102
§4.3 积分的极限定理
教学目的 本节讨论关于积分号下取极限的性质,即取极限和求积分交换顺序的定理,内容包括三个重要的定理以及一些推论,
本节要点 积分的极限定理有三个重要定理,即单调收敛定理,Fatou引理和控制收敛定理,它们分别适用于不同的情况,学习本节的内容应注意分清各个定理的条件和结论,
本节所有讨论都是在一给定的测度空间),,( μFX上进行的,
定理1 (Levi单调收敛定理)设)1(,≥nff
n
是非负可测函数,满足a.e.,
21
"≤≤ ff,
并且.
a.e.
ff
n
→? 则
∫∫
=
∞→
.lim μμ fddf
n
n
(1)
证明 由于在一个零测度集上改变一个函数的函数值不改变该函数的积分值,因此不妨设设ffnff
nnn
→≥≤
+
),1(
1
处处成立,由积分的单调性得到
∫ ∫∫
≥≤≤
+
.1,
1
nfddfdf
nn
μμμ
因此
∫
∞→
μdf
n
n
lim存在并且
∫∫
≤
∞→
.lim μμ fddf
n
n
(2)
下面证明相反的不等式,对每个,1≥n 由§3.1定理.9,存在非负简单函数列
1,
}{
≥kkn
g使得
).(,
,
∞→
↑
kfg
nkn
令
},,max{
,,1 kkkk
ggg "=,1≥k
则}{
k
g是非负简单函数列并且.
↑k
g由于当nk ≥时,
,knkn
ffg ≤≤ 故
.,
,
nkfgg
kkkn
≥≤≤ （3）
令∞→k得.lim fgf
k
k
n
≤≤
∞→
再令∞→n得.lim fg
k
k
=
∞→
由积分的定义和(3),我们有
∫∫∫
∞→∞→
≤=,limlim μμμ dfdgfd
k
k
k
k
结合(2)得到(1),■
推论2 设)1(,≥nff
n
是可测函数,满足a.e.,
21
"≤≤ ff,并且存在可积函数,g
使得.)1(a.e.,≥≥ ngf
n
若,
a.e.
ff
n
→? 则
103
∫∫
=
∞→
.lim μμ fddf
n
n
证明 由于存在可积函数,g 使得,)1(a.e.,≥≥ ngf
n
因此a.e.gf ≥ 由§4.1.定理7
知道
n
f和f的积分存在,对非负可测函数列}{ ff
n
应用定理1,我们有
.)()(limlim
∫∫∫∫∫∫
=?=?=?
∞→∞→
μμμμμμ gdfddgfdgfgddf
n
n
n
n
由此得
∫∫
=
∞→
.lim μμ fddf
n
n
■
推论3 (Levi单调收敛定理的级数形式)设}{
n
f是一列非负的可测函数,则
.
11
∑
∫∫
∑
∞
=
∞
=
=
n
n
n
n
dfdf μμ
证明 令.,1,
11
∑∑
∞
==
=≥=
i
i
n
i
in
fgnfg则.0 gg
n ↑
≤ 应用定理1得到
∫
∑∑
∫∫∫
∑
=
∞
=
∞←∞→
∞
=
===
n
ii
ii
n
n
n
i
i
dfdfdgdf
111
.limlim μμμμ ■
例1 (积分对积分域的可数可加性)设f的积分存在,}{
n
A是一列互不相交的可测集,则
1 1
.
nn
n
AA
n
f dfdμμ
∞
=
∞
=
=
∑
∫∫
∪
(4)
证明 由推论3,我们有
1 11 1
..
nn
n n
n
AA
A A
nn n
f dfIdfId fdμμμμ
∞
=
∞∞ ∞
++ + +
== =
===
∑∑ ∑
∫∫ ∫∫
∪
(5)
类似地成立
1 1
.
