二,z反变换实质：求 X(z)幂级数展开式
z反变换的求解方法：
围线积分法（留数法）
部分分式法长除法
( ) [ ( )]x n IZ T X z?
z反变换,从 X(z)中还原出原序列 x(n)
( ) [ ( ) ] ( ) n
n
X z Z T x n x n z
1、围线积分法（留数法）
根据复变函数理论，若函数 X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内 X(z)可展开成罗朗级数，即而其中围线 c是在 X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。
,0,x x x xR z R R R （）
() nn xx
n
X z C z R z R
11 ()
2
n
n cC X z z d zj?
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
xR? xR?
C
0,1,2,n
若 F(z)在 c外 M个极点 zm，且分母多项式 z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，
则：
11( ) ( ) (,)
2
n
xxcx n X z z d z c R Rj
1( ) ( ) nF z X z z
( ) R e [ ( )] kzz
k
x n s F z
( ) R e [ ( )] mzz
m
x n s F z
利用留数定理求围线积分，令若 F(z)在围线 c上连续，在 c内有 K个极点 zk，
则：
留数的计算公式单阶极点的留数：
R e [ ( )] [( ) ( )]rrz z r z zs F z z z F z
2
( ) 1/ 4< 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz例1：,,求其z反变换
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
41/4
2
11( ) (,)
2 ( 4 ) ( 1 / 4 )
n
xxc
zx n z dz c R R
j z z
解：
21
1()
( 4 ) ( 1 / 4 ) ( 4 ) ( 1 / 4 )
n
nzzF z z
z z z z
其中,1
1
()
4
n
F z c z
当时在围线 内只有一阶极点
1
4
( ) R e [ ( )] zx n s F z 1
1
4
1()
4 ( 4 )( 1 / 4 )
n
z
zz
zz
4
15
n?
1
1
( ) ( 1 ) 0
4
n
F z c z n z
当时在围线 内有一阶极点 和- 阶极点
4( ) R e [ ( )] zx n s F z
1
4
4
4 1 / 4
n
z
zz
zz
24
15
n?
c z= 4 F (z )而围线 外只有一阶极点,且 的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上
244
( ) ( 1 ) ( 2 )1 5 1 5
nn
x n u n u n
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
41/4
2
( ) 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz例2：,,求其z反变换
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
4
1/4
解,收敛域是圆的外部
l i m ( ) 1
X( z ) z =
z
Xz
又，
即 在 处收敛
( ) ( ) 0 0x n x n n是一个因果序列，即,
()xn? 是右边序列
1
0 ( ) c
( 4 ) ( 1 / 4 )
0 ( ) 0
n
z
n F z
zz
xn
同样当 时，由 在 外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为 可得
0n?当时
1
() ( 4 ) ( 1 / 4 )
nz
Fz zz
14
4cz?在围线 内有一阶极点,Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
4
1/4
4 1 / 4( ) R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]zzx n s F z s F z
11
1
4
4
1
( 4 ) ( )
11 4
( 4 )( ) ( 4 )( )
44
nn
zz
zz
zz
z z z z
21 ( 4 4 )
15
nn
21( ) ( 4 4 ) ( )
15
nnx n u n
思考,n=0,1时,F(z)
在围线 c外也无极点，
为何 ( ) 0xn?
2
1
1( ) 1
( 1 ) ( 1 )
aX z a
az az?
例3：,,求z反变换
2
1
1
11()
2 ( 1 ) ( 1 )
n
c
ax n z dz
j az az?
解：
22
1
11
1 ( 1 )
()
( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )
c X( z )
n
na a zF z z
az az a z a z a
其中：
为 收敛域内闭合围线
1( ),X z z a a而题中未给出收敛域，根据 的极点有三种可能的收敛域：
1
1
1 )
2 )
3 )
za
za
a z a
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
1a?
a
11 ) za
收敛域是圆的外部
l i m ( ) 0z Xz又，
( ) ( ) 0 0x n x n n是因果序列，即,
0n?当时 1()F z c z a a在围线 内有一阶极点,
1( ) R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]za zax n s F z s F z
1
22
1
11
( 1 ) ( 1 )( ) ( )
( )( ) ( )( )
nn
z a z a
a z a zz a z a
a z a z a a z a z a?
nnaa
( ) ( ) ( )nnx n a a u n
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
1a?
a
2 ) za?
