24
§ 1.4
n
R中的点集
教学目的 欧氏空间
n
R上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,
闭集和Borel集,Cantor集等常见的集,为后面的学习打下基础,
本节要点 由
n
R上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集,闭集的定义.由开集生成一个ο -代数引入Borel集.Cantor集是一个重要的集,它有一些很特别的性质,应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容,
本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论,但
n
R上的Lebesgue测度与
Lebesgue积分仍是最重要的情形,这不仅是因为
n
R上的Lebesgue积分具有广泛的应用,而且因为
n
R上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例,本节将讨论n维欧式空间中的一些常见的点集,
用
n
R表示n维欧式空间,即
n
R = }.,,:),,({
1
11
R∈=
nn
xxxxx nullnull
对任意∈= ),,(
1 n
xxx null,
n
R 令
().
2
1
22
1 n
xxx null+=
称x为x的范数,注意若∈x,
1
R 则x就是x的绝对值,设),(
1 n
xxx null=和
),(
1 n
yyy null=是
n
R中的任意两点,定义这两点之间的距离为.),( yxyxd?= 即
.))((),(
2
1
1
2
∑
=
=
n
i
ii
yxyxd
设}{
k
x是
n
R中的一个点列,∈x,
n
R 若,0),(lim =
∞→
xxd
k
k
则称}{
k
x收敛于,x 记为,lim xx
k
k
=
∞→
或).(,∞→→ kxx
k
邻域,内点与开集
定义1 设∈
0
x,
n
R,
n
A R?
(1).设.0>ε称
n
R的子集=),(
0
εxU }),(:{
0
ε<xxdx为点
0
x的ε -邻域
(2),若Ax ∈
0
并且存在
0
x的一个邻域),(
0
εxU,A? 则称
0
x为A的一个内点(图
25
4—1),
(3),若A中的每个点都是A的内点,则称A为
n
R中的开集,规定空集?为开集,
(4),由A的内点全体所成的集称为A的内部,记为.
null
A
图4—1
例如,每个有界或无界开区间),(),,(),,( ∞+?∞ aaba都是直线
1
R上的开集,若∈
0
x
n
R,
r>0,则容易证明
0
x的邻域?r ),(
0
rxU是
n
R中的开集,因此),(
0
rxU又称为以
0
x为中心,以r为半径的开球,
定理2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质,
).i(空集?和全空间
n
R是开集,
).ii(任意个开集的并集是开集,
).iii(有限个开集的交集是开集,
证明 )i(是显然的,往证).ii( 设},{ TtA
t
∈是X中的任意一族开集,任取
∪
Tt
t
Ax
∈
∈,则存在,
0
Tt ∈ 使得.
0
t
Ax∈ 因为
0
t
A是开集,故存在x的一个邻域),,(
0
εxU 使得.),(
0
0 t
AxU?ε 于是更加有.),(
0 ∪
Tt
t
AxU
∈
ε 这表明x是
∪
Tt
t
A
∈
的内点,这就证明了
∪
Tt
t
A
∈
中的每个点都是其内点,因此
∪
Tt
t
A
∈
是开集,现在证明).iii( 设
n
AA,,
1
null是开集,任取∈x,
1
∩
n
i
i
A
=
则对每个.,,,1
i
Axni ∈=有null 因为
i
A
是开集,故存在,0>
i
ε 使得.),(
iii
AxU?ε令}.,min{
1 n
εεε null= 则0>ε并且
0
x
1
x
ε
A
ε
26
.),(
1
∩
n
i
i
AxU
=
ε 因此x是
∩
n
i
i
A
1=
的内点,这就证明了
∩
n
i
i
A
1=
是开集.■
注意,任意个开集的交集不一定是开集,例如,设.1),
1
,
1
( ≥?= n
nn
A
n
则每个
n
A都是
1
R中的开集,但}0{
1
=
∞
=
∩
n
n
A不是开集,
聚点与闭集
定义3 设A是
n
R的子集,
(1),设∈
0
x
n
R,若对任意,0>ε ),(
0
εxU中包含有A中的无限多个点,则称
0
x为A
的一个聚点(图4—1中的
1
x ),
(2),由A的聚点的的全体所成的集称为A的导集,记为.A′
(3),若,AA?′ 则称A为闭集,
(4),集AA ′∪称为A的闭包,记为.A
例如,每个有界或无穷闭区间),[],,(],,[ ∞+?∞ aaba都是直线
1
R上的闭集,若
∈
0
x
n
R,r>0,则容易证明集
),(
0
rxS = }),(:{
0
rxxdx ≤
是
n
R中的闭集,称之为以
0
x为中心,以r为半径的闭球,又显然有理数Q的导集Q′=
1
R,
Q的闭包Q =
1
R,
定理4 设A?
