定理4 设
(1) 线性相关；
(2) 线性无关．
证 设
比较等式两端向量的对应分量可得
即 ．由定理3.5可得：
线性相关有非零解
推论1 在定理4中,当时,有
(1) 线性相关；
(2) 线性无关．
推论2 在定理4中,当时,有
(1) 线性相关中所有的阶子式；
(2) 线性无关中至少有一个阶子式．
推论3 在定理4中,当时,必有线性相关．
因为,由定理4(1)即得．
推论4 向量组：
向量组：
若线性无关,则线性无关．
证
线性无关
是的子矩阵
线性无关定理5 划分,则有
(1) 中某个中“所在的”个行向量线性无关；
中“所在的”个列向量线性无关．
(2) 中所有中任意的个行向量线性相关；
中任意的个列向量线性相关．
证 只证“行的情形”：
(1) 设位于的行,作矩阵,则有
线性无关．
(2) 任取中个行,设为行,作矩阵,
则有线性相关．
[注] 称为的行向量组,为的列向量组．
§4.3 向量组的秩与最大无关组
1．向量组的秩：设向量组为,若
(1) 在中有个向量线性无关；
(2) 在中有个向量线性相关（如果有个向量的话）．
称为向量组为的一个最大线性无关组,
称为向量组的秩,记作：秩．
[注](1) 向量组中的向量都是零向量时,其秩为0．
(2) 秩时,中任意个线性无关的向量都是的一个
最大无关组．
例如,,,, 的秩为2．
线性无关是一个最大无关组
线性无关是一个最大无关组
定理6 设,则
(1) 的行向量组（列向量组）的秩为；
(2) 中某个中所在的个行向量（列向量）是
的行向量组（列向量组）的最大无关组．
证 只证“行的情形”：
中某个,而中所有
定理5中所在的个行向量线性无关
中任意的个行向量线性相关
由定义：的行向量组的秩为,且中所在的个行向量是
的向量组的最大无关组．
例6 向量组：,,,
求的一个最大无关组．
解 构造矩阵
求得秩
矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式
故是的一个最大无关组．
[注] 为行向量组时,可以按行构造矩阵．
定理7
(1) 若,则“的列”线性相关（线性无关）
,的列”线性相关（线性无关）；
(2) 若,则“的行”线性相关（线性无关）
,的行”线性相关（线性无关）．
证 (1) 划分,
由可得
故方程组
与方程组
同解．于是有
线性相关
存在不全为0,使得
存在不全为0,使得
线性相关
同理可证(2)．
[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵,当阶梯形
矩阵的秩为时,的非零行中第一个非零元素所在的个列
向量是线性无关的．
例如：求例6中向量组的一个最大无关组．构造矩阵
秩
的1,2列线性无关的1,2列线性无关
是的一个最大无关组
例7 向量组：,,,
求向量组的一个最大无关组．
解 对矩阵 进行初等行变换可得
(1) ：
的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关
故是的一个最大无关组；
(2) ：
的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关
故是的一个最大无关组．
[注] 当为行向量组时,为列向量组．
若矩阵 的列向量组的一个最大无关组
为,则是的一个最大无关组．
课后作业：习题四 7,8 （理解、记忆定理1～7）
(1) 线性相关；
(2) 线性无关．
证 设
比较等式两端向量的对应分量可得
即 ．由定理3.5可得：
线性相关有非零解
推论1 在定理4中,当时,有
(1) 线性相关；
(2) 线性无关．
推论2 在定理4中,当时,有
(1) 线性相关中所有的阶子式；
(2) 线性无关中至少有一个阶子式．
推论3 在定理4中,当时,必有线性相关．
因为,由定理4(1)即得．
推论4 向量组：
向量组：
若线性无关,则线性无关．
证
线性无关
是的子矩阵
线性无关定理5 划分,则有
(1) 中某个中“所在的”个行向量线性无关；
中“所在的”个列向量线性无关．
(2) 中所有中任意的个行向量线性相关；
中任意的个列向量线性相关．
证 只证“行的情形”：
(1) 设位于的行,作矩阵,则有
线性无关．
(2) 任取中个行,设为行,作矩阵,
则有线性相关．
[注] 称为的行向量组,为的列向量组．
§4.3 向量组的秩与最大无关组
1．向量组的秩：设向量组为,若
(1) 在中有个向量线性无关；
(2) 在中有个向量线性相关（如果有个向量的话）．
称为向量组为的一个最大线性无关组,
称为向量组的秩,记作：秩．
[注](1) 向量组中的向量都是零向量时,其秩为0．
(2) 秩时,中任意个线性无关的向量都是的一个
最大无关组．
例如,,,, 的秩为2．
线性无关是一个最大无关组
线性无关是一个最大无关组
定理6 设,则
(1) 的行向量组（列向量组）的秩为；
(2) 中某个中所在的个行向量（列向量）是
的行向量组（列向量组）的最大无关组．
证 只证“行的情形”：
中某个,而中所有
定理5中所在的个行向量线性无关
中任意的个行向量线性相关
由定义：的行向量组的秩为,且中所在的个行向量是
的向量组的最大无关组．
例6 向量组：,,,
求的一个最大无关组．
解 构造矩阵
求得秩
矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式
故是的一个最大无关组．
[注] 为行向量组时,可以按行构造矩阵．
定理7
(1) 若,则“的列”线性相关（线性无关）
,的列”线性相关（线性无关）；
(2) 若,则“的行”线性相关（线性无关）
,的行”线性相关（线性无关）．
证 (1) 划分,
由可得
故方程组
与方程组
同解．于是有
线性相关
存在不全为0,使得
存在不全为0,使得
线性相关
同理可证(2)．
[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵,当阶梯形
矩阵的秩为时,的非零行中第一个非零元素所在的个列
向量是线性无关的．
例如：求例6中向量组的一个最大无关组．构造矩阵
秩
的1,2列线性无关的1,2列线性无关
是的一个最大无关组
例7 向量组：,,,
求向量组的一个最大无关组．
解 对矩阵 进行初等行变换可得
(1) ：
的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关
故是的一个最大无关组；
(2) ：
的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关
故是的一个最大无关组．
[注] 当为行向量组时,为列向量组．
若矩阵 的列向量组的一个最大无关组
为,则是的一个最大无关组．
课后作业：习题四 7,8 （理解、记忆定理1～7）
