116
§4.6 乘积测度与Fubini定理
教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理
—Fubini定理,
本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理,Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用,
设X和Y是两个非空集,.,YBXA 称BA×为YX ×中的矩形(定义
=×=?× BA,),
例如,平面可以看成是直线与直线的乘积,即
1
R =×
1
R,
2
R 当A和B是直线上的有界区间时,BA×就是平面上的通常意义下的矩形,本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间,
但可以将
1
R =×
1
R
2
R这一特殊情形作为直观模型,通过直接验证,不难证明矩形具有如下性质(图6—1),
(1),).()()()(
21212211
BBAABABA ∩×∩=×∩×
(2),)].()[(])[()()(
21211212211
BBAABAABABA?×∩∪×?=×?×
图6-1
设),,( μAX和),,( νBY是两个测度空间,若,A∈A,B∈B 则称BA×为可测矩形,设
C是可测矩形的全体所成的集类,利用上面所列的矩形的性质,容易验证C是一个半环,
由C生成的代数?σ )(Cσ称为A与B的乘积σ -代数,记为.BA×
)()(
21212
BBAAE?×∩=
1211
)( BAAE ×?=
X
1
A
nullnullnull nullnullnullnull nullnull
2
A
1
E
2
B
1
B
Y
nullnullnullnullnullnullnull
2
E
117
在C上定义一个非负值集函数如下,对任意∈×BA C,令
).()())(( BABA νμνμ?=×× (1)
定理1 由(1)式定义的集函数νμ×是C上的测度,
证明 显然0))(( =?×νμ,往证νμ×在C上是可数可加的,设BA×是一个可测矩形,}{
nn
BA ×是一列互不相交的可测矩形使得
1
.
nn
n
AB A B
∞
=
×= ×
∪
由于}{
nn
BA ×是互不相交的,故成立
.)()()()(
1
∑
∞
=
n
BABA
yIxIyIxI
nn
对任意固定的,Yy∈ 将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到
.)()()()(
1
∑
∞
=
=
n
BnB
yIAyIA
n
μμ
再对y积分得到.)()()()(
1
∑
∞
=
=?
n
nn
BABA νμνμ 这就是
.))(())((
1
∑
∞
=
××=××
n
nn
BABA νμνμ
即νμ×在C上是可数可加的,因此νμ×是C上的测度,■
设R是由C生成的环,即
}.1,,,:{
1
1
≥==
=
kEEEA
k
k
i
i
是互不相交的可测矩形
∪
R
注意由于∈×YX,R 故R实际上是一个代数,按下面的方式将νμ×延拓到R上,若
∈E,R E的一个分解式为,
1
∪
k
i
ii
BAE
=
×= 则令
,)()())((
1
∑
=
=×
k
i
ii
BAE νμνμ (2)
由§2.2.引理7,))(( BA××νμ的值不依赖于BA×的分解式的选取,由定理1和§2.2定理8
立即得到如下定理,
定理2 由(2)式定义的集函数νμ×是R上的测度,
设
× )( νμ是由νμ×导出的外测度,
νμ×
M是
× )( νμ可测集的全体所成的?σ代数,
由§2.2定理5,
× )( νμ在
νμ×
M上是一个测度,称这个测度为μ和ν的乘积测度,仍记为
118
νμ×,称测度空间),,( νμ
νμ
××
×
MYX为),,( μAX与),,( νBY乘积空间,由§2.2.定理
10,测度空间),,( νμ
νμ
××
×
MYX是完备的,容易证明若μ和ν都是?σ有限的,则
νμ×也是?σ有限的(其证明留作习题),
由第一章习题第26题的结果知道)(Cσ = ).(Rσ 由BA×的定义和§2.2定理5,
BA× = )(Cσ =?)(Rσ
νμ×
M,
因此νμ×也是BA×上的测度,有时也称测度空间),,( νμ××× BAYX为),,( μAX与
),,( νBY乘积空间,
下面我们将证明Fubini定理,为此需要作一些准备,设.,XxYXE ∈×? 称集
}),(:{ EyxYyE
x
∈∈=为E在x的截口,类似地,对,Yy∈ 称集
}),(:{ EyxXxE
y
∈∈=为E在y的截口,注意
x
E和
y
E分别是Y和X的子集(图6—2),
图6—2
容易验证关于截口成立
,)()().i(
11
∪∪
∞
=
∞
=
=
n
xnx
n
n
EE
.)().ii(
xxx
FEFE?=?
同样,关于y的截口也成立类似的性质,
定理3 设),,( μAX和),,( νBY是两个?σ有限的测度空间,∈E BA×,则
).i(对任意,Xx∈ 必有.B∈
x
E
).ii( )(
x
Eν和是),,( μAX上的可测函数,并且成立等式
∫
=×,)())(( μννμ dEE
x
(3)
X
Y
x
E
y
E
x
y
E
nullnullnullnullnullnullnullnullnull
119
证明 ).i(设C是可测矩形的全体,令
F }.,:{ BBA ∈∈×∈=
x
EXxE对任意
若∈×= BAE,C 则当Ax∈时,.BE
x
=当Ax?时,.?=
x
E 故对任意
,Xx∈,B∈
x
E 因此.FC? 利用截口的性质容易证明F是一个σ -代数,因此得到
=×BA?)(Cσ,F 即对任意Xx∈必有.B∈
x
E
)ii(先设.)( +∞<Yν 由本定理的结论),i( 对任意,Xx∈ 必有.B∈
x
E 故函数
)(
x
Eν有意义,令
}.)(:{可测的是ABAF
x
EE ν×∈=
若BAE ×=是一个可测矩形,则)()()( xIBE
Ax
νν =是A可测的,这表明.FC? 往证
F是一个λ类,显然∈×YX,F 设∈FE,F并且.FE? 注意到,)()( +∞<≤ YF
x
νν
我们有
).()()())((
xxxxx
FEFEFE νννν?=?=?
