53
§2.3
n
R上的Lebesgue测度
教学目的 本节利用§2.2中一般测度的构造方法,构造一个重要的测度,
即欧氏空间
n
R上的Lebesgue测度,Lebesgue测度的建立,为定义Lebesgue积分打下基础,
本节要点 利用§2.2一般测度的构造方法,可以较快的构造出Lebesgue测度,Lebesgue测度不仅具有抽象测度具有的基本性质,而且还具有一些特有的性质,如利用开集或闭集的逼近性质等,Lebesgue可测集包含了常见的一些集,
但仍存在不可测集,Lebesgue-Stieljes测度是Lebesgue度的推广,应利用较多的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对Lebesgue测度的理解,
在§2.1和§2.2中讨论了一般测度的性质和构造方法,本节将讨论一个十分重要的情形,
就是n维欧式空间
n
R上的Lebesgue测度和Lebesgue-Stieltjes测度,我们将重点讨论
Lebesgue测度,然后介绍直线上的Lebesgue- Stieltjes测度,
方体的体积 我们将要定义的Lebesgue测度是熟知的长度,面积和体积概念的推广,因此我们先对
n
R上的方体的体积作一些规定,设I是直线上的一个有界区间(开的,闭的或半开半闭的),用I表示区间I的长度,即I的右端点与左端点之差,若I是无界区间,则规定.+∞=I 又规定空集也是区间并且.0=? 设
n
II,,
1
null是直线上的n个区间,称
n
R的子集
n
III ××= null
1
为
n
R中的一个方体,在直线
1
R和平面
2
R中,方体分别就是区间和矩形,若
n
II,,
1
null都是开区间,则称I为
n
R中的开方体,类似可定义
n
R中的闭方体和半开半闭方体,设
n
III ××= null
1
为
n
R中的一个方体,称
n
III= null
1
为I的体积,
环R上的测度 设C是
n
R中有界的左开右闭方体的全体所成的集类,不难证明C是一个半环(在
1
R的情形是显然的,一般情形留作习题),对每个∈I C,令
.)( IIm =
则显然集函数m在C上是有限可加的并且0)( =?m,又设R是由C生成的环,即
}.1,,,:{
1
1
≥==
=
kIIIA
k
k
i
i
并且互不相交属于其中CR null
∪
(见§1.3定理4).对每个∈A R,若A的一个分解式为,
1
∪
∞
=
=
i
i
IA则令
54
.)()(
1
∑
=
=
k
i
i
ImAm (1)
由§2.2引理7,)(Am的值不依赖于A的分解式的选取,因此m在R上的值是确定的,
引理1 由(1)式定义的R上的集函数m具有如下性质,
)i( m是有限可加的,
)ii( m是单调的,
)iii( m是次有限可加的,即若∈
k
AA,,
1
null,R 则
.)()(
11
∑
==
≤
k
i
i
k
i
i
AmAm
∪
证明 设
k
AA,,
1
null是R中的k个互不相交的集,令.
1
∪
k
i
i
AA
=
= 设
i
A的一分解式为
.,,1,
1
kiIA
i
m
j
iji
null
∪
==
=
则
∪∪
k
i
m
j
ij
i
IA
11==
=是A的一个分解式,因此有
.)()()(
111
∑∑∑
===
==
k
i
i
k
i
m
j
ij
AmImAm
i
故)i(得证,利用m的有限可加性,类似于§2.1测度的单调性和次可数可加性的证明,可以证明)ii(和)iii(成立.■
定理2 由(1)式定义的集函数m是R上的测度,
证明 由§2.2定理8,只需证明m在C上是可数可加的,设}{
i
I是C中的一列互不相交的集并且∈=
∞
=
∪
1i
i
II C,由引理2.3.1,对任意1≥k成立
).()()(
11
ImImIm
k
i
i
k
i
i
≤=
==
∑ ∪
令,∞→k 即得).()(
1
ImIm
i
i
≤
∑
∞
=
下面证明反向不等式,任意给定一个0>ε,容易知道,存在闭方体IJ?和开方体
)1( ≥? iIJ
ii
使得
,)()( ε≤? JmIm,1,
2
)()( ≥≤? iImJm
i
ii
ε
(2)
55
(以一维情形为例,若],,( baI = ],,(
iii
baI =则取],[ baJ ε+=,)
2
,(
i
iii
baJ
ε
+= ),
于是
.
11
∪∪
∞
=
∞
=
=?
i
i
i
i
JIIJ
由有限覆盖定理,可以从开方体列中}{
i
J选出有限个也覆盖.J 不妨设这有限个方体为
.,,
1 k
JJ null 设J′和)1( kiJ
i
≤≤′分别是与J和
i
J′有相同端点的左开右闭方体 (例如,若
],,[ baJ ε+= )
2
,(
i
iii
baJ
ε
+=,则取],( baJ ε+=′,]
2
,(
i
iii
baJ
ε
+=′ ).由于
.
1
∪
k
i
i
JJ
=
于是更加有.
1
∪
k
i
i
JJ
=
′?′ 由引理1我们有
.)()()()()(
111
∑∑
===
=′≤′≤′=
k
i
i
k
i
i
k
i
i
JmJmJmJmJm
∪
因此由(2)得到
.)()()()(
11
εε +≤≤≤?
