33
习 题 一
1,证明以下各式,
∪∪∩∪
n
i
n
i
m
j
ji
m
j
ji
c
BABA
BAABA
1111
).().2(
).().1(
====
=?
∩∪=∪
()
∪∪
TtTt
tt
BABA
∈∈
∩=∩,)().3(
,)().4(
∩∪
Tt
t
Tt
t
AEAE
∈∈
=?
,)().5(
∪∩
Tt
t
Tt
t
AEAE
∈∈
=?
).()()().6( CBCACBA ∩?∩=∩?
2,设}{
n
f是
1
R上的一列实值函数,满足,)()(
21
null≤≤ xfxf ∈x
1
R,并设}{
n
f
存在极限函数).(xf 证明对任意实数c,成立
,})(:{})(:{).i(
1
∪
∞
=
>=>
n
n
cxfxcxfx
,})(:{})(:{).ii(
1
∩
∞
=
≤=≤
n
n
cxfxcxfx
3,设}{
n
f是
1
R上的一列实值函数,证明
∩∪∩
11
}.)(:{})(lim:{
≥≥≥
∞→
>=+∞=
km mn
nn
n
kxfxxfx
4,设?E,
n
R ∈a,
n
R 记}.:{ ExxaEa ∈+=+ 证明若∈BA,,
n
R ∈a,
n
R 则
.)().ii(
).()().i(
cc
AaAa
BaAaBAa
+=+
+∩+=∩+
5,设.1),,0(),
1
,0(
212
≥==
nnA
n
A
nn
求.limlim
n
n
n
n
AA
∞→
∞→
和
6,设}{
n
f是
n
R上的一列实值函数,,
n
A R? 并且在
n
R上
).()()( ∞→→ nxIxf
An
证明.}21)(:{lim Axfx
n
n
=≥
∞→
7,设f是X到Y的映射,
Ttt
A
∈
}{是X中的一族集,证明
(i),( ).
tt
tT tT
f AfA
∈∈


=?


∪∪
34
(ii),( ).
tt
tT tT
f AfA
∈∈




∩∩
).iii(给出一个例子,使得).()()( BfAfBAf ∩≠∩
8,设f是X到Y的映射,
Ttt
A
∈
}{是Y中的一族集,.YA? 证明
.)().ii(
.)().i(
11
11
∩∩
∪∪
Tt
t
Tt
t
Tt
t
Tt
t
AfAf
AfAf
∈
∈
∈
∈
=
=
,))(()().iii(
11 cc
AfAf

=
此外,若,,YXf →,,ZYg → 则对ZA?成立
)).(()()().iv(
111
AgfAfg

=null
9,证明关于特征函数的如下等式,
(1),).()()()( xIxIxIxI
BABABA ∩∪
+=
(2),).()()( xIxIxI
BABA
=
∩
(3).若}{
n
A是X的一列互不相交的子集,,
1
∪
∞
=
=
n
n
AA则.)()(
1
∑
∞
=
=
n
AA
xIxI
n
(4),若,,YBXA 则).()()( xIxIxI
BABA
=
×
(5),设}{
n
A是一列集,,lim
n
n
AA
∞→
=,lim
n
n
AB
∞→
=则),(lim)( xIxI
n
A
n
A
∞→
=
).(lim)( xIxI
n
A
n
B
∞→
=
10,设A是无限集,B是可数集,证明若存在一个A到B的单射,f则A是可数集,
11,证明可数集的有限子集的全体是可数集,
12,设)(xf是]1,0[上的实值函数,并且存在,0>M 使得对]1,0[中的任意有限个不同的数,,
1 n
xx null 均有,)()(
1
Mxfxf
n
≤+null 证明}0)(:]1,0[{ ≠∈= xfxA是至多可数集,
提示,
∪
∞
=
=
1
,
k
k
AA 其中}.)(:]1,0[{
1
kk
xfxA >∈=
13,证明以有理数为端点的区间只有可数个,
14,设A是
1
R中的不可数集,证明存在,Ax∈ 使得对任意,0>ε
),( εε +?∩ xxA不是可数集,
提示,利用上题的结果.,
35
15,设A是
1
R中的可数集,证明},:{ AyxyxE ∈?=是可数集,
16,设A是
1
R中的可数集,证明存在∈
0
x,
1
R 使得.)(
0
=+∩ AxA
提示,令},,:{ AyxyxE ∈?= 则.
1
≠?ER
17,证明]1,0[]1,0[ × ~ ].1,0[
18,设}{
n
A是环R中的一列集,证明存在R中一列互不相交的集},{
n
B 使得
∪∪∪∪
∞
=
∞
===
==
1111
.,
i
i
i
i
n
i
i
n
i
i
BABA
19,证明,集类A是一个代数当且仅当A是一个包含全空间X的环.,
20,若F为代数并且对不相交可数并运算封闭,则F为?σ代数,
21,设X是一无限集,证明
).i( 令
A }.:{是有限集或
c
AAA=
则A是X上的一个代数,但不是σ -代数,
).ii(令
F AA:{=或
c
A是至多可数集}
证明F是代数?σ,
22,设F是X上的?σ代数,.XE? 令}.:{ FF ∈∩= AAE
E
证明
E
F是E上的
σ代数,
23,设A是X的一个非空真子集,证明)(Aσ },,,{
c
AAX?=,
24,举例说明X上的两个?σ代数的并不一定是?σ代数,
25,设.XA? 令}.:{ XEAE=C 求).(Cσ
26,设C为一半环,)(CR是由C生成的环,证明)).(()( CRC σσ =
27,设C是一非空集类,证明对每个∈A ),(Cσ 都存在中一列集},{
n
A 使得
).1,( ≥∈ nAA
n
σ
提示,令F ={A,存在,}{ C?
n
A使得)}1,( ≥∈ nAA
n
σ,证明F是包含的C
的?σ代数,
28,设YXf →:是X到Y的映射,C是Y上的集类,证明
)).(())((
11
CC σσ

