38
第二章 测度与测度的构造
我们知道Riemann积分的几何意义是曲边梯形的面积,为在欧氏空间空间
n
R上推广
Riemann积分的理论,我们必须把象长度,面积和体积等概念推广到
n
R中的更一般的集上去,本章将要定义的
n
R上的Lebesgue测度就是长度,面积和体积等概念推广,
§2.1 测度与测度的性质
教学目的 给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的基本性质.Lebesgue测度和Lebesgue-Stieljes测度是本节定义的测度最重要的特例,将在§2.3中介绍,
本节要点 本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度.应通过一些例子,使学生理解测度的意义,
广义实数集 测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值.为此引进,∞+,和
,∞?,两个符号,称之为广义实数.规定它们与实数a之间的大小关系和四则运算如下,
(1) 序关系,.+∞<<∞? a
(2) 加法,.)()()()( ±∞=±∞+±∞=+±∞=±∞+ aa
(3) 乘法,
<∞
=
>∞±
=
±∞=±∞
.0
00
0
)()(
a
a
a
aa
(4) 除法,.0=
∞±
a
(5) 绝对值,.+∞=∞±
记
R = }.,{
1
∞+∞∪R 称
R为广义实数集,它的元素称为广义实数,取值于
R的序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数,
测度的定义与性质 设X是一固定的非空集,本节所讨论的集都是X的子集,我们称定义在集类上的函数为集函数,
定义1 设R为一个环,μ,R ],0[ ∞+→是一个非负值集函数,如果μ满足如下条件,
(i),0)( =?μ
)ii(可数可加性,对A中的任意一列互不相交的集},{
n
A 当
39
∈
∞
=
∪
1n
n
A R时,成立
.)()(
11
∑
∞
=
∞
=
=
n
n
n
n
AA μμ
∪
则μ称为R上的一个测度,
注1 环上的测度也具有有限可加性.事实上,设∈
n
AA,,
1
null R,则
.)(
)()()(
)()(
1
1
1
1
∑
=
=
=
+?+++=
∪?∪∪∪=
n
i
i
n
n
n
i
i
A
AA
AAA
μ
μμμ
μμ
nullnull
nullnull
∪
这表明μ具有有限可加性,但在一般情况下,有限可加性不能推出可数可加性,
思考题 证明,若μ是环R上的广义实值函数,μ不恒为∞+,并且满足可数可加性,
则μ是R上的测度,
例1 设R = }.,{?X 令.1)(,0)( ==? Xμμ 则μ是R上的测度,
例2 设X是一非空集,a是X中的一个固定元,对任意∈A ),(XP 令
∈
=
.0
,1
)(
Aa
Aa
A
若若
μ
则容易验证μ是)(XP上的测度,
例3 设F是非空集X上的?σ代数,对任意,F∈A 若,?≠A 则令+∞=)(Aμ,
另外令,0)( =?μ 则μ是F上的测度,
例4 设},,{
21
nullaaX =是可数集,)(XP是X的全体子集所成的代数?σ,又设
}1,{ ≥pp
n
是一列非负实数,在)(XP上定义
,0)( =?μ,)(
∑
∈
=
Aa
i
i
pAμ ∈A )(XP,
容易验证μ是)(XP上的测度,特别地,当)1(1 ≥= np
n
时,
∞+
=
.
,
.)(
是无限集当是有限集当中元素的个数
A
AA
Aμ
此时称μ为X上的计数测度,特别地,若取N=X为自然数集,则得到自然数集上的计数测度,
例5 设F是非空集X上的?σ代数,∈E,F 令}.:{ FF ∈∩= AAE
E
则
E
F是E
上的?σ代数(见第一章习题第22题),若μ是F上的测度,则μ (限制在
E
F上)也是
E
F上
40
的测度,
在§2.3将给出测度最重要的例子,即
n
R上的Lebesgue测度,
定理2 设μ是环R上的测度,则μ具有如下性质,
(1) 单调性,若∈BA,R 且,BA? 则).()( BA μμ ≤
(2) 可减性,若∈BA,,R BA?并且,)( +∞<Aμ 则
).()()( ABAB μμμ?=?
