125
习 题 四
在以下各题中,除题目中已有说明的外,可测函数的积分都是关于给定的测度空间
),,( μFX的,
1,设
≥
<
=
.1,
,1,0
)(
2
xx
x
xF
F
μ是由F导出的L-S测度,计算
(0,)
.
F
fdμ
+∞
∫
其中
.)(
]2,1(}1{)1,(
cIbIaIxf ++=
∞
2,设
n
AA,,
1
null是]1,0[中的n个Lebesgue可测集,若每个]1,0[∈x至少于这n
个集中的q个,则必存在某个,
i
A 使得.)(
n
q
Am
i
≥
3,设f是]2,0[ π上的L可测函数并且
2
0
()ln(1 ()),fx fx dx
π
+<+∞
∫
证明f是]2,0[ π上的L可积函数,
4,设
1
μ和
2
μ是可测空间),( FX上的两个测度,证明
).i(
21
μμ +是),( FX上的测度,
).ii( 若f关于
1
μ和
2
μ都可积,则f关于
21
μμ +可积,并且
∫∫∫
+=+,)(
2121
μμμμ fdfdfd
5,设f为可测函数,若存在正测度集,A 使得当Ax∈时,,0)( >xf 则
0.
A
fdμ>
∫
6,证明,).i(设f为可测函数,若对每个可测集,A 均有0,
A
fdx≥
∫
则
a.e.0≥f
).ii( 设f和g是可积函数并且对任意可测集A,成立
.
AA
fdgdμ μ=
∫∫
则a.e..gf =
7,设)(
n
f为可积函数列,f为可测函数,若.0lim =?
∫
∞→
μdff
n
n
则f可积,
8,设)1(,≥nff
n
为可测函数,若,0lim =?
∫
∞→
μdff
n
n
则.ff
n
→?
μ
9,设f为有限测度空间上的可测函数,则f可积的充要条件是对任给的,0>ε 存
在,0>k 使得
{}
.
fk
fdμ ε
≥
<
∫
126
提示,利用积分的绝对连续性,
10,设f为可测函数,证明f可积的必有条件是
.})1({
1
+∞<+<≤
∑
∞
=n
nfnnμ
当+∞<)(Xμ时,上述条件也是充分条件,
11,若f为可积函数,则.0})({lim =≥
+∞→
nfn
n
μ
12,设f为有限测度空间上的可测函数,则f可积的充要条件是
.})({
1
+∞<≥
∑
∞
=n
nfμ
13,设f为有限测度空间上的可测函数,则f可积的充要条件是
.})2({2
0
+∞<≥
∑
∞
=n
nn
fμ
14,设f为有限测度空间上的可测函数,并且存在0>M和,1>α 使得
.0,})({ >≤≥ λ
λ
λμ
α
M
f
证明f可积,
15,设)1(,≥nff
n
为可积函数,若对每个可测集A均有
1
,1,
nn
AA
fd f d nμμ
+
≤≥
∫∫
并且lim,
n
n AA
f dfdμ μ
→+∞
=
∫∫
则.
a.e.
ff
n
→?
16,设)1(,≥nff
n
为可测函数.,
a.e.
ff
n
→? 若
∫
+∞<
≥
,sup
1
μdf
n
n
则f可积,
17,设)1(,≥nff
n
为可测函数,.
a.e.
ff
n
→? 若存在可积函数g,使得
1),a.e.( ≥≤ ngf
n
则.0lim =?
∫
+∞→
μdff
n
n
18,设}{
n
f是可测函数列,并且
∑
∫
∞
=
+∞<
1
.
n
n
df μ 则
∑
∞
=1n
n
f可积,并且
.
11
μμ
∑
∫∫
∑
∞
=
∞
=
=
n
n
n
n
dfdf
19,设)1(,≥nff
n
为非负可测函数列,.ff
n
→?
