67
第三章 可测函数
在给定了一个测度空间以后,由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各种各样的集,为用测度论的方法研究这个函数,我们自然要求这些集是可测的,由此产生了可测函数的概念.在定义积分时候,对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可测的.我们将看到可测函数是一类很广泛的函数,特别地,欧氏空间
n
R上的Lebesgue可测函数是比连续函数更广泛的一类函数,而且可测函数类对极限运算是封闭的,这将使我们在讨论积分的时候更加便利,
本章§3.1和§3.2讨论可测函数的定义,可测函数的基本性质和收敛性,§3.3在欧氏空间
n
R上讨论可测函数与连续函数的联系,
§3.1 可测函数的基本性质
教学目的 定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集.为用测度论的方法研究这个函数,特别是在定义积分时,必须要求这些集是可测的,由此产生了可测函数的概念.本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质,
本节要点 可测函数有不同的等价定义,可测函数是一类很广泛的函数,
并且有很好的运算封闭性,可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数,特别是在积分理论中有重要应用,
本节和以后若无特别申明,“函数”一词均指取值于
R的广义实值函数,取值于
1
R的函数仍称为实值函数,在§2.1我们已给出可测空间的定义,这里回顾一下,称二元组合
),( FX为一可测空间,若X是一个非空集,F是X上的?σ代数,称F中的集为F -可测集或者简称为可测集,
可测函数的定义与等价特征
定义1 设),( FX为一可测空间,E是一个可测集,→Ef,
R为定义在E上的函数,若对任意实数a,总有
,})(:{ F∈<∈ axfEx
68
(图1—1是
1
RX =时的示意图) 则称f为E上的F -可测函数(简称为E上的可测函数),特别地,X上的可测函数也称为可测空间),( FX上的可测函数,),( FX上的可测函数和非负可测函数的全体分别记为),( FXM和).,( FXM
+
图1—1
注1 设),( FX为一可测空间,E是一个可测集,容易知道
},:{ FF ∈?= AEAA
E
是一个?σ代数,因此),(
E
E F是一个可测空间,显然f是E上的可测函数当且仅当f是可测空间),(
E
E F上的可测函数,因此在讨论一般可测函数的性质时,不妨只讨论定义在全空间上的可测函数,
特别地,若可测空间),( FX取为是
n
R上的Lebesgue可测空间))(,(
nn
RR M,E是
n
R中的Lebesgue可测集,则E上的可测函数称为Lebesgue可测函数,类似地,若可测空间
),( FX取为是
n
R上的Borel可空间))(,(
nn
RR B,E是
n
R中的Borel可测集,则E上的可测函数称为Borel可测函数,按定义,f是E上的Lebesgue可测函数(或者Borel可测函数),若对任意实数a,
})(:{ axfEx <∈
是Lebesgue可测集(相应地,Borel可测集),以后Lebesgue可测函数可以简称为L可测函数,
显然每个Borel可测函数是Lebesgue可测函数,
一般地,设
1
F和
2
F是X上的两个代数?σ并且?
1
F
2
F,则由可测函数的定义知道,每个
1
F -可测函数都是
2
F -可测函数,
例1 设),( FX是一可测空间,cxf ≡)(是X上的常数函数,则f是),( FX上的可测函数,这是因为对任意实数,a
X
1
R
)(xf
a
1
E
21
})(:{ EEaxfx ∪=<
2
E
nullnullnullnullnullnullnullnull
69
≤?
>
=<
.
})(:{
ca
caX
axfx
若若
由于?和X都是可测集,故对任意实数a,总有.})(:{ F∈< axfx 因此f是可测的,
例2设),( FX为一可测空间,.XA? 则A的特征函数
A
I为可测函数当且仅当A为可测集,这是因为,对任意实数a,
>
≤<
≤?