nn
n
AA
n
f dfdμμ
∞
=
∞
=
=
∑
∫∫
∪
(6)
由于f的积分存在,因此
1
n
n
A
f dμ
∞
=
+
∫
∪
和
1
n
n
A
f dμ
∞
=
∫
∪
至少有一个是有限的,将(5)和(6)
的两端相加即得(4).■
定理4 (Fatou引理)设}{
n
f是一列非负可测函数,则
.limlim μμ dfdf
n
n
n
n
∫∫
∞→∞→
≤
证明 对每个,1≥n 令.inf
k
nk
n
fg
≥
= 则}{
n
g是单调增加的并且
,0
nn
fg ≤≤,limlim
n
n
n
n
fg
∞→
∞→
= 由单调收敛定理得到
.limlimlimlim
∫∫∫∫
∞→
∞→∞→
∞→
≤== μμμμ dfdgdgdf
n
n
n
n
n
n
n
n
■
104
推论5 设}{
n
f是一列可测函数,则
).i(若存在一可积函数g使得.)1(a.e.,≥≥ ngf
n
则.limlim μμ dfdf
n
n
n
n
∫∫
∞→∞→
≤
).ii(若存在一可积函数g使得.)1(a.e.,≥≤ ngf
n
则.limlim
∫∫
∞→∞→
≥ μμ dfdf
n
n
n
n
证明 对函数列}{ gf
n
应用定理4即得).i( 再对函数列}{
n
f?应用)i(的结果并注意到
n
n
n
n
ff
∞→
∞→
=? lim)(lim即得).ii( ■
定理6 (控制收敛定理) 设)1(,≥nff
n
是可测函数,并且存在可积函数g使得
).1(a.e,≥≤ ngf
n
若ff
n
→?
a.e.
或,ff
n
→?
μ
则f可积并且
∫∫
=
∞→
.lim μμ fddf
n
n
(7)
证明 先证ff
n
→?
a.e.
的情形,由于).1(a.e,≥≤ ngf
n
故a.e..gf ≤由于g可积,
由§4.1.定理6知道
n
f和f都可积,由Fatou引理,我们有
.limlimlim
∫∫∫∫∫
≤≤≤=
∞→
∞→
∞→
μμμμμ fddfdfdffd
n
n
n
n
n
n
因此
∫
∞→
μdf
n
n
lim存在并且(7)成立,再证ff
n
→?
μ
的情形,由§3.2定理.6,对}{
n
f的任一子列}{
k
n
f都存在其子列}{
k
n
f
′
,使得).(
a.e.
∞→′?→?
′
kff
k
n
由上面所证的结果有
∫∫
=
′
∞→′
.lim μμ fddf
k
n
k
这蕴涵
∫
∞→
μdf
n
n
lim存在并且(7)成立.■
推论7 (有界收敛定理) 设}{
n
f是有限测度空间上的可测函数列,并且存在常数M使得
).1(a.e,≥≤ nMf
n
若ff
n
→?
a.e.
或,ff
n
→?
μ
则f可积并且
∫∫
=
∞→
.lim μμ fddf
n
n
证明 由于有限测度空间上的常数函数是可积的,取,Mg =即知推论成立,■
推论8 设对每个固定的],,[ bat∈ ),( txf是X上的可测函数,又设)(xf是X上的可测函数,使得a.e..)(),(lim
0
xftxf
tt
=
→
若存在X上的可积函数g使得
].,[a.e.,)(),( batxgtxf ∈≤ (8)
则f可积并且
∫∫
=
→
.)()()(),(lim
0
xdxfxdtxf
tt
μμ (9)
105
(这里为强调是对x的函数积分,将
∫
μdtxf ),(记为)(),( xdtxf
∫
μ ),
证明 由(8)知道a.e.,gf ≤ 因此f可积,设}{
n
t是),( ba中的数列使得.