μ
证明
∫∫
∞→
≤,lim μμ dfdf
n
n
20,设级数
∑
∞
=1n
n
a绝对收敛,证明
∑
∞
=1n
n
a可以表示成)),(,( μNN P上一个可积函数的
127
积分,
21,设)1(,≥nff
n
为非负可积函数,满足,
a.e.
ff
n
→?
∫∫
=
+∞→
,lim μμ dfdf
n
n
,证明,对任意可测集,XE? 成立
lim,
n
n EE
f dfdμ μ
→+∞
=
∫ ∫
提示,注意).1(20 ≥≤?+?≤ nfffff
nn
22,举例说明在Fatou引理中,不等号可能成立,
23,设}{
n
A是一列可测集并且.)(
1
+∞<
∑
∞
=n
n
Aμ 证明对几乎所有,Xx∈ x只属于
有限个.
n
A
24,设f是有限测度空间X上的可测函数,.,)( Xxdxfc ∈≤≤对任意,1≥n
设dyyyc
n
=<<<= null
10
将],[ dc分成n个长度相等的小区间,证明
.})({lim
1
11∑
∫
=
∞→
<≤=
n
i
iii
n
yfyyfd μμ
(试将上式与Riemann积分的定义比较),
25,设}{
n
f是有限测度空间),,( μFX上的可测函数列,证明
∫
→
+
0
1
μd
f
f
n
n
当且仅当.0?→?
μ
n
f
26,设f是),0[ ∞+上的L可积函数,并且f在),0[ ∞+上一致连续,证明
).(0)( +∞→→ xxf
27,设f是]1,0[上的L可积函数,若对任意)10( ≤≤ cc,总有
[0,]
0,
c
fdx=
∫
则a.e.0=f
28,设f在],[ ba上Riemann可积,g是
1
R上的连续函数,证明))(( xfg在],[ ba
上Riemann可积,
29,证明
x
exf
=)(在),0[ ∞+上L可积,并且求其L积分,
30,证明Riemann函数
=
=
.
,
0
,,
1
)(
是无理数若互质若
x
nm
n
m
x
n
xf
在]1,0[上是Riemann可积的,
128
31,当0>α为何值时,函数
α
x
x
xf
sin
)( =在),1[ ∞+上是L可积的,
32,设K为]1,0[中的Cantor集,当Kx∈时定义,)(
2
xxf = 当x属于K?]1,0[
中长为
n
3
1
的开区间时定义.
2
1
)(
n
xf = 计算
1
0
(),f xdx
∫
33,设f和g在],[ ba上Riemann可积,并且在],[ ba的一个稠密子集上相等,证
明f和g在],[ ba上积分相等,
34,设f是
1
R上的L可积函数,,0)0( =f )0(f ′存在并且有限,证明
x
xf )(
在
1
R上是L可积的,
35,计算
1
0
(),f xdx
∫
其中
=
.
,
1
)(
3
为无理数若为有理数若
x
x
xx
xf
36,设f是]1,0[上的单调增加函数,E是]1,0[中的L可测集并且.)( tEm = 证
明
0
() (),
t
E
f xdx f xdx≤
∫∫
37,用Lebesgue积分的性质证明
1
2
0
1
arctg 1
(1),
(2 1)
n
n
x
dx
xn
∞
=
=?
∑
∫
38,设,)1()(
1
nxf
n+
=,,2,1,
1
1
1
null=≤<
+
n
n
x
n
,0)0( =f 证明f在]1,0[
上是广义Riemann可积的,但不是Lebesgue可积的,
39,设,bca << ).()(
),[
xIxF
c +∞
= 又设f是],[ ba上的有界实值函数,证明在
],[ ba上关于F L-S可积当且仅当f在cx =连续,并且当f在cx =连续时,
() () ().
b
a
f xdFx fc=
∫
40,设f在],[ hbha +?是Lebesgue可积的,证明
0
lim ( ) ( ) 0.
b
t a
fx t fxdx
→
+? =
∫
提示:利用定理4.5.2,
41,设f是
1
R上的L可积函数,g是
1
R上的有界L可测函数,证明函数
1
() ( ) ( ),
R
I tfxtgxdx=+
∫
∈t,
1
R
是
1
R上的连续函数,
129
42,设f是
1
R上的可积函数,并且对任意具有紧支集的连续函数g,有
1
()() 0.