故))((
x
FE?ν是A可测的,因此∈?FE,F 即F对包含差运算封闭.再设?}{
n
E F
并且.
↑n
E 则.)(
↑xn
E 于是有
).)((lim))(())((
11
xn
n
n
xnx
n
n
EEE ννν
∞→
∞
=
∞
=
==
∪∪
由上式看出))((
1
x
n
n
E
∪
∞
=
ν是A可测的,因此∈
∞
=
∪
1n
n
E,F 即F对单调增加的集列的并运算封闭,所以F是包含C的一个λ类,注意到C是一个π类,由§1.3.推论12,我们有
=×BA?)(Cσ,F
即对任意∈E BA×,)(
x
Eν是A可测的,若.)( +∞=Yν 由于),,( νBY是?σ有限的,
因此存在Y的一列互不相交的可测集}{
n
Y使得+∞<)(
n
Yν并且
1
.
n
n
YY
∞
=
=
∪
对每个
,1≥n 在B上定义测度
∈∩= BYBB
nn
),()( νν,B
则.)()( +∞<=
nn
YY νν 设∈E BA×,则由上面所证,每个,1≥n )(
xn
Eν是A可测的,
我们有
.)()())(()(
111
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
=∩=∩=
n
xn
n
nx
n
nxx
EYEYEE νννν
∪
由此可见)(
x
Eν是A可测的,
在BA×上定义集函数λ如下,
∈=
∫
EdEE
x
,)()( μνλ BA×,
120
则λ是非负值集函数并且.0)( =?m 设}{
n
E是BA×中的一列互不相交的集,则由单调收敛定理得到
.)())((
))(())(()(
11
111
∑
∫
∑
∫∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
==
==
n
n
n
xn
n
xnx
n
n
n
n
EdE
dEdEE
λμν
μνμνλ
∪∪∪
即λ是可数可加的,故λ是BA×上的测度,若BAE ×=是一个可测矩形,则
).)(()()(.)()()()( EBAdxIBdEE
Ax
νμνμμνμνλ ×=?===
∫ ∫
故在C上.νμλ ×= 测度的有限可加性蕴涵在由C生成的环R上.νμλ ×= 由于μ和ν
都是?σ有限的,容易知道λ和νμ×也是?σ有限的(参见习题),由§2.2定理6知道在
BA×上.νμλ ×= 这表明对任意∈E,BA× (3)式成立.■
注1 由定理3,我们也可以用(3)式来定义BA×上的乘积测度,νμ× 这样定义的
νμ×与我们前面定义的
νμ×
M上的乘积测度νμ×在BA×上是一致的,但是这样得到的乘积测度空间),,( νμ××× BAYX一般说来不是完备的,本节所用的定义乘积测度的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间),,( νμ
νμ
××
×
MYX,这样就避免了对
),,( νμ××× BAYX再进行完备化的讨论,
引理4 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的测度空间,若∈E
νμ×
M并且
.0))(( =× Eνμ 则对几乎所有,Xx∈ B∈
x
E并且a.e.,0)( =
x
Eν
证明 由§2.2定理11,存在∈F =)(Rσ,BA× 使得EF?并且
.0))(())(( =×=× EF νμνμ
定理3 )ii(蕴涵a.e.0)( =
x
Fν 由于B关于ν是完备的,因此由
xx
FE?得到
∈
x
E a.e.,B并且a.e.0)( =
x
Eν,■
定理5 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间,∈E
νμ×
M,则
).i(则对几乎所有,Xx∈ 必有.B∈
x
E
).ii()(
x
Eν是),,( μAX上的可测函数,并且成立等式
∫
=×,)())(( μννμ dEE
x
(4)
).iii(若),( yxf是),,( νμ
νμ
××
×
MYX上的可测函数,则对几乎所有,Xx∈ 函数
),()( yxfyf
x
=是),,( νBY上的可测函数,
证明 设∈E
νμ×
M,由§2.2定理13,存在∈F BA× 和∈N
νμ×
M,
,0))(( =× Nνμ使得.NFE?= 由引理4,∈
x
N a.e.,B并且a.e.0)( =
x
Nν 再利用定理3,我们有∈?=
xxx
NFE a.e.,B 因此)i(得证,由定理3,)(
x
Fν是A可测的,由于
121
A关于μ是完备的,并且
a.e.),()()()(
xxxx
FNFE νννν =?=
故)(
x
Eν是A可测的(参见第三章习题第7题),注意到,0))(( =× Nνμ 由定理3 )ii(,
∫∫
==×=× ).()())(()))((
xx
EdFFE ννννμνμ
即(4)成立,因此)ii(得证,由于对任意实数,a ∈< }),(:),{( ayxfyx
νμ×
M,于是由结论
)i(,对几乎所有,Xx∈我们有
∈<=<∈
x
ayxfyxayxfYy }),(:),{(}),(:{,B
即),()( yxfyf
x
=是),,( νBY上的可测函数,因此)iii(得证.■
由对称性,关于
y
E和)((
y
Eμ成立类似于定理3,引理4和定理5的结果,
设),,( μAX和),,( νBY是两个测度空间,),( yxf是YX ×上的可测函数,若对几乎所有固定的,Xx∈ ),( yxf在Y上的积分存在,记() (,),
Y
gx fxydν=
∫
( )(xg可能在一个?μ零测度集上没有定义,在这个零测度集上令)(xg =0),若)(xg是X上的可测函数并且在X上的积分存在,则称f的二次积分存在,并且称()
X
gxdμ
∫
为f的二次积分,记为
()
XY
fddν μ
∫∫
或.
