138
§5.2 有界变差函数
教学目的 本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的
Jordan分解定理,
教学要点 有界变差函数的概念,变差函数的性质,Jordan分解定理,
定义1 设f是定义在区间],[ ba上的实值函数,对],[ ba的任一分割,}{
0
n
ii
xP
=
= 其中
n
ii
x
0
}{
=
满足,
10
bxxxa
n
=<<<= " 作和式,
.)()(),(
1
10 ∑
=
=
n
i
iinf
xfxfxxV "
称),(
0 nf
xxV "为f关于分割
n
ii
x
0
}{
=
的变差,令
)( fV
b
a
}.],[},,{:),,(sup{
00
分割是baxxxxV
nnf
" "=
称)( fV
b
a
为f在],[ ba上的全变差,若,)( +∞<fV
b
a
则称f是],[ ba上的有界变差函数,
],[ ba上的有界变差函数的全体记为].,[ baV
例1区间],[ ba上的单调函数是有界变差函数,
事实上,不妨设f在],[ ba上是单调增加,则对],[ ba的任一分割,}{
0
n
ii
x
=
我们有
.).()())()(()()(),(
1
1
1
10
afbfxfxfxfxfxxV
n
i
ii
n
i
iinf
=?=?=
∑∑
=
=
"
因此).()()( afbffV
b
a
= 所以∈f ].,[ baV
例2 若f在],[ ba上满足Lipschitz条件,
].,[,,)()(
21221
baxxxxMxfxf
i
∈?≤?
其中0>M为一常数,则f是],[ ba上的有界变差函数,
证明 对],[ ba的任一分割,}{
0
n
ii
x
=
我们有
).()(
)()(),(
1
1
1
1
1
10
abMxxM
xxMxfxfxxV
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iinf
=?=
≤?=
∑
∑∑
=
=
=
"
因此).()( abMfV
b
a
≤ 所以∈f ].,[ baV
139
下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数,
例3 设
=
≤<
=
.00
,10
1
sin
)(
x
x
x
x
xf
若若
则f是]1,0[上的连续函数,但f在]1,0[上不是有界变差函数,事实上,对任意,1≥n 作
]1,0[的分割
n
ii
x
0
}{
=
使得
.1,,1,]
2
)[(,1,0
1
0
=+?===
niinxxx
in
"
π
π
则
∑
∑
=
=
+?
+
+
>
=
1
2
1
1
10
2
)(
1
2
)1(
1
1
sin
1
sin),(
n
i
n
i
i
i
i
inf
inin
x
x
x
xxxV
π
π
π
π
"
∑
∑
=
=
+
>
=
+
+
+?
=
2
1
2
1
)1(
1
)(
2
1
2
)1(
1
n
k
n
k
k
ink
kk
π
π
π
π
π
令
令∞→n知道.)( +∞=fV
b
a
因此f在]1,0[不是有界变差函数,
定理 2 有界变差函数具有如下性质,
).i(若∈f,],[ baV 则f是有界函数,
).ii(若∈f,],[ baV,
1
R∈α则∈fα,],[ baV 并且
).()( fVfV
b
a
b
a
αα ≤
).iii(若∈gf,,],[ baV 则∈+ gf,],[ baV 并且
).()()( gVfVgfV
b
a
b
a
b
a
+≤+ (1)
).iv(若∈gf,,],[ baV 则∈gf,],[ baV
).v(若∈f,],[ baV 则对任意,c,bca << 成立
).()()( fVfVfV
b
c
c
a
b
a
+= (2)
140
证明 我们只证明)iii(和)v(,)i(,)ii(和)iv(的证明留作习题,
对],[ ba的任一分割,}{
0
n
ii
x
=
我们有
∑
=
+
+=
n
i
iiiingf
xgxfxgxfxxV
1
110
)()()()(),,( "
).()(
)()()()(
1
1
1
1
gVfV
xgxgxfxf
b
a
b
a
n
i
ii
n
i
ii
+≤
+?≤
∑∑
=
=
因此gf +是],[ ba上的有界变差函数,并且(1)式成立,故)iii(得证,
往证)v(成立,对],[ ca的任一分割
n
ii
x
0
}{
=
和],[ bc的任一分割,}{
0
m
ii
x
=
′ 将它们合并后得到],[ ba的一个分割
.
00
bxxcxxa
mn
=′<<′==<<= " "
我们有
).(),,(
)()()()(),,(),,(
0
1
1
1
100
fVxxV
xfxfxfxfxxVxxV
b
a
mf
m
i
ii
n
i
iimfnf
≤′=
′?′++?=′′+
∑∑
=
=
"
" "
分别对],[ ca的分割和],[ bc的分割取上确界得到
).()()( fVfVfV
b
a
b
c
c
a
≤+ (3)
另一方面,对任意,0>ε 存在],[ ba的一个分割,}{
0
n
ii
x
=
使得
.)(),,(
0
ε?> fVxxV
b
a
nf
"
设.