=<
.1
10
0
})(:{
aX
aA
a
axIx
c
A
若若若
由此易知结论成立,
例3
n
R上的连续函数是Borel可测函数(因而也是Lebesgue可测函数),这是因为对任意实数a,})(:{ axfx <是
n
R中的开集,而开集是Borel集,因此f是Borel可测的,
例4 设f是定义在区间],[ ba上的单调函数,则f是],[ ba上的Borel可测函数,事实上,对任意实数,a 由于f是单调的,容易知道集})(:{ axfx <是区间,单点集或者空集,
总之,})(:{ axfx <是Borel集,因此f是Borel可测的,
下面的定理给出了可测函数的一些等价特征,
定理2 设),( FX为一可测空间,
→ RXf,是定义在X上的函数,则以下(1)—(4)
是等价的,
(1),f是可测函数,
(2),对任意实数a,.})(:{ F∈≤ axfx
(3),对任意实数a,.})(:{ F∈> axfx
(4),对任意实数a,.})(:{ F∈≥ axfx
此外,上面的(1)—(4)蕴涵
(5),对任意∈B )(
1
RB,.)(
1
F∈
Bf
若f是实值函数,则(1)—(5)是等价的,
证明 (1)?(2),因为f可测,故对任意实数a,.})(:{ F∈< axfx 于是有
})(:{ axfx ≤ ∈+<=
∞
=
}
1
)(:{
1
n
axfx
n
∩
F,
(2)?(3).这是因为
.})(:{})(:{ F∈≤=>
c
axfxaxfx
(3)?(4).这是因为
70
.}
1
)(:{})(:{
1
F∈?>=≥
∞
=
∩
n
n
axfxaxfx
(4)?(1),这是因为
.})(:{})(:{ F∈≥=<
c
axfxaxfx
因此,(1)—(4)是等价的,为证(1)—(4)蕴涵(5),我们证明(2)?(5),
(2)?(5).令})(:{
11
FA ∈?=
AfA R,利用逆像的性质
,)()(
1
1
1
1
∪∪
∞
=
∞
=
=
n
n
n
n
AfAf
,))(()(
11 cc
AfAf
=
容易证明A是一个代数?σ,又令C是直线上左开右闭区间的全体,容易证明
)(Cσ = )(
1
RB (见第一章习题第42题),对任意左开右闭区间],,( ba 我们有
.})({:})(:{)],((
1
F∈≤?≤=
axfbxfxbaf
故C? A,从而)(
1
RB = )(Cσ? A,这表明对任意∈B )(
1
RB,.)(
1
F∈
Bf
若f是实值函数,我们还有
(5)? (1).设f是实值函数,由于),( a?∞是Borel集,因此
.)),((})(:{
1
F∈?∞=≤
afaxfx ■
设f是可测函数,由于单点集}{a ( a是实数)是Borel集,因此由定理2(5)知道
})({})(:{
1
afaxfx
==是可测集,同理,以下几个集也是可测的,
{,() },{,() },x afxb xafxb<< ≤≤
{,() },{,() }.x afxb xafxb<≤ ≤<
此外,由于,})(:{})(:{
1
∩
∞
=
>=+∞=
n
nxfxxfx故})(:{ +∞=xfx是可测集,同理,
})(:{?∞=xfx也是可测集,
可测函数的运算封闭性 设f和g是定义在X上的广义实值函数,若()f x和()gx在某一点x取异号的∞为值,则() ()f xgx+无意义,此时规定() () 0.fx gx+= 又定义
)},(),(max{))(( xgxfxgf =∨ )}.(),(min{))(( xgxfxgf =∧
<
≥
=
+
.0)(0
0)()(
xf
xfxf
f
若若
<?