0
tt
n
→ 由于a.e.,)(),(lim
0
xftxf
tt
=
→
因此a.e..)(),(lim xftxf
n
n
=
∞→
又
).1(a.e.)(),( ≥≤ nxgtxf
n
由定理6得到
∫∫
=
∞→
.)()()(),(lim xdxfxdtxf
n
n
μμ
这表明)(),(lim
0
xdtxf
tt
∫
→
μ存在并且(9)成立.■
例2 (积分号下求导)设),( yxf是定义在],[],[ dcba ×上的函数,使得对每个
],,[ dcy∈ ),( yxf?是],[ ba上的L可积函数,对每个∈),( yx ],,[],[ dcba × ),( yxf
y
′存在,
并且存在],[ ba上的L可积函数),(xg 使得
),(),( xgyxf
y
≤′ ∈),( yx ].,[],[ dcba × (10)
则函数() (,)
b
a
I yfxydx=
∫
可导,并且成立
(,) (,),
bb
y
aa
d
f xydx f xydx
dy
′
=
∫∫
(11)
证明 对任意∈),( yx ],,[],[ dcba × 令
.
),(),(
),(
t
yxftyxf
tx
+
=?
其中和0≠t并且t充分小,使得],[ dcty ∈+,则对任意],,[ bax∈ 有
).,(),(lim
0
yxftx
y
t
′=
→
由微分中值定理和(10),当],[ bax∈并且t充分小时,成).(),( xgtx ≤? 因此由推论8,
0
(,) lim (,) (,),
bbb
y
taaa
d
f x y dx x t dx f x y dx
dy
→
′
==
∫∫∫
因此函数() (,)
b
a
I yfxydx=
∫
可导,并且(11)成立,■,
小 结 本节介绍了积分的极限定理,主要是三个重要定理,即单调收敛定理,Fatou引理和控制收敛定理,它们分别适用于不同的情况.与关于Riemann积分的相应结果比较,本节所介绍的积分的极限定理的条件较少而且较容易验证,因此它们在理论推导和积分计算方面有广泛的应用,
习 题 习题四,第15题—第25 题,
§4.3 积分的极限定理
教学目的 本节讨论关于积分号下取极限的性质,即取极限和求积分交换顺序的定理,内容包括三个重要的定理以及一些推论,
本节要点 积分的极限定理有三个重要定理,即单调收敛定理,Fatou引理和控制收敛定理,它们分别适用于不同的情况,学习本节的内容应注意分清各个定理的条件和结论,
本节所有讨论都是在一给定的测度空间),,( μFX上进行的,
定理1 (Levi单调收敛定理)设)1(,≥nff
n
是非负可测函数,满足a.e.,
21
"≤≤ ff,
并且.
a.e.
ff
n
→? 则
∫∫
=
∞→
.lim μμ fddf
n
n
(1)
证明 由于在一个零测度集上改变一个函数的函数值不改变该函数的积分值,因此不妨设设ffnff
nnn
→≥≤
+
),1(
1
处处成立,由积分的单调性得到
∫ ∫∫
≥≤≤
+
.1,
1
nfddfdf
nn
μμμ
因此
∫
∞→
μdf
n
n
lim存在并且
∫∫
≤
∞→
.lim μμ fddf
n
n
(2)
下面证明相反的不等式,对每个,1≥n 由§3.1定理.9,存在非负简单函数列
1,
}{
≥kkn
g使得
).(,
,
∞→
↑
kfg
nkn
令
},,max{
,,1 kkkk
ggg "=,1≥k
则}{
k
g是非负简单函数列并且.