1 kk
xcx ≤<
则},,,,{
110
cxxx
k?
"和},,,{
nk
xxc "分别是],[ ca和],[ bc的分割,注意到在
n
ii
x
0
}{
=
中增加一个分点c后,f关于新的分割的变差不会减小,因此我们有
).()(),,,(),,,(
),,,,,,(),,()(
10
100
fVfVxxcVcxxV
xxcxxVxxVfV
b
c
c
a
nkfkf
nkkfnf
b
a
+≤+=
≤<?
" "
" " "ε
由0>ε的任意性得到
).()()( fVfVfV
b
c
c
a
b
a
+≤ (4)
综合(3),(4)两式得到(2)式,因此结论)v(得证.■
设f是],[ ba上的有界变差函数,则对任意],,[ bax∈ 由定理2 )v(知道f也是
],[ xa上的有界变差函数,因此)( fV
x
a
是],[ ba上的实值函数,称之为f的变差函数,由定理
141
2 )v(容易知道)( fV
x
a
是单调增加的,
定理3 (Jordan分解定理) f是],[ ba上的有界变差函数当且仅当f可以表成
,hgf?= 其中g和h是],[ ba上的单调增加的实值函数,
证明 由例1和定理2,充分性是显然的,必要性,设f是],[ ba上的有界变差函数,令
)),()((
2
1
)( xffVxg
x
a
+= )).()((
2
1
)( xffVxh
x
a
= (5)
则.hgf?= 当
12
xx >时,利用定理2 )v(,我们有
).()()(),()()(
122
1
2121
fVfVfVxxVxfxf
x
a
x
a
x
x
f
=≤≤?
因此
).()()()(
21
21
xffVxffV
x
a
x
a
+≤+
这表明).()(
21
xgxg ≤即g是单调增加的.类似可证h也是单调增加的.■
推论4 设f是],[ ba上的有界变差函数,则
(1) f的不连续点的全体至多是一可数集,
(2) f在],[ ba上是Riemann可积的,
(3) f在],[ ba上几乎处处可导并且f ′是Lebesgue可积的,
证明 由§5.1单调函数的相应性质直接可得,
由定理3,每个有界变差函数可以分解成两个单调增加函数
之差,但这种分解显然不是唯一的,例如,若hgf?=是一个这样的分解,则对任意常数
c,)()( chcgf +?+=也是f的一个分解,为避免这种不唯一性,我们令
)),()()((
2
1
)( afxffVxp
x
a
+= )).()()((
2
1
)( afxffVxn
x
a
+?=
则)(xp和)(xn都是单调增加的,并且满足
).()()()( xnxpafxf?=? (6)
).()()( xnxpfV
x
a
+=
我们称(6)式为f的标准分解.分别称)(xp和)(xn为f的正变差函数和负变差函数,
定理5 设f是],[ ba上的有界变差函数,则)( fV
x
a
在],[ ba上是右连续的(或左连续的)
当且仅当f在],[ ba上是右连续的(相应地,左连续的),
证明 我们只证右连续的情形,左连续的情形证明是类似的,
必要性,设)( fV
x
a
在],[ ba上是右连续的,).,[
0
bax ∈ 则对任意,
0
bxx ≤< 利用定理
2 )v(,我们有
142
).()()(),()()(
0
0
00
fVfVfVxxVxfxf
x
a
x
a
x
x
f
=≤=?
由此知道f在
0
x点是右连续的,
充分性,设f在],[ ba上是右连续的,).,[
0
bax ∈ 对任意,0>ε 存在,0>δ 使得当
),(
00
δ+∈ xxx时,.)()(
0
ε<? xfxf 取区间],[
00
δ+xx的一个分割
,
0100
δ+=<<<= xtttx
n
" 使得
.)()()(
0
0
1
1
ε
δ
>?
+
=
∑
fVtftf
x
x
n
i
ii
(7)
由于
n
ii
t
1
}{
=
是区间],[
01
δ+xt的一个分割,因此
).()()(
0
1
2
1
fVtftf
x
t
n
i
ii
δ+
=
≤?