R
fxgxdx=
∫
证明0=f a.e.,
43,设.,1,,,XxnYXEFE
n
∈≥×∈ 证明
.)()2(
.)()()1(
11
xxx
n
xnx
n
n
FEFE
EE
=?
=
∞
=
∞
=
∪∪
44,设),( AX和),( BY是两个可测空间,)(xf和)(yg分别是),( AX和
),( BY上的可测函数,证明)()(),( ygxfyxh =是),( BA××YX上的可测函数,
45,设),,( μFX是一完备的?σ有限的测度空间,)),(,(
11
mRR M是一维
L测度空间,),( txf是),,
1
mX
m
××
×
μ
μ
MR(上的可测函数,若对几乎所有∈t
1
R,
),( tf?是a.e.?μ有 限的,则对几乎所有Xx∈,),(?xf是a.e.?m有限的,
提示,令},),(:),{( +∞== txftxA则.}),(:{
x
Axtft =+∞= 考虑).)(( Am μ×
46,设),( AX和),( BY是两个可测空间,μ是),( BA××YX上的测度.令
.),()(
1
A∈×= AYAA μμ
证明,(1)
1
μ是),( AX上的测度,(2) 若)(xf是),( AX上的可积函数,则
1
() (),
XXY
f xd fxdμ μ
×
=
∫∫
提示,(2)先考虑特征函数,
47,设)(xf和)(yg分别是?σ有限测度空间),,( μAX和
),,( μBY上的可积函数.证明)()(),( ygxfyxh =是),,( νμ××× BAYX上的可积函数,
并且
12 1 2
.
()
XY X Y
hd f d gdμ μμμ
×
×=?
∫∫∫
,
48,用Fubini定理证明当0≥
mn
a或者
∑∑
∞
=
∞
=
+∞<
11nm
mn
a时,成立
.
1111
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
mn
mn
nm
mn
aa
49,证明
2
2
[0,) [0,)
.
(1 )(1 ) 2
dxdy
yxy
+∞ × +∞
=
++
∫
π
50,计算
22
0
1
()(0).
ax bx
I eedxab
x
+∞
=? <
∫
51,设=),( yxf,
)(
222
22
yx
yx
+
),0,0(),( ≠yx,0)0,0( =f 证明
130
11 11
00 00
(,) (,),f x y dx dy f x y dy dx
≠
∫∫ ∫∫
52,计算积分
22
(1 )
00
xy
I ye dxdy
+∞ +∞
+
=
∫∫
,并且由此证明
2
0
.
2
x
edx
π
+∞
=
∫
53,设),( yxf在]1,0[]1,0[ ×上L可积,证明
111
00 0
(,) (,),
x
y
dx f x y dy dy f x y dx=
∫∫ ∫∫
54,设f在],0[ a上L可积,
()
(),
a
x
ft
gx dt
t
=
∫
证明
00
.
aa
gdx fdx=
∫ ∫
,
提示,
[,]
0
()
() (),
a
xa
ft
gx I tdt
t
=
∫
55,设E是
n
R上的L可测集,f是E上有界的L可测函数,并且存在0>M和
,10 <<α 使得
,}))(,({
α
λ
λ
M
xfExm <>∈,0>λ
证明f在E上L可积,
56,设f是
1
R上的L可积函数,.0>α 证明a.e..0)(
1
→nxf
n
α
提示,先证明
1
1
1
(),
R
n
fnxdx
n
α
∞
=
<+∞
∑
∫
57,设),( AX和),( BY是两个可测空间,f是X到Y的映射,使得对任意
,B∈B 都有A∈
)(
1
Bf (称f是),( AX到),( BY的可测映射),又设若μ是),( AX上的测度,证明,
).i( (逆像测度)集函数
B∈=
BBfB )),(()(
1
μν
是),( BY上的测度(称之为μ关于f的逆像测度),
).ii( (积分的变量代换公式) 若g是),( BY上的可测函数,则成立
(),
XY
gfd gdμ ν=
∫∫
上式表示当等式一边的积分存在时,等式另一边的积分也存在,并且两边相等,
提示,先对
B
Ig =是特征函数证明,
58,设}{
n
f是可测函数列,称}{
n
f是一致可积的,若
{}
1
lim sup 0.
