一、静电场力的功
1.6 静电场的保守性和环路定理
1.点电荷的场中移动点电荷从 到,电场做的功,0
q
rdrr?
dr
r
q
q
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2
0
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点电荷 从 P到 Q
点，电场所做的功为,o
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0
2,对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带电体，可看成是由无数电荷元组成，由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单位电荷的功）
为：
做功与路径无关静电场力是保守力
QP nQP QP ldEEEldEldE )( 21
),(21 QPAldEldEldE QP nQPQP
任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了的位置,而与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性。
静电场的保守性还可表述为：
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。 称为静电场的环路定理或环流定理。
二、静电场的环路定理
L ldE 0
1.7 电势差和电势等势面、电势梯度一、电势能、电势差、电势
q
0q
Qr
Q
Pr
P
1.静电场力作功等于相应电势能的减量或电势能增量的负值
QPPQPQ WWWWA ）（
q
W
q
WldEUUU QPQ
PQPPQ
2,电势差：
3,电势,
当电荷只分布在有限区域时，零点通常选在无穷远处。
PPPP ldEUUUU
将单位正电荷从 P点沿任意路径移到电势为零的点时，静电力所做的功。
在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。
电势差与电势的零点选取无关。
QP移动单位正电荷从电场中 点移到 点，静电力所做的功,为静电场中 两点的电势差,
场点 P 的电势定义为：
q
WldEU P
PP
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，
电势的单位为：焦耳 /库仑（记作 J/C）,也称为伏特（ Volt,V）,即 1V＝ 1J/C
4,当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动时电场力所做的功：
QP QPPQ UUqldEqA )(00二、举例：
例 1、求,点电荷产生的电场中的电势分布解,用场强分布和电势的定义直接积分。
r
r
qE?
4 20
p
pppp r
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r
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0
2
0 44
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qU
04
负点电荷周围的场电势为负离电荷越远，电势越高。
例 2、求,均匀带电球面的电场中的电势分布。
解,设球面半径为 R,总带电量为 Q
Rr
R
Q
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正点电荷周围的场电势为正离电荷越远，电势越低。
带电球壳是个等势体。
R
U
r
0
R Q
例 3、求,无限长均匀带电直线的电场中的电势分布
rE 02
已知场强为,方向垂直于带电直线。
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p
p
p
p
p
p
0
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'
' 2
0
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ln
2
ln
2 0000
由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。
p
op
'p
or
0r 0p p
r
解,若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线为 的 点为电势零点，则距带电直线为 的 点的电势：
r
三、电势的叠加原理
i
ipp pUldEEldEpU )()()( 21
1r
2r
3r
ir
1q
2q
3q
iq
p
当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电势的叠加就是总的电势。可写为：
p
ip
i
ii r
qldEpU
04
)(
i i
i
r
qpU
04
)(
表述,一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
表达式：
V r
dV
rU
04
)(
S r
dS
rU
04
)(
L r
dlrU
04
)(
电荷体密度为 的带电体产生的电势：
电荷面密度为 的带电体产生的电势：
电荷线密度为 的带电体产生的电势：?
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L
例 4、试计算均匀带电圆环轴线上任一点 P的电势。
设已知带电量为 q Z
R
r
p
dq
1,等势面,将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫做等势面,即 的空间曲面称为等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。
CzyxU?),,(
四、等势面、电势梯度作业,3-1 3-6,3-7,3-9,
等势面的性质：
证明,因为将单位正电荷从等势面上 M点移到 N点，
电场力做功为零，而路径不为零
0c o sE d lldEdA MN
0?dl
2) 电力线的方向指向电势降落的方向。
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少 。
3) 规定 两个相邻等势面的电势差相等,所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。
1) 除电场强度为零处外,电力线与等势面正交 。
ld?
M
N
E?
q? q?
2/
2,电势梯度电势分别为 和 的邻近等势面，其电力线与二等势面分别相交于 P,Q,两点间的垂直距离为,又等势面法向指向电势升高的方向。
U UU
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考虑任一 方向，在两个等势面之间有 矢量。l
l
考虑任一方向 l
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P
与 方向之 间的夹角是 。l n
于是可求出电势在 方向的变化率：l?
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定义：
称 为 沿 方向的 梯度U n?U?;
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UE
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电势梯度 是一个矢量，U?
2) 沿 方向的微商等于lc o s
nE?U
1) 沿 方向的微商最大。n?U结论,
它的方向是该点附近电势升高最快的方向。
提纲
1.6 静电场的保守性和环路定理
1.7 电势差和电势例 1 点电荷产生的电场中的电势分布用场强分布和电势的定义直接积分例 2 求均匀带电球面的电场中的电势分布。
例 3 求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布例 4 试计算均匀带电圆环轴线上任一点 P的电势。
例 5 试计算均匀带电圆环轴线上任一点 P的电场强度。
等势面、电势梯度作业,3-1 3-6,3-7,3-9,
1.6 静电场的保守性和环路定理
1.点电荷的场中移动点电荷从 到,电场做的功,0
q
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点电荷 从 P到 Q
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2,对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带电体，可看成是由无数电荷元组成，由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单位电荷的功）
为：
做功与路径无关静电场力是保守力
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任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了的位置,而与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性。
静电场的保守性还可表述为：
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。 称为静电场的环路定理或环流定理。
二、静电场的环路定理
L ldE 0
1.7 电势差和电势等势面、电势梯度一、电势能、电势差、电势
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1.静电场力作功等于相应电势能的减量或电势能增量的负值
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2,电势差：
3,电势,
当电荷只分布在有限区域时，零点通常选在无穷远处。
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在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。
电势差与电势的零点选取无关。
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场点 P 的电势定义为：
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电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，
电势的单位为：焦耳 /库仑（记作 J/C）,也称为伏特（ Volt,V）,即 1V＝ 1J/C
4,当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动时电场力所做的功：
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例 1、求,点电荷产生的电场中的电势分布解,用场强分布和电势的定义直接积分。
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例 2、求,均匀带电球面的电场中的电势分布。
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例 3、求,无限长均匀带电直线的电场中的电势分布
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三、电势的叠加原理
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电荷体密度为 的带电体产生的电势：
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设已知带电量为 q Z
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四、等势面、电势梯度作业,3-1 3-6,3-7,3-9,
等势面的性质：
证明,因为将单位正电荷从等势面上 M点移到 N点，
电场力做功为零，而路径不为零
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2) 电力线的方向指向电势降落的方向。
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3) 规定 两个相邻等势面的电势差相等,所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。
1) 除电场强度为零处外,电力线与等势面正交 。
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2,电势梯度电势分别为 和 的邻近等势面，其电力线与二等势面分别相交于 P,Q,两点间的垂直距离为,又等势面法向指向电势升高的方向。
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2) 沿 方向的微商等于lc o s
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1) 沿 方向的微商最大。n?U结论,
它的方向是该点附近电势升高最快的方向。
提纲
1.6 静电场的保守性和环路定理
1.7 电势差和电势例 1 点电荷产生的电场中的电势分布用场强分布和电势的定义直接积分例 2 求均匀带电球面的电场中的电势分布。
例 3 求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布例 4 试计算均匀带电圆环轴线上任一点 P的电势。
例 5 试计算均匀带电圆环轴线上任一点 P的电场强度。
等势面、电势梯度作业,3-1 3-6,3-7,3-9,