∑
(8)
利用(7),(8)两式,我们有
.2)()(
)()()()(
)()()(
01
2
1
1
1
0
1
0
0
1
0
εε
ε
δδ
<?+=
+?<
=
∑∑
=
=
++
tftf
tftftftf
fVfVfV
n
i
ii
n
i
ii
x
t
x
x
t
x
于是当],[
10
txx∈时,
.2)()()()(
1
00
0
ε<≤=? fVfVfVfV
t
x
x
x
x
a
x
a
因此)( fV
x
a
在
0
x点是右连续的.■
小 结 有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数,它们可以表为两个单调增加的函数之差,与单调函数一样,有界变差函数几乎处处可导并且Lebesgue可积,与单调函数不同,有界变差函数类对线性运算是封闭的,这在分析中具有重要意义,
习 题 习题五,第4题—第14题,
§5.2 有界变差函数
教学目的 本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的
Jordan分解定理,
教学要点 有界变差函数的概念,变差函数的性质,Jordan分解定理,
定义1 设f是定义在区间],[ ba上的实值函数,对],[ ba的任一分割,}{
0
n
ii
xP
=
= 其中
n
ii
x
0
}{
=
满足,
10
bxxxa
n
=<<<= " 作和式,
.)()(),(
1
10 ∑
=
=
n
i
iinf
xfxfxxV "
称),(
0 nf
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n
ii
x
0
}{
=
的变差,令
)( fV
b
a
}.],[},,{:),,(sup{
00
分割是baxxxxV
nnf
" "=
称)( fV
b
a
为f在],[ ba上的全变差,若,)( +∞<fV
b
a
则称f是],[ ba上的有界变差函数,
],[ ba上的有界变差函数的全体记为].,[ baV
例1区间],[ ba上的单调函数是有界变差函数,
事实上,不妨设f在],[ ba上是单调增加,则对],[ ba的任一分割,}{
0
n
ii
x
=
我们有
.).()())()(()()(),(
1
1
1
10
afbfxfxfxfxfxxV
n
i
ii
n
i
iinf
=?=?=
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=
"
因此).()()( afbffV
b
a
= 所以∈f ].,[ baV
例2 若f在],[ ba上满足Lipschitz条件,
].,[,,)()(
21221
baxxxxMxfxf
i
∈?≤?
其中0>M为一常数,则f是],[ ba上的有界变差函数,
证明 对],[ ba的任一分割,}{
0
n
ii
x
=
我们有
).()(
)()(),(
1
1
1
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1
10
abMxxM
xxMxfxfxxV
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iinf
=?=
≤?=
∑
∑∑
=
=
=
"
因此).()( abMfV
b
a
≤ 所以∈f ].,[ baV
139
下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数,
例3 设
=
≤<
=
.00
,10
1
sin
)(
x
x
x
x
xf
若若
则f是]1,0[上的连续函数,但f在]1,0[上不是有界变差函数,事实上,对任意,1≥n 作
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n
ii
x
0
}{
=
使得
.1,,1,]
2
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1
0
=+?===
niinxxx
in
"
π
π
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∑
∑
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=
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+
+
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1
2
1
1
10
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1
1
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1
sin),(
n
i
n
i
i
i
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x
x
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π
π
π
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2
1
2
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1
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2
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2
)1(
1
n
k
n
k
k
ink
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π
π
π
π
π
令
令∞→n知道.)( +∞=fV
b
a
因此f在]1,0[不是有界变差函数,
定理 2 有界变差函数具有如下性质,
).i(若∈f,],[ baV 则f是有界函数,
).ii(若∈f,],[ baV,
1
R∈α则∈fα,],[ baV 并且
).()( fVfV
b
a
b
a
αα ≤
).iii(若∈gf,,],[ baV 则∈+ gf,],[ baV 并且
).()()( gVfVgfV
b
a
b
a
b
a
+≤+ (1)
).iv(若∈gf,,],[ baV 则∈gf,],[ baV
).v(若∈f,],[ baV 则对任意,c,bca << 成立
).()()( fVfVfV
b
c
c
a
b
a
+= (2)
140
证明 我们只证明)iii(和)v(,)i(,)ii(和)iv(的证明留作习题,
对],[ ba的任一分割,}{
0
n
ii
x
=
我们有
∑
=
+
+=
n
i
iiiingf
xgxfxgxfxxV
1
110
)()()()(),,( "
).()(
)()()()(
1
1
1
1
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xgxgxfxf
b
a
b
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n
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ii
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+≤
+?≤
∑∑
=
=
因此gf +是],[ ba上的有界变差函数,并且(1)式成立,故)iii(得证,
往证)v(成立,对],[ ca的任一分割
n
ii
x
0
}{
=
和],[ bc的任一分割,}{
0
m
ii
x
=
′ 将它们合并后得到],[ ba的一个分割
.
00
bxxcxxa
mn
=′<<′==<<= " "
我们有
).(),,(
)()()()(),,(),,(
0
1
1
1
100
fVxxV
xfxfxfxfxxVxxV
b
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mf
m
i
ii
n
i
iimfnf
≤′=
′?′++?=′′+
∑∑
=
=
"
" "
分别对],[ ca的分割和],[ bc的分割取上确界得到
).()()( fVfVfV
b
a
b
c
c
a
≤+ (3)
另一方面,对任意,0>ε 存在],[ ba的一个分割,}{
0
n
ii
x
=
使得
.)(),,(
0
ε?> fVxxV
b
a
nf
"
设.
