18
§ 1.3 集 类
教学目的 本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基础知识,本节给出几种在测度论中常见集类,介绍了本节集类的知识后,将可以有效简化测度论若干定理的证明,
本节要点 本节介绍了在测度论常见的几种集类,如环,代数和σ -代数等.
本节介绍的集类较多,应注意理清各个集类之间的相互关系,与σ -代数相关的概念及其应用是本节的重点,
集类 设X为一固定的非空集,以X的一些子集为元素的集称为X上的集类,集类一般用花体字母如A,B,C等表示,例如,由直线
1
R上开区间的全体所成的集就是
1
R上的一个集类,本节若无特别申明,均设所考虑的集类都是X上的集类,
在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类,对集类要求不同的运算封闭性就得到不同的集类,本节介绍常见的几种集类,主要包括半环,环,代数和σ -代数,这几种集类对运算封闭性的要求一个比一个强,
I 半环与环
定义1 设C是一集类,若C满足条件
(1) ∈? C
(2) 若.,,CC ∈∩∈ BABA则
(3) 若,,C∈BA则存在C中有限个互不相交的集,,,
1 n
CC null 使得
.
1
∪
n
i
i
CBA
=
=?
则C称为半环,
例1 设}:],{( +∞<≤<?∞= babaC是直线上左开右闭有界区间的全体,则C是一个半环,
定义2 设R是一个非空集类,若R对并运算和差运算封闭,则称R为环,
定理3设R是一个非空集类,则
(1) 若R对不相交并和差运算封闭,则R是环,
(2) 若R是一个环,则∈? R并且R对交运算封闭
证明 由于),( BAABA?∪=∪ 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到,因
19
此若R对不相交并和差运算封闭,则R对并运算也封闭,因而R是一个环,设R是一个环,由于R非空,故存在∈A,R 于是∈?=? AA,R 由于
)),()(()( ABBABABA?∪∪=∩
即交运算可以通过并运算和差运算得到,因此R对交运算封闭.■
例2 设R },:{的有限子集是XAA= 则R是一个环,
定理4 设C是一个半环,令
R }.1,,,:{
1
1
≥=
=
kCCC
k
k
i
i
并且互不相交属于Cnull
∪
(1)
则R是一个环,并且R是包含C的最小的环,
证明 显然.RC?由定理3,为证R是一个环,只需证明R对不相交并和差运算封闭即可,显然R对不相交并算封闭,往证R对差运算封闭,设
1
n
i
i
A A
=
=
∪
和
1
n
j
j
B B
=
=
∪
是R中任意两个集,则
.)()()(
1111
∪∪∪∪
n
i
m
j
ji
n
i
i
n
i
i
BABABA
====
∩=∩=∩
由于C对交运算,利用上述等式知道R对交运算封闭,我们有
.)(
1111
∪∩∪∪
n
i
m
j
ji
m
j
j
n
i
i
BABABA
====
=?=? (2)
由于C是半环,故
ji
BA?可以表示为C中的有限个集的不相交并,因此由R的定义知道
∈?
ji
BA R,上面已证R对交运算封闭,因此
1
()
m
ij
j
AB
=
∈
∩
R,由于
{}
1
():1,,
m
ij
j
ABi n
=
=null
∩
中的集互不相交并且R对不相交并运算封闭,由(2)知道
∈?BA R,即R对差运算封闭,所以R是一个包含C的环,显然,若R′是任意包含C的环,则?R,R′ 即R是包含C的最小的环(图3—1是当C是例1中的半环的情形),■
1
A
2
A
1
B
11
BA?