≥
=
.0)()(
0)(0
xfxf
xf
f
若若
71
分别称函数
+
f和
f为f的正部和负部(图1—2),
+
f和
f都是非负值函数,并且成立
.,
+?+
+=?= ffffff
图1—2
为简单计,我们以后将集})(:{ axfx <简写成},{ af <将集)}()(:{ xgxfx ≤简写成}{ gf ≤等等,
定理 3 设f和g是两个可测函数,则函数cf (c是实数),gf +,fg,f,gf ∨和
gf ∧都是可测函数,
证明 (1).若.0,0 ≡= cfc则 此时cf当然是可测函数,当0≠c时,则
1
a?∈R,有
<>
><
=<
.0}{
0}{
}{
c
c
a
f
c
c
a
f
acf
若若
等式右边的集都是可测集,因此cf是可测函数,
(2),先设f和g不取异号∞为值,设}{
n
r是有理数的全体,由于agf <+当且仅当存在
n
r使得
n
rf <并且.
n
rag?< 因此
.}){}({}{
1
∪
∞
=
<∩<=<+
n
nn
ragrfagf
由上式f和g的可测性知道}{ agf <+是可测集,因此gf +是可测函数,再考虑一般情形,令
}.,{},{ +∞=?∞=∪?∞=+∞== gfgfA
X
Y
)(xf
O
)(xf
+
)(xf
72
则A是可测集,我们有
{ } ( { }) ( { }).
C
f ga A f ga A f ga+< = ∩ +< ∪ ∩ +<
由于在
C
A上f和g不取异号∞为值,由前面的证明知道{}
C
Afga∩+<是可测集,又由于在A上,0=+ gf 故
≤?
>
=<+∩
.0
0
}{
a
aA
agfA
若若
故}{ agfA <+∩是可测集,因此}{ agf <+是可测集,这就证明了gf +是可测函数,
(3),先证
2
f是可测函数,由于
<?
≥?>
∩
<
=<
.0
0}{}{
}{
2
a
aafaf
af
若若
由上式知}{
2
af <是可测集,故
2
f是可测函数,再由等式
])()[(
4
1
22
gfgfgf+=
即知gf是可测函数,
(4),由于
≤?
>?>∩<
=<
.0
0}{}{
}{
a
aafaf
af
若若
}.)(:{})(:{}))((:{
},)(:{})(:{}))((:{
axgxaxfxaxgfx
axgxaxfxaxgfx
≤∪≤=≤∧
≤∩≤=≤∨
由此知道f,gf ∨和gf ∧都是可测函数,■
推论4若f是可测函数,则f的正部
+
f和负部
f都是可测函数,
证明 容易知道.0)(,0 ∨?=∨=
+
ffff 再由定理3即知推论成立,
定理5 设}{
n
f是一列可测函数,则函数
n
n
f
1
sup
≥
,
n
n
f
1
inf
≥
,
n
n
f
∞→
lim和
n
n
f
∞→
lim都是可测函数,特别地,若对每个,Xx∈极限)(lim xf
n
n ∞→
存在(有限或∞± ),则
n
n
f
∞→
lim是可测函数,
证明 由于对任意实数a,我们有
.}{}inf{,}{}sup{
1
1
1
1
∩∩
∞
=
≥
∞
=
≥
≥=≥≤=≤
n
nn
n
n
nn
n
afafafaf
由此知
n
n
f
1
sup
≥
和
n
n
f
1
inf
≥
都是可测函数,由于
n
n
f
∞→
lim =,supinf
1
k
nk
n
f
≥
≥
n
n
f
∞→
lim =,infsup
1
k
nk
n
f
≥
≥
73
因此知
n
n
f
∞→
lim和
n
n
f
∞→
lim都是可测函数,■
例5 设f是可测空间),( FX上的实值可测函数,g是
1
R上的连续函数,则复合函数
))(()( xfgxh =是),( FX上的可测函数,
证明 由例3知道g是
1
R上的Borel可测函数,因此对任意
∈B )(
1
RB,∈
)(
1
Bg ).(
1
RB由于f是可测的,由定理2,∈
))((
11
Bgf,F 因此
=
)(
1
Bh ∈
))((
11
Bgf,F 再次应用定理2知道)(xh是),( FX上的可测函数,■,
以上定理和例5表明可测函数类具有较好的运算封闭性,这将使我们在讨论积分的性质时十分便利,
简单函数与可测函数
定义6 设),( FX为一可测空间,称型如
∑
=
=
n
i
Ai
xIaxf
i
1
)()(
的函数为),( FX上的简单函数,其中
n
aa null,
1
是实数,
n
AA,,
1
null是互不不相交的可测集,
并且.