1 kk
xcx ≤<
则},,,,{
110
cxxx
k?
"和},,,{
nk
xxc "分别是],[ ca和],[ bc的分割,注意到在
n
ii
x
0
}{
=
中增加一个分点c后,f关于新的分割的变差不会减小,因此我们有
).()(),,,(),,,(
),,,,,,(),,()(
10
100
fVfVxxcVcxxV
xxcxxVxxVfV
b
c
c
a
nkfkf
nkkfnf
b
a
+≤+=
≤<?
" "
" " "ε
由0>ε的任意性得到
).()()( fVfVfV
b
c
c
a
b
a
+≤ (4)
综合(3),(4)两式得到(2)式,因此结论)v(得证.■
设f是],[ ba上的有界变差函数,则对任意],,[ bax∈ 由定理2 )v(知道f也是
],[ xa上的有界变差函数,因此)( fV
x
a
是],[ ba上的实值函数,称之为f的变差函数,由定理
141
2 )v(容易知道)( fV
x
a
是单调增加的,
定理3 (Jordan分解定理) f是],[ ba上的有界变差函数当且仅当f可以表成
,hgf?= 其中g和h是],[ ba上的单调增加的实值函数,
证明 由例1和定理2,充分性是显然的,必要性,设f是],[ ba上的有界变差函数,令
)),()((
2
1
)( xffVxg
x
a
+= )).()((
2
1
)( xffVxh
x
a
= (5)
则.hgf?= 当
12
xx >时,利用定理2 )v(,我们有
).()()(),()()(
122
1
2121
fVfVfVxxVxfxf
x
a
x
a
x
x
f
=≤≤?
因此
).()()()(
21
21
xffVxffV
x
a
x
a
+≤+
这表明).()(
21
xgxg ≤即g是单调增加的.类似可证h也是单调增加的.■
推论4 设f是],[ ba上的有界变差函数,则
(1) f的不连续点的全体至多是一可数集,
(2) f在],[ ba上是Riemann可积的,
(3) f在],[ ba上几乎处处可导并且f ′是Lebesgue可积的,
证明 由§5.1单调函数的相应性质直接可得,
由定理3,每个有界变差函数可以分解成两个单调增加函数
之差,但这种分解显然不是唯一的,例如,若hgf?=是一个这样的分解,则对任意常数
c,)()( chcgf +?+=也是f的一个分解,为避免这种不唯一性,我们令
)),()()((
2
1
)( afxffVxp
x
a
+= )).()()((
2
1
)( afxffVxn
x
a
+?=
则)(xp和)(xn都是单调增加的,并且满足
).()()()( xnxpafxf?=? (6)
).()()( xnxpfV
x
a
+=
我们称(6)式为f的标准分解.分别称)(xp和)(xn为f的正变差函数和负变差函数,
定理5 设f是],[ ba上的有界变差函数,则)( fV
x
a
在],[ ba上是右连续的(或左连续的)
当且仅当f在],[ ba上是右连续的(相应地,左连续的),
证明 我们只证右连续的情形,左连续的情形证明是类似的,
必要性,设)( fV
x
a
在],[ ba上是右连续的,).,[
0
bax ∈ 则对任意,
0
bxx ≤< 利用定理
2 )v(,我们有
142
).()()(),()()(
0
0
00
fVfVfVxxVxfxf
x
a
x
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x
x
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=≤=?
由此知道f在
0
x点是右连续的,
充分性,设f在],[ ba上是右连续的,).,[
0
bax ∈ 对任意,0>ε 存在,0>δ 使得当
),(
00
δ+∈ xxx时,.)()(
0
ε<? xfxf 取区间],[
00
δ+xx的一个分割
,
0100
δ+=<<<= xtttx
n
" 使得
.)()()(
0
0
1
1
ε
δ
>?
+
=
∑
fVtftf
x
x
n
i
ii
(7)
由于
n
ii
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1
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是区间],[
01
δ+xt的一个分割,因此
).()()(
0
1
2
1
fVtftf
x
t
n
i
ii
δ+
=
≤?
∑
(8)
利用(7),(8)两式,我们有
.2)()(
)()()()(
)()()(
01
2
1
1
1
0
1
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++
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i
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于是当],[
10
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1
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0
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x
x
x
a
x
a
因此)( fV
x
a
在
0
x点是右连续的.■
小 结 有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数,它们可以表为两个单调增加的函数之差,与单调函数一样,有界变差函数几乎处处可导并且Lebesgue可积,与单调函数不同,有界变差函数类对线性运算是封闭的,这在分析中具有重要意义,
习 题 习题五,第4题—第14题,