n
R,则A为闭集当且仅当
c
A为开集,
证明 必要性,设A为闭集,则对任意,
0
c
Ax ∈
0
x不是A的聚点,因此存在
0
x的一个邻域),(
10
εxU,使得),(
10
εxU中至多只包含A中有限个点,设这些点为.,
1 k
xx null 因为
,
0
Ax? 故.,,1,
0
kixx
i
null=≠ 令},,1),,(min{
0
kixxd
i
null==ε 则.0>ε 由ε的取法知道?=∩ AxU ),(
0
ε,即),(
0
εxU
c
A?,因此
0
x是
c
A的内点,所以
c
A是开集,
充分性,设
c
A为开集,则对任意,
0
c
Ax ∈ 存在
0
x的一个邻域),,(
0
εxU 使得
c
AxU?),(
0
ε,即),(
0
εxU中没有A中的点,因此
0
x不是A的聚点,这表明A的聚点全部在A中,即.AA?′ 因此A为闭集.■
由定理.2和定理4并利用De Morgan公式,立即可以得到闭集的基本性质如下,
定理5 闭集具有如下性质,
).i(空集?和全空间
n
R是闭集,
27
).ii(任意个闭集的交集是闭集,
).iii(有限个闭集的并集是闭集,
下面的两个定理用序列的语言,给出了A′和A中的点的特征以及集A为闭集的等价条件,
定理6 设A?
n
R,则有
).i( Ax ′∈当且仅当存在A中的点列},{
k
x 使得,xx
k
≠,xx
k
→
).ii( Ax∈当且仅当存在A中的点列},{
k
x 使得.xx
k
→
证明 ).i(设.Ax ′∈ 则由聚点的定义,对任意,1≥k )1,(
0
kxU中包含有A中的无限多个点,于是集AxkxU ∩? }){)1,((不空,在其中任取一点记为,
k
x 则}{
k
x是A中的点列,并且,xx
k
≠,xx
k
→
反过来,设存在A中的点列},{
k
x 使得,xx
k
≠,xx
k
→ 则对任意,0>ε 存在
,0>N 使得当Nk ≥时,).,( εxUx
k
∈ 若},{ Nkx
k
≥中只有有限项彼此不相等,则存在一个自然数
0
k和}{
k
x的一个子列},{
n
k
x 使得).1(
0
≥= nxx
kk
n
但,
0
xx
k
≠ 这与
xx
k
→矛盾! 因此},{ Nkx
k
≥中必有无穷多项是彼此不同的点,这表明),( εxU中包含有
A中的无限多个点,因此.Ax ′∈
).ii(设.Ax∈ 则Ax∈或者.Ax ′∈ 若,Ax∈ 令,1,≥= kxx
k
即知结论成立,若
,Ax ′∈ 则由)i(知道存在A中的点列},{
k
x 使得.xx
k
→ 反过来,设存在A中的点列
},{
k
x 使得.xx
k
→ 若,xx
k
≠,1≥k 则由)i(知道.Ax ′∈ 否则.Ax∈ 在两种情况下,
均有.Ax∈ ■
定理7 设A?
n
R,则A是闭集当且仅当A中的任意收敛点列的极限必属于.A
证明 必要性,设A是闭集,若}{
k
x是A中的点列,,xx
k
→ 则由定理6知道.Ax∈
由于A是闭集,故.AA = 因此Ax∈,
充分性,设.Ax ′∈ 由定理6,存在A中的点列},{
k
x 使得.xx
k
→ 由假定条件,此时必有Ax∈,这表明.AA?′ 因此A是闭集.■
定义8 设A和B是
n
R的子集,若,BA? 则称A在B中稠密,特别地,若
=A,
n
R 则称A是
n
R的稠密子集,若,)(?=
null
A 则称A为疏集或无处稠密集,
例如,由于Q =
1
R,因此有理数集是
1
R的稠密子集,由于,?=
null
Z 因此整数集Z是疏集,
28
定理9 设A是
n
R的子集,则以下几项等价,
).i( A是
n
R的稠密子集,
).ii( 对任意∈x
n
R和,0>ε,),(?≠∩ εxUA
).iii(对任意∈x,
n
R 存在A中的点列}{
k
x使得.xx
k
→
定理9的证明留作习题,
设A?,
n
R 若存一个闭球),,0( rS 使得),,0( rSA? 则称A是有界的,设}{
k
x是
n
R中的一个点列,若存一个闭球),,0( rS 使得,1),,0( ≥? krSx
k
则称}{
k
x是有界点列,
定理10
n
R中的每个有界点列存在收敛子列,
证明 设}{
k
x是
n
R中的有界点列,设.1},,,{
)()(
1
≥= kxxx
k
n
k
k
null 则}{
)(
1
k
x是有界数列,由数学分析中熟知的Weierstrass致密性定理,存在}{
)(
1
k
x的一个子列}{
)(
1
1i
k
x使得
.
1
)(
1
1
xx
i
k
→ 同理,存在}{
1i
k的一个子列}{
2 i
k使得.
2
)(
2
2
xx
i
k
→ 这样一直下去,最后,
存在}{
,1 in
k
的子列}{
in
k使得.
