例,在截面均匀铜环上任意两点用两根长直导线沿半径方向引到 很远 的电源上,求：环中心处 o 点的磁感应强度。
解,如图所示的电流系统在
o 点激发的 B 为 5 段电流所产生的 B 矢量的迭加。
o 点在直电流 IAE 与 IFB 所在延长线上。
c 2I
1I
A
BR
o D
E
F
0 FBAE BB
又 O点离 IEF很远，此电流的磁场可不计。
I1电流在 O点的磁场：
I2电流在 O点的磁场：
2
1
0
0
1
1
4 R
dlIB L
2
2
0
0
2
2
4 R
dlIB L
方向：B
2
110
4 R
LI
c 2I
1I
A
BR
o D
E
F
方向：B
2
220
4 R
LI
2
1
2
1
L
L
R
R?
又 R1和 R2并联,故有
R1I1=R2I2
21 BBB
c 2I
1I
A
BR
o D
E
F
由电阻定理知,ACB 和 ADB的电阻 R1 和 R2与其长度 L1 和 L2间有
)(4 221120 LILIR 0?
例,一半径为 R2 带电薄圆盘,其中半径为 R1
的阴影部分均匀带正电荷,面电荷密度为 +?,其余部分均匀带负电荷,面电荷密度为 –?,当圆盘以角速度? 旋装转时,测得圆盘中心点 o 的磁感应强度为零,问 R1 与 R2 满足什么关系？
1R
2R
o
解,当带电圆盘转动时,可看作无数个圆电流的磁场在 o 点 的迭加,
半径为 r,宽为 dr 的圆电流
dI=? 2?rdr? / 2? =? rdr?
磁场
dB =?0dI/2r =?0dr/2
阴影部分产生的磁场感应强度为
10 021R drB
其余部分：
)(21212
1 1200?
RR RRdrB
10 R
1R
2R
o
12 2 RRBB 则有已知：
1R
2R
o
表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 沿任何闭合回路 L 的线积分，等于穿过这回路的所有电流强度代数和的 倍
o?
B?
数学表达式：
1I
2IL
iI
1?nI
knI?
§ 5 安培环路定理及应用一,定理表述
i
i
L
IldB 内0?
B 空间所有电流共同产生的在场中任取的一闭合线?L
任意规定一个绕行方向
ld L上的任一线元
内I
与 L套连的电流如图示的
21 II
i
iI 内代数和与 L绕行方向成右螺电流取正如图示的电流
1I
取正
2I
取负
i
i
L
IldB 内0
ld?
I3
1I 2I
电流分布
L
证明步骤：
1,在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路。
I
L
B?
d
B r dldB
Ird
r
IldB
oL
o
L
2
2,在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。
B r dldB
Ird
r
IldB
oL
o
L
2
I
ld?
d
L
B?
21 LLL ldBldBldB
I
1L
2L
3,不围绕载流导线，在垂直平面内的任一回路
0)]([
2
Io
4,围绕单根载流导线的任一回路 L
对 L上每一个线元,可通过该垂直于导线的平面作参考，分解为在此平面的分量 和垂直于该平面的分量 则
ld?
//ld
ld
LLL ldBldBldB // //
0 Bld
IldBldB
LL 0////
5,围绕多根载流导线的任一回路 L
nIIII?321,,
knnn III21,
设有 穿过回路 L，
不穿过回路 L
knBBB?
21,
令 分别为单根导线产生的磁场
101 IldBL
nL n IldB 0
01L n ldB
0
L kn
ldB
i
ioL IldB?
所有电流的总场穿过回路的电流任意回路
1I
2I
L
iI
knI?
1?nI
二,安培环路定理在解场方面的应用对于一些对称分布的电流，可以通过取合适的环路 L，利用磁场的环路定理比较方便地求解场量。 (具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解题。 )
例 1 求,密绕长直螺线管内部的磁感强度总匝数为 N 总长为通过稳恒电流,电流强度为 I
l
I分析对称性 知内部场沿轴向方向与电流成右手螺旋关系
B?
l
由对称性分析场结构
B?