1
∪
n
i
i
AX
=
=
容易证明下面的定理7和定理8,其证明留作习题,
定理7 函数f为简单函数当且仅当f为只取有限个实值的可测函数,
定理8 设f和1g都是简单函数,则cf (c为实数),gf +,fg,f,gf ∨和gf ∧
都是简单函数,
设}{
n
f是一函数列,若对每个,Xx∈ 总有,1),()(
1
≥≤
+
nxfxf
nn
则称}{
n
f是单调增加的函数列,记为
↑n
f,类似地可以定义单调减少的函数列.,
定理9 设f是非负可测函数,则存在单调增加的非负简单函数列}{
n
f处处收敛于.f
证明 对每个,1≥n 令
∑
=
≥
<≤
+
=
n
nn
n
k
nfk
f
k
n
n
xnIxI
k
xf
2
1
}{
}
22
1
{
).()(
2
1
)(
(图1—3是示意图)由于f是非负可测函数,故每个
n
f是非负简单函数,易知}{
n
f是单调增加的,对任意,
0
Xx ∈ 若,)(
0
+∞<xf 则当)(
0
xfn >时,
.
2
1
)()(0
00
n
n
xfxf <?≤
74
故).()(lim
00
xfxf
n
n
=
∞→
若,)(
0
+∞=xf 则,)(
0
nxf
n
=,1≥n 于是.)(lim
0
+∞=
∞→
xf
n
n
此时也有).()(lim
00
xfxf
n
n
=
∞→
因此}{
n
f处处收敛于f,■
图1—3
注3 由定理的证明可以看出,若f还是有界的,则}{
n
f收敛于f是一致的,事实上,
若,0 Mf ≤≤ 则当Mn ≥时,对任意,Xx∈ 成立
.
2
1
)()(0
n
n
xfxf ≤?≤
因此}{
n
f在X上一致收敛于f,
推论10 设f为可测函数,则存在简单函数列}{
n
f处处收敛于f并且.1,≥≤ nff
n
若f还是有界的,则上述收敛是一致的,
证明 由于f可测,故
+
ff和都是非负可测函数,由定理9,存在简单函数列}{
n
g
和},{
n
h 使得.,
+
↑↑
fhfg
nn
令.1,≥?= nhgf
nnn
由定理8知道}{
n
f是简单函数列,并且
.)(limlim fffhgf
nn
n
n
n
=?=?=
+
∞→∞→
.fffhgf
nnn
=+≤+≤
+
若f是有界的,则
+
ff和都是有界的,由注3知道}{
n
g和}{
n
h分别一致收敛于
+
ff和,
因此}{
n
f一致收敛于f,■
推论11 设f为一给定函数,则f为可测函数的充要条件是存在简单函数列}{
n
f处处
n
k
2
1?