↑k
g由于当nk ≥时,
,knkn
ffg ≤≤ 故
.,
,
nkfgg
kkkn
≥≤≤ （3）
令∞→k得.lim fgf
k
k
n
≤≤
∞→
再令∞→n得.lim fg
k
k
=
∞→
由积分的定义和(3),我们有
∫∫∫
∞→∞→
≤=,limlim μμμ dfdgfd
k
k
k
k
结合(2)得到(1),■
推论2 设)1(,≥nff
n
是可测函数,满足a.e.,
21
"≤≤ ff,并且存在可积函数,g
使得.)1(a.e.,≥≥ ngf
n
若,
a.e.
ff
n
→? 则
103
∫∫
=
∞→
.lim μμ fddf
n
n
证明 由于存在可积函数,g 使得,)1(a.e.,≥≥ ngf
n
因此a.e.gf ≥ 由§4.1.定理7
知道
n
f和f的积分存在,对非负可测函数列}{ ff
n
应用定理1,我们有
.)()(limlim
∫∫∫∫∫∫
=?=?=?
∞→∞→
μμμμμμ gdfddgfdgfgddf
n
n
n
n
由此得
∫∫
=
∞→
.lim μμ fddf
n
n
■
推论3 (Levi单调收敛定理的级数形式)设}{
n
f是一列非负的可测函数,则
.
11
∑
∫∫
∑
∞
=
∞
=
=
n
n
n
n
dfdf μμ
证明 令.,1,
11
∑∑
∞
==
=≥=
i
i
n
i
in
fgnfg则.0 gg
n ↑
≤ 应用定理1得到
∫
∑∑
∫∫∫
∑
=
∞
=
∞←∞→
∞
=
===
n
ii
ii
n
n
n
i
i
dfdfdgdf
111
.limlim μμμμ ■
例1 (积分对积分域的可数可加性)设f的积分存在,}{
n
A是一列互不相交的可测集,则
1 1
.
nn
n
AA
n
f dfdμμ
∞
=
∞
=
=
∑
∫∫
∪
(4)
证明 由推论3,我们有
1 11 1
..
nn
n n
n
AA
A A
nn n
f dfIdfId fdμμμμ
∞
=
∞∞ ∞
++ + +
== =
===
∑∑ ∑
∫∫ ∫∫
∪
(5)
类似地成立
1 1
.
nn
n
AA
n
f dfdμμ
∞
=
∞
=
=
∑
∫∫
∪
(6)
由于f的积分存在,因此
1
n
n
A
f dμ
∞
=
+
∫
∪
和
1
n
n
A
f dμ
∞
=
∫
∪
至少有一个是有限的,将(5)和(6)
的两端相加即得(4).■
定理4 (Fatou引理)设}{
n
f是一列非负可测函数,则
.limlim μμ dfdf
n
n
n
n
∫∫
∞→∞→
≤
证明 对每个,1≥n 令.inf
k
nk
n
fg
≥
= 则}{
n
g是单调增加的并且
,0
nn
fg ≤≤,limlim
n
n
n
n
fg
∞→
∞→
= 由单调收敛定理得到
.limlimlimlim
∫∫∫∫
∞→
∞→∞→
∞→
≤== μμμμ dfdgdgdf
n
n
n
n
n
n
n
n
■
104
推论5 设}{
n
f是一列可测函数,则
).i(若存在一可积函数g使得.)1(a.e.,≥≥ ngf
n
则.limlim μμ dfdf
n
n
n
n
∫∫
∞→∞→
≤
).ii(若存在一可积函数g使得.)1(a.e.,≥≤ ngf
n
则.limlim
∫∫
∞→∞→
≥ μμ dfdf
n
n
n
n
证明 对函数列}{ gf
n
应用定理4即得).i( 再对函数列}{
n
f?应用)i(的结果并注意到
n
n
n
n
ff
∞→
∞→
=? lim)(lim即得).ii( ■
定理6 (控制收敛定理) 设)1(,≥nff
n
是可测函数,并且存在可积函数g使得
).1(a.e,≥≤ ngf
n
若ff
n
→?
a.e.
或,ff
n
→?
μ
则f可积并且
∫∫
=
∞→
.lim μμ fddf
n
n
(7)
证明 先证ff
n
→?
a.e.