)(
n
k
n
xx
in
→ 记.
ini
kk =则对每个,,,1 nj null= 有
j
k
j
xx
i
→
)(
).( ∞→
i
k 令).,(
1 n
xxx null= 我们有
,0))((),(
2
1
1
2)(
→?=
∑
=
n
j
j
k
jk
xxxxd
i
i
).( ∞→
i
k
因此若,xx
i
k
→ ).( ∞→
i
k ■
思考题 1.开区间)1,0(在
2
R中是不是开集?
2.若将
n
R两个点),(
1 n
xxx null=和),(
1 n
yyy null=距离的定义改为
).,,max(),(
11 nn
yxyxyxd= null
按照本节类似的方法定义邻域,内点,聚点,开集和闭集等.所得结果与本节原来的定义有和异同?
有界闭集上的连续函数 在数学分析课程中,我们已经熟悉直线上的区间上或
n
R中的区域上的连续函数,类似可以定义在
n
R的任意子集E上的连续函数,
定义11 设?E
n
R,)(xf是定义在E上的实值函数,又设Ex ∈
0
,若对任意0>ε,
存在相应的0>δ,使得当Ex∈并且δ<),(
0
xxd时,有,)()(
0
ε<? xfxf 则称)(xf
在
0
x连续,若f在E上的每一点都连续,则称f在E上连续,E上的连续函数的全体记为
).(EC
容易证明,f在E上连续的充要条件是,对E中的任意点列},{
n
x 若xx
n
→并且
29
,Ex∈ 则 ).()(lim xfxf
n
n
=
∞→
利用定理10,仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明,可以证明如下事实,
设K是
n
R中的有界闭集,)(xf是K上的连续函数,则
).i()(xf在K上是有界的,
).ii()(xf在K上取得最大值和最小值,
).iii()(xf在K上是一致连续的,即对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对任意
,,Kxx ∈′′′ 当δ<′′′ ),( xxd时,成立.)()( ε<′′?′ xfxf
此外容易证明,若)}({ xf
n
是
n
R的子集E上的一列连续函数,并且}{
n
f在E一致收敛于),(xf 则)(xf是E上的连续函数,
直线上开集的构造 下面我们考虑直线上开集的构造,设A为直线上的开集,),( ba为一个有界或无界开区间,若Aba?),(,并且区间的端点a,b不属于A,则称),( ba为A的一个构成区间,如图4—2,),( ba和),( dc都是A的构成区间,但),(
11
dc不是,
图4—2
定理12 (开集的构造定理)直线上的每个非空开集都可以表示成至多可数个互不相交的构成区间的并.,
证明 分几个步骤,).i( 设A为
1
R中的开集,先证对任意,Ax∈ 存在A的一个构成区间),( ba,使得),( bax∈,由于A是开集,故存在开区间),( βα使得Ax?∈ ),( βα,令
.}.),(:sup{
},),(:inf{
Axb
Axa
∈=
∈=
βαβ
βαα
则).,( bax∈ 往证),( ba是A的构成区间,设),,( bax ∈′ 不妨设.xxa <′< 由a的定义,
存在),,( βα 使得,xa ′<<α 并且Ax?∈ ),( βα,因此Axx∈′ ),(),( βαα,所以
Aba?),(,再证Aba?,,事实上,若Aa∈,则存在0>ε,使得Aaa?+? ),( εε,这与a的定义矛盾,所以Aa?,类似可证Ab?,
b
c
d
1
d
1
c
),(),( dcbaA ∪=
a
30
).ii( 设),(
11
ba和),(
22
ba是A的两个不同的构成区间,若),(
11
ba和),(
22
ba相交,
则必有一个区间的端点包含在另一个区间中,例如).,(
112
baa ∈ 但,
2
Aa? 这与
Aba?),(
11
矛盾,所以),(
11
ba和),(
22
ba不相交,这表明不同的构成区间互不相交,在A
的每个构成区间中选取一个有理数,则A的构成区间的全体与有理数的一个子集一一对应,
所以A的构成区间只有有限个或可数个,于是A的构成区间的全体可以编号为
),,(
ii
ba ni,,1null=或.,2,1 null=i
).iii( 我们有
∪
i
ii
baA ).,(= 事实上,由于每个,),( Aba
ii
因此
∪
i
ii
Aba,),(?