∑∑
∞
== i
i
k
i
i
ImJmJmIm
由于0>ε是任意的,由上式得到.)()(
1
∑
∞
=
≤
i
i
ImIm综合前面的不等式得到
.)()(
1
∑
∞
=
=
i
i
ImIm
这就证明了集函数m在C上是可数可加的,由§2.2定理8,集函数m是R上的测.■
Lebesgue可测集与Lebesgue测度 Lebesgue测度的有关定义,
Lebesgue外测度
m,由R上的测度m导出的外测度,
Lebesgue可测集,
m -可测集,
Lebesgue可测集类,)(
n
RM (σ -代数),
Lebesgue测度m,
m在)(
n
RM上的限制,
Lebesgue测度空间,)),(,( m
nn
RR M (完备的,σ -有限的),
Lebesgue测度和Lebesgue可测集分别简称为L测度和L可测集,
上面我们定义了L可测集和L测度,那么L可测集类究竟有多大? L测度是否就是我们熟知的长度、面积和体积的推广? 下面的两个定理回答了这个问题,
定理3 每个Borel可测集都是Lebesgue可测集,即)(
n
RB? )(
n
RM,
56
证明 设R是上面所定义的环,容易证明=)(Rσ ).(
n
RB 由§2.2定理.5知道
)(Rσ? )(
n
RM,因此)(
n
RB? )(
n
RM,即每个Borel可测集都是Lebesgue可测集,定理证毕,
定理.3表明Lebesgue可测集类包含了足够多的集,特别是一些常见的集都是L可测集,
尽管如此,
n
R中仍然存在子集不是L可测的,这样的集称为Lebesgue不可测集,在本节的最后我们将给出一个Lebesgue不可测集的例子,在§3.1例6中我们将证明,在
n
R中存在子集是Lebesgue可测集但不是Borel集,即)(
n
RM严格包含)(
n
RB,
由定理3知道,
n
R中的有限集,可数集和各种方体都是L可测集,现在来计算它们的
L测度,
定理4
n
R中有限集和可数集的Lebesgue测度为零,方体的Lebesgue测度等于该方体的体积,
证明 首先注意到,若I是
n
R中的一个有界的左开右闭方体,则由L测度的定义有
.)( IIm = 现在设I是
n
R中的任意一个有界方体,容易知道对任意0>ε,存在左开右闭方体
21
II和,使得,
21
III并且
.,
21
εε <?<? IIII
(参见本章习题第16题)由测度的单调性我们有
.)()()(
2211
εε +<=≤≤=≤? IIImImImII
由0>ε的任意性即得.)( IIm = 再考虑I是无界方体的情形,设,
1 n
III ××= null 其中
n
II,,
1
null是直线上的区间并且至少有一个是无界的,容易知道对每个,,,1 ni null= 在
i
I中存在一列单调增加的有界闭区间
1,
}{
≥kki
J,使得
i
k
ki
IJ =
∞
=
∪
1
,
并且.lim
,iki
k
IJ =
∞→
令
,
,,1 knkk
JJJ ××= null,1≥k
则}{
k
J是一列单调增加的有界闭方体使得,
1
∪
∞
=
=
k
k
JI 并且
.limlim
1,,1
IIIJJJ
nknk
k
k
k
===
∞→∞→
nullnull
由于
k
J是有界方体,由上面已证的结果有.)(
kk
JJm = 于是由测度的下连续性我们有
.lim)(lim)( IJJmIm
k
k
k
k
===
∞→∞→
因此任何方体的L测度等于该方体的体积,由于单点集}{a可看成是方体,即
}{a ],[],[ aaaa ××= null,因此
57
.0],[],[})({ =××= aaaaam null
再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的L测度为零,■
由定理4知道,Lebesgue测度确实是区间的长度,矩形的面积和方体的体积概念的推广,而且它能对
n
R中的更多的子集给予一种类似于体积的度量,
例1 由于直线上有理数集是可数集,由定理4知道,直线上有理数集的L测度等于零,
又实数集
1
R的一维L测度.)
11
+∞== R(Rm但
1
R作为
2
R的子集,其二维L测度
.00}0{})0{()(
111
=?+∞=×=×= RRR mm
这里顺便指出证明区间]1,0[不是可数集的另一方法,由定理4,可数集的L测度为零,
但,1)]1,0[( =m 因此]1,0[不是可数集,
例2 设K是Cantor集,在§1.4中构造Cantor集时,从]1,0[中去掉的那些开区间的并记为.G 我们已经知道这些区间长度之和为1,即.1)( =Gm 由于,]1,0[ GK?= 因此
.011)()]1,0[()( =?=?= GmmKm
我们知道K不是可数集(其基数为c ),这个例子表明一个不可数集的L测度也可能为零,
设A是
n
R的子集,R是上面所定义的环,则由L外测度的定义有
=
∑
∞
=
∞
=
1 1
,}{:)(inf)(
i i
iii
AAAAmAm
∪
并且中的集列是R,(3)
下面给出Lebesgue外测度的另一种表示方法,
定理5 设A是
n
R的子集,则
=
∞
=
∞
=
∑ ∪
11
,}{:inf)(
i
ii
i
i
IAIIAm并且是一列有界开区间,(4)
证明 设A是
n
R的子集,若,)( +∞=
Am 则(4)显然成立,现在设.)( +∞<
Am 则由(3)知道,对任意0>ε,存在R中的一列集}{
i
A使得
∪
∞
=
1i
i
AA并且
.)()(
1
ε+<
∞
=
∑
AmAm
i
i
(5)
由于每个
i
A都可以表为有限个左开右闭方体的并,故不妨设每个
i
A都是左开右闭方体,容易知道对每个i,存在开方体
i
I使得
ii
IA?并且.
