例,已知某种理想气体,其分子方均根速率为 400m/s,当压强为 1atm 时,求气体的密度。
vnmP 2)3/1(?解：
vP 2/3 mk g /90.1 2?
v 2)3/1(
§ 2.3 能量均分定理将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。作为统计初步，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念
* 单原子分子 (自由运动质点 ) t = 3
* 刚性双原子分子 t = 3 r = 2
（两个被看作质点的原子被一条几何线连接）
* 刚性多原子分子 t = 3 r = 3
1.自由度在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数,
t,平动自由度 r,转动自由度
kTvmt 23221
2
3
1222 vvvv zyx
2,能量均分定理：
一个分子的平均平动能为平衡态下可得 kTmvvmvmvm zyx 21
2
2
1
3
12
2
12
2
12
2
1 )(
平方项的平均值 平动自由度分子的每一个平动自由度的平均动能都相等。
推广到转动等其它运动形式，得能量均分定理。
在温度为 T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于。 kT
21
* 是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。
* 是气体分子无规则碰撞的结果。
* 经典统计物理可给出严格证明。
kTik 2
RTiRTiME 22
理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比此结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符。
3,理想气体的内能：
分子的平均动能
M千克理想气体的内能
RTikTNiNE AkA 22
1mol理想气体的内能表示 1mol气体分子的质量
表示气体总摩尔数
i 表示一个分子的总自由度
AN 表示 1mol气体分子的总数例,体积为 200 升的钢瓶中盛有氧气 (视为刚性双原子气体 ),使用一段时间后,测得瓶中气体压强为 2atm,此时氧气的内能。
,5?i解：对氧气 RTiE 2内能：
,RTPV
PViE 2 )J(100 1 3.1 5
例,容器内盛有理想气体,其密度为
1.24?10-2 kg/m-3,温度为 273K,压强为
1.0?10-2atm,试求,
,2v
(2) 气体的摩尔质量?,并确定它是什么气体？
(3) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各为多少？
(4) 容器单位体积内分子的总平均动能各为多少？
(5) 若该气体有 0.3 摩尔,其动能是多少？
(1)
,/3)1( 2?RTv?解：
/M R TPV // RTP
/32 Pv?
1024.1/100 1 3.1100.13 252 --
m /s494?
/3( 2 ) 2 RTv
( 4 9 4 )/3 2RT m o lkg1028 13 --
CO,,N 2是
m /s494?
2/3( 3 ) KTk 2731038.1)2/3( 23 -
J10 217.5 -
J107.1 3
n k TP)4( ),/( kTPn
kk nE )/( kTP k
)2731038.1/(106.510013.1100.1 232152 ---
J105.1 3
RTiME
2
)5(
27331.8)2/5(3.0
JKTk 21108.32/2 - 转气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。
§ 2.4 麦克斯韦速率分布律速率区间（ m./s) 分子数的百分率（△ N/N)
100以下
100—— 200
200—— 300
300—— 400
400—— 500
500—— 600
600—— 700
700—— 800
800—— 900
900—— 以上
1.4
8.1
16.5
21.4
20.6
15.1
9.2
4.8
2.0
0.9
O在 C时氧气分子速率的分布情况
1,速率分布函数一定量的气体分子总数为 N
dNv 表示速率分布在某区间 v~v+dv内的分子数
dNv/N 表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）
dNv/N 是 v 的函数，在不同速率附近取相等的区间 dv，此比率一般不相等
dNv/N 还应与区间大小成正比。 当速率区间足够小 时（宏观小，微观大）
因此有或
dvvf
N
dN v
dvN
dNvf
物理意义：速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率 。
f(v):速率分布函数
1
00
dvvf
N
dNN v
归一化条件
2,麦克斯韦速率分布律
（一定条件下，速率分布函数的具体形式）
一定量的理想气体在平衡态下,分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子数的比率为
dvve
kT
m
N
dN
kT
mv
v 22
2
3
2
2
4
-
22
2
3
2
2
4 ve
kT
m
vf kT
vm-
麦克斯韦速率分布函数曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率 dNv/N。
3,麦克斯韦率度分布曲线
f(v)
f(vp)
vvp v v+dv
面积 =
dNV
N
当 =o =o
→ =o∞v
f(v)
f(v)
v
222
3
2
2
4 ve
kT
m
vf kT
vm-
4,最可几速率 [ 与 f(v) 极大值对应的速率 ] vP
物理意义,若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则 分布在 vP 所在 区间的分子数比率最大 。
0?
dv
vfd
RTRT
m
kTv
p 41.1
22
12
1
8 -?
e
kT
mvf
p
& vp 随 T 升高而增大，随 m 增大而减小。
& 可讨论 T 和 m 对速率分布的影响。
222
3
2
2
4 ve
kT
m
vf kT
mv-
变为当 v = vp 时解得令
f(v)
f(vp3)
vvp
f(vp1)
f(vp2)
T1
T3
T2
温度越高，速率大的分子数越多
T1＜ T2﹤ T3
m不同 曲线如何？
pvvv2
讨论分布研究碰撞计算平动能
5,平均速率 和方均根速率
dvvvfNdNvNvv vN
i
i
0
RTRT
m
kTv 60.188
dvvfvNdNvNvv vN
i
i
0
2222
m
kTv 32?