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
2
B
22
BA?
nullnullnull nullnullnullnullnull
21
AAA ∪=
21
BBB ∪=
20
图3—1
我们称由(1)定义的环R为由C生成的环,记为).(CR由定理4知道,)(CR是包含C
的最小的环,
例3 设
}.1),(],(],(:],({
1
≥≠?=∩=
=
kjibababa
jjii
k
i
ii∪
R
由例1和定理4知道R是一个环,
II 代数与σ -代数
定义5 设A是一个非空集类,若A对并运算和余运算封闭,则称为一个代数,
容易知道,集类A是一个代数当且仅当A是一个包含全空间X的环,结合环的运算封闭性知道,若A是一个代数,则A∈? X,并且A对有限并、有限交、差和余运算封闭,
定义6若F是一个非空集类,满足
(1) 若.,FF ∈∈
c
AA则
(2) 若.,,2,1,
1
FF ∈=∈
∞
=
∪
null
n
nn
AnA则
则称F为一个σ -代数(或σ -域).,
例4 设F = },,{?X则F是X上的σ -代数,这是X上的最小的σ -代数,
例5设)(XP是由X的全体子集所成的集类,则)(XP是一个σ -代数,这是X上的最大的σ -代数,
例6 设X是一个无限集,令A,:{ AA= 或者
C
A是有限集},则A是X上的一个代数,由于A对可数并运算不封闭,因此A不是一个σ -代数,若令F AA:{=或者
C
A至多是可数集} 则F是X上的一个σ -代数,以上结论的验证留作习题,
定理7设F是一个σ -代数,则
(1),,FF ∈∈? X
(2) F对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭,
证明 由于
,
11
nullnullnull
nnn
AAAAA ∪∪∪=∪∪
即有限并可以表示成可数并,由于F对可数并运算封闭,因此F对有限并运算封闭,因此
F是代数，由代数的性质知道F∈?,X并且F对有限交运算和差运算封闭。 由De
21
Morgan公式得到,)(
11
C
n
C
n
n
n
AA
∪∩
∞
=
∞
=
= 由于F对可数并和余运算的封闭性知道F对可数交运算封闭.■
以上定义的四种集类的关系是,每个σ -代数都是代数,每个代数都是环,每个环都是半环,
思考题,1.分别举例说明半环不必是环,环不必是代数,代数不必是σ -代数,
2,举例说明σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭,
由集类生成的σ -代数 在定理4中我们已经知道,给定一个非空集类,C 存在一个包含
C的最小的环)(CR,关于σ -代数和代数有类似的结果,
定理8设C是一个非空集类.则必存在唯一的一个σ -代数F,满足
(1) F?C,
(2) 对任何包含C的代数?σ,F ′ 必有F ′? F,
证明 由X的全体子集所成的集类)(XP是一个代数?σ,因此至少存在一个包含C
的σ -代数,令
F =
∩
}.:{代数的是包含?′′ σCFF
则F是一个包含C的σ -代数,事实上,显然F非空并且F? C,设
.,2,1,null=∈ nA
n
F 往证.
1
F∈
∞
=
∪
n
n
A 设F ′是任意一个包含C的σ -代数,则
∈
n
A,F ′,,2,1 null=n由于F ′是σ -代数,因此.
1
F ′∈
∞
=
∪
n
n
A 这表明.