(3) 次可数可加性,若?}{
n
A R 并且∈
∞
=
∪
1n
n
A,R 则
≤
∞
=
)(
1
∪
n
n
Aμ,)(
1
∑
∞
=n
n
Aμ
(4) 下连续性,若?}{
n
A,R
↑
n
A并且∈
∞
=
∪
1n
n
A,R 则
)(
1
∪
∞
=n
n
Aμ = ).(lim
n
n
Aμ
∞→
(5) 上连续性,若?}{
n
A R,
↓
n
A并且∈
∞
=
∩
1n
n
A,R,)(
1
+∞<Aμ 则
)(
1
∩
∞
=n
n
Aμ = ).(lim
n
n
Aμ
∞→
证明 (1).由于).(,ABABBA?∪=?故由于,)(?=?∩ ABA 由测度的有限可加性得到
).()()( ABAB?+= μμμ
注意到,0)( ≥? ABμ 因此).()( BA μμ ≤
(2).在(1)中已证).()()( ABAB?+= μμμ 由此式并注意到+∞<≤ )(0 Aμ,即得
).()()( ABAB μμμ?=?
(3),令,2,,
1
1
11
≥?==
=
nAABAB
n
i
inn ∪
则?}{
n
B R,并且),1( ≥? nAB
nn
).( jiBB
ji
≠?=∩ 易知成立
∪
∞
=1n
n
A =
∪
∞
=1n
n
B (参见第一章习题第18题),利用测度的可数可加性和单调性得到
41
.)()()()(
1111
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
≤==
n
n
n
n
n
n
n
n
ABBA μμμμ
∪∪
(4),令.2,,
111
≥?==
nAABAB
nnn
由于,
↑
n
A 容易知道有
),( jiBB
ji
≠?=∩并且
.,
111
∪∪∪
∞
=
∞
=
∞
=
==
i
i
i
i
i
in
BABA,
由测度的可数可加性,我们
).(lim)(lim
)(lim)()(
1
111
n
n
n
i
i
n
n
n
i
i
n
n
n
n
AB
BBA
μμ
μμμ
∞→
=
∞→
∞
==
∞→
∞
=
==
==
∑∑
∪
∪
(5) 令
1
,1.,
nn n
BAAn B=? ≥
↑
则并且
.)(
1
1
1
1
1
∩∪∪
∞
=
∞
=
∞
=
=?=
n
n
n
n
n
n
AAAAB
注意到,)()()(
1
1
+∞<≤≤
∞
=
AAA
n
n
n
μμμ
∪
由测度的可减性和下连续性,得到
).(lim)(
))()((lim
)(lim)()()(
1
1
11
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
AA
AA
BBAA
μμ
μμ
μμμμ
∞→
∞→
∞→
∞
=
∞
=
=
=
==?
∪∩
由上式得到)(
1
∩
∞
=n
n
Aμ = ).(lim
n
n
Aμ
∞→
定理证毕.■
注2 在测度的性质(5)中,若去掉条件+∞<)(
1
Aμ,则不能保证(5)中的结论成立,例如,设μ是自然数集N上的计数测度,令.1},,1,{ ≥+= nnnA
n
null 则
↓
n
A并且
.
1
=
∞
=
∩
n
n
A 于是.0)(
1
=
∞
=
∩
n
n
Aμ 另一方面,由于),1()( ≥+∞= nA
n
μ 故
.)(lim +∞=
∞→
n
n
Aμ 因此)(
1
∩
∞
=n
n
Aμ )(lim
n
n
Aμ
∞→
≠,
定义3 设μ是环R上的测度,
).i(若对每个∈A R都有,)( +∞<Aμ 则称μ是有限的,
42
).ii(若对每个∈A R,存在R中一列集},{
n
A 使得+∞<)(
n
Aμ )1( ≥n并且
,
1
∪
∞
=
=
n
n
AA 则称μ是?σ有限的,
容易知道,若环R上的测度μ是?σ有限的,则上述定义中的}{
n
A可以选取为互不相交的,特别地,若μ是?σ代数F上的测度,则μ是?σ有限的当且仅当存在F中一列互不相交的集},{
n
A 使得+∞<)(
n
Aμ )1( ≥n并且.