XY
dfdμ ν
∫∫
类似可以定义另一个顺序的二次积分.
YX
dfdν μ
∫∫
关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系,我们由如下的定理,这是本节最主要的结果
定理6 (Fubini理)设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间,则
).i(若f是),,( νμ
νμ
××
×
MYX上的非负可测函数,则() (,)
Y
I xfxydν=
∫
和
() (,)
X
Jy fxydμ=
∫
分别是X和Y上的非负可测函数,并且成立
XY
fdμ ν
×
×=
∫
()
XY
fddν μ
∫∫
=
( )
.
YX
fddμ ν
∫ ∫
(5)
).ii(若f是),,( νμ
νμ
××
×
MYX上的可积函数,则() (,)
Y
I xfxydν=
∫
和
() (,)
X
Jy fxydμ=
∫
分别是关于μ和ν可积的,并且(5)成立,
证明 ).i(由对称性,只需证明() (,)
Y
I xfxydν=
∫
是X上的非负可测函数,并且
XY
fdμ ν
×
×=
∫
()
XY
fddν μ
∫ ∫
(6)
先设
E
If =是特征函数,其中∈E
νμ×
M,由定理5 )i(,对几乎所有,Xx∈ ∈
x
E,B 于是
(,) () ( ).
x
EEx
YY
I xyd I yd Eννν==
∫ ∫
a.e..?μ
122
由定理5 )ii(,)(
x
Eν是X上的可测函数,并且
( ),.)()()( μνμννμνμ ddIdEEdI
XY
E
X
x
YX
E
∫∫∫∫
==×=×
×
这表明当f是特征函数时,() (,)
Y
I xfxydν=
∫
是X上的非负可测函数并且(6)成立,由积分的线性性质知道,当f是非负简单函数时,)(xI是X上的非负可测函数并且(6)成立,
一般情形,设f是非负可测函数,则存在非负简单函数列}{
n
f使得.ff
n
↑ 由上面的证明,
() (,)
nn
Y
I xfxydν=
∫
是X上的非负可测函数,由单调收敛定理得到
(,) (,),
n
YY
f xyd fxydν ν↑
∫∫
因此)(xI是X上的非负可测函数,再对函数列}{
n
I应用单调收敛定理,我们有
() ()
lim lim,
nn
nnXY XY X Y X Y
f dfd fdfdμ νμν νμνμ
→∞ →∞××
×= ×= =
∫ ∫ ∫∫ ∫∫
即(6)成立,因此)i(得证,
).ii(由对称性,我们只需证明)(xI是关于μ可积的,并且(6)成立,由)i(的结论,
(,)
Y
f xydν
+
∫
和(,)
Y
f xydν
∫
是X上的非负可测函数,因此)(xI是X上的可测函数,
对
+
f和
f分别运用(6),我们有
()()
()
.
XY XY XY
XY XY
XY
fd f d f d
f dd fdd
fd d
μν μν μν
ν μνμ
νμ
+?
×× ×
×= ×? ×
=?
=
∫∫ ∫
∫∫ ∫∫
∫ ∫
注意由于f是关于νμ×可积的,故上式中出现的积分都是有限的,因此作减法运算是允许的,这就证明了)(xI是关于μ可积的,并且(6)成立.■
推论7 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间,f是
),,( νμ
νμ
××
×
MYX上的可测函数,若
YX
dfdνμ<+∞
∫ ∫
或,
XY
dfdμν<+∞
∫ ∫
则f可积并且成立
XY
fdμ ν
×
×=
∫
XY
dfdμ ν
∫ ∫
=,
YX
dfdν μ
∫ ∫
(7)
证明 设+∞<
∫∫
XY
dfd μν,由Fubini定理,我们有
XY
fdμ ν
×
×=
∫
.