n
2
1
21
}
22
1
{ EE
k
f
k
nn
∪=<≤
n
k
2
y
n
)(xf
)(xf
n
n
2
2
x
nullnull
1
E
2
E
O
75
收敛于f,
证明 必要性由推论10即得,由于简单函数是可测函数,可测函数列的极限是可测函数,故充分性成立.■
定理9表明,一个非负可测函数可以用一列单调增加的非负简单函数来逼近,而一般可测函数可以表示成其正部和负部这两个非负可测函数之差,由于非负简单函数往往较容易处理.因此定理9在研究可测函数的性质时是常常用到的,推论11给出了可测函数的一个构造性特征,这个构造性特征也可以作为可测函数的定义,这两种定义是等价的,
小 结 本节在抽象可测空间上定义了可测函数,讨论了可测函数的基本性质,可测函数是一类很广泛的函数,并且有很好的运算封闭性,本节还介绍了一类特殊的可测函数,即简单函数,可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数,
特别是在积分理论中有重要应用,
习 题 习题三,第1题—第17题,
第三章 可测函数
在给定了一个测度空间以后,由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各种各样的集,为用测度论的方法研究这个函数,我们自然要求这些集是可测的,由此产生了可测函数的概念.在定义积分时候,对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可测的.我们将看到可测函数是一类很广泛的函数,特别地,欧氏空间
n
R上的Lebesgue可测函数是比连续函数更广泛的一类函数,而且可测函数类对极限运算是封闭的,这将使我们在讨论积分的时候更加便利,
本章§3.1和§3.2讨论可测函数的定义,可测函数的基本性质和收敛性,§3.3在欧氏空间
n
R上讨论可测函数与连续函数的联系,
§3.1 可测函数的基本性质
教学目的 定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集.为用测度论的方法研究这个函数,特别是在定义积分时,必须要求这些集是可测的,由此产生了可测函数的概念.本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质,
本节要点 可测函数有不同的等价定义,可测函数是一类很广泛的函数,
并且有很好的运算封闭性,可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数,特别是在积分理论中有重要应用,
本节和以后若无特别申明,“函数”一词均指取值于
R的广义实值函数,取值于
1
R的函数仍称为实值函数,在§2.1我们已给出可测空间的定义,这里回顾一下,称二元组合
),( FX为一可测空间,若X是一个非空集,F是X上的?σ代数,称F中的集为F -可测集或者简称为可测集,
可测函数的定义与等价特征
定义1 设),( FX为一可测空间,E是一个可测集,→Ef,
R为定义在E上的函数,若对任意实数a,总有
,})(:{ F∈<∈ axfEx
68
(图1—1是
1
RX =时的示意图) 则称f为E上的F -可测函数(简称为E上的可测函数),特别地,X上的可测函数也称为可测空间),( FX上的可测函数,),( FX上的可测函数和非负可测函数的全体分别记为),( FXM和).,( FXM
+
图1—1
注1 设),( FX为一可测空间,E是一个可测集,容易知道
},:{ FF ∈?= AEAA
E
是一个?σ代数,因此),(
E
E F是一个可测空间,显然f是E上的可测函数当且仅当f是可测空间),(
E
E F上的可测函数,因此在讨论一般可测函数的性质时,不妨只讨论定义在全空间上的可测函数,
特别地,若可测空间),( FX取为是
n
R上的Lebesgue可测空间))(,(
nn
RR M,E是
n
R中的Lebesgue可测集,则E上的可测函数称为Lebesgue可测函数,类似地,若可测空间
),( FX取为是
n
R上的Borel可空间))(,(
nn
RR B,E是
n
R中的Borel可测集,则E上的可测函数称为Borel可测函数,按定义,f是E上的Lebesgue可测函数(或者Borel可测函数),若对任意实数a,
})(:{ axfEx <∈
是Lebesgue可测集(相应地,Borel可测集),以后Lebesgue可测函数可以简称为L可测函数,
显然每个Borel可测函数是Lebesgue可测函数,
一般地,设
1
F和
2
F是X上的两个代数?σ并且?
1
F
2
F,则由可测函数的定义知道,每个
1
F -可测函数都是
2
F -可测函数,
例1 设),( FX是一可测空间,cxf ≡)(是X上的常数函数,则f是),( FX上的可测函数,这是因为对任意实数,a
X
1
R
)(xf
a
1
E
21
})(:{ EEaxfx ∪=<
2
E
nullnullnullnullnullnullnullnull
69
≤?
>
=<
.
})(:{
ca
caX
axfx
若若
由于?和X都是可测集,故对任意实数a,总有.})(:{ F∈< axfx 因此f是可测的,
例2设),( FX为一可测空间,.XA? 则A的特征函数
A
I为可测函数当且仅当A为可测集,这是因为,对任意实数a,
>
≤<
≤?