n
n
k fk
n
fdμ
→∞ >
≥
=
∫
131
证明,}{
n
f是一致可积的当且仅当}{
n
f满足
).i( }{
n
f是一致积分绝对连续的,即对任意,0>ε 存在,0>δ 使得当,F∈A
δμ <)(A时,成立(1).
n
A
fd nμε<≥
∫
).ii(}{
n
f是一致积分有界的,即.sup
1
+∞<
∫
≥
μdf
n
n
59,设}{
n
f是可测函数列,证明若}{
n
f满足以下条件之一,
).i( 存在可积函数,g 使得.1,a.e,≥≤ ngf
n
).ii( 存在1>p使得
∫
+∞<
≥
.sup
1
μdf
p
n
n
则}{
n
f是一致可积的,
60,设+∞<)(Xμ,}{
n
f是可积函数列,f为可测函数,证明,
).i(若}{
n
f是一致可积的并且,ff
n
→?
μ
则f是可积的并且
∫
=?
∞→
.0lim μdff
n
n
).ii(若f可积并且
∫
=?
∞→
,0lim μdff
n
n
则}{
n
f是一致可积的并且.ff
n
→?
μ
).iii(利用这个结果,给出当+∞<)(Xμ时控制收敛定理的另一个证明,
提示,利用定理3.2.5,Fatou引理和等式
.
CC
nn n
AAA
f fdffdfdfdμ μμμ?≤?+ +
∫∫∫∫
61,叙述并且证明关于复值可测函数积分的控制收敛定理,
习 题 四
在以下各题中,除题目中已有说明的外,可测函数的积分都是关于给定的测度空间
),,( μFX的,
1,设
≥
<
=
.1,
,1,0
)(
2
xx
x
xF
F
μ是由F导出的L-S测度,计算
(0,)
.
F
fdμ
+∞
∫
其中
.)(
]2,1(}1{)1,(
cIbIaIxf ++=
∞
2,设
n
AA,,
1
null是]1,0[中的n个Lebesgue可测集,若每个]1,0[∈x至少于这n
个集中的q个,则必存在某个,
i
A 使得.)(
n
q
Am
i
≥
3,设f是]2,0[ π上的L可测函数并且
2
0
()ln(1 ()),fx fx dx
π
+<+∞
∫
证明f是]2,0[ π上的L可积函数,
4,设
1
μ和
2
μ是可测空间),( FX上的两个测度,证明
).i(
21
μμ +是),( FX上的测度,
).ii( 若f关于
1
μ和
2
μ都可积,则f关于
21
μμ +可积,并且
∫∫∫
+=+,)(
2121
μμμμ fdfdfd
5,设f为可测函数,若存在正测度集,A 使得当Ax∈时,,0)( >xf 则
0.
A
fdμ>
∫
6,证明,).i(设f为可测函数,若对每个可测集,A 均有0,
A
fdx≥
∫
则
a.e.0≥f
).ii( 设f和g是可积函数并且对任意可测集A,成立
.
AA
fdgdμ μ=
∫∫
则a.e..gf =
7,设)(
n
f为可积函数列,f为可测函数,若.0lim =?
∫
∞→
μdff
n
n
则f可积,
8,设)1(,≥nff
n
为可测函数,若,0lim =?
∫
∞→
μdff
n
n
则.ff
n
→?
