第一章学习目标掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。
掌握线性 /移不变 /因果 /稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性 /
稳定性判断的充要条件。
理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。
了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。
本章作业练习
P42:
2(2)(3)(4)
3
4(1)
6(2)
7
8(3)(4)(5)(6)(7)
10
12
14(1)(2)
第一章 离散时间信号与系统
x(n)代表第 n个序列值，
在数值上等于信号的采样值
x(n)只在 n为整数时才有意义一、离散时间信号 —序列
()axt
( ) ( )a t n T ax t x n T n
()ax nT
.,,( ),(0 ),( ),( 2 ),.,,a a a ax T x x T x T?
序列：对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为 T，
得到
n取整数。对于不同的 n值,是一个有序的数字序列：
该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时 nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，
形成 x(n)信号，称为 序列 。
1、序列的运算
移位
翻褶
和
积
累加
差分
时间尺度变换
卷积和
1）移位序列 x(n)，当 m>0时
x(n-m)：延时 /右移 m位
x(n+m)：超前 /左移 m位
2）翻褶
x(-n)是以 n=0的纵轴为对称轴将序列 x(n)
加以翻褶
3）和同序列号 n的序列值逐项对应相加
12( ) ( ) ( )x n x n x n
4）积同序号 n的序列值逐项对应相乘
12( ) ( ) ( )x n x n x n
5）累加
( ) ( )
n
k
y n x k
6）差分前向差分,后向差分：
( ) ( 1 ) ( )x n x n x n ( ) ( ) ( 1 )x n x n x n
( ) ( 1 )x n x n( ) ( 1 )x n x n
7）时间尺度变换抽取插值
()nx
m
( ) ( )
( ) ( )
a t n T
a t m n T
x n x t
x m n x t
()x mn
8）卷积和设两序列 x(n),h(n)，则其卷积和定义为：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
y n x m h n m x n h n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x n x m h n h m h m1）翻褶：
( ) ( )h m h n m2）移位：
( ) ( )x m h n m m3）相乘：
( ) ( )
m
x m h n m
4）相加：
举例说明卷积过程
n - 2,y (n )= 0?
n=-1 n=0 n=1
y(-1)=8 y (0)= 6 + 4 = 1 0y (1 )= 4 + 3 + 6 = 1 3
n=5 n=6 n=7
y (5 )= - 1 + 1 = 0y(6 )= 0,5 y (n)= 0,n 7?
卷积和与两序列的前后次序无关
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
y n x n h n x m h n m
( ) ( )
nk
x n k h k
n m k
m n k
令则
( ) ( ) ( ) ( )
k
h k x n k h n x n
2、几种典型序列
1） 单位抽样序列
10()
00
nn
n?
2）单位阶跃序列
10()
00
nun
n
( ) ( ) ( 1 )n u n u n
0
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ),.,
m
u n n m n n n
()n
k
k?
与单位抽样序列的关系
3）矩形序列
1 0 1()
0nN
nNRn
其 它
( ) ( ) ( )NR n u n u n N
1
0
( ) ( ) ( ) ( 1 ),.,[ ( 1 ) ]NN
m
R n n m n n n N
与其他序列的关系
4）实指数序列为实数
( ) ( )nx n a u n?
a
5）复指数序列
00()() j n j nnx n e e e
00c o s ( ) s i n ( )nne n j e n
0? 为数字域频率
jnn 3x ( n ) = 0,9 e?
例：
6）正弦序列
0( ) s i n ( )x n A n
( ) ( ) s in ( )a t n Tx n x t A n T
0 / sTf
0?,数字域频率?,模拟域频率
T,采样周期 sf,采样频率
( ) s i n ( )ax t A t
模拟正弦信号：
数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率
7）任意序列
x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，
也可表示成与单位取样序列的卷积和。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
x n x m n m x n n
( ) 2 ( 1 ) ( )x n n n
1,5 ( 1 ) ( 2 )nn
0,5 ( 3 )n
例：
3、序列的周期性若对所有 n存在一个最小的正整数 N，满足则称序列 x(n)是周期性序列，周期为 N。
( ) ( )x n x n N n
例：
因此,x(n)是周期为 8的周期序列
( ) sin ( ) sin [ ( 8 ) ]44x n n n
讨论一般正弦序列的周期性
0( ) s i n ( )x n A n
( ) ( ) ( )x n N x n x n N要使,即 为周期为 的周期序列
0 0 0( ) s i n [ ( ) ] s i n ( )x n N A n N A n N
0
0
2
2N k N k N k
kN
则要求,即,,为整数，
且 的取值保证 是最小的正整数分情况讨论
1）当 为整数时
2）当 为有理数时
3）当 为无理数时
0
2?