1
F∈
∞
=
∪
n
n
A 因此F
对可数并运算封闭,类似可以证明F对余运算封闭,因此F是一个包含C的代数?σ,由
F的定义知道,对任何包含C的代数?σ,F ′ 必有F ′? F,因此存在性得证.唯一性是显然的.■
由定理8,对任意一个非空集类C,存在唯一的一个包含C的最小的代数?σ,这个
σ -代数称为由C生成的σ -代数,记为).(Cσ 类似可定义由C生成的代数,记为).(CA
例7 设C是由X的单点子集的全体所成的集类,则
)(Cσ AA:{=或
c
A是有限集或可数集},(3)
证明 将(3)的右边所定义的集类记为F,显然F?C,不难验证F是一个σ -代数
(具体验证过程留作习题),另一方面,设F ′是任意一个包含C的σ -代数,若A是至多可数集,则A可以表示成单点集的有限并或可数并,既然F ′包含C并且对有限并和可数并运
22
算封闭,因此∈A,F ′ 若
c
A是至多可数集,则∈
c
A,F ′ 由于F ′对余运算封闭,因此
∈=
cc
AA )(,F ′ 这表明F ′? F,综上所证,F是包含C的最小的σ -σ -代数,因此
=)(Cσ,F ■
例8 设C = },:{的有限子集是XAA
1
C = }.:{的有限子集是或XAAA
c
则
)(Cσ = ).(
1
Cσ
证明 由于
1
CC )(
1
Cσ,并且)(Cσ是包含C的最小σ -代数,因此
)(Cσ? )(
1
Cσ,往证相反的包含关系,设A∈
1
C,则A或者
c
A是有限集,若A是有限集,
则A∈C? ).(Cσ 若
c
A是有限集,则
c
A ∈C? ).(Cσ 由于)(Cσ对余运算封闭,因此
A= ∈
cc
A )( ).(Cσ 这表明
1
C? ).(Cσ因此)(
1
Cσ? ).(Cσ 这就证明了)(Cσ = ).(
1
Cσ ■
设C是一个非空集类,若F是一个σ -代数并且C?,F 则必有)(Cσ?,F 这是因为)(Cσ是包含的C的最小的σ -代数,由此得到测度论中常用的一种证明方法如下,设我们要证明由集类C生成的代数?σ )(Cσ中所有的集都具有某种性质P,令
F = P}.:{具有性质AA
然后证明(i).C?,F (ii).F是一个σ -代数,于是由)(Cσ的最小性知道)(Cσ?,F 即
)(Cσ中所有的集都具有性质P,
在上述证明方法中,具有性质P的集可以通俗的称为“好集”,上述证明方法可以称为
“好集原理”,
以下部分不作为课堂讲授内容,必要时仅介绍其主要结果,不讲证明,
π类与λ类
定义9 设C是一个非空集类,
(1) 称C为π类,若C对有限交运算封闭,
(2) 称C为λ类,若C满足
)i(,∈X C,
)ii(,若∈BA,C并且,BA? 则∈?BA C (对包含差运算封闭),
)iii(,若?}{
n
A F并且,
↑n
A 则C∈
∞
=
∪
1n
n
A (对单调增加的集列的并运算封闭),
设C是一个非空集类,类似于?σ代数的情形,存在一个包含C的最小λ类,称之为由C生成的λ类,记为).(Cλ
定理10 集类F是?σ代数当且仅当F既是π类又是λ类,
证明 必要性是显然的,往证充分性,因为F既是π类又是λ类,因此F对余运算和有限交运算封闭,于是由De Morgan公式推出F对有限并运算封闭,设}{
n
A是F中的一
23
列集,令.1,
1
≥=
=
nAB
n
i
in ∪
则?}{
n
B F并且.
↑n
B由于F是λ类,因此
∈=
∞
=
∞
=
∪∪
11 n
n
n
n
BA,F 故F对可数并运算封闭,所以F是一个?σ代数.■
定理11 设C是一个π类,则=)(Cλ ).(Cσ
推论12 若C是一个π类,F是一个λ类并且?C,F 则?)(Cσ,F
证明 由定理11知道=)(Cσ ).(Cλ 即)(Cσ是包含C的最小λ类,而F是一个包含
C的λ类,因此?)(Cσ,F ■
由推论12我们得到在测度论中另一个常用的证明方法,设C是一个π类,若我们要证明)(Cσ中所有的集都具有某种性质P,令
F = AA:{具有性质P},
然后证明(i) C?,F (ii) F是一个λ类,于是由推论12知)(Cσ?,F 即)(Cσ中所有的集都具有性质P,
小 结 本节介绍的环,代数和σ -代数等是测度论中常见的几种集类,它们的运算封闭性一个比一个强,σ -代数是最重要的一种集类,任何一个非空集类C可以生成一个σ -代数,即)(Cσ,它是包含C的最小σ -代数,利用)(Cσ的性质,得到测度论中常用的一种证明方法即所谓“好集原理”,常常可以简化一些定理的证明,
习 题 习题一,第18题—第28题,
§ 1.3 集 类
教学目的 本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基础知识,本节给出几种在测度论中常见集类,介绍了本节集类的知识后,将可以有效简化测度论若干定理的证明,
本节要点 本节介绍了在测度论常见的几种集类,如环,代数和σ -代数等.