μ
9,设f为有限测度空间上的可测函数,则f可积的充要条件是对任给的,0>ε 存
在,0>k 使得
{}
.
fk
fdμ ε
≥
<
∫
126
提示,利用积分的绝对连续性,
10,设f为可测函数,证明f可积的必有条件是
.})1({
1
+∞<+<≤
∑
∞
=n
nfnnμ
当+∞<)(Xμ时,上述条件也是充分条件,
11,若f为可积函数,则.0})({lim =≥
+∞→
nfn
n
μ
12,设f为有限测度空间上的可测函数,则f可积的充要条件是
.})({
1
+∞<≥
∑
∞
=n
nfμ
13,设f为有限测度空间上的可测函数,则f可积的充要条件是
.})2({2
0
+∞<≥
∑
∞
=n
nn
fμ
14,设f为有限测度空间上的可测函数,并且存在0>M和,1>α 使得
.0,})({ >≤≥ λ
λ
λμ
α
M
f
证明f可积,
15,设)1(,≥nff
n
为可积函数,若对每个可测集A均有
1
,1,
nn
AA
fd f d nμμ
+
≤≥
∫∫
并且lim,
n
n AA
f dfdμ μ
→+∞
=
∫∫
则.
a.e.
ff
n
→?
16,设)1(,≥nff
n
为可测函数.,
a.e.
ff
n
→? 若
∫
+∞<
≥
,sup
1
μdf
n
n
则f可积,
17,设)1(,≥nff
n
为可测函数,.
a.e.
ff
n
→? 若存在可积函数g,使得
1),a.e.( ≥≤ ngf
n
则.0lim =?
∫
+∞→
μdff
n
n
18,设}{
n
f是可测函数列,并且
∑
∫
∞
=
+∞<
1
.
n
n
df μ 则
∑
∞
=1n
n
f可积,并且
.
11
μμ
∑
∫∫
∑
∞
=
∞
=
=
n
n
n
n
dfdf
19,设)1(,≥nff
n
为非负可测函数列,.ff
n
→?
μ
证明
∫∫
∞→
≤,lim μμ dfdf
n
n
20,设级数
∑
∞
=1n
n
a绝对收敛,证明
∑
∞
=1n
n
a可以表示成)),(,( μNN P上一个可积函数的
127
积分,
21,设)1(,≥nff
n
为非负可积函数,满足,
a.e.
ff
n
→?
∫∫
=
+∞→
,lim μμ dfdf
n
n
,证明,对任意可测集,XE? 成立
lim,
n
n EE
f dfdμ μ
→+∞
=
∫ ∫
提示,注意).1(20 ≥≤?+?≤ nfffff
nn
22,举例说明在Fatou引理中,不等号可能成立,
23,设}{
n
A是一列可测集并且.)(
1
+∞<
∑
∞
=n
n
Aμ 证明对几乎所有,Xx∈ x只属于
有限个.
n
A
24,设f是有限测度空间X上的可测函数,.,)( Xxdxfc ∈≤≤对任意,1≥n
设dyyyc
n
=<<<= null
10
将],[ dc分成n个长度相等的小区间,证明
.})({lim
1
11∑
∫
=
∞→
<≤=
n
i
iii
n
yfyyfd μμ
(试将上式与Riemann积分的定义比较),
25,设}{
n
f是有限测度空间),,( μFX上的可测函数列,证明
∫
→
+
0
1
μd
f
f
n
n
当且仅当.0?→?
μ
n
f
26,设f是),0[ ∞+上的L可积函数,并且f在),0[ ∞+上一致连续,证明
).(0)( +∞→→ xxf
27,设f是]1,0[上的L可积函数,若对任意)10( ≤≤ cc,总有
[0,]
0,
c
fdx=
∫
则a.e.0=f
28,设f在],[ ba上Riemann可积,g是
1
R上的连续函数,证明))(( xfg在],[ ba
上Riemann可积,
29,证明
x
exf
=)(在),0[ ∞+上L可积,并且求其L积分,
30,证明Riemann函数
=
=
.