0
2?
0
2?
0
0
2
2
1 ( )k x n
1 ）当 为整数时，
取,即是周期为 的周期序列
0
2
s i n( ) 8
44
8
nN
0如,,
该序列是周期为 的周期序列
0
0
2
2
()
P
PQ
Q
k Q N P x n P
2 ）当 为有理数时，
表示成,,为互为素数的整数取,则,即是周期为 的周期序列
0
4 4 2 5
si n( )
5 5 2
5
n
0如,,,
该序列是周期为 的周期序列
0
2
()
kN
xn
3 ）当 为无理数时，
取任何整数 都不能使 为正整数，
不是周期序列
0
1 1 2
si n( ) 8
44
n
0如,,
该序列不是周期序列
( ) ( )6 6 6() n N n Njjx n N e e解,
( ) ( ) ( )
2
6
x n x n x n N
N
k N k?
若 为周期序列，则必须满足,
即满足,且,为整数例：判断
()6() njx n e
是否是周期序列
12k N k而不论 取什么整数,都是一个无理数
()xn? 不是周期序列讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔 T和连续正弦信号的周期 T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？
0( ) s i n ( )x t A t
00( ) ( ) s i n ( ) s i n ( )t n Tx n x t A n T A n
00
0 0 0
2
1 / 2 /
f
Tf
0 0 0
0
22 TT f T T0
0
2 T
T
设连续正弦信号：
抽样序列：
当为整数或有理数时,x(n)为周期序列令：
0NT kT?
0TN
Tk?
3( ) sin ( 2 )
14x n n
0
0
0
3
2
14
2 14
3
NT
kT
01 4 3 ( ) 1 4T T x n?当 时,为周期为 的周期序列例：
N,k为互为素数的正整数即
N个抽样间隔应等于 k个连续正弦信号周期
4、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和
2()
n
E x n?
掌握线性 /移不变 /因果 /稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性 /
稳定性判断的充要条件。
理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。
了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。
本章作业练习
P42:
2(2)(3)(4)
3
4(1)
6(2)
7
8(3)(4)(5)(6)(7)
10
12
14(1)(2)
第一章 离散时间信号与系统
x(n)代表第 n个序列值，
在数值上等于信号的采样值
x(n)只在 n为整数时才有意义一、离散时间信号 —序列
()axt
( ) ( )a t n T ax t x n T n
()ax nT
.,,( ),(0 ),( ),( 2 ),.,,a a a ax T x x T x T?
序列：对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为 T，
得到
n取整数。对于不同的 n值,是一个有序的数字序列：
该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时 nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，
形成 x(n)信号，称为 序列 。
1、序列的运算
移位
翻褶
和
积
累加
差分
时间尺度变换
卷积和
1）移位序列 x(n)，当 m>0时
x(n-m)：延时 /右移 m位
x(n+m)：超前 /左移 m位
2）翻褶
x(-n)是以 n=0的纵轴为对称轴将序列 x(n)
加以翻褶
3）和同序列号 n的序列值逐项对应相加
12( ) ( ) ( )x n x n x n
4）积同序号 n的序列值逐项对应相乘
12( ) ( ) ( )x n x n x n
5）累加
( ) ( )
n
k
y n x k
6）差分前向差分,后向差分：
( ) ( 1 ) ( )x n x n x n ( ) ( ) ( 1 )x n x n x n
( ) ( 1 )x n x n( ) ( 1 )x n x n
7）时间尺度变换抽取插值
()nx
m
( ) ( )
( ) ( )
a t n T
a t m n T
x n x t
x m n x t
()x mn
8）卷积和设两序列 x(n),h(n)，则其卷积和定义为：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
y n x m h n m x n h n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x n x m h n h m h m1）翻褶：
( ) ( )h m h n m2）移位：
( ) ( )x m h n m m3）相乘：
( ) ( )
m
x m h n m
4）相加：
举例说明卷积过程
n - 2,y (n )= 0?
n=-1 n=0 n=1
y(-1)=8 y (0)= 6 + 4 = 1 0y (1 )= 4 + 3 + 6 = 1 3
n=5 n=6 n=7
y (5 )= - 1 + 1 = 0y(6 )= 0,5 y (n)= 0,n 7?