1
∪
∞
=
=
n
n
AX
例如,本节例1和例2中的测度是有限的.例4中的测度是?σ有限的,
定义4 (1) 设X为一非空集,F为X上的?σ代数,称二元组合),( FX为可测空间,
F中的集称为?F可测集(或简称为可测集),
(2) 设μ为可测空间),( FX上的测度,称三元组合),,( μFX为测度空间,若测度μ
为有限的或?σ有限的,则分别称测度空间),,( μFX为有限的和?σ有限的,
小 结 为了适应现代数学的许多分支需要,本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测度的性质,以后会经常用到,应熟练掌握,测度最重要的例子,将在§2.3中介绍,
习 题 习题二,第1题—第8题,
第二章 测度与测度的构造
我们知道Riemann积分的几何意义是曲边梯形的面积,为在欧氏空间空间
n
R上推广
Riemann积分的理论,我们必须把象长度,面积和体积等概念推广到
n
R中的更一般的集上去,本章将要定义的
n
R上的Lebesgue测度就是长度,面积和体积等概念推广,
§2.1 测度与测度的性质
教学目的 给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的基本性质.Lebesgue测度和Lebesgue-Stieljes测度是本节定义的测度最重要的特例,将在§2.3中介绍,
本节要点 本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度.应通过一些例子,使学生理解测度的意义,
广义实数集 测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值.为此引进,∞+,和
,∞?,两个符号,称之为广义实数.规定它们与实数a之间的大小关系和四则运算如下,
(1) 序关系,.+∞<<∞? a
(2) 加法,.)()()()( ±∞=±∞+±∞=+±∞=±∞+ aa
(3) 乘法,
<∞
=
>∞±
=
±∞=±∞
.0
00
0
)()(
a
a
a
aa
(4) 除法,.0=
∞±
a
(5) 绝对值,.+∞=∞±
记
R = }.,{
1
∞+∞∪R 称
R为广义实数集,它的元素称为广义实数,取值于
R的序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数,
测度的定义与性质 设X是一固定的非空集,本节所讨论的集都是X的子集,我们称定义在集类上的函数为集函数,
定义1 设R为一个环,μ,R ],0[ ∞+→是一个非负值集函数,如果μ满足如下条件,
(i),0)( =?μ
)ii(可数可加性,对A中的任意一列互不相交的集},{
n
A 当
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∈
∞
=
∪
1n
n
A R时,成立
.)()(
11
∑
∞
=
∞
=
=
n
n
n
n
AA μμ
∪
则μ称为R上的一个测度,
注1 环上的测度也具有有限可加性.事实上,设∈
n
AA,,
1
null R,则
.)(
)()()(
)()(
1
1
1
1
∑
=
=
=
+?+++=
∪?∪∪∪=
n
i
i
n
n
n
i
i
A
AA
AAA
μ
μμμ
μμ
nullnull
nullnull
∪
这表明μ具有有限可加性,但在一般情况下,有限可加性不能推出可数可加性,
思考题 证明,若μ是环R上的广义实值函数,μ不恒为∞+,并且满足可数可加性,
则μ是R上的测度,
例1 设R = }.,{?X 令.1)(,0)( ==? Xμμ 则μ是R上的测度,
例2 设X是一非空集,a是X中的一个固定元,对任意∈A ),(XP 令
∈
=
.0
,1
)(
Aa
Aa
A
若若
μ
则容易验证μ是)(XP上的测度,
例3 设F是非空集X上的?σ代数,对任意,F∈A 若,?≠A 则令+∞=)(Aμ,
另外令,0)( =?μ 则μ是F上的测度,
例4 设},,{
21
nullaaX =是可数集,)(XP是X的全体子集所成的代数?σ,又设
}1,{ ≥pp
n
是一列非负实数,在)(XP上定义
,0)( =?μ,)(
∑
∈
=
Aa
i
i
pAμ ∈A )(XP,
容易验证μ是)(XP上的测度,特别地,当)1(1 ≥= np
n
时,
∞+
=
.
,
.)(
是无限集当是有限集当中元素的个数
A
AA
Aμ
此时称μ为X上的计数测度,特别地,若取N=X为自然数集,则得到自然数集上的计数测度,
例5 设F是非空集X上的?σ代数,∈E,F 令}.:{ FF ∈∩= AAE
E
则
E
F是E
上的?σ代数(见第一章习题第22题),若μ是F上的测度,则μ (限制在
E
F上)也是
E
F上
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的测度,
在§2.3将给出测度最重要的例子,即
n
R上的Lebesgue测度,
定理2 设μ是环R上的测度,则μ具有如下性质,
(1) 单调性,若∈BA,R 且,BA? 则).()( BA μμ ≤
(2) 可减性,若∈BA,,R BA?并且,)( +∞<Aμ 则
).()()( ABAB μμμ?=?
