2．等价向量组：设向量组,
若可由线性表示,称可由线性表示；
若与可以互相线性表示,称与等价．
(1) 自反性：与等价
(2) 对称性：与等价与等价
(3) 传递性：与等价,与等价与等价
定理8 向量组与它的最大无关组等价．
证 设向量组的秩为,的一个最大无关组为．
(1) 中的向量都是中的向量可由线性表示；
(2) 任意,当时,可由线性表示；
当时,线性相关,而线性无关
由定理2知,可由线性表示．故可由线性表示．
因此,与等价．
推论 向量组的任意两个最大无关组等价．
定理9 向量组,向量组．
若线性无关,且可由线性表示,则．
证 不妨设与都是列向量,考虑向量组

易见,秩秩．构造矩阵

因为可由线性表示,所以
 
于是可得 秩．
推论1 若可由线性表示,则 秩秩．
证 设 秩,且的最大无关组为；
秩,且的最大无关组为,则有
可由线性表示可由线性表示
可由线性表示
  （定理9）
推论2 设向量组与等价,则 秩秩．
[注] 由“秩秩”不能推出“与等价”！
正确的结论是：
与等价
与等价
例8 设,,则 ,．
证 设,,,则

即可由线性表示,故 ．
根据上述结果可得

§4.4 向量空间
1．向量空间：设是具有某些共同性质的维向量的集合,若
对任意的,有； 　（加法封闭）
对任意的,,有．　（数乘封闭）
称集合为向量空间．
例如： 是向量空间
 是向量空间
 不是向量空间
,即数乘运算不封闭．
例9 给定维向量组,验证

是向量空间．称之为由向量组生成的向量空间,记作
 或者 
证 设,则 ,,于是有

 
由定义知,是向量空间．
2．子空间：设和都是向量空间,且,称为的子空间．
例如：前面例子中的是的子空间．
例9中的也是的子空间．
3．向量空间的基与维数：设向量空间,若
(1) 中有个向量线性无关；
(2) 可由线性表示．
称为的一组基,称为的维数,记作或者．
[注] 零空间没有基,规定．
由条件(2)可得：中任意个向量线性相关．（自证）
若,则中任意个线性无关的向量都可作为的基．
例10 设向量空间的基为,则．
证 

4．向量在基下的坐标：设向量空间的基为,对于,
表示式唯一（定理2）,称为在
基下的坐标（列向量）．
[注] 为维向量,在的基下的坐标为维列向量．
因为线性无关的“维向量组”最多含有个向量,所以由
维向量构成的向量空间的基中最多含有个向量,故．
例11 设向量空间的基为
,,
求在该基下的坐标．
解 设,比较等式两端的对应分量可得：

,
[注] 是4维向量,在的基下的坐标为3维列向量．
5．正交基：设向量空间的基为,若,
称为的正交基；若还有,
称为的标准正交基．
例如：的标准正交基为．
特点：向量空间的正交基为,对于,有
：
当为标准正交基时,有
：
6．Schmidt正交化过程：设向量空间的基为,令
,
, （否则线性相关）

, （否则线性相关）


………………
, （否则线性相关）

结论：两两正交且非零线性无关
是的正交基
令,则是的标准正交基
例12 已知向量空间的基为
,,
求的一组正交基．
解 


故的一组正交基为．
课后作业：习题四 6,10,11,12