0n?当时 ()F z c在围线 内无极点
( ) 0xn?故
0n?当时 ( ) 0F z c n z?在 内有- 阶极点
1,,c z a a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上
1( ) R e [ ( )] R e [ ( )]za zax n s F z s F z
()n n n na a a a
( ) ( ) ( 1 )nnx n a a u n
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
1a?
a
0n?当时
()F z c z a?在 内有一阶极点
( ) R e [ ( ) ] nzax n s F z a
0n?当时
( ) 0F z c z a n z在 内有一阶极点 和- 阶极点
1,c z a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上
1( ) R e [ ( )] nzax n s F z a
( ) ( ) ( 1 ) nnnx n a u n a u n a
13 ) a z a
2、部分分式展开法
X(z)是 z的有理分式，可分解成部分分式：
12
()( ) ( ) ( ) ( )
() K
BzX z X z X z X z
Az
( ) [ ( )]x n IZ T X z?
12[ ( )] [ ( )] [ ( )]KIZ T X z IZ T X z IZ T X z
对各部分分式求 z反变换：
0
1
()
()
()
1
M
i
i
i
N
i
i
i
bz
Bz
Xz
Az
az
11
0 1 1
() 1 [ 1 ]
M N M r r
n kk
n k
n k kki
ACX z B z
z z z z
()
R e 1,2,,
k
k
zz
Xz
A s k M r
z?
用留数定理求系数：
1
12
5( ) 2 < 3
16
zX z z
zz
例：,,求z 反变换
Re[]z
Im[ ]jz
03? 2
2 3 3
531
23z
z
XzA R e s z
z z z
1
1 2 2
5 5 5
1 6 6 2 3
z z zXz
z z z z z z
解,
125
2 3 2 3
Xz AA
z z z z z
1 2 2
521
23z
z
XzA R e s z
z z z?
11
23
Xz
z z z
11112 3 1 2 1 3zzXz z z z z
23z
1
1[ ( ) ]
1
nZ T a u n z a
az
1
1[ ( 1 ) ]
1
nZ T a u n z a
az?
1
1
12z 2 ( )nun
2z?
1
1
13z?
3 ( 1 )
n un3z?
2 3 1nnx n u n u n
3、幂级数展开法（长除法）
把 X(z)展开成幂级数
( ) ( ) n
n
X z x n z
1 0 1 2( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )x z x z x z x z
级数的系数就是序列 x(n)
根据收敛域判断 x(n)的性质，在展开成相应的 z的幂级数将 X(z) X(z)的
x(n) 展成 z的 分子分母按 z的因果序列 负幂级数 降幂排列左边序列 正幂级数 升幂排列
xzR
xzR
解：由 Roc判定
x(n)是因果序列，
用长除法展成 z
的负幂级数
1
1( )
( 1 )X z z aaz例：,,求z 反变换
1 2 2 3 3
0
( ) 1
nn
n
X z a z a z a z
az
…
( ) ( )nx n a u n
1
1
1
1 2 2
22
2 2 3 3
33
11
1
az
az
az
az a z
az
a z a z
az
1 2 2 3 31 a z a z a z
1
1( )
( 1 )X z z aaz例：,,求z 反变换
1 2 2 3 3
1
( ) [ ]
nn
n
X z a z a z a z
az
…
-
( ) ( 1 )nx n a u n
解：由 Roc判定
x(n)是左边序列，
用长除法展成 z
的正幂级数
1
1
1
1 2 2
22
11
1
az
az
az
a z a z
az
1 2 2 3 3a z a z a z
2
( ) 1/4< 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz例：,,求z反变换解,X(z)的 Roc为环状，故 x(n)是双边序列极点 z=1/4对应右边序列，极点 z=4对应左边序列先把 X(z)展成部分分式 1 6 1
() 1 5 1 5
( 4 )( ) 41 / 4 1 / 4
X z z
z z z z z
1 1 6()
15 1 / 44
zzXz
zz
＋
2
2
23
3
4 16
16 4
4
4
zz
zz
z
zz
z
2314
4z z z
1
1
1
4
11
4 16
1
1
4
1
1
4
6
zz
z
z
z
12111
4 16zz
2 1 2 31 1 1( ) 1 4
1 5 4 4X z z z z z z
1+
16
244
( ) ( ) ( 1 )1 5 1 5
nn
x n u n u n
2
01
11 4
1 5 4
n
n n n
nn
zz
z反变换的求解方法：
围线积分法（留数法）
部分分式法长除法
( ) [ ( )]x n IZ T X z?
z反变换,从 X(z)中还原出原序列 x(n)
( ) [ ( ) ] ( ) n
n
X z Z T x n x n z
1、围线积分法（留数法）
根据复变函数理论，若函数 X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内 X(z)可展开成罗朗级数，即而其中围线 c是在 X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。
,0,x x x xR z R R R （）
() nn xx
n
X z C z R z R
11 ()
2
n
n cC X z z d zj?