1,只有轴上的分量；
2,在与轴等距离的平行线上磁感应强度相等 (因为是无限长 ) 。
一个单位长度上有 n匝的无限长直螺线管。由于是密绕,? 每匝视为圆线圈。
外内 BB
>>
取过场点的，每个边都相当小的，矩形环 abcda
dc
ab
L ldB
dacdbcab
ldBldBldBldB
外内
abB内?
由安培环路定理
Iab
l
N
0 l
Nn?
内B
l
I
B?
nIB 0 均匀场因为例 2 求无限长圆柱面电流的磁场分布 (半径为 R )
分析场结构：有轴对称性
以轴上一点为圆心，取垂直于轴的平面内半径为 r 的圆为安培环路
Rr?
r
IB o
2?
Rr?
0 B
I
'Bd?
''Bd?
''dS
'dS
Bd?
B
r
IrBldB oL 2
无限长圆柱面电流外面的磁场与电流都集中在轴上的直线电流的磁场相同例 3 求载流螺绕环内的磁场根据对称性可知，在与环共轴的圆周上磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向。磁力线是与环共轴的一系列同心圆。
分析磁场结构，与长直螺旋管类似，环内磁场只能平行与线圈的轴线
p
设环很细，环的平均半径为 R，
总匝数为 N，通有电流强度为 I B?
2R
1R
L
设螺绕环的半径为,共有 N匝线圈。
以平均半径 作圆为安培回路 L,可得：
21,RR
R
INRBldB oL2
21 RrRnIB o
n 为单位长度上的匝数。
B?
L
2R
1R
1Rr?0?B
螺绕环管外磁场为零。
其磁场方向与电流满足右手螺旋。
同理可求得例 4 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面 电流密度 （即指通过与电流方向垂直的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j
'dl ''dl
''Bd?
'Bd?
Bd? p
o
解：视为无限多平行长直电流的场。
分析场点 p的对称性做 po 垂线，取对称的长直电流元，其合磁场方向平行于电流平面。
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点 B的大小相等。 在该平面两侧的磁场方向相反。
无数对称电流元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。
'dl ''dl
''Bd?
'Bd?
Bd? p
o
a b
cd
作一安培回路如图：
bc和 da两边被电流平面等分。 ab和 cd 与电流平面平行,则有
jllBldB oL 2
l
2
jB o结果在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
方向如图所示。
作业,8—13,14,15,16
电流密度
(体 )电流的 (面 )密度如图 电流强度为 I的电流通过截面 S
SI
若均匀通过 电流密度为
S
IJ?
(面 )电流的 (线 )密度如图 电流强度为 I的电流通过截线 l l
I
若均匀通过 则
l
Ij?
例,一对同轴的无限长空心导体圆筒,内、外半径分别为 R1 和 R2 ( 筒壁厚度可以忽略不计 ),电流 I 沿内筒流去,沿外筒流回,如图所示。
(1) 计算两圆筒间的磁感应强度；
(2) 求通过长度为 l 的一段截面 (图中的斜线部分 )的磁通量。
解,(1)由安培环路定理
IrBd 02lB
r
IB
2
0? Il
(2)在截面上 r 处,取宽为 dr,长 l 的窄条,其面积
dS =ldr
Il
则 SB dd m
r
drIld
s
R
Rm
2
1 2
0
1
20 ln
2 R
R
r
Il
l d rrI2 0
解,如图所示的电流系统在
o 点激发的 B 为 5 段电流所产生的 B 矢量的迭加。
o 点在直电流 IAE 与 IFB 所在延长线上。
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1I
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0 FBAE BB
又 O点离 IEF很远，此电流的磁场可不计。
I1电流在 O点的磁场：
I2电流在 O点的磁场：
2
1
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又 R1和 R2并联,故有
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)(4 221120 LILIR 0?