本节介绍的集类较多,应注意理清各个集类之间的相互关系,与σ -代数相关的概念及其应用是本节的重点,
集类 设X为一固定的非空集,以X的一些子集为元素的集称为X上的集类,集类一般用花体字母如A,B,C等表示,例如,由直线
1
R上开区间的全体所成的集就是
1
R上的一个集类,本节若无特别申明,均设所考虑的集类都是X上的集类,
在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类,对集类要求不同的运算封闭性就得到不同的集类,本节介绍常见的几种集类,主要包括半环,环,代数和σ -代数,这几种集类对运算封闭性的要求一个比一个强,
I 半环与环
定义1 设C是一集类,若C满足条件
(1) ∈? C
(2) 若.,,CC ∈∩∈ BABA则
(3) 若,,C∈BA则存在C中有限个互不相交的集,,,
1 n
CC null 使得
.
1
∪
n
i
i
CBA
=
=?
则C称为半环,
例1 设}:],{( +∞<≤<?∞= babaC是直线上左开右闭有界区间的全体,则C是一个半环,
定义2 设R是一个非空集类,若R对并运算和差运算封闭,则称R为环,
定理3设R是一个非空集类,则
(1) 若R对不相交并和差运算封闭,则R是环,
(2) 若R是一个环,则∈? R并且R对交运算封闭
证明 由于),( BAABA?∪=∪ 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到,因
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此若R对不相交并和差运算封闭,则R对并运算也封闭,因而R是一个环,设R是一个环,由于R非空,故存在∈A,R 于是∈?=? AA,R 由于
)),()(()( ABBABABA?∪∪=∩
即交运算可以通过并运算和差运算得到,因此R对交运算封闭.■
例2 设R },:{的有限子集是XAA= 则R是一个环,
定理4 设C是一个半环,令
R }.1,,,:{
1
1
≥=
=
kCCC
k
k
i
i
并且互不相交属于Cnull
∪
(1)
则R是一个环,并且R是包含C的最小的环,
证明 显然.RC?由定理3,为证R是一个环,只需证明R对不相交并和差运算封闭即可,显然R对不相交并算封闭,往证R对差运算封闭,设
1
n
i
i
A A
=
=
∪
和
1
n
j
j
B B
=
=
∪
是R中任意两个集,则
.)()()(
1111
∪∪∪∪
n
i
m
j
ji
n
i
i
n
i
i
BABABA
====
∩=∩=∩
由于C对交运算,利用上述等式知道R对交运算封闭,我们有
.)(
1111
∪∩∪∪
n
i
m
j
ji
m
j
j
n
i
i
BABABA
====
=?=? (2)
由于C是半环,故
ji
BA?可以表示为C中的有限个集的不相交并,因此由R的定义知道
∈?
ji
BA R,上面已证R对交运算封闭,因此
1
()
m
ij
j
AB
=
∈
∩
R,由于
{}
1
():1,,
m
ij
j
ABi n
=
=null
∩
中的集互不相交并且R对不相交并运算封闭,由(2)知道
∈?BA R,即R对差运算封闭,所以R是一个包含C的环,显然,若R′是任意包含C的环,则?R,R′ 即R是包含C的最小的环(图3—1是当C是例1中的半环的情形),■
1
A
2
A
1
B
11
BA?
