第四章 向量组的线性相关性
§4.1 向量及其运算
1．向量：个数构成的有序数组,记作,
称为维行向量．
–– 称为向量的第个分量
–– 称为实向量（下面主要讨论实向量）
–– 称为复向量
零向量：
负向量：
2．线性运算：,
相等：若,称．
加法：
数乘：
减法：
3．算律：,,
(1)  (5) 
(2)  (6) 
(3)  (7) 
(4)  (8) 
4．列向量：个数构成的有序数组,记作,
或者,称为维列向量．
零向量： 负向量：
5．内积：设实向量,,称实数
为与的内积．
算律：,,
(1) 
(2)  （为常数）
(3) 
(4) 时,；时,．
(5) 
证(5) ,由可得



6．范数：设实向量,称实数 为的范数．
性质：(1) 时,；时,．
(2)  
(3) 
(4) 
证(3) 

证(4) 


7．夹角：设实向量,,称  
为与之间的夹角．
正交：若,称与正交,记作．
(1) ,时,；
(2) 或时,有意义,而无意义．
单位化：若,称为与同方向的单位向量．
§4.2 向量组的线性相关性
1．线性组合：对维向量及,若有数组使得
,称为的线性组合,
或可由线性表示．
例1 ,,,
判断可否由线性表示?
解 设，比较两端的对应分量可得
,求得一组解为
于是有,即可由线性表示．
　 [注] 取另一组解时,有．
2．线性相关：对维向量组,若有数组不全为0,使得

称向量组线性相关,否则称为线性无关．
线性无关：对维向量组,仅当数组全为0时,才有

称向量组线性无关,否则称为线性相关．
[注] 对于单个向量：若,则线性相关；
若,则线性无关．
例2 判断例1中向量组的线性相关性．
解 设,比较两端的对应分量可得

即．因为未知量的个数是4,而,所以
有非零解,由定义知线性相关．
例3 已知向量组线性无关,证明向量组
　 ,,
线性无关．
证 设 ,则有

因为线性无关,所以
,即 
系数行列式 ,该齐次方程组只有零解．
　 故线性无关．
例4 判断向量组
,,…,
的线性相关性．
解 设 ,则有
只有
　 故线性无关．
例5 设两两正交且非零,证明该向量组线性无关．
证 设 ,两端与作内积可得

当时,,于是有
只有 
上式对于都成立,故线性无关．
3．判定定理
定理1 向量组线性相关
其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．
证 必要性．已知线性相关,则存在不全为零,
使得 
不妨设,则有 ．
充分性．不妨设 ,则有

因为不全为零,所以线性相关．
定理2 若向量组线性无关,线性相关,
则可由线性表示,且表示式唯一．
证 因为线性相关,所以存在数组不全为零,
使得 
若,则有 ．矛盾!
故,从而有 ．
下面证明表示式唯一：
若 ,
则有 
因为线性无关,所以

即的表示式唯一．
定理3 线性相关线性相关．
证 因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得
  
数组不全为零,故线性相关．
推论1 含零向量的向量组线性相关．
推论2 向量组线性无关任意的部分组线性无关．
课后作业：习题四 1,2,3,4,5