2
i
ii
AI
ε
<? 由于,
1
∪
∞
=
i
i
IA 利用(5)
得到
58
.2)()()(
111
εε +≤+≤=≤
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑
AmAIImAm
i
i
i
i
i
i
在上式里对A的所有有界开方体的覆盖取下确界得到
ε2)(}{:inf)(
11
,+≤
≤
∞
=
∞
=
∑
AmIAIIAm
i
ii
i
i ∪
并且是一列有界开区间,
由于0>ε是任意的,故(2)成立.■
L可测集与L测度的逼近 我们知道型集
δ
G和型集
σ
F都是Borel集,当然也是L可测集,下面我们进一步考察L可测集的构造,
定理6 设A为
n
R中的L可测集,则
).i(对任意,0>ε 存在开集,AG? 使得.)( ε<? AGm
).ii(对任意,0>ε 存在闭集,AF? 使得.)( ε<?FAm 若
,)( +∞<Am 则F可以取为是有界闭集,
).iii(存在型集
δ
G,AG? 使得.0)( =? AGm
).iv(存在型集
σ
F,AF? 使得.0)( =?FAm
证明 ).i(先设.)( +∞<Am 由定理5,存在一列覆盖A开方体}{
n
I使得
.)(
1
ε+<
∑
∞
=
AmI
n
n
令,
1
∪
∞
=
=
n
n
IG 则G为开集,AG?并且
.)()()(
11
ε+<=≤
∑∑
∞
=
∞
=
AmIImGm
n
n
n
n
于是得到
.)()()( ε<?=? AmGmAGm
现在设+∞=)(Am,设}{
i
E一列互不相交的L可测集,使得+∞<)(
i
Em并且
n
R
∪
∞
=
=
1i
i
E,
令.1,≥∩= iEAA
ii
则+∞<)(
i
Am并且.
1
∪
∞
=
=
i
i
AA 由上面所证的结果,对每个i,存在开集.
2
)(,
iiiii
AGmAG
ε
<使得 令.
1
∪
∞
=
=
i
i
GG 则G是开集,AG?,由于
59
,)(
111
∪∪∪
∞
=
∞
=
∞
=
=?
i
ii
i
i
i
i
AGAGAG
我们有.)()(
1
ε<?≤?
∑
∞
=i
ii
AGmAGm
).ii(由于
c
A也是可测集,根据(1)的结果,存在开集,
c
AG?使得.)( ε<?
c
AGm 令
,
c
GF = 则F是闭集并且.AF? 由于
.)(
cccc
AGGAFAFA?=∩=∩=? (6)
于是得
.)()( ε<?=?
c
AGmFAm
现在设.)( +∞<Am 先取一个闭集,AE? 使得.
2
)(
ε
<?EAm 令),0( kSE
k
=是中心在原点,半径为k的闭球,则
↑
∩
k
EE并且.)(
1
∪
∞
=
∩=
k
k
EEE 于是
).())(()(lim
1
EmEEmEEm
k
kk
k
=∩=∩
∞
=
∞→
∪
因此存在
0
k使得.
2
)()(
0
ε
<∩?
k
EEmEm 令,
0
k
EEF ∩= 则F是有界闭集,.AF?
并且
.
22
)()()()( ε
εε
=+<?+?=? FEmEAmFmAm
).iii(由于),i( 对任意k,存在开集,AG
k
使得.
1
)(
k
AGm
k
<? 令.
1
∩
∞
=
=
k
k
GG
则G为型集
δ
G,.
1
)(
k
AGmAG
i
<并且 令,+∞→k 即得0)( =? AGm,
).iv(由)iii(的结果,存在型集
δ
G G使得.0)( =
cc
AGmAG并且 令,
c
GF =
则F为型集
σ
F,.AF?并且 (6)成立,于是有得到
.0)()( =?=?
c
AGmFAm ■
推论7 若A为
n
R中的L可测集,则
}.:)(inf{)( AGGGmAm?=是开集并且
}.:)(sup{)( AFFFmAm?=是有界闭集并且
证明 推论的结论不难由定理6得到,详细过程从略,证毕,
由于L测度具有上述推论所述的性质,我们称L测度是正则的,
例3 设A是
1
R中的L可测集并且.)( +∞<Am 则对任意,0>ε存在有限个开区间的
60
并集U,使得.)( ε<?UAm
证明 由定理2.3.6,任意,0>ε 存在开集,AG? 使得.
2
)(
ε
<? AGm 由直线上开集的构造定理,存在一列互不相交的开区间)},{(
ii
ba使得.),(
1
∪
∞
=
=
i
ii
baG 由于
+∞<)(Am知道.)( +∞<Gm 于是.)()(
1
+∞<=?
∑
∞
=
Gmab
i
ii
因此可以取n足够大使得
.
2
)(
1
ε
<?
∑
∞
+=ni
ii
ab 令,),(
1
∪
n
i
ii
baU
=
= 则.
2
)(
ε
<?UGm 我们得到
..
22
)()(
)()()(
ε
εε
=+<?+?≤
+?=?