另一方面,由),i( 对每个Ax∈,存在一个构成区间),,(
ii
ba 使得∈x ).,(
ii
ba 因此
∈x
∪
i
ii
ba ),,( 所以
∪
i
ii
baA ).,(? 这就证明
∪
i
ii
baA ).,(= ■
Borel集 开集和闭集是
n
R中的常见的集,但
n
R中有一些常见的集,它们既不是开集,
也不是闭集,例如,可数个开集的交不一定是开集,可数个闭集的并不一定是闭集,下面我们要考虑的Borel集就包含了这类集,并且Borel集类对一切有限或可数并、交、余和差运算都封闭,
定义13 由
n
R中开集的全体所生成的代数?σ称为
n
R中的Borel σ -代数(或Borel
集类),记为.)(
n
RB )(
n
RB中的集称为Borel集,
设),,(
1 n
aaa null= ∈
n
R,),,(
1 n
bbb null= ∈
n
R,.,,1,niba
ii
null=< 称
n
R的子集
},,1,:),{(),(),(
111
nibxaxxbaba
iiinnn
nullnullnull =<<=××
为
n
R中的开方体,记为).,( ba 类似可定义
n
R中的其它类型的方体,在直线
1
R和平面
2
R
中方体分别就是区间和矩形,
定理14
n
R中所有的开集,闭集,有限集或可数集,各种类型的方体都是Borel集,
证明 由定义即知开集是Borel集,由于Borel集类对余运算封闭,而闭集是开集的余集,
故闭集是Borel集,因为单点集}{a是闭集,所以单点集是Borel集,由于有限集或可数集可以表示成单点集的有限并或可数并,而Borel集类对有限并或可数并封闭,所以有限集或可数集是Borel集,由于开方体是开集,闭方体是闭集,因此开方体和闭方体是Borel集,往证半开半闭方体是Borel集,为简单计,不妨只考虑直线上的情形,由于等式
∩
∞
=
+=
1
)
1
,(],(
n
n
baba和Borel集类对可数交运算的封闭性,即知半开半闭区间],( ba是
Borel集,类似可证明其它类型的半开半闭区间都是Borel集,■
31
特别地,由于有理数集是可数集,而无理数集是有理数集的余集,由定理14知道,有理数集和无理数集都是Borel集,
设?A
n
R,若A可表示为一列开集的交,则称A为
δ
G型集,若A可以表示为一列闭集的并,则称A为
σ
F型集,显然型集
δ
G和型集
σ
F都是Borel集,
Cantor集 下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集—Cantor(三分)集,
例1 (Cantor集)记].1,0[
0
=C 将
0
C三等分,去掉中间的一个开区间).
3
2
,
3
1
( 将剩下的部分记为,
1
C 即].1,
3
2
[]
3
1
,0[
1
∪=C 它是两个互不相交的闭区间的并,将
1
C的每个闭区间都三等分,再去掉每个闭区间中间的开区间)
9
2
,
9
1
(和).
9
8
,
9
7
( 将剩下的部分记为,
2
C 即
].1,
9
8
[]
9
7
,
9
6
[]
9
3
,
9
2
[]
9
1
,0[
2
∪∪∪=C
图4—3
它是
2
2个两个互不相交的闭区间的并,这样一直做下去,得到一列集}.{
n
C 其中
n
C是
n
2
个互不相交的闭区间的并,每个闭区间的长为.
3
1
n
最后令,
1
∩
∞
=
=
n
n
CK 称之为Cantor三分集,简称为Cantor集(图4—3),
Cantor集具有如下的性质,
(1),Cantor集是闭的疏朗集,由于每个
n
C都是闭集,而K为一列闭集的交,故K是闭集,由于K是闭集,为证K是疏朗集,只需证明.?=
null
K 设Kx∈,对任意,0>ε 取
0
n
足够大,使得.
3
1
0
ε<
n
由于
0
n
C是
0
2
n
个互不相交的长度为
0
3
1
n
的闭区间的并,故x的?ε
邻域),( εε +? xx内必含有不属于
0
n
C的点,于是),( εε +? xx更加含有不属于K的点,
0 1
3
1
3
2
9
1
9
2
9
7
9
8
32
因此x不是K的内点,这表明.?=
null
K 所以K是疏朗集,
(2),在构造Cantor集时从]1,0[中去掉的那些开区间的长度之和为1,事实上,在第n
次步骤得到
n
C时,去掉了
1
2
n
个长度为
n
3
1
的开区间,因此去掉的那些开区间的长度之和
.1
3
2
3
1
3
2
1
1
1
1
=
=
∑∑
∞
=
∞
=
n
n
n
n
n
(3),Cantor 集具有连续基数.c 由引理16和K的定义知道,对任意,Kx∈ x可以唯一的写成
,
333
2
2
1
1
nullnull ++++=
n
n
aaa
x
其中0=
i
a或2,,,2,1 null=i 并且有无限个.2=
i
a 令
},0,10:),,{(
21
≠==
ii
aaaaA并且有无限个或null
由§1.2定理.11后面的注1,A具有连续基数.c 再作映射
.
