例3 求解,,
解 

有无穷多解
同解方程组：
一般解： （为任意常数）
例4 求解,,
解 

(1) 
同解方程组：
一般解： （为任意常数）
(2) 
同解方程组：
一般解： （为任意常数）
例5 讨论方程组何时有唯一解,无穷多解,无解?
,
解 计算可得 
(1) 且：根据Cramer法则,方程组有唯一解．
(2) ：

,,故方程组无解．
(3) 且：


时,,,故方程组无解．
时,,故方程组有无穷多解．
§3.4 初等矩阵
定义 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵．
[注] 对单位矩阵进行一次初等列变换,相当于对单位矩阵进行一次
同类型的初等行变换．因此,初等矩阵可分为以下3类：
1,
2, 
3,

,
性质1 ,,
因此可得：对进行一次初等行变换,相当于给左乘一个
　 　同类型的初等矩阵．（定理6的结论之一）
性质2 


注意：
因此可得：对进行一次初等列变换,相当于给右乘一个
同类型的初等矩阵．（定理6的结论之二）
性质3 ,
,
,
定理7 可逆可以表示为有限个初等矩阵的乘积．
证 必要性．已知,则满秩,故存在初等矩阵
及,使得
,
而与都是初等矩阵．
充分性．显然成立．
矩阵求逆方法之二（初等行变换法）：
 （都是初等矩阵）
  
由此可得：对矩阵 施行“初等行变换”，当前列
（的位置）成为时，则后列（的位置）为．
例6 ,求．
解 


故．
例7 ,求．
解 
依次作初等行变换 ,,可得

故 ．
定理8 设,,则
存在可逆矩阵和,使得．
证 必要性．已知,则存在阶初等矩阵和阶初等
矩阵,使得,令
,
则有．
充分性．已知,则由定理7知,和都可以表示为
有限个初等矩阵的乘积,即
,
故,也就是．