YX
dfdνμ<+∞
∫ ∫
123
即f可积,再由Fubini定理即知(7)成立,■
注2 在Fubini定理中,若),( yxf是可积的,则由于() (,)
Y
I xfxydν=
∫
是关于μ可积的,因此函数)(xI几乎处处有限,这表明对几乎所有,Xx∈ ),()( yxfyf
x
=是关于ν
可积的,同理,对几乎所有,Yy∈ 函数),()( yxfxf
y
= 是关于μ可积的,
注3在Fubini定理中,若去掉),,( μAX和),,( νBY是完备的这个条件,则当f是
),,( νμ××× BAYX上的非负可测函数或可积函数时,定理的结论仍成立,其证明与定理
6的证明是类似的,只是此时不用定理5而直接引用定理.3就可以了,
例1 设),,( μAX是一个?σ有限的测度空间,f是X上的非负可测函数,
.1 +∞<≤ p 则
1
0
({,( ) }),
pp
f dpt xfxtdtμμ
+∞
=>
∫∫
证明 令},0)(:),{( ≥>= txftxE 则}.)(:{ txfxE
t
>= 显然txf?)(是乘积空间)),(,(
11
mX ××× μRR MF上的可测函数,故
∈>?= }0)(:),{( txftxE )(
1
RMF ×,因此函数),()( txIxI
EE
t
=是关于)(
1
RMF ×
可测的,由Fubini定理我们有
()
1
0
1
{,( ) }
0
1
{,( ) }
0
1
0
()
()
()
({,( ) }),
fx
pp
XX
p
xf x t
X
p
xf x t
X
p
fxddptdt
dptI xdt
ptdt I xd
ptxfxtdt
μμ
μ
μ
μ
+∞
>
+∞
>
+∞
=
=
=
=>
∫ ∫∫
∫∫
∫∫
∫
■
下面我们将本节的结果用到
n
R上的Lebesgue积分上去,
定理8 设)(
1
RB和)(
2
RB分别是
1
R和
2
R上的Borelσ -代数,
1
m和
2
m分别是
1
R和
2
R上的Lebesgue测度,则×)(
1
RB =)(
1
RB )(
2
RB并且在)(
2
RB上.
211
mmm =× 即
=××× )),()(,(
11
1111
mmRRRR BB ).),(,(
2
22
mRR B
证明 设R是
2
R中的左开右闭方体的全体生成的环,R′是由
2
R中的Lebesgue可测矩形的全体生成的环,则=)(Rσ ),(
2
RB =′)(Rσ ×)(
1
RB ).(
1
RB 由于?R R′,故
=)(
2
RB =′? )()( RR σσ ×)(
1
RB ).(
1
RB
反过来,令
1
p和
2
p是
2
R到
1
R的投影函数,即.,),(
1
xyxp = yyxp =),(
2
,则
1
p和
2
p
都是连续的,因而是
2
R上的Borel可测函数,由§3.1定理2,若∈BA,)(
1
RB,则
∈
)(
1
1
Ap )(
2
RB,∈
)(
1
2
Bp ).(
2
RB 于是
124
).()()()()(
21
2
1
1
11
RRR B∈∩=×∩×=×
BpApBABA
故?′R ).(
2
RB 于是×)(
1
RB =)(
1
RB?′)(Rσ ).(
2
RB因此
×)(
1
RB =)(
1
RB )(
2
RB,由乘积测度的定义容易知道在R上.
211
mmm =× 由§2.2定理6知道在)(Rσ上.
211
mmm =× 即在)(
2
RB上面.
211
mmm =× ■
定理9 两个一维Lebesgue测度空间的乘积测度空间是二维Lebesgue测度空间,即
=××
×
),,(
11
11
mm
ii
mm
MRR ).),(,(
2
22
mRR M (8)
证明 仍设R,R′,
1
m和
2
m如定理8,由定理8,
=××× )),()(,(
11
1111
mmRRRR BB ).),(,(
2
22
mRR B
此即
=×′× )),(,(
11
11
mmRσRR ).),(,(
2
2
mRσR
由§2.2定理15,),,(
11
11
mm
ii
mm
××
×
MRR和)),(,(
2
22
mRR M分别是
)),(,(
11
11
mm ×′× RσRR和)),(,(
2
2
mRσR的完备化空间,因此(8)成立.■
推论10 设f是
2
R上的非负L可测函数或L可积函数.则成立
2
R
f dxdy=
∫
dy f dx
∫ ∫11
RR
=,dx f dy
∫ ∫11
RR
特别地,当dy f dx<+∞
∫∫11
RR
或者dx f dy<+∞
∫ ∫11
RR
时,成立
dy f dx
∫∫11
RR
=,dx f dy
∫ ∫11
RR
(我们将
2
R上的L积分记为
2
.
R
f dxdy
∫
)
证明 将定理6和推论7应用到乘积空间),,(
11
11
mm
ii
mm
××
×
MRR上,并利用定理9
即得,■
显然,对
p
R与
q
R的乘积空间
qp+
R的情形,成立与推论10类似的结果,
例2 计算
0
sin
()(0).
ax bx
x
I eedxab
x
+∞
=?<
∫
解 我们有
00
sin
() sin.
b
ax bx xy
a
x
e e dx dx e xdy
x
+∞ +∞
=
∫∫∫
由于
00
1
sin ln,
bbb
xy xy
aaa
b
dy e x dx dy e dx dy
y a
+∞ +∞
≤==<+∞
∫∫ ∫∫ ∫
由Fubini定理(推论7),我们有
00
2
sin sin
1
arctg arctg,
1
bb
xy xy
aa
b
a
I dx e xdy dy e xdx
dy b a
y
+∞ +∞
==
==?