的情形,由于).1(a.e,≥≤ ngf
n
故a.e..gf ≤由于g可积,
由§4.1.定理6知道
n
f和f都可积,由Fatou引理,我们有
.limlimlim
∫∫∫∫∫
≤≤≤=
∞→
∞→
∞→
μμμμμ fddfdfdffd
n
n
n
n
n
n
因此
∫
∞→
μdf
n
n
lim存在并且(7)成立,再证ff
n
→?
μ
的情形,由§3.2定理.6,对}{
n
f的任一子列}{
k
n
f都存在其子列}{
k
n
f
′
,使得).(
a.e.
∞→′?→?
′
kff
k
n
由上面所证的结果有
∫∫
=
′
∞→′
.lim μμ fddf
k
n
k
这蕴涵
∫
∞→
μdf
n
n
lim存在并且(7)成立.■
推论7 (有界收敛定理) 设}{
n
f是有限测度空间上的可测函数列,并且存在常数M使得
).1(a.e,≥≤ nMf
n
若ff
n
→?
a.e.
或,ff
n
→?
μ
则f可积并且
∫∫
=
∞→
.lim μμ fddf
n
n
证明 由于有限测度空间上的常数函数是可积的,取,Mg =即知推论成立,■
推论8 设对每个固定的],,[ bat∈ ),( txf是X上的可测函数,又设)(xf是X上的可测函数,使得a.e..)(),(lim
0
xftxf
tt
=
→
若存在X上的可积函数g使得
].,[a.e.,)(),( batxgtxf ∈≤ (8)
则f可积并且
∫∫
=
→
.)()()(),(lim
0
xdxfxdtxf
tt
μμ (9)
105
(这里为强调是对x的函数积分,将
∫
μdtxf ),(记为)(),( xdtxf
∫
μ ),
证明 由(8)知道a.e.,gf ≤ 因此f可积,设}{
n
t是),( ba中的数列使得.
0
tt
n
→ 由于a.e.,)(),(lim
0
xftxf
tt
=
→
因此a.e..)(),(lim xftxf
n
n
=
∞→
又
).1(a.e.)(),( ≥≤ nxgtxf
n
由定理6得到
∫∫
=
∞→
.)()()(),(lim xdxfxdtxf
n
n
μμ
这表明)(),(lim
0
xdtxf
tt
∫
→
μ存在并且(9)成立.■
例2 (积分号下求导)设),( yxf是定义在],[],[ dcba ×上的函数,使得对每个
],,[ dcy∈ ),( yxf?是],[ ba上的L可积函数,对每个∈),( yx ],,[],[ dcba × ),( yxf
y
′存在,
并且存在],[ ba上的L可积函数),(xg 使得
),(),( xgyxf
y
≤′ ∈),( yx ].,[],[ dcba × (10)
则函数() (,)
b
a
I yfxydx=
∫
可导,并且成立
(,) (,),
bb
y
aa
d
f xydx f xydx
dy
′
=
∫∫
(11)
证明 对任意∈),( yx ],,[],[ dcba × 令
.
),(),(
),(
t
yxftyxf
tx
+
=?
其中和0≠t并且t充分小,使得],[ dcty ∈+,则对任意],,[ bax∈ 有
).,(),(lim
0
yxftx
y
t
′=
→
由微分中值定理和(10),当],[ bax∈并且t充分小时,成).(),( xgtx ≤? 因此由推论8,
0
(,) lim (,) (,),
bbb
y
taaa
d
f x y dx x t dx f x y dx
dy
→
′
==
∫∫∫
因此函数() (,)
b
a
I yfxydx=
∫
可导,并且(11)成立,■,
小 结 本节介绍了积分的极限定理,主要是三个重要定理,即单调收敛定理,Fatou引理和控制收敛定理,它们分别适用于不同的情况.与关于Riemann积分的相应结果比较,本节所介绍的积分的极限定理的条件较少而且较容易验证,因此它们在理论推导和积分计算方面有广泛的应用,
习 题 习题四,第15题—第25 题,