AGmUGm
AUmUAmUAm
■
下面的定理8表明Lebesgue测度具有平移不变性,其证明留作习题,
定理8 设A是
n
R中的L可测集,∈
0
x
n
R,则Ax +
0
是L可测集并且
).()(
0
AmAxm =+
其中}.:{
00
AxxxAx ∈+=+
Lebesgue-Stieltjes测度 下面讨论Lebesgue测度的推广即Lebesgue-Stieltjes测度,我们仅讨论
1
R的情形,
设F是定义在
1
R上的单调增加的右连续实值函数,令
}.1],(,],,(:],({,
11
1
≥==
=
kbababaA
kk
k
i
ii
互不相交null
∪
R
则R是一个环(见§1.3例3),对任意∈A R,若A的一个分解式为,],(
1
∪
k
i
ii
baA
=
=则令
,))()(()(
1
∑
=
=
k
i
iiF
aFbFAμ (7)
则
F
μ是定义在R上的非负值集函数,类似于定理2 的证明,可以证明
F
μ是R上的测度,
设
F
μ是由
F
μ导出的外测度,
R是
F
μ可测集的全体所成的σ?代数,由§2.2定理5,
F
μ是
R上的测度,称之为由F导出的Lebesgue-Stieltjes测度,简称为L-S测度,今后将延拓后的测度
F
μ仍记为
F
μ,由§2.2定理10,
R关于测度
F
μ是完备的,由§2.2定理5,
=)(
1
RB?)(Rσ
R,因此
F
μ至少在)(
1
RB有定义,显然Lebesgue测度m就是
Lebesgue-Stieltjes测度
F
μ当xxF =)(时的情形,
由L-S测度的定义,对直线上的每个有界左开右闭区间],( ba,有
61
).()()],(( aFbFba
F
=μ (8)
(上式的物理意义是,如果)(xF表示分布在区间],( x?∞上的质量,则)],(( ba
F
μ表示分布在区间],( ba上的质量),利用(8)式和测度的性质,容易计算出其它类型的区间、有限集和可数集的L-S测度,
例4 设
≥
<≤
<
=
.
2
,212
,10
)(
2
xx
x
x
xF
当当当
则)(xF是单调增加的右连续函数,计算
)),1,0((
F
μ )),0(( ∞+
F
μ和}).1({
F
μ
解 利用测度的下连续性和可减性,我们有
.0))0()
1
1((lim
)]
1
1,0((lim)]
1
1,0(())1,0((
1
==
=?=
∞→
∞→
∞
=
F
n
F
nn
n
F
n
n
FF
μμμ
∪
.)0(lim)),0((lim)],0(()),0((
2
1
+∞=?===∞+
∞→∞→
∞
=
nnn
n
F
n
n
FF
μμμ
∪
.20)0()1())1,0((])1,0((})1({ ==?= FF
FFF
μμμ
Lebesgue不可测集 最后我们给出一个Lebesgue不可测集的例子.,
例5 Lebesgue不可测集的例,对任意],1,0[,∈yx 若yx?是有理数,则记为x ~,y
容易验证关系“~”是区间]1,0[上的一个等价关系,因此这个等价关系“~”将]1,0[分成一些互不相交的等价类,根据Zermelo选取公理,存在]1,0[的一个子集,E 使得E与每个等价类只交于一点,我们证明E不是L可测的,
设}{
n
r是]1,1[?中的有理数的全体,对每个,n 令.ErE
nn
+= 则集列}{
n
E具有如下性质,
(1),当nm ≠时,.?=∩
nm
EE 若不然,设,
nm
EEx ∩∈ 则,Erx
m
∈?
.Erx
n
∈? 由于
mnnm
rrrxrx?= )(是有理数,因此
m
rx?和
n
rx?属于同一等价类,但.
nm
rxrx?≠? 这样E就包含了同一等价类中的两个不同的元,这与E的性质矛盾!
因此.?=∩
nm
EE
(2),成立如下包含关系,
].2,1[]1,0[
1
∞
=
∪
n
n
E
62
事实上,设].1,0[∈x 由E的性质,E应包含x所在的等价类中的某一元.y 由于x和y在同一等价类中,故yxr?=是一有理数,由于,11 ≤≤? r 故r是}{
n
r中的某一数,设
.
0
n
rr = 则.