,
0
,,
1
)(
是无理数若互质若
x
nm
n
m
x
n
xf
在]1,0[上是Riemann可积的,
128
31,当0>α为何值时,函数
α
x
x
xf
sin
)( =在),1[ ∞+上是L可积的,
32,设K为]1,0[中的Cantor集,当Kx∈时定义,)(
2
xxf = 当x属于K?]1,0[
中长为
n
3
1
的开区间时定义.
2
1
)(
n
xf = 计算
1
0
(),f xdx
∫
33,设f和g在],[ ba上Riemann可积,并且在],[ ba的一个稠密子集上相等,证
明f和g在],[ ba上积分相等,
34,设f是
1
R上的L可积函数,,0)0( =f )0(f ′存在并且有限,证明
x
xf )(
在
1
R上是L可积的,
35,计算
1
0
(),f xdx
∫
其中
=
.
,
1
)(
3
为无理数若为有理数若
x
x
xx
xf
36,设f是]1,0[上的单调增加函数,E是]1,0[中的L可测集并且.)( tEm = 证
明
0
() (),
t
E
f xdx f xdx≤
∫∫
37,用Lebesgue积分的性质证明
1
2
0
1
arctg 1
(1),
(2 1)
n
n
x
dx
xn
∞
=
=?
∑
∫
38,设,)1()(
1
nxf
n+
=,,2,1,
1
1
1
null=≤<
+
n
n
x
n
,0)0( =f 证明f在]1,0[
上是广义Riemann可积的,但不是Lebesgue可积的,
39,设,bca << ).()(
),[
xIxF
c +∞
= 又设f是],[ ba上的有界实值函数,证明在
],[ ba上关于F L-S可积当且仅当f在cx =连续,并且当f在cx =连续时,
() () ().
b
a
f xdFx fc=
∫
40,设f在],[ hbha +?是Lebesgue可积的,证明
0
lim ( ) ( ) 0.
b
t a
fx t fxdx
→
+? =
∫
提示:利用定理4.5.2,
41,设f是
1
R上的L可积函数,g是
1
R上的有界L可测函数,证明函数
1
() ( ) ( ),
R
I tfxtgxdx=+
∫
∈t,
1
R
是
1
R上的连续函数,
129
42,设f是
1
R上的可积函数,并且对任意具有紧支集的连续函数g,有
1
()() 0.
R
fxgxdx=
∫
证明0=f a.e.,
43,设.,1,,,XxnYXEFE
n
∈≥×∈ 证明
.)()2(
.)()()1(
11
xxx
n
xnx
n
n
FEFE
EE
=?
=
∞
=
∞
=
∪∪
44,设),( AX和),( BY是两个可测空间,)(xf和)(yg分别是),( AX和
),( BY上的可测函数,证明)()(),( ygxfyxh =是),( BA××YX上的可测函数,
45,设),,( μFX是一完备的?σ有限的测度空间,)),(,(
11
mRR M是一维
L测度空间,),( txf是),,
1
mX
m
××
×
μ
μ
MR(上的可测函数,若对几乎所有∈t
1
R,
),( tf?是a.e.?μ有 限的,则对几乎所有Xx∈,),(?xf是a.e.?m有限的,
提示,令},),(:),{( +∞== txftxA则.}),(:{
x
Axtft =+∞= 考虑).)(( Am μ×
46,设),( AX和),( BY是两个可测空间,μ是),( BA××YX上的测度.令
.),()(
1
A∈×= AYAA μμ
证明,(1)
1
μ是),( AX上的测度,(2) 若)(xf是),( AX上的可积函数,则
1
() (),
XXY
f xd fxdμ μ
×
=
∫∫
提示,(2)先考虑特征函数,
47,设)(xf和)(yg分别是?σ有限测度空间),,( μAX和
),,( μBY上的可积函数.证明)()(),( ygxfyxh =是),,( νμ××× BAYX上的可积函数,
并且
12 1 2
.
()
XY X Y
hd f d gdμ μμμ
×
×=?
∫∫∫
,
48,用Fubini定理证明当0≥
mn
a或者
∑∑
∞
=
∞
=
+∞<
11nm
mn
a时,成立
.