卷积和与两序列的前后次序无关
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
y n x n h n x m h n m
( ) ( )
nk
x n k h k
n m k
m n k
令则
( ) ( ) ( ) ( )
k
h k x n k h n x n
2、几种典型序列
1） 单位抽样序列
10()
00
nn
n?
2）单位阶跃序列
10()
00
nun
n
( ) ( ) ( 1 )n u n u n
0
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ),.,
m
u n n m n n n
()n
k
k?
与单位抽样序列的关系
3）矩形序列
1 0 1()
0nN
nNRn
其 它
( ) ( ) ( )NR n u n u n N
1
0
( ) ( ) ( ) ( 1 ),.,[ ( 1 ) ]NN
m
R n n m n n n N
与其他序列的关系
4）实指数序列为实数
( ) ( )nx n a u n?
a
5）复指数序列
00()() j n j nnx n e e e
00c o s ( ) s i n ( )nne n j e n
0? 为数字域频率
jnn 3x ( n ) = 0,9 e?
例：
6）正弦序列
0( ) s i n ( )x n A n
( ) ( ) s in ( )a t n Tx n x t A n T
0 / sTf
0?,数字域频率?,模拟域频率
T,采样周期 sf,采样频率
( ) s i n ( )ax t A t
模拟正弦信号：
数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率
7）任意序列
x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，
也可表示成与单位取样序列的卷积和。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
x n x m n m x n n
( ) 2 ( 1 ) ( )x n n n
1,5 ( 1 ) ( 2 )nn
0,5 ( 3 )n
例：
3、序列的周期性若对所有 n存在一个最小的正整数 N，满足则称序列 x(n)是周期性序列，周期为 N。
( ) ( )x n x n N n
例：
因此,x(n)是周期为 8的周期序列
( ) sin ( ) sin [ ( 8 ) ]44x n n n
讨论一般正弦序列的周期性
0( ) s i n ( )x n A n
( ) ( ) ( )x n N x n x n N要使,即 为周期为 的周期序列
0 0 0( ) s i n [ ( ) ] s i n ( )x n N A n N A n N
0
0
2
2N k N k N k
kN
则要求,即,,为整数，
且 的取值保证 是最小的正整数分情况讨论
1）当 为整数时
2）当 为有理数时
3）当 为无理数时
0
2?
0
2?
0
2?
0
0
2
2
1 ( )k x n
1 ）当 为整数时，
取,即是周期为 的周期序列
0
2
s i n( ) 8
44
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0如,,
该序列是周期为 的周期序列
0
0
2
2
()
P
PQ
Q
k Q N P x n P
2 ）当 为有理数时，
表示成,,为互为素数的整数取,则,即是周期为 的周期序列
0
4 4 2 5
si n( )
5 5 2
5
n
0如,,,
该序列是周期为 的周期序列
0
2
()
kN
xn
3 ）当 为无理数时，
取任何整数 都不能使 为正整数，
不是周期序列
0
1 1 2
si n( ) 8
44
n
0如,,
该序列不是周期序列
( ) ( )6 6 6() n N n Njjx n N e e解,
( ) ( ) ( )
2
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x n x n x n N
N
k N k?
若 为周期序列，则必须满足,
即满足,且,为整数例：判断
()6() njx n e
是否是周期序列
12k N k而不论 取什么整数,都是一个无理数
()xn? 不是周期序列讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔 T和连续正弦信号的周期 T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？
0( ) s i n ( )x t A t
00( ) ( ) s i n ( ) s i n ( )t n Tx n x t A n T A n
00
0 0 0
2
1 / 2 /
f
Tf
0 0 0
0
22 TT f T T0
0
2 T
T
设连续正弦信号：
抽样序列：
当为整数或有理数时,x(n)为周期序列令：
0NT kT?
0TN
Tk?
3( ) sin ( 2 )
14x n n
0
0
0
3
2
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2 14
3
NT
kT
01 4 3 ( ) 1 4T T x n?当 时,为周期为 的周期序列例：
N,k为互为素数的正整数即
N个抽样间隔应等于 k个连续正弦信号周期
4、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和
2()
n
E x n?