RTRT
m
kTv 73.1332
v 2v
作业,2.1 2.2 2.6 2.9
vnmP 2)3/1(?解：
vP 2/3 mk g /90.1 2?
v 2)3/1(
§ 2.3 能量均分定理将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。作为统计初步，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念
* 单原子分子 (自由运动质点 ) t = 3
* 刚性双原子分子 t = 3 r = 2
（两个被看作质点的原子被一条几何线连接）
* 刚性多原子分子 t = 3 r = 3
1.自由度在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数,
t,平动自由度 r,转动自由度
kTvmt 23221
2
3
1222 vvvv zyx
2,能量均分定理：
一个分子的平均平动能为平衡态下可得 kTmvvmvmvm zyx 21
2
2
1
3
12
2
12
2
12
2
1 )(
平方项的平均值 平动自由度分子的每一个平动自由度的平均动能都相等。
推广到转动等其它运动形式，得能量均分定理。
在温度为 T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于。 kT
21
* 是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。
* 是气体分子无规则碰撞的结果。
* 经典统计物理可给出严格证明。
kTik 2
RTiRTiME 22
理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比此结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符。
3,理想气体的内能：
分子的平均动能
M千克理想气体的内能
RTikTNiNE AkA 22
1mol理想气体的内能表示 1mol气体分子的质量
表示气体总摩尔数
i 表示一个分子的总自由度
AN 表示 1mol气体分子的总数例,体积为 200 升的钢瓶中盛有氧气 (视为刚性双原子气体 ),使用一段时间后,测得瓶中气体压强为 2atm,此时氧气的内能。
,5?i解：对氧气 RTiE 2内能：
,RTPV
PViE 2 )J(100 1 3.1 5
例,容器内盛有理想气体,其密度为
1.24?10-2 kg/m-3,温度为 273K,压强为
1.0?10-2atm,试求,
,2v
(2) 气体的摩尔质量?,并确定它是什么气体？
(3) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各为多少？
(4) 容器单位体积内分子的总平均动能各为多少？
(5) 若该气体有 0.3 摩尔,其动能是多少？
(1)
,/3)1( 2?RTv?解：
/M R TPV // RTP
/32 Pv?
1024.1/100 1 3.1100.13 252 --
m /s494?
/3( 2 ) 2 RTv
( 4 9 4 )/3 2RT m o lkg1028 13 --
CO,,N 2是
m /s494?
2/3( 3 ) KTk 2731038.1)2/3( 23 -
J10 217.5 -
J107.1 3
n k TP)4( ),/( kTPn
kk nE )/( kTP k
)2731038.1/(106.510013.1100.1 232152 ---
J105.1 3
RTiME
2
)5(
27331.8)2/5(3.0
JKTk 21108.32/2 - 转气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。
§ 2.4 麦克斯韦速率分布律速率区间（ m./s) 分子数的百分率（△ N/N)
100以下
100—— 200
200—— 300
300—— 400
400—— 500
500—— 600
600—— 700
700—— 800
800—— 900
900—— 以上
1.4
8.1
16.5
21.4
20.6
15.1
9.2
4.8
2.0
0.9
O在 C时氧气分子速率的分布情况
1,速率分布函数一定量的气体分子总数为 N
dNv 表示速率分布在某区间 v~v+dv内的分子数
dNv/N 表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）
dNv/N 是 v 的函数，在不同速率附近取相等的区间 dv，此比率一般不相等
dNv/N 还应与区间大小成正比。 当速率区间足够小 时（宏观小，微观大）
因此有或
dvvf
N
dN v
dvN
dNvf
物理意义：速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率 。
f(v):速率分布函数
1
00
dvvf
N
dNN v
归一化条件
2,麦克斯韦速率分布律
（一定条件下，速率分布函数的具体形式）
一定量的理想气体在平衡态下,分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子数的比率为
dvve
kT
m
N
dN
kT
mv
v 22
2
3
2
2
4
-
22
2
3
2
2
4 ve
kT
m
vf kT
vm-
麦克斯韦速率分布函数曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率 dNv/N。
3,麦克斯韦率度分布曲线
f(v)
f(vp)
vvp v v+dv
面积 =
dNV
N
当 =o =o
→ =o∞v
f(v)
f(v)
v
222
3
2
2
4 ve
kT
m
vf kT
vm-
4,最可几速率 [ 与 f(v) 极大值对应的速率 ] vP
物理意义,若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则 分布在 vP 所在 区间的分子数比率最大 。
0?
dv
vfd
RTRT
m
kTv
p 41.1
22
12
1
8 -?
e
kT
mvf
p
& vp 随 T 升高而增大，随 m 增大而减小。
& 可讨论 T 和 m 对速率分布的影响。
222
3
2
2
4 ve
kT
m
vf kT
mv-
变为当 v = vp 时解得令
f(v)
f(vp3)
vvp
f(vp1)
f(vp2)
T1
T3
T2
温度越高，速率大的分子数越多
T1＜ T2﹤ T3
m不同 曲线如何？
pvvv2
讨论分布研究碰撞计算平动能
5,平均速率 和方均根速率
dvvvfNdNvNvv vN
i
i
0
RTRT
m
kTv 60.188
dvvfvNdNvNvv vN
i
i
0
2222
m
kTv 32?
RTRT
m
kTv 73.1332
v 2v
作业,2.1 2.2 2.6 2.9
