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习 题 三
在以下各题中,可测集,可测函数和测度,除题目中已有说明的外,都是关于某一给定的可测空间),( FX或测度空间),,( μFX的,
1,试分别给出具有如下性质的可测空间),( FX,
(1) X上的每个函数都是可测的,
(2) 只有常数函数是可测的,
2,证明,(1).若f在E上可测,则对E的任意可测子集A,f在A上可测,
(2),若
1
E和
2
E是可测集,f在
1
E和
2
E上可测,则f在
21
EE ∪上可测
3,设f是
1
R上的函数,证明f是L可测的当且仅当对任意有理数,r }{ rf <是
L可测集,若把条件减弱为对任意有理数,r }{ rf =是L可测集,f是否一定是L可测的?
4,设f和g都是可测函数,并且)(xg处处不等于零,证明
g
f
是可测函数,
5,作出]1,0[上的一个函数f,使得f是L可测的,但f不是L可测的,
6,证明若
2
f可测,}0{ ≥f是可测集,则f可测,
7,设f为完备的测度空间),,( μFX上的可测函数,g为X上的函数,若
a.e.,gf = 则g是可测函数,当),,( μFX不完备时,结论是否成立?,
8,证明函数
=
.
,
)(
3
为无理数若为有理数若
xx
xx
xf
是]1,0[上的L可测函数,
9,设f是),( FX上的实值可测函数,g是
1
R上的Borel可测函数,证明复合函数
))(( xfg是),( FX上的可测函数,
10,设f和g是),( FX上的两个实值可测函数,h是
2
R上的连续函数,证明复合函
数),( gfh是),( FX上的可测函数,
11,设f是定义在),( ba上的函数,若f在每个),(],[ ba?βα上是L可测的,则
f在),( ba上是L可测的,
12,设f是],[ ba上的可微函数,证明f ′是],[ ba上的L可测函数,
13,设f是
n
R上的L可测函数,证明对任意∈y,
n
R )( yxf +是
n
R上的L可测
函数,
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提示,先设
A
If =是特征函数,
14,举例说明,一族可测函数}:{ Itf
t
∈的上确界函数
t
It
ff
∈
= sup不一定可测,
15,举例说明,若f是
1
R上的L可测函数,A是
1
R中的L可测集,)(
1
Af
不
一定是L可测集,
提示,利用§3.1例6中的结果.,
16,设),( FX是一可测空间,),( txf是定义在]1,0[×X上的函数,若对每个
],1,0[∈t ),( txf对x可测,对每个,Xx∈ ),( txf对t连续,证明),(max)(
10
txfxg
t≤≤
=
是可测函数,
17,证明§3.1定理.7和定理.8,
18,设f和g是定义在
1
R上的两个连续函数,证明若f和g (关于L测度)几乎处
处相等,则f和g处处相等,
19,设f和g是)1,0(上单调减少的左连续函数,若对任意∈c
1
R总有
}),({})({ cgmcfm ≥=≥ 证明).1,0(),()( ∈= xxgxf
20,设f是有限测度空间),,( μFX上的a.e.有限的可测函数,证明对任意,0>δ 存
在可测集,XA?
δ
使得,)( δ
δ
<? AXm 并且在
δ
A上,f有界,
21,设}{
n
f是一列可测函数,证明)(lim:{ xfxA
n
n ∞→
=存在并且有限}是可测集,
22,设)(
n
f是可测函数列,证明,
(1) 若a.e.,,,
a.e.a.e.
gfgfff
nn
=?→→?则
(2) 若,,gfff
nn
→→?
μμ
则a.e.,gf =
23,证明,(1) 若,
a.un.
ff
n
→? 则.
a.e.
ff
n
→?
(2) 若,
a.un.
ff
n
→? 则.ff
n
→?
μ
24,证明若,ff
n
→?
μ
则a.e.,limlim
n
n
n
n
fff
∞→
∞→
≤≤
25,证明若,,ggff
nn
→→?
μμ
则
.,)().4(
.).3(
)(.).2(
,).1(
fggfX
gfgf
ff
ff
nn
nn
n
n
→?+∞<
+?→?+
→?
→?
μ
μ
μ
μ
μ
ααα
则若是常数
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26,设,ff
n
→?
μ
).1(a.e.
1
≥≤
+
nff
nn
证明.
a.e.
ff
n
→?
27,设}{
k
E是一列可测集使得.)(
1
∑
∞
=
+∞<
k
k
Eμ 若在每个
k
E上,ff
n
→?
μ
证明
在
∪
∞
=
=
1k
k
EE上.ff
n
→?
μ
28,设f是几乎处处有限的可测函数,证明存在有界可测函数列},{
n
f 使得
.ff
n
→?
μ
29,设F是
n
R中的闭集,试作
n
R上的连续函数列},{
k
f 使得
),()(lim xIxf
Fk
k
=
∞→
∈x,
n
R
提示,先作一列开集},{
k
G 使得.
1
∩
∞
=
=
k
k
GF
30,设f是定义在],[ ba上的a.e.有限的L可测函数,证明存在],[ ba上的一列连续
函数},{
n
g 使得,a.e.fg
n
→ 并且.1,)(sup)(sup ≥≤
≤≤≤≤
nxfxg
bxa
n
bxa
31,设f是定义在L可测集?E
n
R上的函数,若对任给的,0>δ 存在闭集
,EF?
δ
使得,)( δ
δ
<?FEm并且f在
δ
F上连续,则f是E上的L可测函数,