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
xR? xR?
C
0,1,2,n
若 F(z)在 c外 M个极点 zm，且分母多项式 z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，
则：
11( ) ( ) (,)
2
n
xxcx n X z z d z c R Rj
1( ) ( ) nF z X z z
( ) R e [ ( )] kzz
k
x n s F z
( ) R e [ ( )] mzz
m
x n s F z
利用留数定理求围线积分，令若 F(z)在围线 c上连续，在 c内有 K个极点 zk，
则：
留数的计算公式单阶极点的留数：
R e [ ( )] [( ) ( )]rrz z r z zs F z z z F z
2
( ) 1/ 4< 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz例1：,,求其z反变换
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
41/4
2
11( ) (,)
2 ( 4 ) ( 1 / 4 )
n
xxc
zx n z dz c R R
j z z
解：
21
1()
( 4 ) ( 1 / 4 ) ( 4 ) ( 1 / 4 )
n
nzzF z z
z z z z
其中,1
1
()
4
n
F z c z
当时在围线 内只有一阶极点
1
4
( ) R e [ ( )] zx n s F z 1
1
4
1()
4 ( 4 )( 1 / 4 )
n
z
zz
zz
4
15
n?
1
1
( ) ( 1 ) 0
4
n
F z c z n z
当时在围线 内有一阶极点 和- 阶极点
4( ) R e [ ( )] zx n s F z
1
4
4
4 1 / 4
n
z
zz
zz
24
15
n?
c z= 4 F (z )而围线 外只有一阶极点,且 的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上
244
( ) ( 1 ) ( 2 )1 5 1 5
nn
x n u n u n
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
41/4
2
( ) 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz例2：,,求其z反变换
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
4
1/4
解,收敛域是圆的外部
l i m ( ) 1
X( z ) z =
z
Xz
又，
即 在 处收敛
( ) ( ) 0 0x n x n n是一个因果序列，即,
()xn? 是右边序列
1
0 ( ) c
( 4 ) ( 1 / 4 )
0 ( ) 0
n
z
n F z
zz
xn
同样当 时，由 在 外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为 可得
0n?当时
1
() ( 4 ) ( 1 / 4 )
nz
Fz zz
14
4cz?在围线 内有一阶极点,Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
4
1/4
4 1 / 4( ) R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]zzx n s F z s F z
11
1
4
4
1
( 4 ) ( )
11 4
( 4 )( ) ( 4 )( )
44
nn
zz
zz
zz
z z z z
21 ( 4 4 )
15
nn
21( ) ( 4 4 ) ( )
15
nnx n u n
思考,n=0,1时,F(z)
在围线 c外也无极点，
为何 ( ) 0xn?
2
1
1( ) 1
( 1 ) ( 1 )
aX z a
az az?
例3：,,求z反变换
2
1
1
11()
2 ( 1 ) ( 1 )
n
c
ax n z dz
j az az?
解：
22
1
11
1 ( 1 )
()
( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )
c X( z )
n
na a zF z z
az az a z a z a
其中：
为 收敛域内闭合围线
1( ),X z z a a而题中未给出收敛域，根据 的极点有三种可能的收敛域：
1
1
1 )
2 )
3 )
za
za
a z a
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
1a?
a
11 ) za
收敛域是圆的外部
l i m ( ) 0z Xz又，
( ) ( ) 0 0x n x n n是因果序列，即,
0n?当时 1()F z c z a a在围线 内有一阶极点,
1( ) R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]za zax n s F z s F z
1
22
1
11
( 1 ) ( 1 )( ) ( )
( )( ) ( )( )
nn
z a z a
a z a zz a z a
a z a z a a z a z a?
nnaa
( ) ( ) ( )nnx n a a u n
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
1a?
a
2 ) za?