+
∫∫ ∫∫
∫
125
小 结 本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理,本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理—Fubini定理,Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用,
习 题 习题四,第43题—第57题,
§4.6 乘积测度与Fubini定理
教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理
—Fubini定理,
本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理,Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用,
设X和Y是两个非空集,.,YBXA 称BA×为YX ×中的矩形(定义
=×=?× BA,),
例如,平面可以看成是直线与直线的乘积,即
1
R =×
1
R,
2
R 当A和B是直线上的有界区间时,BA×就是平面上的通常意义下的矩形,本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间,
但可以将
1
R =×
1
R
2
R这一特殊情形作为直观模型,通过直接验证,不难证明矩形具有如下性质(图6—1),
(1),).()()()(
21212211
BBAABABA ∩×∩=×∩×
(2),)].()[(])[()()(
21211212211
BBAABAABABA?×∩∪×?=×?×
图6-1
设),,( μAX和),,( νBY是两个测度空间,若,A∈A,B∈B 则称BA×为可测矩形,设
C是可测矩形的全体所成的集类,利用上面所列的矩形的性质,容易验证C是一个半环,
由C生成的代数?σ )(Cσ称为A与B的乘积σ -代数,记为.BA×
)()(
21212
BBAAE?×∩=
1211
)( BAAE ×?=
X
1
A
nullnullnull nullnullnullnull nullnull
2
A
1
E
2
B
1
B
Y
nullnullnullnullnullnullnull
2
E
117
在C上定义一个非负值集函数如下,对任意∈×BA C,令
).()())(( BABA νμνμ?=×× (1)
定理1 由(1)式定义的集函数νμ×是C上的测度,
证明 显然0))(( =?×νμ,往证νμ×在C上是可数可加的,设BA×是一个可测矩形,}{
nn
BA ×是一列互不相交的可测矩形使得
1
.
nn
n
AB A B
∞
=
×= ×
∪
由于}{
nn
BA ×是互不相交的,故成立
.)()()()(
1
∑
∞
=
n
BABA
yIxIyIxI
nn
对任意固定的,Yy∈ 将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到
.)()()()(
1
∑
∞
=
=
n
BnB
yIAyIA
n
μμ
再对y积分得到.)()()()(
1
∑
∞
=
=?
n
nn
BABA νμνμ 这就是
.))(())((
1
∑
∞
=
××=××
n
nn
BABA νμνμ
即νμ×在C上是可数可加的,因此νμ×是C上的测度,■
设R是由C生成的环,即
}.1,,,:{
1
1
≥==
=
kEEEA
k
k
i
i
是互不相交的可测矩形
∪
R
注意由于∈×YX,R 故R实际上是一个代数,按下面的方式将νμ×延拓到R上,若
∈E,R E的一个分解式为,
1
∪
k
i
ii
BAE
=
×= 则令
,)()())((
1
∑
=
=×
k
i
ii
BAE νμνμ (2)
由§2.2.引理7,))(( BA××νμ的值不依赖于BA×的分解式的选取,由定理1和§2.2定理8
立即得到如下定理,
定理2 由(2)式定义的集函数νμ×是R上的测度,
设
× )( νμ是由νμ×导出的外测度,
νμ×
M是
× )( νμ可测集的全体所成的?σ代数,
由§2.2定理5,
× )( νμ在
νμ×
M上是一个测度,称这个测度为μ和ν的乘积测度,仍记为
118
νμ×,称测度空间),,( νμ
νμ
××
×
MYX为),,( μAX与),,( νBY乘积空间,由§2.2.定理
10,测度空间),,( νμ
νμ
××
×
MYX是完备的,容易证明若μ和ν都是?σ有限的,则
νμ×也是?σ有限的(其证明留作习题),
由第一章习题第26题的结果知道)(Cσ = ).(Rσ 由BA×的定义和§2.2定理5,
BA× = )(Cσ =?)(Rσ
νμ×
M,
因此νμ×也是BA×上的测度,有时也称测度空间),,( νμ××× BAYX为),,( μAX与
),,( νBY乘积空间,
下面我们将证明Fubini定理,为此需要作一些准备,设.,XxYXE ∈×? 称集
}),(:{ EyxYyE
x
∈∈=为E在x的截口,类似地,对,Yy∈ 称集
}),(:{ EyxXxE
y
∈∈=为E在y的截口,注意
x
E和
y
E分别是Y和X的子集(图6—2),
图6—2
容易验证关于截口成立
,)()().i(
11
∪∪
∞
=
∞
=
=
n
xnx
n
n
EE
.)().ii(
xxx
FEFE?=?
同样,关于y的截口也成立类似的性质,
定理3 设),,( μAX和),,( νBY是两个?σ有限的测度空间,∈E BA×,则
).i(对任意,Xx∈ 必有.B∈
x
E
).ii( )(
x
Eν和是),,( μAX上的可测函数,并且成立等式
∫
=×,)())(( μννμ dEE
x
(3)
X
Y
x
E
y
E
x
y
E
nullnullnullnullnullnullnullnullnull
119
证明 ).i(设C是可测矩形的全体,令
F }.,:{ BBA ∈∈×∈=
x
EXxE对任意
若∈×= BAE,C 则当Ax∈时,.BE
x
=当Ax?时,.?=
x
E 故对任意
,Xx∈,B∈
x
E 因此.FC? 利用截口的性质容易证明F是一个σ -代数,因此得到
=×BA?)(Cσ,F 即对任意Xx∈必有.B∈
x
E
)ii(先设.)( +∞<Yν 由本定理的结论),i( 对任意,Xx∈ 必有.B∈
x
E 故函数
)(
x
Eν有意义,令
}.)(:{可测的是ABAF
x
EE ν×∈=
若BAE ×=是一个可测矩形,则)()()( xIBE
Ax
νν =是A可测的,这表明.FC? 往证
F是一个λ类,显然∈×YX,F 设∈FE,F并且.FE? 注意到,)()( +∞<≤ YF
x
νν
我们有
).()()())((
xxxxx
FEFEFE νννν?=?=?
