第三章 矩阵的初等变换
§3.1 矩阵的秩
1,子式:在中,选取行与列,位于交叉处的个数按照原来的
相对位置构成阶行列式,称为的一个阶子式,记作.
对于给定的,不同的阶子式总共有个.
2,矩阵的秩:在中,若
(1) 有某个阶子式;
(2) 所有的阶子式(如果有阶子式的话).
称的秩为,记作,或者 .规定:
性质:(1) 
(2) 时
(3) 
(4) 中的一个
(5) 中所有的
例1 ,求.
解 位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式
计算知,所有的3阶子式,故.
[注] ,若,称为行满秩矩阵;
若,称为列满秩矩阵.
,若,称为满秩矩阵(可逆矩阵,非奇异矩阵);
若,称为降秩矩阵(不可逆矩阵,奇异矩阵).
§3.2 矩阵的初等变换
1,初等变换 行变换 列变换
① 对调  
② 数乘  
③ 倍加  
经过初等变换得到,记作,
2,等价矩阵:若,称与等价,记作.
(1) 自反性:
(2) 对称性:
(3) 传递性:,
定理1 .
  证 只需证明.
设,仅证行变换之(3)的情形:

(1) 若,则有
不含:
含,不含:
含,且含:
故中所有的阶子式
,于是可得.
(2) 若或者,构造矩阵
,
由(1)可得

其余情形类似.
例2 ,求.
解 ,故.
行最简形:
标准形:
定理2 若,则
:行阶梯形

:行最简形
定理3 若,则,称为的等价标准形.
推论1 若满秩,则.
推论2 .
§3.3 解线性方程组的消元法
例如 
 
  
解线性方程组的初等变换,
(1) 互换两个方程的位置
(2) 用非零数乘某个方程
(3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程
用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下:


方程组, 或者 
增广矩阵:
设,且的左上角阶子式,则
,行最简形
的同解方程组为
 (3.4)
若,则方程组(3.4)无解:
若,则方程组(3.4)有解:
(1) 时,方程组(3.4)成为
,,…, 是其唯一解
(2) 时,方程组(3.4)成为

一般解为

其中为任意常数.
定理4 ,
(1) 有解;
(2) 有解时,若,则有唯一解;
  若,则有无穷多组解.
定理5 (1) 有非零解;
(2) 有非零解.
课后作业:习题三 1,2,3,4