00
nn
Eyrx ∈+=因此.]1,0[
1
∪
∞
=
n
n
E至于包含关系]2,1[
1
∞
=
∪
n
n
E是显然的,
现在用反证法,假定E是L可测的,由定理8,每个
n
E是L可测的,并且
).()( EmEm
n
= 由测度的可数可加性,我们有
.3)]2,1[()()(
111
=?≤
==
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑
mEmEmEm
n
n
n
n
n
∪
故必须.0)( =Em于是.0)(
1
=
∞
=
∪
n
n
Em 但另一方面由于,]1,0[
1
∪
∞
=
n
n
E 应有).(1
1
∪
∞
=
≤
n
n
Em
这样就导致矛盾,因此E不是L可测的,
小 结 本节利用§2.2中一般测度的构造方法,建立了
n
R上的Lebesgue测度,Lebesgue
测度是长度,面积和体积概念的推广,Lebesgue测度能对更多的集即可测集给出度量,
Lebesgue可测集包含了常见的一些集,但仍存在不可测集.由于
n
R是具有丰富的结构的空间,因此
n
R上的Lebesgue测度具有一些一般测度不具有的性质.如利用开集或闭集的逼近性质等.Lebesgue-Stieljes测度是Lebesgue度的推广.充分利用几何直观,可以帮助理解本节的内容,
习 题 习题二,第17题—第37题,
§2.3
n
R上的Lebesgue测度
教学目的 本节利用§2.2中一般测度的构造方法,构造一个重要的测度,
即欧氏空间
n
R上的Lebesgue测度,Lebesgue测度的建立,为定义Lebesgue积分打下基础,
本节要点 利用§2.2一般测度的构造方法,可以较快的构造出Lebesgue测度,Lebesgue测度不仅具有抽象测度具有的基本性质,而且还具有一些特有的性质,如利用开集或闭集的逼近性质等,Lebesgue可测集包含了常见的一些集,
但仍存在不可测集,Lebesgue-Stieljes测度是Lebesgue度的推广,应利用较多的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对Lebesgue测度的理解,
在§2.1和§2.2中讨论了一般测度的性质和构造方法,本节将讨论一个十分重要的情形,
就是n维欧式空间
n
R上的Lebesgue测度和Lebesgue-Stieltjes测度,我们将重点讨论
Lebesgue测度,然后介绍直线上的Lebesgue- Stieltjes测度,
方体的体积 我们将要定义的Lebesgue测度是熟知的长度,面积和体积概念的推广,因此我们先对
n
R上的方体的体积作一些规定,设I是直线上的一个有界区间(开的,闭的或半开半闭的),用I表示区间I的长度,即I的右端点与左端点之差,若I是无界区间,则规定.+∞=I 又规定空集也是区间并且.0=? 设
n
II,,
1
null是直线上的n个区间,称
n
R的子集
n
III ××= null
1
为
n
R中的一个方体,在直线
1
R和平面
2
R中,方体分别就是区间和矩形,若
n
II,,
1
null都是开区间,则称I为
n
R中的开方体,类似可定义
n
R中的闭方体和半开半闭方体,设
n
III ××= null
1
为
n
R中的一个方体,称
n
III= null
1
为I的体积,
环R上的测度 设C是
n
R中有界的左开右闭方体的全体所成的集类,不难证明C是一个半环(在
1
R的情形是显然的,一般情形留作习题),对每个∈I C,令
.)( IIm =
则显然集函数m在C上是有限可加的并且0)( =?m,又设R是由C生成的环,即
}.1,,,:{
1
1
≥==
=
kIIIA
k
k
i
i
并且互不相交属于其中CR null
∪
(见§1.3定理4).对每个∈A R,若A的一个分解式为,
1
∪
∞
=
=
i
i
IA则令
54
.)()(
1
∑
=
=
k
i
i
ImAm (1)
由§2.2引理7,)(Am的值不依赖于A的分解式的选取,因此m在R上的值是确定的,
引理1 由(1)式定义的R上的集函数m具有如下性质,
)i( m是有限可加的,
)ii( m是单调的,
)iii( m是次有限可加的,即若∈
k
AA,,
1
null,R 则
.)()(
11
∑
==
≤
k
i
i
k
i
i
AmAm
∪
证明 设
k
AA,,
1
null是R中的k个互不相交的集,令.
1
∪
k
i
i
AA
=
= 设
i
A的一分解式为
.,,1,
1
kiIA
i
m
j
iji
null
∪
==
=
则
∪∪
k
i
m
j
ij
i
IA
11==
=是A的一个分解式,因此有
.)()()(
111
∑∑∑
===
==
k
i
i
k
i
m
j
ij
AmImAm
i
故)i(得证,利用m的有限可加性,类似于§2.1测度的单调性和次可数可加性的证明,可以证明)ii(和)iii(成立.■
定理2 由(1)式定义的集函数m是R上的测度,
证明 由§2.2定理8,只需证明m在C上是可数可加的,设}{
i
I是C中的一列互不相交的集并且∈=
∞
=
∪
1i
i
II C,由引理2.3.1,对任意1≥k成立
).()()(
11
ImImIm
k
i
i
k
i
i
≤=
==
∑ ∪
令,∞→k 即得).()(
1
ImIm
i
i
≤
∑
∞
=
下面证明反向不等式,任意给定一个0>ε,容易知道,存在闭方体IJ?和开方体
)1( ≥? iIJ
ii
使得
,)()( ε≤? JmIm,1,
2
)()( ≥≤? iImJm
i
ii
ε
(2)
55
(以一维情形为例,若],,( baI = ],,(
iii
baI =则取],[ baJ ε+=,)
2
,(
i
iii
baJ
ε
+= ),
于是
.
11
∪∪
∞
=
∞
=
=?
i
i
i
i
JIIJ
由有限覆盖定理,可以从开方体列中}{
i
J选出有限个也覆盖.J 不妨设这有限个方体为
.,,
1 k
JJ null 设J′和)1( kiJ
i
≤≤′分别是与J和
i
J′有相同端点的左开右闭方体 (例如,若
],,[ baJ ε+= )
2
,(
i
iii
baJ
ε
+=,则取],( baJ ε+=′,]
2
,(
i
iii
baJ
ε
+=′ ).由于
.
1
∪
k
i
i
JJ
=
于是更加有.
1
∪
k
i
i
JJ
=
′?′ 由引理1我们有
.)()()()()(
111
∑∑
===
=′≤′≤′=
k
i
i
k
i
i
k
i
i
JmJmJmJmJm
∪
因此由(2)得到
.)()()()(
11
εε +≤≤≤?