例,一半径为 R2 带电薄圆盘,其中半径为 R1
的阴影部分均匀带正电荷,面电荷密度为 +?,其余部分均匀带负电荷,面电荷密度为 –?,当圆盘以角速度? 旋装转时,测得圆盘中心点 o 的磁感应强度为零,问 R1 与 R2 满足什么关系？
1R
2R
o
解,当带电圆盘转动时,可看作无数个圆电流的磁场在 o 点 的迭加,
半径为 r,宽为 dr 的圆电流
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磁场
dB =?0dI/2r =?0dr/2
阴影部分产生的磁场感应强度为
10 021R drB
其余部分：
)(21212
1 1200?
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10 R
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12 2 RRBB 则有已知：
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表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 沿任何闭合回路 L 的线积分，等于穿过这回路的所有电流强度代数和的 倍
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数学表达式：
1I
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§ 5 安培环路定理及应用一,定理表述
i
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B 空间所有电流共同产生的在场中任取的一闭合线?L
任意规定一个绕行方向
ld L上的任一线元
内I
与 L套连的电流如图示的
21 II
i
iI 内代数和与 L绕行方向成右螺电流取正如图示的电流
1I
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L
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1I 2I
电流分布
L
证明步骤：
1,在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路。
I
L
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2,在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。
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1I
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二,安培环路定理在解场方面的应用对于一些对称分布的电流，可以通过取合适的环路 L，利用磁场的环路定理比较方便地求解场量。 (具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解题。 )
例 1 求,密绕长直螺线管内部的磁感强度总匝数为 N 总长为通过稳恒电流,电流强度为 I
l
I分析对称性 知内部场沿轴向方向与电流成右手螺旋关系
B?
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由对称性分析场结构
B?
1,只有轴上的分量；
2,在与轴等距离的平行线上磁感应强度相等 (因为是无限长 ) 。
一个单位长度上有 n匝的无限长直螺线管。由于是密绕,? 每匝视为圆线圈。
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以轴上一点为圆心，取垂直于轴的平面内半径为 r 的圆为安培环路
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无限长圆柱面电流外面的磁场与电流都集中在轴上的直线电流的磁场相同例 3 求载流螺绕环内的磁场根据对称性可知，在与环共轴的圆周上磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向。磁力线是与环共轴的一系列同心圆。
分析磁场结构，与长直螺旋管类似，环内磁场只能平行与线圈的轴线
p
设环很细，环的平均半径为 R，
总匝数为 N，通有电流强度为 I B?
2R
1R
L
设螺绕环的半径为,共有 N匝线圈。
以平均半径 作圆为安培回路 L,可得：
21,RR
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n 为单位长度上的匝数。
B?
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2R
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其磁场方向与电流满足右手螺旋。
同理可求得例 4 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面 电流密度 （即指通过与电流方向垂直的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j
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解：视为无限多平行长直电流的场。
分析场点 p的对称性做 po 垂线，取对称的长直电流元，其合磁场方向平行于电流平面。
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点 B的大小相等。 在该平面两侧的磁场方向相反。
无数对称电流元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。
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作一安培回路如图：
bc和 da两边被电流平面等分。 ab和 cd 与电流平面平行,则有
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jB o结果在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
方向如图所示。
作业,8—13,14,15,16
电流密度
(体 )电流的 (面 )密度如图 电流强度为 I的电流通过截面 S
SI
若均匀通过 电流密度为
S
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(面 )电流的 (线 )密度如图 电流强度为 I的电流通过截线 l l
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若均匀通过 则
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例,一对同轴的无限长空心导体圆筒,内、外半径分别为 R1 和 R2 ( 筒壁厚度可以忽略不计 ),电流 I 沿内筒流去,沿外筒流回,如图所示。
(1) 计算两圆筒间的磁感应强度；
(2) 求通过长度为 l 的一段截面 (图中的斜线部分 )的磁通量。
解,(1)由安培环路定理
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0? Il
(2)在截面上 r 处,取宽为 dr,长 l 的窄条,其面积
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