第六章 二次型
变量的二次齐次多项式




称为元二次型,简称为二次型．
：称为实二次型（本章只讨论实二次型）
：称为复二次型
§6.1 二次型的矩阵表示
1．矩阵表示：令,则有



 






其中 ,
(1) 与是一一对应关系,且．
(2) 称为的矩阵,称为对应的二次型．
(3) 称的秩为的秩,即 ．
2．标准形：找可逆线性变换,即
 
使得 
将二次型的标准形写为矩阵形式
,

矩阵描述：对实对称矩阵,找可逆矩阵,使得．
3．合同矩阵：对于,若有可逆矩阵使得,
称合同于．
(1) 合同于,
(2) 合同于合同于,
(3) 合同于,合同于合同于
定理3 合同于．
证 

故 ．
§6.2 化二次型为标准形
1．正交变换法
设实对称,特征值为,则存在正交矩阵,使得

作正交变换,可得


例1 
用正交变换化为标准形．
解 的矩阵 
的特征多项式 
的两个正交的特征向量 ,
的特征向量 
正交矩阵 
正交变换：标准形
例2 
用正交变换化为标准形．
解 的矩阵 
的特征多项式 
求正交矩阵和对角矩阵,使得：
,
正交变换：标准形
例3 ,秩．
(1) 求； (2)用正交变换化为标准形；
(3) 表示那类二次曲面？
解 (1) 的矩阵  （显见）

(2) 

的特征向量依次为
,, （两两正交）
正交矩阵 
正交变换：标准形
(3) ：表示椭圆柱面
例4 设,,秩,求．
解 
或者
：, （舍去）
：,
故为所求．
2．配方法
例5 
用配方法化为标准形．
解 




令 ,则 
可逆变换 ,
标准形  （与例1结果不同）
例6 
用配方法化为标准形．
解 先凑平方项
令 ,即 ,
则 





令 ,则 
即 ,
可逆变换 ,
标准形 
一般结论如下：
定理2 对于实二次型,存在可逆变换,使得

定理3 对于实对称矩阵,存在可逆矩阵,使得

3．初等变换法
求可逆矩阵,使得：
可逆 （是初等矩阵）


例7 用初等变换法化为标准形．
解 
可逆变换 ,
标准形 
§6.3 正定二次型
设可逆变换使得

定理4 设的秩为,则在的标准形中系数不为0的平方项的个数一定是；
（）
正项个数一定,称为的正惯性指数；（证明略去）
负项个数一定,称为的负惯性指数．（由(1)和(2)可得）
正定二次型：,称为正定二次型,为正定矩阵．
负定二次型：,称为负定二次型,为负定矩阵．
定理5 为正定二次型的标准形中．
证 必要性．取,则,从而

充分性．已知,

由定义知,为正定二次型．
推论1 设实对称,则为正定矩阵的特征值全为正数．
推论2 设实对称正定矩阵,则．
定理6 设实对称,则为正定矩阵 
的顺序主子式全为正数,即．
（证明略去）
定理7 设实对称,则
为负定二次型
为正定二次型
的负惯性指数为 （定理5）
的特征值全为负数 （定理4）
的奇数阶顺序主子式全为负数,即 ；
的偶数阶顺序主子式全为正数,即 ．
例8 判断下列二次型的正定性：
(1) 
(2) 
(3)  
解 (1) 
,,
故为正定矩阵,为正定二次型．
(2) 
,,
故为负定矩阵,为负定二次型．
(3) 
,,
当时,有
故为正定矩阵,为正定二次型；
当时,有
故为不定矩阵,为不定二次型．
例9 设实对称,则
(1) 为正定矩阵
(2) 为负定矩阵
证 取,则有
正定 
负定