3
2
)()(
,:
1
∑
∞
=
==
→
n
n
n
n
x
xxx
KA
null
则?是A到Cantor集K的一一的到上的映射,由于A具有连续基数,c 故K具有连续基数
.c
小 结 本节由
n
R上自然的距离结构,导出了邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集,
闭集的定义,由开集生成一个ο -代数即Borel ο -代数,进而引入了Borel集,本节讨论了这些集的性质和相互关系,给出了直线开集的构造定理,Cantor集是一个重要的集.它具有一些特别的性质,在举反例时常常是有用的,学习本节的内容应充分利用几何图形的直观,以帮助理解本节的内容,
习 题 习题一,第29题—第43题,
§ 1.4
n
R中的点集
教学目的 欧氏空间
n
R上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,
闭集和Borel集,Cantor集等常见的集,为后面的学习打下基础,
本节要点 由
n
R上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集,闭集的定义.由开集生成一个ο -代数引入Borel集.Cantor集是一个重要的集,它有一些很特别的性质,应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容,
本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论,但
n
R上的Lebesgue测度与
Lebesgue积分仍是最重要的情形,这不仅是因为
n
R上的Lebesgue积分具有广泛的应用,而且因为
n
R上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例,本节将讨论n维欧式空间中的一些常见的点集,
用
n
R表示n维欧式空间,即
n
R = }.,,:),,({
1
11
R∈=
nn
xxxxx nullnull
对任意∈= ),,(
1 n
xxx null,
n
R 令
().
2
1
22
1 n
xxx null+=
称x为x的范数,注意若∈x,
1
R 则x就是x的绝对值,设),(
1 n
xxx null=和
),(
1 n
yyy null=是
n
R中的任意两点,定义这两点之间的距离为.),( yxyxd?= 即
.))((),(
2
1
1
2
∑
=
=
n
i
ii
yxyxd
设}{
k
x是
n
R中的一个点列,∈x,
n
R 若,0),(lim =
∞→
xxd
k
k
则称}{
k
x收敛于,x 记为,lim xx
k
k
=
∞→
或).(,∞→→ kxx
k
邻域,内点与开集
定义1 设∈
0
x,
n
R,
n
A R?
(1).设.0>ε称
n
R的子集=),(
0
εxU }),(:{
0
ε<xxdx为点
0
x的ε -邻域
(2),若Ax ∈
0
并且存在
0
x的一个邻域),(
0
εxU,A? 则称
0
x为A的一个内点(图
25
4—1),
(3),若A中的每个点都是A的内点,则称A为
n
R中的开集,规定空集?为开集,
(4),由A的内点全体所成的集称为A的内部,记为.
null
A
图4—1
例如,每个有界或无界开区间),(),,(),,( ∞+?∞ aaba都是直线
1
R上的开集,若∈
0
x
n
R,
r>0,则容易证明
0
x的邻域?r ),(
0
rxU是
n
R中的开集,因此),(
0
rxU又称为以
0
x为中心,以r为半径的开球,
定理2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质,
).i(空集?和全空间
n
R是开集,
).ii(任意个开集的并集是开集,
).iii(有限个开集的交集是开集,
证明 )i(是显然的,往证).ii( 设},{ TtA
t
∈是X中的任意一族开集,任取
∪
Tt
t
Ax
∈
∈,则存在,
0
Tt ∈ 使得.
0
t
Ax∈ 因为
0
t
A是开集,故存在x的一个邻域),,(
0
εxU 使得.),(
0
0 t
AxU?ε 于是更加有.),(
0 ∪
Tt
t
AxU
∈
ε 这表明x是
∪
Tt
t
A
∈
的内点,这就证明了
∪
Tt
t
A
∈
中的每个点都是其内点,因此
∪
Tt
t
A
∈
是开集,现在证明).iii( 设
n
AA,,
1
null是开集,任取∈x,
1
∩
n
i
i
A
=
则对每个.,,,1
i
Axni ∈=有null 因为
i
A
是开集,故存在,0>
i
ε 使得.),(
iii
AxU?ε令}.,min{
1 n
εεε null= 则0>ε并且
0
x
1
x
ε
A
ε
26
.),(
1
∩
n
i
i
AxU
=
ε 因此x是
∩
n
i
i
A
1=
的内点,这就证明了
∩
n
i
i
A
1=
是开集.■
注意,任意个开集的交集不一定是开集,例如,设.1),
1
,
1
( ≥?= n
nn
A
n
则每个
n
A都是
1
R中的开集,但}0{
1
=
∞
=
∩
n
n
A不是开集,
聚点与闭集
定义3 设A是
n
R的子集,
(1),设∈
0
x
n
R,若对任意,0>ε ),(
0
εxU中包含有A中的无限多个点,则称
0
x为A
的一个聚点(图4—1中的
1
x ),
(2),由A的聚点的的全体所成的集称为A的导集,记为.A′
(3),若,AA?′ 则称A为闭集,
(4),集AA ′∪称为A的闭包,记为.A
例如,每个有界或无穷闭区间),[],,(],,[ ∞+?∞ aaba都是直线
1
R上的闭集,若
∈
0
x
n
R,r>0,则容易证明集
),(
0
rxS = }),(:{
0
rxxdx ≤
是
n
R中的闭集,称之为以
0
x为中心,以r为半径的闭球,又显然有理数Q的导集Q′=
1
R,
Q的闭包Q =
1
R,
定理4 设A?
