§5.3 实对称矩阵的相似矩阵
目的：对于实对称矩阵 ,求正交矩阵 ,
使得．此时,称正交相似于对角矩阵．
1．实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
定理6 ．
证 设 ,,则有



故 
即 ．
[注] 的解向量可取为实向量．
约定：实对称矩阵的特征向量为实向量．
定理7 ,特征值,特征向量依次为,则．
证 ,


故 ．
例6 设实对称矩阵的特征值,属于的
特征向量依次为,,求．
解 设,由 , 可得 
该齐次方程组的一个非零解为 ．
令 ,
则有 
[注] 
2．正交矩阵：实矩阵满足时,称为正交矩阵．
(1) 是正交矩阵．
(2) 是正交矩阵．
(3) 是正交矩阵,
即的列向量组是两两正交的单位向量．
(4) 是正交矩阵,
即的行向量组是两两正交的单位向量．
定理8 存在正交矩阵,使得．（阅读83-85页）
推论 设,若是的重特征值,则对应于特征值一定有个
线性无关的特征向量．（对比定理4）
例7 对下列矩阵,求正交矩阵,使得：
(1),(2),(3)．
解 (1) 
对应于特征值的特征向量依次为
,,
（定理7保证它们两两正交）构造正交矩阵和对角矩阵：
,
则有 ．
(2) ,属于的特征向量为．
求属于的两个特征向量（凑正交）：
,,
（定理7保证它们两两正交）构造正交矩阵和对角矩阵：
,
则有 ．
(3) 
求属于的3个特征向量（凑正交）：

,, （它们两两正交）
属于的特征向量为
构造正交矩阵和对角矩阵：
,
则有 ．
3．典型题
例8 已知可对角化,是的2重特征值,
求可逆矩阵,使得．
解 
可对角化对应有两个线性无关的特征向量

设,则有

此时 ,
求得 ,,
令 ,则有．
例9 已知相似于,求和．
解 

故 ．
例10 设的一个特征向量为,求的全体
特征值与特征向量．
解 ：,
,

 对应只有1个线性无关的特征向量
全体特征向量为