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
2
B
22
BA?
nullnullnull nullnullnullnullnull
21
AAA ∪=
21
BBB ∪=
20
图3—1
我们称由(1)定义的环R为由C生成的环,记为).(CR由定理4知道,)(CR是包含C
的最小的环,
例3 设
}.1),(],(],(:],({
1
≥≠?=∩=
=
kjibababa
jjii
k
i
ii∪
R
由例1和定理4知道R是一个环,
II 代数与σ -代数
定义5 设A是一个非空集类,若A对并运算和余运算封闭,则称为一个代数,
容易知道,集类A是一个代数当且仅当A是一个包含全空间X的环,结合环的运算封闭性知道,若A是一个代数,则A∈? X,并且A对有限并、有限交、差和余运算封闭,
定义6若F是一个非空集类,满足
(1) 若.,FF ∈∈
c
AA则
(2) 若.,,2,1,
1
FF ∈=∈
∞
=
∪
null
n
nn
AnA则
则称F为一个σ -代数(或σ -域).,
例4 设F = },,{?X则F是X上的σ -代数,这是X上的最小的σ -代数,
例5设)(XP是由X的全体子集所成的集类,则)(XP是一个σ -代数,这是X上的最大的σ -代数,
例6 设X是一个无限集,令A,:{ AA= 或者
C
A是有限集},则A是X上的一个代数,由于A对可数并运算不封闭,因此A不是一个σ -代数,若令F AA:{=或者
C
A至多是可数集} 则F是X上的一个σ -代数,以上结论的验证留作习题,
定理7设F是一个σ -代数,则
(1),,FF ∈∈? X
(2) F对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭,
证明 由于
,
11
nullnullnull
nnn
AAAAA ∪∪∪=∪∪
即有限并可以表示成可数并,由于F对可数并运算封闭,因此F对有限并运算封闭,因此
F是代数，由代数的性质知道F∈?,X并且F对有限交运算和差运算封闭。 由De
21
Morgan公式得到,)(
11
C
n
C
n
n
n
AA
∪∩
∞
=
∞
=
= 由于F对可数并和余运算的封闭性知道F对可数交运算封闭.■
以上定义的四种集类的关系是,每个σ -代数都是代数,每个代数都是环,每个环都是半环,
思考题,1.分别举例说明半环不必是环,环不必是代数,代数不必是σ -代数,
2,举例说明σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭,
由集类生成的σ -代数 在定理4中我们已经知道,给定一个非空集类,C 存在一个包含
C的最小的环)(CR,关于σ -代数和代数有类似的结果,
定理8设C是一个非空集类.则必存在唯一的一个σ -代数F,满足
(1) F?C,
(2) 对任何包含C的代数?σ,F ′ 必有F ′? F,
证明 由X的全体子集所成的集类)(XP是一个代数?σ,因此至少存在一个包含C
的σ -代数,令
F =
∩
}.:{代数的是包含?′′ σCFF
则F是一个包含C的σ -代数,事实上,显然F非空并且F? C,设
.,2,1,null=∈ nA
n
F 往证.
1
F∈
∞
=
∪
n
n
A 设F ′是任意一个包含C的σ -代数,则
∈
n
A,F ′,,2,1 null=n由于F ′是σ -代数,因此.
1
F ′∈
∞
=
∪
n
n
A 这表明.