n
R,则A为闭集当且仅当
c
A为开集,
证明 必要性,设A为闭集,则对任意,
0
c
Ax ∈
0
x不是A的聚点,因此存在
0
x的一个邻域),(
10
εxU,使得),(
10
εxU中至多只包含A中有限个点,设这些点为.,
1 k
xx null 因为
,
0
Ax? 故.,,1,
0
kixx
i
null=≠ 令},,1),,(min{
0
kixxd
i
null==ε 则.0>ε 由ε的取法知道?=∩ AxU ),(
0
ε,即),(
0
εxU
c
A?,因此
0
x是
c
A的内点,所以
c
A是开集,
充分性,设
c
A为开集,则对任意,
0
c
Ax ∈ 存在
0
x的一个邻域),,(
0
εxU 使得
c
AxU?),(
0
ε,即),(
0
εxU中没有A中的点,因此
0
x不是A的聚点,这表明A的聚点全部在A中,即.AA?′ 因此A为闭集.■
由定理.2和定理4并利用De Morgan公式,立即可以得到闭集的基本性质如下,
定理5 闭集具有如下性质,
).i(空集?和全空间
n
R是闭集,
27
).ii(任意个闭集的交集是闭集,
).iii(有限个闭集的并集是闭集,
下面的两个定理用序列的语言,给出了A′和A中的点的特征以及集A为闭集的等价条件,
定理6 设A?
n
R,则有
).i( Ax ′∈当且仅当存在A中的点列},{
k
x 使得,xx
k
≠,xx
k
→
).ii( Ax∈当且仅当存在A中的点列},{
k
x 使得.xx
k
→
证明 ).i(设.Ax ′∈ 则由聚点的定义,对任意,1≥k )1,(
0
kxU中包含有A中的无限多个点,于是集AxkxU ∩? }){)1,((不空,在其中任取一点记为,
k
x 则}{
k
x是A中的点列,并且,xx
k
≠,xx
k
→
反过来,设存在A中的点列},{
k
x 使得,xx
k
≠,xx
k
→ 则对任意,0>ε 存在
,0>N 使得当Nk ≥时,).,( εxUx
k
∈ 若},{ Nkx
k
≥中只有有限项彼此不相等,则存在一个自然数
0
k和}{
k
x的一个子列},{
n
k
x 使得).1(
0
≥= nxx
kk
n
但,
0
xx
k
≠ 这与
xx
k
→矛盾! 因此},{ Nkx
k
≥中必有无穷多项是彼此不同的点,这表明),( εxU中包含有
A中的无限多个点,因此.Ax ′∈
).ii(设.Ax∈ 则Ax∈或者.Ax ′∈ 若,Ax∈ 令,1,≥= kxx
k
即知结论成立,若
,Ax ′∈ 则由)i(知道存在A中的点列},{
k
x 使得.xx
k
→ 反过来,设存在A中的点列
},{
k
x 使得.xx
k
→ 若,xx
k
≠,1≥k 则由)i(知道.Ax ′∈ 否则.Ax∈ 在两种情况下,
均有.Ax∈ ■
定理7 设A?
n
R,则A是闭集当且仅当A中的任意收敛点列的极限必属于.A
证明 必要性,设A是闭集,若}{
k
x是A中的点列,,xx
k
→ 则由定理6知道.Ax∈
由于A是闭集,故.AA = 因此Ax∈,
充分性,设.Ax ′∈ 由定理6,存在A中的点列},{
k
x 使得.xx
k
→ 由假定条件,此时必有Ax∈,这表明.AA?′ 因此A是闭集.■
定义8 设A和B是
n
R的子集,若,BA? 则称A在B中稠密,特别地,若
=A,
n
R 则称A是
n
R的稠密子集,若,)(?=
null
A 则称A为疏集或无处稠密集,
例如,由于Q =
1
R,因此有理数集是
1
R的稠密子集,由于,?=
null
Z 因此整数集Z是疏集,
28
定理9 设A是
n
R的子集,则以下几项等价,
).i( A是
n
R的稠密子集,
).ii( 对任意∈x
n
R和,0>ε,),(?≠∩ εxUA
).iii(对任意∈x,
n
R 存在A中的点列}{
k
x使得.xx
k
→
定理9的证明留作习题,
设A?,
n
R 若存一个闭球),,0( rS 使得),,0( rSA? 则称A是有界的,设}{
k
x是
n
R中的一个点列,若存一个闭球),,0( rS 使得,1),,0( ≥? krSx
k
则称}{
k
x是有界点列,
定理10
n
R中的每个有界点列存在收敛子列,
证明 设}{
k
x是
n
R中的有界点列,设.1},,,{
)()(
1
≥= kxxx
k
n
k
k
null 则}{
)(
1
k
x是有界数列,由数学分析中熟知的Weierstrass致密性定理,存在}{
)(
1
k
x的一个子列}{
)(
1
1i
k
x使得
.
1
)(
1
1
xx
i
k
→ 同理,存在}{
1i
k的一个子列}{
2 i
k使得.
2
)(
2
2
xx
i
k
→ 这样一直下去,最后,
存在}{
,1 in
k
的子列}{
in
k使得.