故))((
x
FE?ν是A可测的,因此∈?FE,F 即F对包含差运算封闭.再设?}{
n
E F
并且.
↑n
E 则.)(
↑xn
E 于是有
).)((lim))(())((
11
xn
n
n
xnx
n
n
EEE ννν
∞→
∞
=
∞
=
==
∪∪
由上式看出))((
1
x
n
n
E
∪
∞
=
ν是A可测的,因此∈
∞
=
∪
1n
n
E,F 即F对单调增加的集列的并运算封闭,所以F是包含C的一个λ类,注意到C是一个π类,由§1.3.推论12,我们有
=×BA?)(Cσ,F
即对任意∈E BA×,)(
x
Eν是A可测的,若.)( +∞=Yν 由于),,( νBY是?σ有限的,
因此存在Y的一列互不相交的可测集}{
n
Y使得+∞<)(
n
Yν并且
1
.
n
n
YY
∞
=
=
∪
对每个
,1≥n 在B上定义测度
∈∩= BYBB
nn
),()( νν,B
则.)()( +∞<=
nn
YY νν 设∈E BA×,则由上面所证,每个,1≥n )(
xn
Eν是A可测的,
我们有
.)()())(()(
111
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
=∩=∩=
n
xn
n
nx
n
nxx
EYEYEE νννν
∪
由此可见)(
x
Eν是A可测的,
在BA×上定义集函数λ如下,
∈=
∫
EdEE
x
,)()( μνλ BA×,
120
则λ是非负值集函数并且.0)( =?m 设}{
n
E是BA×中的一列互不相交的集,则由单调收敛定理得到
.)())((
))(())(()(
11
111
∑
∫
∑
∫∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
==
==
n
n
n
xn
n
xnx
n
n
n
n
EdE
dEdEE
λμν
μνμνλ
∪∪∪
即λ是可数可加的,故λ是BA×上的测度,若BAE ×=是一个可测矩形,则
).)(()()(.)()()()( EBAdxIBdEE
Ax
νμνμμνμνλ ×=?===
∫ ∫
故在C上.νμλ ×= 测度的有限可加性蕴涵在由C生成的环R上.νμλ ×= 由于μ和ν
都是?σ有限的,容易知道λ和νμ×也是?σ有限的(参见习题),由§2.2定理6知道在
BA×上.νμλ ×= 这表明对任意∈E,BA× (3)式成立.■
注1 由定理3,我们也可以用(3)式来定义BA×上的乘积测度,νμ× 这样定义的
νμ×与我们前面定义的
νμ×
M上的乘积测度νμ×在BA×上是一致的,但是这样得到的乘积测度空间),,( νμ××× BAYX一般说来不是完备的,本节所用的定义乘积测度的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间),,( νμ
νμ
××
×
MYX,这样就避免了对
),,( νμ××× BAYX再进行完备化的讨论,
引理4 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的测度空间,若∈E
νμ×
M并且
.0))(( =× Eνμ 则对几乎所有,Xx∈ B∈
x
E并且a.e.,0)( =
x
Eν
证明 由§2.2定理11,存在∈F =)(Rσ,BA× 使得EF?并且
.0))(())(( =×=× EF νμνμ
定理3 )ii(蕴涵a.e.0)( =
x
Fν 由于B关于ν是完备的,因此由
xx
FE?得到
∈
x
E a.e.,B并且a.e.0)( =
x
Eν,■
定理5 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间,∈E
νμ×
M,则
).i(则对几乎所有,Xx∈ 必有.B∈
x
E
).ii()(
x
Eν是),,( μAX上的可测函数,并且成立等式
∫
=×,)())(( μννμ dEE
x
(4)
).iii(若),( yxf是),,( νμ
νμ
××
×
MYX上的可测函数,则对几乎所有,Xx∈ 函数
),()( yxfyf
x
=是),,( νBY上的可测函数,
证明 设∈E
νμ×
M,由§2.2定理13,存在∈F BA× 和∈N
νμ×
M,
,0))(( =× Nνμ使得.NFE?= 由引理4,∈
x
N a.e.,B并且a.e.0)( =
x
Nν 再利用定理3,我们有∈?=
xxx
NFE a.e.,B 因此)i(得证,由定理3,)(
x
Fν是A可测的,由于
121
A关于μ是完备的,并且
a.e.),()()()(
xxxx
FNFE νννν =?=
故)(
x
Eν是A可测的(参见第三章习题第7题),注意到,0))(( =× Nνμ 由定理3 )ii(,
∫∫
==×=× ).()())(()))((
xx
EdFFE ννννμνμ
即(4)成立,因此)ii(得证,由于对任意实数,a ∈< }),(:),{( ayxfyx
νμ×
M,于是由结论
)i(,对几乎所有,Xx∈我们有
∈<=<∈
x
ayxfyxayxfYy }),(:),{(}),(:{,B
即),()( yxfyf
x
=是),,( νBY上的可测函数,因此)iii(得证.■
由对称性,关于
y
E和)((
y
Eμ成立类似于定理3,引理4和定理5的结果,
设),,( μAX和),,( νBY是两个测度空间,),( yxf是YX ×上的可测函数,若对几乎所有固定的,Xx∈ ),( yxf在Y上的积分存在,记() (,),
Y
gx fxydν=
∫
( )(xg可能在一个?μ零测度集上没有定义,在这个零测度集上令)(xg =0),若)(xg是X上的可测函数并且在X上的积分存在,则称f的二次积分存在,并且称()
X
gxdμ
∫
为f的二次积分,记为
()
XY
fddν μ
∫∫
或.