(3) 次可数可加性,若?}{
n
A R 并且∈
∞
=
∪
1n
n
A,R 则
≤
∞
=
)(
1
∪
n
n
Aμ,)(
1
∑
∞
=n
n
Aμ
(4) 下连续性,若?}{
n
A,R
↑
n
A并且∈
∞
=
∪
1n
n
A,R 则
)(
1
∪
∞
=n
n
Aμ = ).(lim
n
n
Aμ
∞→
(5) 上连续性,若?}{
n
A R,
↓
n
A并且∈
∞
=
∩
1n
n
A,R,)(
1
+∞<Aμ 则
)(
1
∩
∞
=n
n
Aμ = ).(lim
n
n
Aμ
∞→
证明 (1).由于).(,ABABBA?∪=?故由于,)(?=?∩ ABA 由测度的有限可加性得到
).()()( ABAB?+= μμμ
注意到,0)( ≥? ABμ 因此).()( BA μμ ≤
(2).在(1)中已证).()()( ABAB?+= μμμ 由此式并注意到+∞<≤ )(0 Aμ,即得
).()()( ABAB μμμ?=?
(3),令,2,,
1
1
11
≥?==
=
nAABAB
n
i
inn ∪
则?}{
n
B R,并且),1( ≥? nAB
nn
).( jiBB
ji
≠?=∩ 易知成立
∪
∞
=1n
n
A =
∪
∞
=1n
n
B (参见第一章习题第18题),利用测度的可数可加性和单调性得到
41
.)()()()(
1111
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
≤==
n
n
n
n
n
n
n
n
ABBA μμμμ
∪∪
(4),令.2,,
111
≥?==
nAABAB
nnn
由于,
↑
n
A 容易知道有
),( jiBB
ji
≠?=∩并且
.,
111
∪∪∪
∞
=
∞
=
∞
=
==
i
i
i
i
i
in
BABA,
由测度的可数可加性,我们
).(lim)(lim
)(lim)()(
1
111
n
n
n
i
i
n
n
n
i
i
n
n
n
n
AB
BBA
μμ
μμμ
∞→
=
∞→
∞
==
∞→
∞
=
==
==
∑∑
∪
∪
(5) 令
1
,1.,
nn n
BAAn B=? ≥
↑
则并且
.)(
1
1
1
1
1
∩∪∪
∞
=
∞
=
∞
=
=?=
n
n
n
n
n
n
AAAAB
注意到,)()()(
1
1
+∞<≤≤
∞
=
AAA
n
n
n
μμμ
∪
由测度的可减性和下连续性,得到
).(lim)(
))()((lim
)(lim)()()(
1
1
11
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
AA
AA
BBAA
μμ
μμ
μμμμ
∞→
∞→
∞→
∞
=
∞
=
=
=
==?
∪∩
由上式得到)(
1
∩
∞
=n
n
Aμ = ).(lim
n
n
Aμ
∞→
定理证毕.■
注2 在测度的性质(5)中,若去掉条件+∞<)(
1
Aμ,则不能保证(5)中的结论成立,例如,设μ是自然数集N上的计数测度,令.1},,1,{ ≥+= nnnA
n
null 则
↓
n
A并且
.
1
=
∞
=
∩
n
n
A 于是.0)(
1
=
∞
=
∩
n
n
Aμ 另一方面,由于),1()( ≥+∞= nA
n
μ 故
.)(lim +∞=
∞→
n
n
Aμ 因此)(
1
∩
∞
=n
n
Aμ )(lim
n
n
Aμ
∞→
≠,
定义3 设μ是环R上的测度,
).i(若对每个∈A R都有,)( +∞<Aμ 则称μ是有限的,
42
).ii(若对每个∈A R,存在R中一列集},{
n
A 使得+∞<)(
n
Aμ )1( ≥n并且
,
1
∪
∞
=
=
n
n
AA 则称μ是?σ有限的,
容易知道,若环R上的测度μ是?σ有限的,则上述定义中的}{
n
A可以选取为互不相交的,特别地,若μ是?σ代数F上的测度,则μ是?σ有限的当且仅当存在F中一列互不相交的集},{
n
A 使得+∞<)(
n
Aμ )1( ≥n并且.
1
∪
∞
=
=
n
n
AX
例如,本节例1和例2中的测度是有限的.例4中的测度是?σ有限的,
定义4 (1) 设X为一非空集,F为X上的?σ代数,称二元组合),( FX为可测空间,
F中的集称为?F可测集(或简称为可测集),
(2) 设μ为可测空间),( FX上的测度,称三元组合),,( μFX为测度空间,若测度μ
为有限的或?σ有限的,则分别称测度空间),,( μFX为有限的和?σ有限的,
小 结 为了适应现代数学的许多分支需要,本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测度的性质,以后会经常用到,应熟练掌握,测度最重要的例子,将在§2.3中介绍,
习 题 习题二,第1题—第8题,