∑∑
∞
== i
i
k
i
i
ImJmJmIm
由于0>ε是任意的,由上式得到.)()(
1
∑
∞
=
≤
i
i
ImIm综合前面的不等式得到
.)()(
1
∑
∞
=
=
i
i
ImIm
这就证明了集函数m在C上是可数可加的,由§2.2定理8,集函数m是R上的测.■
Lebesgue可测集与Lebesgue测度 Lebesgue测度的有关定义,
Lebesgue外测度
m,由R上的测度m导出的外测度,
Lebesgue可测集,
m -可测集,
Lebesgue可测集类,)(
n
RM (σ -代数),
Lebesgue测度m,
m在)(
n
RM上的限制,
Lebesgue测度空间,)),(,( m
nn
RR M (完备的,σ -有限的),
Lebesgue测度和Lebesgue可测集分别简称为L测度和L可测集,
上面我们定义了L可测集和L测度,那么L可测集类究竟有多大? L测度是否就是我们熟知的长度、面积和体积的推广? 下面的两个定理回答了这个问题,
定理3 每个Borel可测集都是Lebesgue可测集,即)(
n
RB? )(
n
RM,
56
证明 设R是上面所定义的环,容易证明=)(Rσ ).(
n
RB 由§2.2定理.5知道
)(Rσ? )(
n
RM,因此)(
n
RB? )(
n
RM,即每个Borel可测集都是Lebesgue可测集,定理证毕,
定理.3表明Lebesgue可测集类包含了足够多的集,特别是一些常见的集都是L可测集,
尽管如此,
n
R中仍然存在子集不是L可测的,这样的集称为Lebesgue不可测集,在本节的最后我们将给出一个Lebesgue不可测集的例子,在§3.1例6中我们将证明,在
n
R中存在子集是Lebesgue可测集但不是Borel集,即)(
n
RM严格包含)(
n
RB,
由定理3知道,
n
R中的有限集,可数集和各种方体都是L可测集,现在来计算它们的
L测度,
定理4
n
R中有限集和可数集的Lebesgue测度为零,方体的Lebesgue测度等于该方体的体积,
证明 首先注意到,若I是
n
R中的一个有界的左开右闭方体,则由L测度的定义有
.)( IIm = 现在设I是
n
R中的任意一个有界方体,容易知道对任意0>ε,存在左开右闭方体
21
II和,使得,
21
III并且
.,
21
εε <?<? IIII
(参见本章习题第16题)由测度的单调性我们有
.)()()(
2211
εε +<=≤≤=≤? IIImImImII
由0>ε的任意性即得.)( IIm = 再考虑I是无界方体的情形,设,
1 n
III ××= null 其中
n
II,,
1
null是直线上的区间并且至少有一个是无界的,容易知道对每个,,,1 ni null= 在
i
I中存在一列单调增加的有界闭区间
1,
}{
≥kki
J,使得
i
k
ki
IJ =
∞
=
∪
1
,
并且.lim
,iki
k
IJ =
∞→
令
,
,,1 knkk
JJJ ××= null,1≥k
则}{
k
J是一列单调增加的有界闭方体使得,
1
∪
∞
=
=
k
k
JI 并且
.limlim
1,,1
IIIJJJ
nknk
k
k
k
===
∞→∞→
nullnull
由于
k
J是有界方体,由上面已证的结果有.)(
kk
JJm = 于是由测度的下连续性我们有
.lim)(lim)( IJJmIm
k
k
k
k
===
∞→∞→
因此任何方体的L测度等于该方体的体积,由于单点集}{a可看成是方体,即
}{a ],[],[ aaaa ××= null,因此
57
.0],[],[})({ =××= aaaaam null
再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的L测度为零,■
由定理4知道,Lebesgue测度确实是区间的长度,矩形的面积和方体的体积概念的推广,而且它能对
n
R中的更多的子集给予一种类似于体积的度量,
例1 由于直线上有理数集是可数集,由定理4知道,直线上有理数集的L测度等于零,
又实数集
1
R的一维L测度.)
11
+∞== R(Rm但
1
R作为
2
R的子集,其二维L测度
.00}0{})0{()(
111
=?+∞=×=×= RRR mm
这里顺便指出证明区间]1,0[不是可数集的另一方法,由定理4,可数集的L测度为零,
但,1)]1,0[( =m 因此]1,0[不是可数集,
例2 设K是Cantor集,在§1.4中构造Cantor集时,从]1,0[中去掉的那些开区间的并记为.G 我们已经知道这些区间长度之和为1,即.1)( =Gm 由于,]1,0[ GK?= 因此
.011)()]1,0[()( =?=?= GmmKm
我们知道K不是可数集(其基数为c ),这个例子表明一个不可数集的L测度也可能为零,
设A是
n
R的子集,R是上面所定义的环,则由L外测度的定义有
=
∑
∞
=
∞
=
1 1
,}{:)(inf)(
i i
iii
AAAAmAm
∪
并且中的集列是R,(3)
下面给出Lebesgue外测度的另一种表示方法,
定理5 设A是
n
R的子集,则
=
∞
=
∞
=
∑ ∪
11
,}{:inf)(
i
ii
i
i
IAIIAm并且是一列有界开区间,(4)
证明 设A是
n
R的子集,若,)( +∞=
Am 则(4)显然成立,现在设.)( +∞<
Am 则由(3)知道,对任意0>ε,存在R中的一列集}{
i
A使得
∪
∞
=
1i
i
AA并且
.)()(
1
ε+<
∞
=
∑
AmAm
i
i
(5)
由于每个
i
A都可以表为有限个左开右闭方体的并,故不妨设每个
i
A都是左开右闭方体,容易知道对每个i,存在开方体
i
I使得
ii
IA?并且.