0n?当时 ()F z c在围线 内无极点
( ) 0xn?故
0n?当时 ( ) 0F z c n z?在 内有- 阶极点
1,,c z a a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上
1( ) R e [ ( )] R e [ ( )]za zax n s F z s F z
()n n n na a a a
( ) ( ) ( 1 )nnx n a a u n
Re[ ]z
Im[ ]jz
0
C
1a?
a
0n?当时
()F z c z a?在 内有一阶极点
( ) R e [ ( ) ] nzax n s F z a
0n?当时
( ) 0F z c z a n z在 内有一阶极点 和- 阶极点
1,c z a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上
1( ) R e [ ( )] nzax n s F z a
( ) ( ) ( 1 ) nnnx n a u n a u n a
13 ) a z a
2、部分分式展开法
X(z)是 z的有理分式，可分解成部分分式：
12
()( ) ( ) ( ) ( )
() K
BzX z X z X z X z
Az
( ) [ ( )]x n IZ T X z?
12[ ( )] [ ( )] [ ( )]KIZ T X z IZ T X z IZ T X z
对各部分分式求 z反变换：
0
1
()
()
()
1
M
i
i
i
N
i
i
i
bz
Bz
Xz
Az
az
11
0 1 1
() 1 [ 1 ]
M N M r r
n kk
n k
n k kki
ACX z B z
z z z z
()
R e 1,2,,
k
k
zz
Xz
A s k M r
z?
用留数定理求系数：
1
12
5( ) 2 < 3
16
zX z z
zz
例：,,求z 反变换
Re[]z
Im[ ]jz
03? 2
2 3 3
531
23z
z
XzA R e s z
z z z
1
1 2 2
5 5 5
1 6 6 2 3
z z zXz
z z z z z z
解,
125
2 3 2 3
Xz AA
z z z z z
1 2 2
521
23z
z
XzA R e s z
z z z?
11
23
Xz
z z z
11112 3 1 2 1 3zzXz z z z z
23z
1
1[ ( ) ]
1
nZ T a u n z a
az
1
1[ ( 1 ) ]
1
nZ T a u n z a
az?
1
1
12z 2 ( )nun
2z?
1
1
13z?
3 ( 1 )
n un3z?
2 3 1nnx n u n u n
3、幂级数展开法（长除法）
把 X(z)展开成幂级数
( ) ( ) n
n
X z x n z
1 0 1 2( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )x z x z x z x z
级数的系数就是序列 x(n)
根据收敛域判断 x(n)的性质，在展开成相应的 z的幂级数将 X(z) X(z)的
x(n) 展成 z的 分子分母按 z的因果序列 负幂级数 降幂排列左边序列 正幂级数 升幂排列
xzR
xzR
解：由 Roc判定
x(n)是因果序列，
用长除法展成 z
的负幂级数
1
1( )
( 1 )X z z aaz例：,,求z 反变换
1 2 2 3 3
0
( ) 1
nn
n
X z a z a z a z
az
…
( ) ( )nx n a u n
1
1
1
1 2 2
22
2 2 3 3
33
11
1
az
az
az
az a z
az
a z a z
az
1 2 2 3 31 a z a z a z
1
1( )
( 1 )X z z aaz例：,,求z 反变换
1 2 2 3 3
1
( ) [ ]
nn
n
X z a z a z a z
az
…
-
( ) ( 1 )nx n a u n
解：由 Roc判定
x(n)是左边序列，
用长除法展成 z
的正幂级数
1
1
1
1 2 2
22
11
1
az
az
az
a z a z
az
1 2 2 3 3a z a z a z
2
( ) 1/4< 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz例：,,求z反变换解,X(z)的 Roc为环状，故 x(n)是双边序列极点 z=1/4对应右边序列，极点 z=4对应左边序列先把 X(z)展成部分分式 1 6 1
() 1 5 1 5
( 4 )( ) 41 / 4 1 / 4
X z z
z z z z z
1 1 6()
15 1 / 44
zzXz
zz
＋
2
2
23
3
4 16
16 4
4
4
zz
zz
z
zz
z
2314
4z z z
1
1
1
4
11
4 16
1
1
4
1
1
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6
zz
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z
z
12111
4 16zz
2 1 2 31 1 1( ) 1 4
1 5 4 4X z z z z z z
1+
16
244
( ) ( ) ( 1 )1 5 1 5
nn
x n u n u n
2
01
11 4
1 5 4
n
n n n
nn
zz