1111
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
mn
mn
nm
mn
aa
49,证明
2
2
[0,) [0,)
.
(1 )(1 ) 2
dxdy
yxy
+∞ × +∞
=
++
∫
π
50,计算
22
0
1
()(0).
ax bx
I eedxab
x
+∞
=? <
∫
51,设=),( yxf,
)(
222
22
yx
yx
+
),0,0(),( ≠yx,0)0,0( =f 证明
130
11 11
00 00
(,) (,),f x y dx dy f x y dy dx
≠
∫∫ ∫∫
52,计算积分
22
(1 )
00
xy
I ye dxdy
+∞ +∞
+
=
∫∫
,并且由此证明
2
0
.
2
x
edx
π
+∞
=
∫
53,设),( yxf在]1,0[]1,0[ ×上L可积,证明
111
00 0
(,) (,),
x
y
dx f x y dy dy f x y dx=
∫∫ ∫∫
54,设f在],0[ a上L可积,
()
(),
a
x
ft
gx dt
t
=
∫
证明
00
.
aa
gdx fdx=
∫ ∫
,
提示,
[,]
0
()
() (),
a
xa
ft
gx I tdt
t
=
∫
55,设E是
n
R上的L可测集,f是E上有界的L可测函数,并且存在0>M和
,10 <<α 使得
,}))(,({
α
λ
λ
M
xfExm <>∈,0>λ
证明f在E上L可积,
56,设f是
1
R上的L可积函数,.0>α 证明a.e..0)(
1
→nxf
n
α
提示,先证明
1
1
1
(),
R
n
fnxdx
n
α
∞
=
<+∞
∑
∫
57,设),( AX和),( BY是两个可测空间,f是X到Y的映射,使得对任意
,B∈B 都有A∈
)(
1
Bf (称f是),( AX到),( BY的可测映射),又设若μ是),( AX上的测度,证明,
).i( (逆像测度)集函数
B∈=
BBfB )),(()(
1
μν
是),( BY上的测度(称之为μ关于f的逆像测度),
).ii( (积分的变量代换公式) 若g是),( BY上的可测函数,则成立
(),
XY
gfd gdμ ν=
∫∫
上式表示当等式一边的积分存在时,等式另一边的积分也存在,并且两边相等,
提示,先对
B
Ig =是特征函数证明,
58,设}{
n
f是可测函数列,称}{
n
f是一致可积的,若
{}
1
lim sup 0.
n
n
k fk
n
fdμ
→∞ >
≥
=
∫
131
证明,}{
n
f是一致可积的当且仅当}{
n
f满足
).i( }{
n
f是一致积分绝对连续的,即对任意,0>ε 存在,0>δ 使得当,F∈A
δμ <)(A时,成立(1).
n
A
fd nμε<≥
∫
).ii(}{
n
f是一致积分有界的,即.sup
1
+∞<
∫
≥
μdf
n
n
59,设}{
n
f是可测函数列,证明若}{
n
f满足以下条件之一,
).i( 存在可积函数,g 使得.1,a.e,≥≤ ngf
n
).ii( 存在1>p使得
∫
+∞<
≥
.sup
1
μdf
p
n
n
则}{
n
f是一致可积的,
60,设+∞<)(Xμ,}{
n
f是可积函数列,f为可测函数,证明,
).i(若}{
n
f是一致可积的并且,ff
n
→?
μ
则f是可积的并且
∫
=?
∞→
.0lim μdff
n
n
).ii(若f可积并且
∫
=?
∞→
,0lim μdff
n
n
则}{
n
f是一致可积的并且.ff
n
→?
μ
).iii(利用这个结果,给出当+∞<)(Xμ时控制收敛定理的另一个证明,
提示,利用定理3.2.5,Fatou引理和等式
.
CC
nn n
AAA
f fdffdfdfdμ μμμ?≤?+ +
∫∫∫∫
61,叙述并且证明关于复值可测函数积分的控制收敛定理,