2
i
ii
AI
ε
<? 由于,
1
∪
∞
=
i
i
IA 利用(5)
得到
58
.2)()()(
111
εε +≤+≤=≤
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑
AmAIImAm
i
i
i
i
i
i
在上式里对A的所有有界开方体的覆盖取下确界得到
ε2)(}{:inf)(
11
,+≤
≤
∞
=
∞
=
∑
AmIAIIAm
i
ii
i
i ∪
并且是一列有界开区间,
由于0>ε是任意的,故(2)成立.■
L可测集与L测度的逼近 我们知道型集
δ
G和型集
σ
F都是Borel集,当然也是L可测集,下面我们进一步考察L可测集的构造,
定理6 设A为
n
R中的L可测集,则
).i(对任意,0>ε 存在开集,AG? 使得.)( ε<? AGm
).ii(对任意,0>ε 存在闭集,AF? 使得.)( ε<?FAm 若
,)( +∞<Am 则F可以取为是有界闭集,
).iii(存在型集
δ
G,AG? 使得.0)( =? AGm
).iv(存在型集
σ
F,AF? 使得.0)( =?FAm
证明 ).i(先设.)( +∞<Am 由定理5,存在一列覆盖A开方体}{
n
I使得
.)(
1
ε+<
∑
∞
=
AmI
n
n
令,
1
∪
∞
=
=
n
n
IG 则G为开集,AG?并且
.)()()(
11
ε+<=≤
∑∑
∞
=
∞
=
AmIImGm
n
n
n
n
于是得到
.)()()( ε<?=? AmGmAGm
现在设+∞=)(Am,设}{
i
E一列互不相交的L可测集,使得+∞<)(
i
Em并且
n
R
∪
∞
=
=
1i
i
E,
令.1,≥∩= iEAA
ii
则+∞<)(
i
Am并且.
1
∪
∞
=
=
i
i
AA 由上面所证的结果,对每个i,存在开集.
2
)(,
iiiii
AGmAG
ε
<使得 令.
1
∪
∞
=
=
i
i
GG 则G是开集,AG?,由于
59
,)(
111
∪∪∪
∞
=
∞
=
∞
=
=?
i
ii
i
i
i
i
AGAGAG
我们有.)()(
1
ε<?≤?
∑
∞
=i
ii
AGmAGm
).ii(由于
c
A也是可测集,根据(1)的结果,存在开集,
c
AG?使得.)( ε<?
c
AGm 令
,
c
GF = 则F是闭集并且.AF? 由于
.)(
cccc
AGGAFAFA?=∩=∩=? (6)
于是得
.)()( ε<?=?
c
AGmFAm
现在设.)( +∞<Am 先取一个闭集,AE? 使得.
2
)(
ε
<?EAm 令),0( kSE
k
=是中心在原点,半径为k的闭球,则
↑
∩
k
EE并且.)(
1
∪
∞
=
∩=
k
k
EEE 于是
).())(()(lim
1
EmEEmEEm
k
kk
k
=∩=∩
∞
=
∞→
∪
因此存在
0
k使得.
2
)()(
0
ε
<∩?
k
EEmEm 令,
0
k
EEF ∩= 则F是有界闭集,.AF?
并且
.
22
)()()()( ε
εε
=+<?+?=? FEmEAmFmAm
).iii(由于),i( 对任意k,存在开集,AG
k
使得.
1
)(
k
AGm
k
<? 令.
1
∩
∞
=
=
k
k
GG
则G为型集
δ
G,.
1
)(
k
AGmAG
i
<并且 令,+∞→k 即得0)( =? AGm,
).iv(由)iii(的结果,存在型集
δ
G G使得.0)( =
cc
AGmAG并且 令,
c
GF =
则F为型集
σ
F,.AF?并且 (6)成立,于是有得到
.0)()( =?=?
c
AGmFAm ■
推论7 若A为
n
R中的L可测集,则
}.:)(inf{)( AGGGmAm?=是开集并且
}.:)(sup{)( AFFFmAm?=是有界闭集并且
证明 推论的结论不难由定理6得到,详细过程从略,证毕,
由于L测度具有上述推论所述的性质,我们称L测度是正则的,
例3 设A是
1
R中的L可测集并且.)( +∞<Am 则对任意,0>ε存在有限个开区间的
60
并集U,使得.)( ε<?UAm
证明 由定理2.3.6,任意,0>ε 存在开集,AG? 使得.
2
)(
ε
<? AGm 由直线上开集的构造定理,存在一列互不相交的开区间)},{(
ii
ba使得.),(
1
∪
∞
=
=
i
ii
baG 由于
+∞<)(Am知道.)( +∞<Gm 于是.)()(
1
+∞<=?
∑
∞
=
Gmab
i
ii
因此可以取n足够大使得
.
2
)(
1
ε
<?
∑
∞
+=ni
ii
ab 令,),(
1
∪
n
i
ii
baU
=
= 则.
2
)(
ε
<?UGm 我们得到
..
22
)()(
)()()(
ε
εε
=+<?+?≤
+?=?