1
F∈
∞
=
∪
n
n
A 因此F
对可数并运算封闭,类似可以证明F对余运算封闭,因此F是一个包含C的代数?σ,由
F的定义知道,对任何包含C的代数?σ,F ′ 必有F ′? F,因此存在性得证.唯一性是显然的.■
由定理8,对任意一个非空集类C,存在唯一的一个包含C的最小的代数?σ,这个
σ -代数称为由C生成的σ -代数,记为).(Cσ 类似可定义由C生成的代数,记为).(CA
例7 设C是由X的单点子集的全体所成的集类,则
)(Cσ AA:{=或
c
A是有限集或可数集},(3)
证明 将(3)的右边所定义的集类记为F,显然F?C,不难验证F是一个σ -代数
(具体验证过程留作习题),另一方面,设F ′是任意一个包含C的σ -代数,若A是至多可数集,则A可以表示成单点集的有限并或可数并,既然F ′包含C并且对有限并和可数并运
22
算封闭,因此∈A,F ′ 若
c
A是至多可数集,则∈
c
A,F ′ 由于F ′对余运算封闭,因此
∈=
cc
AA )(,F ′ 这表明F ′? F,综上所证,F是包含C的最小的σ -σ -代数,因此
=)(Cσ,F ■
例8 设C = },:{的有限子集是XAA
1
C = }.:{的有限子集是或XAAA
c
则
)(Cσ = ).(
1
Cσ
证明 由于
1
CC )(
1
Cσ,并且)(Cσ是包含C的最小σ -代数,因此
)(Cσ? )(
1
Cσ,往证相反的包含关系,设A∈
1
C,则A或者
c
A是有限集,若A是有限集,
则A∈C? ).(Cσ 若
c
A是有限集,则
c
A ∈C? ).(Cσ 由于)(Cσ对余运算封闭,因此
A= ∈
cc
A )( ).(Cσ 这表明
1
C? ).(Cσ因此)(
1
Cσ? ).(Cσ 这就证明了)(Cσ = ).(
1
Cσ ■
设C是一个非空集类,若F是一个σ -代数并且C?,F 则必有)(Cσ?,F 这是因为)(Cσ是包含的C的最小的σ -代数,由此得到测度论中常用的一种证明方法如下,设我们要证明由集类C生成的代数?σ )(Cσ中所有的集都具有某种性质P,令
F = P}.:{具有性质AA
然后证明(i).C?,F (ii).F是一个σ -代数,于是由)(Cσ的最小性知道)(Cσ?,F 即
)(Cσ中所有的集都具有性质P,
在上述证明方法中,具有性质P的集可以通俗的称为“好集”,上述证明方法可以称为
“好集原理”,
以下部分不作为课堂讲授内容,必要时仅介绍其主要结果,不讲证明,
π类与λ类
定义9 设C是一个非空集类,
(1) 称C为π类,若C对有限交运算封闭,
(2) 称C为λ类,若C满足
)i(,∈X C,
)ii(,若∈BA,C并且,BA? 则∈?BA C (对包含差运算封闭),
)iii(,若?}{
n
A F并且,
↑n
A 则C∈
∞
=
∪
1n
n
A (对单调增加的集列的并运算封闭),
设C是一个非空集类,类似于?σ代数的情形,存在一个包含C的最小λ类,称之为由C生成的λ类,记为).(Cλ
定理10 集类F是?σ代数当且仅当F既是π类又是λ类,
证明 必要性是显然的,往证充分性,因为F既是π类又是λ类,因此F对余运算和有限交运算封闭,于是由De Morgan公式推出F对有限并运算封闭,设}{
n
A是F中的一
23
列集,令.1,
1
≥=
=
nAB
n
i
in ∪
则?}{
n
B F并且.
↑n
B由于F是λ类,因此
∈=
∞
=
∞
=
∪∪
11 n
n
n
n
BA,F 故F对可数并运算封闭,所以F是一个?σ代数.■
定理11 设C是一个π类,则=)(Cλ ).(Cσ
推论12 若C是一个π类,F是一个λ类并且?C,F 则?)(Cσ,F
证明 由定理11知道=)(Cσ ).(Cλ 即)(Cσ是包含C的最小λ类,而F是一个包含
C的λ类,因此?)(Cσ,F ■
由推论12我们得到在测度论中另一个常用的证明方法,设C是一个π类,若我们要证明)(Cσ中所有的集都具有某种性质P,令
F = AA:{具有性质P},
然后证明(i) C?,F (ii) F是一个λ类,于是由推论12知)(Cσ?,F 即)(Cσ中所有的集都具有性质P,
小 结 本节介绍的环,代数和σ -代数等是测度论中常见的几种集类,它们的运算封闭性一个比一个强,σ -代数是最重要的一种集类,任何一个非空集类C可以生成一个σ -代数,即)(Cσ,它是包含C的最小σ -代数,利用)(Cσ的性质,得到测度论中常用的一种证明方法即所谓“好集原理”,常常可以简化一些定理的证明,
习 题 习题一,第18题—第28题,