XY
dfdμ ν
∫∫
类似可以定义另一个顺序的二次积分.
YX
dfdν μ
∫∫
关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系,我们由如下的定理,这是本节最主要的结果
定理6 (Fubini理)设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间,则
).i(若f是),,( νμ
νμ
××
×
MYX上的非负可测函数,则() (,)
Y
I xfxydν=
∫
和
() (,)
X
Jy fxydμ=
∫
分别是X和Y上的非负可测函数,并且成立
XY
fdμ ν
×
×=
∫
()
XY
fddν μ
∫∫
=
( )
.
YX
fddμ ν
∫ ∫
(5)
).ii(若f是),,( νμ
νμ
××
×
MYX上的可积函数,则() (,)
Y
I xfxydν=
∫
和
() (,)
X
Jy fxydμ=
∫
分别是关于μ和ν可积的,并且(5)成立,
证明 ).i(由对称性,只需证明() (,)
Y
I xfxydν=
∫
是X上的非负可测函数,并且
XY
fdμ ν
×
×=
∫
()
XY
fddν μ
∫ ∫
(6)
先设
E
If =是特征函数,其中∈E
νμ×
M,由定理5 )i(,对几乎所有,Xx∈ ∈
x
E,B 于是
(,) () ( ).
x
EEx
YY
I xyd I yd Eννν==
∫ ∫
a.e..?μ
122
由定理5 )ii(,)(
x
Eν是X上的可测函数,并且
( ),.)()()( μνμννμνμ ddIdEEdI
XY
E
X
x
YX
E
∫∫∫∫
==×=×
×
这表明当f是特征函数时,() (,)
Y
I xfxydν=
∫
是X上的非负可测函数并且(6)成立,由积分的线性性质知道,当f是非负简单函数时,)(xI是X上的非负可测函数并且(6)成立,
一般情形,设f是非负可测函数,则存在非负简单函数列}{
n
f使得.ff
n
↑ 由上面的证明,
() (,)
nn
Y
I xfxydν=
∫
是X上的非负可测函数,由单调收敛定理得到
(,) (,),
n
YY
f xyd fxydν ν↑
∫∫
因此)(xI是X上的非负可测函数,再对函数列}{
n
I应用单调收敛定理,我们有
() ()
lim lim,
nn
nnXY XY X Y X Y
f dfd fdfdμ νμν νμνμ
→∞ →∞××
×= ×= =
∫ ∫ ∫∫ ∫∫
即(6)成立,因此)i(得证,
).ii(由对称性,我们只需证明)(xI是关于μ可积的,并且(6)成立,由)i(的结论,
(,)
Y
f xydν
+
∫
和(,)
Y
f xydν
∫
是X上的非负可测函数,因此)(xI是X上的可测函数,
对
+
f和
f分别运用(6),我们有
()()
()
.
XY XY XY
XY XY
XY
fd f d f d
f dd fdd
fd d
μν μν μν
ν μνμ
νμ
+?
×× ×
×= ×? ×
=?
=
∫∫ ∫
∫∫ ∫∫
∫ ∫
注意由于f是关于νμ×可积的,故上式中出现的积分都是有限的,因此作减法运算是允许的,这就证明了)(xI是关于μ可积的,并且(6)成立.■
推论7 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间,f是
),,( νμ
νμ
××
×
MYX上的可测函数,若
YX
dfdνμ<+∞
∫ ∫
或,
XY
dfdμν<+∞
∫ ∫
则f可积并且成立
XY
fdμ ν
×
×=
∫
XY
dfdμ ν
∫ ∫
=,
YX
dfdν μ
∫ ∫
(7)
证明 设+∞<
∫∫
XY
dfd μν,由Fubini定理,我们有
XY
fdμ ν
×
×=
∫
.