AGmUGm
AUmUAmUAm
■
下面的定理8表明Lebesgue测度具有平移不变性,其证明留作习题,
定理8 设A是
n
R中的L可测集,∈
0
x
n
R,则Ax +
0
是L可测集并且
).()(
0
AmAxm =+
其中}.:{
00
AxxxAx ∈+=+
Lebesgue-Stieltjes测度 下面讨论Lebesgue测度的推广即Lebesgue-Stieltjes测度,我们仅讨论
1
R的情形,
设F是定义在
1
R上的单调增加的右连续实值函数,令
}.1],(,],,(:],({,
11
1
≥==
=
kbababaA
kk
k
i
ii
互不相交null
∪
R
则R是一个环(见§1.3例3),对任意∈A R,若A的一个分解式为,],(
1
∪
k
i
ii
baA
=
=则令
,))()(()(
1
∑
=
=
k
i
iiF
aFbFAμ (7)
则
F
μ是定义在R上的非负值集函数,类似于定理2 的证明,可以证明
F
μ是R上的测度,
设
F
μ是由
F
μ导出的外测度,
R是
F
μ可测集的全体所成的σ?代数,由§2.2定理5,
F
μ是
R上的测度,称之为由F导出的Lebesgue-Stieltjes测度,简称为L-S测度,今后将延拓后的测度
F
μ仍记为
F
μ,由§2.2定理10,
R关于测度
F
μ是完备的,由§2.2定理5,
=)(
1
RB?)(Rσ
R,因此
F
μ至少在)(
1
RB有定义,显然Lebesgue测度m就是
Lebesgue-Stieltjes测度
F
μ当xxF =)(时的情形,
由L-S测度的定义,对直线上的每个有界左开右闭区间],( ba,有
61
).()()],(( aFbFba
F
=μ (8)
(上式的物理意义是,如果)(xF表示分布在区间],( x?∞上的质量,则)],(( ba
F
μ表示分布在区间],( ba上的质量),利用(8)式和测度的性质,容易计算出其它类型的区间、有限集和可数集的L-S测度,
例4 设
≥
<≤
<
=
.
2
,212
,10
)(
2
xx
x
x
xF
当当当
则)(xF是单调增加的右连续函数,计算
)),1,0((
F
μ )),0(( ∞+
F
μ和}).1({
F
μ
解 利用测度的下连续性和可减性,我们有
.0))0()
1
1((lim
)]
1
1,0((lim)]
1
1,0(())1,0((
1
==
=?=
∞→
∞→
∞
=
F
n
F
nn
n
F
n
n
FF
μμμ
∪
.)0(lim)),0((lim)],0(()),0((
2
1
+∞=?===∞+
∞→∞→
∞
=
nnn
n
F
n
n
FF
μμμ
∪
.20)0()1())1,0((])1,0((})1({ ==?= FF
FFF
μμμ
Lebesgue不可测集 最后我们给出一个Lebesgue不可测集的例子.,
例5 Lebesgue不可测集的例,对任意],1,0[,∈yx 若yx?是有理数,则记为x ~,y
容易验证关系“~”是区间]1,0[上的一个等价关系,因此这个等价关系“~”将]1,0[分成一些互不相交的等价类,根据Zermelo选取公理,存在]1,0[的一个子集,E 使得E与每个等价类只交于一点,我们证明E不是L可测的,
设}{
n
r是]1,1[?中的有理数的全体,对每个,n 令.ErE
nn
+= 则集列}{
n
E具有如下性质,
(1),当nm ≠时,.?=∩
nm
EE 若不然,设,
nm
EEx ∩∈ 则,Erx
m
∈?
.Erx
n
∈? 由于
mnnm
rrrxrx?= )(是有理数,因此
m
rx?和
n
rx?属于同一等价类,但.
nm
rxrx?≠? 这样E就包含了同一等价类中的两个不同的元,这与E的性质矛盾!
因此.?=∩
nm
EE
(2),成立如下包含关系,
].2,1[]1,0[
1
∞
=
∪
n
n
E
62
事实上,设].1,0[∈x 由E的性质,E应包含x所在的等价类中的某一元.y 由于x和y在同一等价类中,故yxr?=是一有理数,由于,11 ≤≤? r 故r是}{
n
r中的某一数,设
.
0
n
rr = 则.
00
nn
Eyrx ∈+=因此.]1,0[
1
∪
∞
=
n
n
E至于包含关系]2,1[
1
∞
=
∪
n
n
E是显然的,
现在用反证法,假定E是L可测的,由定理8,每个
n
E是L可测的,并且
).()( EmEm
n
= 由测度的可数可加性,我们有
.3)]2,1[()()(
111
=?≤
==
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑
mEmEmEm
n
n
n
n
n
∪
故必须.0)( =Em于是.0)(
1
=
∞
=
∪
n
n
Em 但另一方面由于,]1,0[
1
∪
∞
=
n
n
E 应有).(1
1
∪
∞
=
≤
n
n
Em
这样就导致矛盾,因此E不是L可测的,
小 结 本节利用§2.2中一般测度的构造方法,建立了
n
R上的Lebesgue测度,Lebesgue
测度是长度,面积和体积概念的推广,Lebesgue测度能对更多的集即可测集给出度量,
Lebesgue可测集包含了常见的一些集,但仍存在不可测集.由于
n
R是具有丰富的结构的空间,因此
n
R上的Lebesgue测度具有一些一般测度不具有的性质.如利用开集或闭集的逼近性质等.Lebesgue-Stieljes测度是Lebesgue度的推广.充分利用几何直观,可以帮助理解本节的内容,
习 题 习题二,第17题—第37题,
