7．基变换与坐标变换
设向量空间的基①；基②．
基变换：可由唯一的线性表示,所以有
 
矩阵乘法形式,
称上式为由基①改变为基②的基变换公式．
称为由基①改变为基②的过渡矩阵．
定理10 向量空间中由基①改变为基②的过渡矩阵是可逆矩阵．
证 若,则齐次方程组有非零解,由此
可得 
即线性相关,矛盾！故是可逆矩阵．
[注] 由基②改变为基①的基变换公式为

由基②改变为基①的过渡矩阵为．
坐标变换：,有


因为在基①下的坐标唯一,所以
 或者 
称上式为坐标变换公式．
例12 已知的两个基为
①  ② 
(1) 求由基①改变为基②的过渡矩阵；
(2) 求在基①下的坐标．
解 采用中介法求过渡矩阵：简单基为
,,,
简单基基①：
简单基基②：
基①基②,
,
,
§4.5 线性方程组解的结构
,,
齐次方程组 
非齐次方程组  ()
结论：(1) ,与同解．
(2) 有非零解．
(3) 有解．
(4) 设,则
时,有唯一解；
时,有无穷多解．
1．的解空间
解集合 


故构成向量空间,称为的解空间．
2．的基础解系
不妨设的一般解为

()
依次令 
可求得 ,,…,
因为 (1) 线性无关
(2) ,
所以是解空间的一个基,称为的基础解系．
例15 设,求的一个基础解系．
解 ,同解方程组为 
依次取 ,可求得基础解系 ,
2．解的结构
(1) ,
(2) , 是的解设的一个基础解系为 
的特解为,一般解为,则有
 
  ()
例16 设,,求的通解．
解 
同解方程组为 
基础解系：,；特解：
通解： ()
例17 设,的3个解满足
,,求的通解．
解 的基础解系中含有个解向量
因为 
所以  是的基础解系
又   是的特解
故的通解为．
例18 设,是的解,证明：
是的基础解系线性无关．
证 必要性．设数组使得 
左乘,利用可得 
因为,所以 
由此可得 
因为是的基础解系,所以线性无关,从而有

故线性无关．
充分性．是的解向量
设数组使得 
则 
因为线性无关,所以只有
,
故向量组线性无关．
因此 是的基础解系．