=<
.1
10
0
})(:{
aX
aA
a
axIx
c
A
若若若
由此易知结论成立,
例3
n
R上的连续函数是Borel可测函数(因而也是Lebesgue可测函数),这是因为对任意实数a,})(:{ axfx <是
n
R中的开集,而开集是Borel集,因此f是Borel可测的,
例4 设f是定义在区间],[ ba上的单调函数,则f是],[ ba上的Borel可测函数,事实上,对任意实数,a 由于f是单调的,容易知道集})(:{ axfx <是区间,单点集或者空集,
总之,})(:{ axfx <是Borel集,因此f是Borel可测的,
下面的定理给出了可测函数的一些等价特征,
定理2 设),( FX为一可测空间,
→ RXf,是定义在X上的函数,则以下(1)—(4)
是等价的,
(1),f是可测函数,
(2),对任意实数a,.})(:{ F∈≤ axfx
(3),对任意实数a,.})(:{ F∈> axfx
(4),对任意实数a,.})(:{ F∈≥ axfx
此外,上面的(1)—(4)蕴涵
(5),对任意∈B )(
1
RB,.)(
1
F∈
Bf
若f是实值函数,则(1)—(5)是等价的,
证明 (1)?(2),因为f可测,故对任意实数a,.})(:{ F∈< axfx 于是有
})(:{ axfx ≤ ∈+<=
∞
=
}
1
)(:{
1
n
axfx
n
∩
F,
(2)?(3).这是因为
.})(:{})(:{ F∈≤=>
c
axfxaxfx
(3)?(4).这是因为
70
.}
1
)(:{})(:{
1
F∈?>=≥
∞
=
∩
n
n
axfxaxfx
(4)?(1),这是因为
.})(:{})(:{ F∈≥=<
c
axfxaxfx
因此,(1)—(4)是等价的,为证(1)—(4)蕴涵(5),我们证明(2)?(5),
(2)?(5).令})(:{
11
FA ∈?=
AfA R,利用逆像的性质
,)()(
1
1
1
1
∪∪
∞
=
∞
=
=
n
n
n
n
AfAf
,))(()(
11 cc
AfAf
=
容易证明A是一个代数?σ,又令C是直线上左开右闭区间的全体,容易证明
)(Cσ = )(
1
RB (见第一章习题第42题),对任意左开右闭区间],,( ba 我们有
.})({:})(:{)],((
1
F∈≤?≤=
axfbxfxbaf
故C? A,从而)(
1
RB = )(Cσ? A,这表明对任意∈B )(
1
RB,.)(
1
F∈
Bf
若f是实值函数,我们还有
(5)? (1).设f是实值函数,由于),( a?∞是Borel集,因此
.)),((})(:{
1
F∈?∞=≤
afaxfx ■
设f是可测函数,由于单点集}{a ( a是实数)是Borel集,因此由定理2(5)知道
})({})(:{
1
afaxfx
==是可测集,同理,以下几个集也是可测的,
{,() },{,() },x afxb xafxb<< ≤≤
{,() },{,() }.x afxb xafxb<≤ ≤<
此外,由于,})(:{})(:{
1
∩
∞
=
>=+∞=
n
nxfxxfx故})(:{ +∞=xfx是可测集,同理,
})(:{?∞=xfx也是可测集,
可测函数的运算封闭性 设f和g是定义在X上的广义实值函数,若()f x和()gx在某一点x取异号的∞为值,则() ()f xgx+无意义,此时规定() () 0.fx gx+= 又定义
)},(),(max{))(( xgxfxgf =∨ )}.(),(min{))(( xgxfxgf =∧
<
≥
=
+
.0)(0
0)()(
xf
xfxf
f
若若
<?