)(
n
k
n
xx
in
→ 记.
ini
kk =则对每个,,,1 nj null= 有
j
k
j
xx
i
→
)(
).( ∞→
i
k 令).,(
1 n
xxx null= 我们有
,0))((),(
2
1
1
2)(
→?=
∑
=
n
j
j
k
jk
xxxxd
i
i
).( ∞→
i
k
因此若,xx
i
k
→ ).( ∞→
i
k ■
思考题 1.开区间)1,0(在
2
R中是不是开集?
2.若将
n
R两个点),(
1 n
xxx null=和),(
1 n
yyy null=距离的定义改为
).,,max(),(
11 nn
yxyxyxd= null
按照本节类似的方法定义邻域,内点,聚点,开集和闭集等.所得结果与本节原来的定义有和异同?
有界闭集上的连续函数 在数学分析课程中,我们已经熟悉直线上的区间上或
n
R中的区域上的连续函数,类似可以定义在
n
R的任意子集E上的连续函数,
定义11 设?E
n
R,)(xf是定义在E上的实值函数,又设Ex ∈
0
,若对任意0>ε,
存在相应的0>δ,使得当Ex∈并且δ<),(
0
xxd时,有,)()(
0
ε<? xfxf 则称)(xf
在
0
x连续,若f在E上的每一点都连续,则称f在E上连续,E上的连续函数的全体记为
).(EC
容易证明,f在E上连续的充要条件是,对E中的任意点列},{
n
x 若xx
n
→并且
29
,Ex∈ 则 ).()(lim xfxf
n
n
=
∞→
利用定理10,仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明,可以证明如下事实,
设K是
n
R中的有界闭集,)(xf是K上的连续函数,则
).i()(xf在K上是有界的,
).ii()(xf在K上取得最大值和最小值,
).iii()(xf在K上是一致连续的,即对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对任意
,,Kxx ∈′′′ 当δ<′′′ ),( xxd时,成立.)()( ε<′′?′ xfxf
此外容易证明,若)}({ xf
n
是
n
R的子集E上的一列连续函数,并且}{
n
f在E一致收敛于),(xf 则)(xf是E上的连续函数,
直线上开集的构造 下面我们考虑直线上开集的构造,设A为直线上的开集,),( ba为一个有界或无界开区间,若Aba?),(,并且区间的端点a,b不属于A,则称),( ba为A的一个构成区间,如图4—2,),( ba和),( dc都是A的构成区间,但),(
11
dc不是,
图4—2
定理12 (开集的构造定理)直线上的每个非空开集都可以表示成至多可数个互不相交的构成区间的并.,
证明 分几个步骤,).i( 设A为
1
R中的开集,先证对任意,Ax∈ 存在A的一个构成区间),( ba,使得),( bax∈,由于A是开集,故存在开区间),( βα使得Ax?∈ ),( βα,令
.}.),(:sup{
},),(:inf{
Axb
Axa
∈=
∈=
βαβ
βαα
则).,( bax∈ 往证),( ba是A的构成区间,设),,( bax ∈′ 不妨设.xxa <′< 由a的定义,
存在),,( βα 使得,xa ′<<α 并且Ax?∈ ),( βα,因此Axx∈′ ),(),( βαα,所以
Aba?),(,再证Aba?,,事实上,若Aa∈,则存在0>ε,使得Aaa?+? ),( εε,这与a的定义矛盾,所以Aa?,类似可证Ab?,
b
c
d
1
d
1
c
),(),( dcbaA ∪=
a
30
).ii( 设),(
11
ba和),(
22
ba是A的两个不同的构成区间,若),(
11
ba和),(
22
ba相交,
则必有一个区间的端点包含在另一个区间中,例如).,(
112
baa ∈ 但,
2
Aa? 这与
Aba?),(
11
矛盾,所以),(
11
ba和),(
22
ba不相交,这表明不同的构成区间互不相交,在A
的每个构成区间中选取一个有理数,则A的构成区间的全体与有理数的一个子集一一对应,
所以A的构成区间只有有限个或可数个,于是A的构成区间的全体可以编号为
),,(
ii
ba ni,,1null=或.,2,1 null=i
).iii( 我们有
∪
i
ii
baA ).,(= 事实上,由于每个,),( Aba
ii
因此
∪
i
ii
Aba,),(?