= ff
其中}.:)({)(
11
CC ∈=

EEff
提示,令F ))}.(()(),(:{
11
CC

∈∈= fAfAA σσ 则F是一个?σ代数,
29,设∈
0
x
n
R,r>0,证明
).i(
0
x的邻域?r ),(
0
rxU是开集,
).ii(),(
0
rxS = }),(:{
0
rxxdx ≤是闭集,
36
).iii( ).,(),(
00
rxSrxU =
30,设?BA,.
n
R 证明
).i(,)(
nullnullnull
BABA ∩=∩
).ii(,)( BABA ′∪′=′∪,BABA ∪=∪
31,设?A,
n
R 证明A的闭包A和A的导集A′都是闭集,
32,设?BA,,
n
R,?=∩BA 证明.?=∩
null
BA
33,证明定理1.4.9,
34,设?A,
n
R ∈x,
n
R 定义x与A的距离为),(inf),( yxdAxd
Ay∈
=,证明,
).i( 函数),()( Axdxf =是
n
R上的连续函数,
).ii( 若A是闭集,.Ax? 则.0),( >Axd
).iii( 若A是有界闭集,则对任意∈x,
n
R 存在Ay ∈
0
使得
).,(),(
0
Axdyxd =
35,设)(xf是
n
R上的实值函数,证明)(xf在
n
R上连续的充要条件是对任意
常数c,集})(:{ cxfx ≤和})(:{ cxfx ≥都是闭集,
36,证明,每个闭集可以表示成可数个开集的交,每个开集可表示成可数个闭集的并,
37,证明空集和全直线是直线上仅有的又开又闭的集,
提示,利用直线上开集的构造定理,
38,设?A,
n
R 证明若A′是可数集,则A是可数集,
提示,先证明若,?=′A 则A是有限集或者可数集,
39,设f是
1
R上的实值函数,证明f的连续点的全体是一个
δ
G型集,
提示,.})(lim:{
1
∩
∞
=
→
=
n
n
ax
Gxfa存在并且有限 其中
}.
1
)()(),,(,,0:{
n
xfxfaUxxaG
n
<′′?′∈′′′?>?= δδ
40,设}{
n
f是
1
R上的一列连续函数,证明}0)(lim:{ >
∞→
xfx
n
n
是
σ
F型集,
})(lim:{ +∞=
∞→
xfx
n
n
是
δ
G型集,
提示,0)(lim >
∞→
xf
n
n
当且仅当存在N∈k和,N∈m 使得对任意
,mn ≥,1)( kxf
n
≥
41,设f是],[ ba上单调增加的实值函数,使得)],[( baf在)](),([ bfaf中稠密,
证明f在],[ ba上连续,
42,分别在以下情形下,证明)()(
1
RBC =σ,
37
(1),C是直线上型如),[ ∞+a区间的全体,
(2),C是直线上有界左开右闭区间],( ba的全体,
(3),C是直线上有界左开右闭区间],( ba的全体生成的环,即
}.1],(,],,(:],({,
11
1
≥=
=
kbababa
kk
k
i
ii
互不相交其中null
∪
C
43,设?A,
n
R ∈
0
x,
n
R 证明若∈A ),(
n
RB 则∈+ Ax
0
).(
n
RB其中
}.:{
00
AxxxAx ∈+=+
提示,设C是直线上有界左开右闭区间],( ba的全体,令
F )}(:)({
0
nn
AxA RR BB ∈+∈=,
证明F是包含的C的?σ代数,