≥
=
.0)()(
0)(0
xfxf
xf
f
若若
71
分别称函数
+
f和
f为f的正部和负部(图1—2),
+
f和
f都是非负值函数,并且成立
.,
+?+
+=?= ffffff
图1—2
为简单计,我们以后将集})(:{ axfx <简写成},{ af <将集)}()(:{ xgxfx ≤简写成}{ gf ≤等等,
定理 3 设f和g是两个可测函数,则函数cf (c是实数),gf +,fg,f,gf ∨和
gf ∧都是可测函数,
证明 (1).若.0,0 ≡= cfc则 此时cf当然是可测函数,当0≠c时,则
1
a?∈R,有
<>
><
=<
.0}{
0}{
}{
c
c
a
f
c
c
a
f
acf
若若
等式右边的集都是可测集,因此cf是可测函数,
(2),先设f和g不取异号∞为值,设}{
n
r是有理数的全体,由于agf <+当且仅当存在
n
r使得
n
rf <并且.
n
rag?< 因此
.}){}({}{
1
∪
∞
=
<∩<=<+
n
nn
ragrfagf
由上式f和g的可测性知道}{ agf <+是可测集,因此gf +是可测函数,再考虑一般情形,令
}.,{},{ +∞=?∞=∪?∞=+∞== gfgfA
X
Y
)(xf
O
)(xf
+
)(xf
72
则A是可测集,我们有
{ } ( { }) ( { }).
C
f ga A f ga A f ga+< = ∩ +< ∪ ∩ +<
由于在
C
A上f和g不取异号∞为值,由前面的证明知道{}
C
Afga∩+<是可测集,又由于在A上,0=+ gf 故
≤?
>
=<+∩
.0
0
}{
a
aA
agfA
若若
故}{ agfA <+∩是可测集,因此}{ agf <+是可测集,这就证明了gf +是可测函数,
(3),先证
2
f是可测函数,由于
<?
≥?>
∩
<
=<
.0
0}{}{
}{
2
a
aafaf
af
若若
由上式知}{
2
af <是可测集,故
2
f是可测函数,再由等式
])()[(
4
1
22
gfgfgf+=
即知gf是可测函数,
(4),由于
≤?
>?>∩<
=<
.0
0}{}{
}{
a
aafaf
af
若若
}.)(:{})(:{}))((:{
},)(:{})(:{}))((:{
axgxaxfxaxgfx
axgxaxfxaxgfx
≤∪≤=≤∧
≤∩≤=≤∨
由此知道f,gf ∨和gf ∧都是可测函数,■
推论4若f是可测函数,则f的正部
+
f和负部
f都是可测函数,
证明 容易知道.0)(,0 ∨?=∨=
+
ffff 再由定理3即知推论成立,
定理5 设}{
n
f是一列可测函数,则函数
n
n
f
1
sup
≥
,
n
n
f
1
inf
≥
,
n
n
f
∞→
lim和
n
n
f
∞→
lim都是可测函数,特别地,若对每个,Xx∈极限)(lim xf
n
n ∞→
存在(有限或∞± ),则
n
n
f
∞→
lim是可测函数,
证明 由于对任意实数a,我们有
.}{}inf{,}{}sup{
1
1
1
1
∩∩
∞
=
≥
∞
=
≥
≥=≥≤=≤
n
nn
n
n
nn
n
afafafaf
由此知
n
n
f
1
sup
≥
和
n
n
f
1
inf
≥
都是可测函数,由于
n
n
f
∞→
lim =,supinf
1
k
nk
n
f
≥
≥
n
n
f
∞→
lim =,infsup
1
k
nk
n
f
≥
≥
73
因此知
n
n
f
∞→
lim和
n
n
f
∞→
lim都是可测函数,■
例5 设f是可测空间),( FX上的实值可测函数,g是
1
R上的连续函数,则复合函数
))(()( xfgxh =是),( FX上的可测函数,
证明 由例3知道g是
1
R上的Borel可测函数,因此对任意
∈B )(
1
RB,∈
)(
1
Bg ).(
1
RB由于f是可测的,由定理2,∈
))((
11
Bgf,F 因此
=
)(
1
Bh ∈
))((
11
Bgf,F 再次应用定理2知道)(xh是),( FX上的可测函数,■,
以上定理和例5表明可测函数类具有较好的运算封闭性,这将使我们在讨论积分的性质时十分便利,
简单函数与可测函数
定义6 设),( FX为一可测空间,称型如
∑
=
=
n
i
Ai
xIaxf
i
1
)()(
的函数为),( FX上的简单函数,其中
n
aa null,
1
是实数,
n
AA,,
1
null是互不不相交的可测集,
并且.