另一方面,由),i( 对每个Ax∈,存在一个构成区间),,(
ii
ba 使得∈x ).,(
ii
ba 因此
∈x
∪
i
ii
ba ),,( 所以
∪
i
ii
baA ).,(? 这就证明
∪
i
ii
baA ).,(= ■
Borel集 开集和闭集是
n
R中的常见的集,但
n
R中有一些常见的集,它们既不是开集,
也不是闭集,例如,可数个开集的交不一定是开集,可数个闭集的并不一定是闭集,下面我们要考虑的Borel集就包含了这类集,并且Borel集类对一切有限或可数并、交、余和差运算都封闭,
定义13 由
n
R中开集的全体所生成的代数?σ称为
n
R中的Borel σ -代数(或Borel
集类),记为.)(
n
RB )(
n
RB中的集称为Borel集,
设),,(
1 n
aaa null= ∈
n
R,),,(
1 n
bbb null= ∈
n
R,.,,1,niba
ii
null=< 称
n
R的子集
},,1,:),{(),(),(
111
nibxaxxbaba
iiinnn
nullnullnull =<<=××
为
n
R中的开方体,记为).,( ba 类似可定义
n
R中的其它类型的方体,在直线
1
R和平面
2
R
中方体分别就是区间和矩形,
定理14
n
R中所有的开集,闭集,有限集或可数集,各种类型的方体都是Borel集,
证明 由定义即知开集是Borel集,由于Borel集类对余运算封闭,而闭集是开集的余集,
故闭集是Borel集,因为单点集}{a是闭集,所以单点集是Borel集,由于有限集或可数集可以表示成单点集的有限并或可数并,而Borel集类对有限并或可数并封闭,所以有限集或可数集是Borel集,由于开方体是开集,闭方体是闭集,因此开方体和闭方体是Borel集,往证半开半闭方体是Borel集,为简单计,不妨只考虑直线上的情形,由于等式
∩
∞
=
+=
1
)
1
,(],(
n
n
baba和Borel集类对可数交运算的封闭性,即知半开半闭区间],( ba是
Borel集,类似可证明其它类型的半开半闭区间都是Borel集,■
31
特别地,由于有理数集是可数集,而无理数集是有理数集的余集,由定理14知道,有理数集和无理数集都是Borel集,
设?A
n
R,若A可表示为一列开集的交,则称A为
δ
G型集,若A可以表示为一列闭集的并,则称A为
σ
F型集,显然型集
δ
G和型集
σ
F都是Borel集,
Cantor集 下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集—Cantor(三分)集,
例1 (Cantor集)记].1,0[
0
=C 将
0
C三等分,去掉中间的一个开区间).
3
2
,
3
1
( 将剩下的部分记为,
1
C 即].1,
3
2
[]
3
1
,0[
1
∪=C 它是两个互不相交的闭区间的并,将
1
C的每个闭区间都三等分,再去掉每个闭区间中间的开区间)
9
2
,
9
1
(和).
9
8
,
9
7
( 将剩下的部分记为,
2
C 即
].1,
9
8
[]
9
7
,
9
6
[]
9
3
,
9
2
[]
9
1
,0[
2
∪∪∪=C
图4—3
它是
2
2个两个互不相交的闭区间的并,这样一直做下去,得到一列集}.{
n
C 其中
n
C是
n
2
个互不相交的闭区间的并,每个闭区间的长为.
3
1
n
最后令,
1
∩
∞
=
=
n
n
CK 称之为Cantor三分集,简称为Cantor集(图4—3),
Cantor集具有如下的性质,
(1),Cantor集是闭的疏朗集,由于每个
n
C都是闭集,而K为一列闭集的交,故K是闭集,由于K是闭集,为证K是疏朗集,只需证明.?=
null
K 设Kx∈,对任意,0>ε 取
0
n
足够大,使得.
3
1
0
ε<
n
由于
0
n
C是
0
2
n
个互不相交的长度为
0
3
1
n
的闭区间的并,故x的?ε
邻域),( εε +? xx内必含有不属于
0
n
C的点,于是),( εε +? xx更加含有不属于K的点,
0 1
3
1
3
2
9
1
9
2
9
7
9
8
32
因此x不是K的内点,这表明.?=
null
K 所以K是疏朗集,
(2),在构造Cantor集时从]1,0[中去掉的那些开区间的长度之和为1,事实上,在第n
次步骤得到
n
C时,去掉了
1
2
n
个长度为
n
3
1
的开区间,因此去掉的那些开区间的长度之和
.1
3
2
3
1
3
2
1
1
1
1
=
=
∑∑
∞
=
∞
=
n
n
n
n
n
(3),Cantor 集具有连续基数.c 由引理16和K的定义知道,对任意,Kx∈ x可以唯一的写成
,
333
2
2
1
1
nullnull ++++=
n
n
aaa
x
其中0=
i
a或2,,,2,1 null=i 并且有无限个.2=
i
a 令
},0,10:),,{(
21
≠==
ii
aaaaA并且有无限个或null
由§1.2定理.11后面的注1,A具有连续基数.c 再作映射
.
3
2
)()(
,:
1
∑
∞
=
==
→
n
n
n
n
x
xxx
KA
null
则?是A到Cantor集K的一一的到上的映射,由于A具有连续基数,c 故K具有连续基数
.c
小 结 本节由
n
R上自然的距离结构,导出了邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集,
闭集的定义,由开集生成一个ο -代数即Borel ο -代数,进而引入了Borel集,本节讨论了这些集的性质和相互关系,给出了直线开集的构造定理,Cantor集是一个重要的集.它具有一些特别的性质,在举反例时常常是有用的,学习本节的内容应充分利用几何图形的直观,以帮助理解本节的内容,
习 题 习题一,第29题—第43题,
