第五章 矩阵的相似变换
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
定义,对于阶方阵,若有数和向量满足,称为的
特征值,称为的属于特征值的特征向量．
特征方程： 或者 
有非零解

特征矩阵： 或者 
特征多项式：

例1 求 的特征值与特征向量．
解 

求的特征向量：
,

求的特征向量：
,,
 （不同时为0）
例2 求 的特征值与特征向量．
解 

求的特征向量：
,

求的特征向量：
,

[注] 在例1中,对应2重特征值有两个线性无关的特征向量；
在例2中,对应2重特征值只有一个线性无关的特征向量．
一般结论：对应重特征值的线性无关的特征向量的个数．
定理1 设的特征值,,则
(1) ；
(2) ．
证 由特征值的定义可得



其中都是次数不超过的多项式．由题设,又有


比较多项式同次幂的系数可得


推论  0是的特征值．
一元多项式：
矩阵多项式： 
定理2 设,则
(1) ；
(2) ．
证 (1) 因为  （）
所以 

(2)  
[注] 一般结论：若的全体特征值为,则的全体特征值
为．
例3 设的特征值为,求 ．
　解 设,则的特征值为

故 
定理3 设的互异特征值为,对应的特征向量依次为
,则向量组线性无关．
证 采用数学归纳法．
时,线性无关．
设时,线性无关,下面证明线性无关．
设数组使得
 
左乘,利用可得
 
,
因为线性无关（归纳法假设）,所以

代入可得 ．故线性无关．
根据归纳法原理,对于任意正整数,结论成立．
定理4 设的互异特征值为,重数依次为,
对应的线性无关的特征向量为,
则向量组线性无关．（自证）
§5.2 相似对角化
1．相似矩阵：对于阶方阵和,若有可逆矩阵使得,
称相似于,记作．
(1) ,
(2) ,
(3) 
性质1 ．
性质2 可逆,可逆,且．
性质3  （为正整数）．
性质4 为多项式,．
性质5 
与的特征值相同
证 由可得 


2．相似对角化：若方阵能够与一个对角矩阵相似,称可对角化．
定理5 阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量．
　证 必要性．设可逆矩阵使得

即．划分,则有



因为为可逆矩阵,所以它的列向量组线性无关．
　上式表明：是的个线性无关的特征向量．
充分性．设线性无关,且满足,
则为可逆矩阵,且有


即．
[注] 的主对角元素为的特征值．
推论1 有个互异特征值可对角化．
推论2 设的全体互异特征值为,重数依次为,
则可对角化的充要条件是,对应于每个特征值,有个线性
无关的特征向量．
例4 判断下列矩阵可否对角化：
(1),(2),(3)
解 (1) 
有3个互异特征值 可对角化
对应于的特征向量依次为
,,
构造矩阵 ,
则有 ．
(2) 
例1求得有3个线性无关的特征向量 可对角化
对应于的特征向量依次为
,,
构造矩阵 ,
则有 ．
(3) ,例2求得,对应于2重特征值,
只有1个线性无关的特征向量 不可对角化．
例5 设,求．
解 例4求得 ,,使得
：
故 
 （）