1
∪
n
i
i
AX
=
=
容易证明下面的定理7和定理8,其证明留作习题,
定理7 函数f为简单函数当且仅当f为只取有限个实值的可测函数,
定理8 设f和1g都是简单函数,则cf (c为实数),gf +,fg,f,gf ∨和gf ∧
都是简单函数,
设}{
n
f是一函数列,若对每个,Xx∈ 总有,1),()(
1
≥≤
+
nxfxf
nn
则称}{
n
f是单调增加的函数列,记为
↑n
f,类似地可以定义单调减少的函数列.,
定理9 设f是非负可测函数,则存在单调增加的非负简单函数列}{
n
f处处收敛于.f
证明 对每个,1≥n 令
∑
=
≥
<≤
+
=
n
nn
n
k
nfk
f
k
n
n
xnIxI
k
xf
2
1
}{
}
22
1
{
).()(
2
1
)(
(图1—3是示意图)由于f是非负可测函数,故每个
n
f是非负简单函数,易知}{
n
f是单调增加的,对任意,
0
Xx ∈ 若,)(
0
+∞<xf 则当)(
0
xfn >时,
.
2
1
)()(0
00
n
n
xfxf <?≤
74
故).()(lim
00
xfxf
n
n
=
∞→
若,)(
0
+∞=xf 则,)(
0
nxf
n
=,1≥n 于是.)(lim
0
+∞=
∞→
xf
n
n
此时也有).()(lim
00
xfxf
n
n
=
∞→
因此}{
n
f处处收敛于f,■
图1—3
注3 由定理的证明可以看出,若f还是有界的,则}{
n
f收敛于f是一致的,事实上,
若,0 Mf ≤≤ 则当Mn ≥时,对任意,Xx∈ 成立
.
2
1
)()(0
n
n
xfxf ≤?≤
因此}{
n
f在X上一致收敛于f,
推论10 设f为可测函数,则存在简单函数列}{
n
f处处收敛于f并且.1,≥≤ nff
n
若f还是有界的,则上述收敛是一致的,
证明 由于f可测,故
+
ff和都是非负可测函数,由定理9,存在简单函数列}{
n
g
和},{
n
h 使得.,
+
↑↑
fhfg
nn
令.1,≥?= nhgf
nnn
由定理8知道}{
n
f是简单函数列,并且
.)(limlim fffhgf
nn
n
n
n
=?=?=
+
∞→∞→
.fffhgf
nnn
=+≤+≤
+
若f是有界的,则
+
ff和都是有界的,由注3知道}{
n
g和}{
n
h分别一致收敛于
+
ff和,
因此}{
n
f一致收敛于f,■
推论11 设f为一给定函数,则f为可测函数的充要条件是存在简单函数列}{
n
f处处
n
k
2
1?
n
2
1
21
}
22
1
{ EE
k
f
k
nn
∪=<≤
n
k
2
y
n
)(xf
)(xf
n
n
2
2
x
nullnull
1
E
2
E
O
75
收敛于f,
证明 必要性由推论10即得,由于简单函数是可测函数,可测函数列的极限是可测函数,故充分性成立.■
定理9表明,一个非负可测函数可以用一列单调增加的非负简单函数来逼近,而一般可测函数可以表示成其正部和负部这两个非负可测函数之差,由于非负简单函数往往较容易处理.因此定理9在研究可测函数的性质时是常常用到的,推论11给出了可测函数的一个构造性特征,这个构造性特征也可以作为可测函数的定义,这两种定义是等价的,
小 结 本节在抽象可测空间上定义了可测函数,讨论了可测函数的基本性质,可测函数是一类很广泛的函数,并且有很好的运算封闭性,本节还介绍了一类特殊的可测函数,即简单函数,可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数,
特别是在积分理论中有重要应用,
习 题 习题三,第1题—第17题,