YX
dfdνμ<+∞
∫ ∫
123
即f可积,再由Fubini定理即知(7)成立,■
注2 在Fubini定理中,若),( yxf是可积的,则由于() (,)
Y
I xfxydν=
∫
是关于μ可积的,因此函数)(xI几乎处处有限,这表明对几乎所有,Xx∈ ),()( yxfyf
x
=是关于ν
可积的,同理,对几乎所有,Yy∈ 函数),()( yxfxf
y
= 是关于μ可积的,
注3在Fubini定理中,若去掉),,( μAX和),,( νBY是完备的这个条件,则当f是
),,( νμ××× BAYX上的非负可测函数或可积函数时,定理的结论仍成立,其证明与定理
6的证明是类似的,只是此时不用定理5而直接引用定理.3就可以了,
例1 设),,( μAX是一个?σ有限的测度空间,f是X上的非负可测函数,
.1 +∞<≤ p 则
1
0
({,( ) }),
pp
f dpt xfxtdtμμ
+∞
=>
∫∫
证明 令},0)(:),{( ≥>= txftxE 则}.)(:{ txfxE
t
>= 显然txf?)(是乘积空间)),(,(
11
mX ××× μRR MF上的可测函数,故
∈>?= }0)(:),{( txftxE )(
1
RMF ×,因此函数),()( txIxI
EE
t
=是关于)(
1
RMF ×
可测的,由Fubini定理我们有
()
1
0
1
{,( ) }
0
1
{,( ) }
0
1
0
()
()
()
({,( ) }),
fx
pp
XX
p
xf x t
X
p
xf x t
X
p
fxddptdt
dptI xdt
ptdt I xd
ptxfxtdt
μμ
μ
μ
μ
+∞
>
+∞
>
+∞
=
=
=
=>
∫ ∫∫
∫∫
∫∫
∫
■
下面我们将本节的结果用到
n
R上的Lebesgue积分上去,
定理8 设)(
1
RB和)(
2
RB分别是
1
R和
2
R上的Borelσ -代数,
1
m和
2
m分别是
1
R和
2
R上的Lebesgue测度,则×)(
1
RB =)(
1
RB )(
2
RB并且在)(
2
RB上.
211
mmm =× 即
=××× )),()(,(
11
1111
mmRRRR BB ).),(,(
2
22
mRR B
证明 设R是
2
R中的左开右闭方体的全体生成的环,R′是由
2
R中的Lebesgue可测矩形的全体生成的环,则=)(Rσ ),(
2
RB =′)(Rσ ×)(
1
RB ).(
1
RB 由于?R R′,故
=)(
2
RB =′? )()( RR σσ ×)(
1
RB ).(
1
RB
反过来,令
1
p和
2
p是
2
R到
1
R的投影函数,即.,),(
1
xyxp = yyxp =),(
2
,则
1
p和
2
p
都是连续的,因而是
2
R上的Borel可测函数,由§3.1定理2,若∈BA,)(
1
RB,则
∈
)(
1
1
Ap )(
2
RB,∈
)(
1
2
Bp ).(
2
RB 于是
124
).()()()()(
21
2
1
1
11
RRR B∈∩=×∩×=×
BpApBABA
故?′R ).(
2
RB 于是×)(
1
RB =)(
1
RB?′)(Rσ ).(
2
RB因此
×)(
1
RB =)(
1
RB )(
2
RB,由乘积测度的定义容易知道在R上.
211
mmm =× 由§2.2定理6知道在)(Rσ上.
211
mmm =× 即在)(
2
RB上面.
211
mmm =× ■
定理9 两个一维Lebesgue测度空间的乘积测度空间是二维Lebesgue测度空间,即
=××
×
),,(
11
11
mm
ii
mm
MRR ).),(,(
2
22
mRR M (8)
证明 仍设R,R′,
1
m和
2
m如定理8,由定理8,
=××× )),()(,(
11
1111
mmRRRR BB ).),(,(
2
22
mRR B
此即
=×′× )),(,(
11
11
mmRσRR ).),(,(
2
2
mRσR
由§2.2定理15,),,(
11
11
mm
ii
mm
××
×
MRR和)),(,(
2
22
mRR M分别是
)),(,(
11
11
mm ×′× RσRR和)),(,(
2
2
mRσR的完备化空间,因此(8)成立.■
推论10 设f是
2
R上的非负L可测函数或L可积函数.则成立
2
R
f dxdy=
∫
dy f dx
∫ ∫11
RR
=,dx f dy
∫ ∫11
RR
特别地,当dy f dx<+∞
∫∫11
RR
或者dx f dy<+∞
∫ ∫11
RR
时,成立
dy f dx
∫∫11
RR
=,dx f dy
∫ ∫11
RR
(我们将
2
R上的L积分记为
2
.
R
f dxdy
∫
)
证明 将定理6和推论7应用到乘积空间),,(
11
11
mm
ii
mm
××
×
MRR上,并利用定理9
即得,■
显然,对
p
R与
q
R的乘积空间
qp+
R的情形,成立与推论10类似的结果,
例2 计算
0
sin
()(0).
ax bx
x
I eedxab
x
+∞
=?<
∫
解 我们有
00
sin
() sin.
b
ax bx xy
a
x
e e dx dx e xdy
x
+∞ +∞
=
∫∫∫
由于
00
1
sin ln,
bbb
xy xy
aaa
b
dy e x dx dy e dx dy
y a
+∞ +∞
≤==<+∞
∫∫ ∫∫ ∫
由Fubini定理(推论7),我们有
00
2
sin sin
1
arctg arctg,
1
bb
xy xy
aa
b
a
I dx e xdy dy e xdx
dy b a
y
+∞ +∞
==
==?
+
∫∫ ∫∫
∫
125
小 结 本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理,本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理—Fubini定理,Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用,
习 题 习题四,第43题—第57题,
