满足次可数可加性,则μ是F上的测度,
2,设A是X的一个非空真子集,试在?σ代数F },,,{
c
AAX?=上定义一个不
恒为零的有限测度,
3,设X是一不可数集,令
F AA:{=或
c
A是至多可数集}
则F是一个σ -代数(见第一章习题第21题),在F定义集函数μ如下,若A是至多可数集,
则令.0)( =Aμ 若
c
A是至多可数集,则令.1)( =Aμ 证明μ是F上的测度,
4,在)(
1
RB上定义集函数μ如下,)(Aμ等于A中的有理数的个数(若A有无穷
多个有理数,则令+∞=)(Aμ ),证明μ是))(,(
11
RR B上的?σ有限测度,
5,设}{
n
μ是σ -代数F上的一列测度并且}{
n
μ是单调增加的,即
∈≤
+
AAA
nn
),()(
1
μμ,F 令
∈=
∞→
AAA
n
n
),(lim)( μμ,F
证明μ是F上的测度,
6,设),,( μFX为测度空间,证明,
(1).对任意∈BA,,F 成立
).()()()( BABABA μμμμ +=∩+∪
(2).若,)( +∞<Xμ 则对任意∈CBA,,,F 成立
).()(
)()(
)()()()(
CBACB
CABA
CBACBA
∩∩+∩?
∩?∩?
++=∪∪
μμ
μμ
μμμμ
7,设μ是σ -代数F上的测度,∈BA,F并且测度有限,证明
).()()( BABA?≤? μμμ
8,设),,( μFX为测度空间,}{
n
A是一列可测集,证明,
(1),).(lim)lim(
n
n
n
n
AA μμ
∞→∞→
≤
(2).若,
1
+∞<
∞
=
∪
n
n
Aμ 则).(lim)lim(
n
n
n
n
AA μμ
∞→∞→
≥
64
(3).若,)(
1
+∞<
∑
∞
=n
n
Aμ 则.0)lim( =
∞→
n
n
Aμ
9,设
μ是X上的外测度,,XA?,0)( =
Aμ 证明对任意,XB? 有
).()()( BABAB

=?=∪ μμμ
10,设
μ是X上的外测度,.XA? 证明A是
μ -可测集当且仅当对任意,0>ε
存在一个
μ -可测集AE?使得.)( εμ <?
EA
11,设R是X上的一个环,并且全空间X可以表为R中一列互不相交的集的
并,μ是R上的σ有限测度,证明,
(1).存在R中一列互不相交的},{
n
E使得
∪
∞
=
=
1n
n
EX并且.1,)( ≥+∞< nE
n
μ
(2).
μ在
R上是σ有限的,
12,设C是X上的一个π类,并且全空间X可以表为C中一列互不相交的集的并,
1
μ和
2
μ是)(Cσ上的两个有限测度,证明若在C上,
21
μμ = 则在)(Cσ上.
21
μμ =
提示,令F = )}.()(),(:{
21
AAAA μμσ =∈ C利用推论1.3.12,
13,设,1)( =Xμ }{
n
A是X中的一列可测集,.1,1)( ≥= nA
n
μ则.1)(
1
=
∞
=
∩
n
n
Aμ
14,设,1)( =Xμ
n
AA,,
1
null是X中可测集,
∑
=
>
n
i
i
nA
1
.1)(μ 则.0)(
1
>
=
∩
n
i
i
Aμ
15,设C是
n
R中有界的左开右闭方体的全体所成的集类,证明C是一个半环,
提示,对
n
R的维数n用数学归纳法,并且利用等式
)].()[(])[( DBCABCADCBA?×∩∪×?=×?×
16,设],[],[
11 nn
babaI ××= null是
n
R中的一个闭方体,则对任意0>ε,存在左开
右闭闭方体
1
I和
2
I,使得,
21
III并且
.,
21
εε <?<? IIII
17,设?A,
n
R 证明A是L可测集当且仅当对任意,0>ε 存在开集
1
G和,
2
G 使
得,
1
AG?,
2
c
AG? 并且.)(
21
ε<∩GGm
18,设A是直线上的可数集,用L测度的定义直接证明.0)( =Am
19,在]1,0[定义,0)0( =f
x
xxf
1
sin)( = (当0>x ),计算
}).0)(:]1,0[({ ≥∈ xfxm
65
20,证明
1
R的任意子集A作为
2
R的子集是L可测的并且.0)( =Am
21,在区间]1,0[中作出一个闭集F,使得F不包含任何有理数,
并且.0>mF
22,在直线上作一个无界的开集G使得.1)( =Gm
23,设E是]1,0[中的有理数的全体,},,{
1 k
II null是k个开区间使
得.
1
∪
k
i
i
IE
=
证明.1
1
≥
∑
=
k
i
i
I
24,设A是]1,0[中的Lebesgue可测集,.0>mA 证明对任意
),(0 Ama << 存在Lebesgue可测集,AE?使得.amE =
提示,先证明函数)],0[()( Axmxf ∩=是]1,0[上的连续函数,
25,证明§2.3推论.7的结论,
26,证明
n
R上的Lebesgue测度是平移不变的,即对任意Lebesgue可测集A和
∈
0
x,
n
R 成立
),()(
0
AmAxm =+
其中}.:{
00
AxxxAx ∈+=+
27,设A是
n
R中的L可测集,∈a,
1
R 证明aA是L可测的并且
).()( AmaaAm =
其中}.:{ AxaxaA ∈=
28,设}{
n
r是有理数的全体,令
.)
1
,
1
(
1
22
∪
∞
=
+?=
n
nn
n
r
n
rG
证明对任意闭集?F
1
R有.0)( >?FGm
29,设?A,
1
R,0)( >Am 证明存在,,Ayx ∈ 使得yx?不是有理数,
30,设?A,
n
R,0)( >Am 证明存在,Ax∈ 使得对任意,0>r
.0)),(( >∩ rxUAm
提示,先对A是有界闭集的情形证明,再利用§2.3推论.7,
31,设.1)(],1,1[ > AmA 证明存在A的可测子集E,使得E关于原点对称并
且.0)( >Em 提示,考虑).( AA?∩
32,设.10 << c在]1,0[中作出一个无内点的闭集,F 使得.)( cFm =
提示,仿照Cantor集的构造方法,
33,设E是
1
R中的L可测集,∈a,
1
R,0>δ 当),( δδ?∈x时,xa+和xa?
66
之中必有一点属于,E 证明.)( δ≥Em
提示,注意).()(),( EaaE?∪ δδ
34,计算E的L测度,这里
xxE,]1,0[{ ∈=的十进制小数中不出现7},
35,设)(xF是一单调增加的右连续函数,
F
μ是由)(xF导出的L-S测度,证明
).()()),(()3(
).()0()),(()2(
).0()(})({)1(
aFFa
aFbFba
aFaFa
F
F
F
+∞=+∞
=
=
μ
μ
μ
其中).(lim)( xFF
x ∞→
=+∞
注,由(1)知道,0})({ =a
F
μ当且仅当)(xF在a连续,
36,设,
1
R∈a ).()(
),[
xIxF
a +∞
= 证明),(
1
RPR =
并且若,Aa∈ 则
,1)( =A
F
μ 若,Aa? 则.0)( =A
F
μ
37,设μ是)(
1
RB上的一有限测度,令
.),],(()(
1
R∈?∞= xxxF μ
证明F是单调增加的右连续的,并求).(lim xF
x?∞→
和).(lim xF
x +∞→