第一章习题讲解解：
342 x n R n h n R n），
34y n x n h n R n R n
1-2 已知线性移不变系统的输入为,系统的单位抽样响应为,试求系统的输出,
并画图。
xn
hnyn
412n n n R n
4 4 412R n R n R n
解：
33 2 0,5 nx n n h n R n），
3
2
3
2 0.5
0.5 2
n
n
y n x n h n
n R n
Rn
解,
m
y n x m h n m
4 2 1 0,5nnx n u n h n u n），
1n当时
2 0.5n m n m
m
yn?
24
n
nm
m
24nm
mn
1
4422
1 4 3
n
nn?
0n?当时
1 2 0.5m n m
m
yn
412 1 233nny n u n u n
1
24nm
m
1
24nm
m
1
1
4122
1 4 3
nn
1 0 1nh n a u n a，
hn
1-3 已知,通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 的线性移不变系统的阶跃响应。
解,LSI系统的阶跃响应是指输入为阶跃序列时系统的输出，即
1,0 1nh n a u n a,x n u n?
m
y n x n h n x m h n m
求
1n当时
0n?当时
0
nm
m
y n a
1
na
a
1
nm
mn
y n a
1
a
a
或
1n当时
0n?当时
111naay n u n u naa
m
y n h n x n h m x n m
求
n m
m
y n a?
1
n
m
mn
aa
a
1 m
m
y n a
1 1
m
m
a
a
1-4 判断下列每个序列是否是周期性的，若是周期性的，试确定其周期
31 c o s 78x n A n（）
0
3
7
其中
0
2 14
3
是有理数
()xn解,为正弦序列
14xn? 为周期序列，周期为
1 4 ( ) ( )N x n N x n是满足 的最小正整数
1-6 试判断 是否是线性系统？
并判断是否是移不变系统？
2y n x n
21 2 1 2T x n x n x n x n
不满足可加性或 2T a x n a x n
不满足比例性
不是线性系统
2T x n m x n m
是移不变系统
221 2 1 22x n x n x n x n
12T x n T x n
解：设 211( ) ( )T x n x n 222( ) ( )T x n x n?
22a x n aT x n
2()y n m x n m
1-7 判断以下每一系统是否是（ 1）线性
（ 2）移不变（ 3）因果（ 4）稳定的？
1 T x n g n x n（）
1 2 1 2T a x n b x n g n a x n b x n解：
满足叠加原理是线性系统?
T x n m g n x n m
不是移不变系统?
12a g n x n b g n x n
12a T x n b T x n
y n m g n m x n mT x n m
因为系统的输出只取决于当前输入，与未来输入无关。所以是因果系统若 有界xn
当 时，输出有界，系统为稳定系统gn
当 时，输出无界，系统为不稳定系统gn
x n M
T x n g n M则
T x n g n x n
0
1 2 1 2
n
kn
T a x n b x n a x k b x k
满足叠加原理
是线性系统
0
n
kn
T x n m x k m
是移变系统?
0
2
n
kn
T x n x k
（）
00
12
nn
k n k n
a x k b x k
12a T x n b T x n
'
'
0
'
nmk k m
k n m
xk
令
0
nm
kn
y n m x k
T x n m
当 时，输出只取决于当前输入和以前的输入
0nn?
而当 时，输出还取决于未来输入0nn?
是非因果系统当 时，x n M
0
n
kn
T x n x k
0
n
kn
xk
是不稳定系统?
n当
0 1n n M
0
n
kn
T x n x k
1 2 1 0 2 0T a x n b x n a x n n b x n n
满足叠加原理? 是线性系统
0T x n m x n m n y n m
是移不变系统?
是非因果系统
x n M若0x n n M则是稳定系统?
03 T x n x n n（）
12a T x n b T x n
当 时，输出取决于未来输入0 0n?
是因果系统当 时，输出与未来输入无关0 0n?
1212 a x n b x nT a x n b x n e
不满足叠加原理?是非线性系统
x n mT x n m e y n m
是移不变系统?
输出只取决于当前输入，与未来输入无关
是因果系统
x n M若xnxn Me e e则是稳定系统?
4 xnT x n e（）
1212 x n x na T x n b T x n a e b e
12a x n b x nee
1-8 以下序列是系统的单位抽样响应,
试说明系统是否是（ 1）因果的（ 2）稳定的
hn
33 n un（ ）
解：
0n?当时 0hn 是因果的
0
3 n
nn
hn
是不稳定的?
43 n un?（ ）
解：
0n?当时 ( ) 0hn?
是非因果的
0 3 n
nn
hn
是稳定的?
0
3 n
n
13
1 21
3
5 0,3 n un（ ）
解：
是因果的
0
0.3 n
nn
hn
是稳定的?
0n?当时 0hn?
1 10
1 0.3 7
31n un（6 ） 0,
解：
是非因果的
1 0.3 n
nn
hn
是不稳定的?
0n?当时 0hn?
1
0,3 n
n
74n（）
解：
4n当时( ) 4 1 0h n n
是非因果的
41
nn
h n n?
是稳定的?
1-10设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定
11 1122y n y n x n x n
设系统是因果性的。
（ a）求该系统的单位抽样响应
（ b）由（ a）的结果，利用卷积和求输入的响应 jnx n e
（ a）系统是因果性的 0,0h n n
11 1122y n y n x n x n
x n n令
11 1122y n h n h n x n x n则
2
11
0 1 0 1 1
22
1 1 1
1 0 1 0 1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 1 2 1
2 2 2
1 1 1
3 2 3 2
2 2 2
h h x x
h h x x
h h x x
h h x x
系统的单位抽样响应
11
12
n
h n n u n?
11 1 1
112 2 2
n
h n h n x n x n
1
22
1
1
2
j
j n j n
j
e
ee
e
11
1
2
n
jnb y n h n x n n u n e
（）
1
1
1
2
m
j n mjn
m
ee
1
2 2
m
j n j m
m
ee
2 2 1
2 1 2 1
j n j
j n j n
jj
eeee
ee
2 je
1 2 2 1
2 1 2 1
jj
jnj n j n
jj
eee e e
ee
11
1
2
n
jny n x n h n e n u n
或
11 1
2
nmn
j n j m
m
ee
1
1
1 2
2
n
mj n j
mn
ee
11
1
21
2 12
njn
jn
j
e
e
e
1-12 已知一个线性时不变系统的单位抽样响应 除区间 之外皆为零；
又已知输入 除区间 之外皆为零；设输出 除区间之外皆为零，试以 和 表示和 。
hn 01N n N
xn 23N n N
yn 45N n N
0 1 2,,N N N
4N 5N
3N
解：
对线性移不变系统，有
m
y n x n h n x m h n m
对,非零值的区间为xm 23N m N
对,非零值区间为h n m? 01N n m N
4 0 2N N N 5 1 3N N N
yn 0 2 1 3N N n N N得输出 的非零值区间
01N m n N m
()xn
n0
2N 3N
()hn
n0 0N 1N
02n N N
13n N N
0nN?
1nN?
()h n m?
m00N?1N?
0n?
()h n m?
m0
()h n m?
m0
()h n m?
m0 2N
()h n m?
m
0 3N
1-14 有一调幅信号用 DFT做频谱分析，要求能分辨 的所有频率分量，问
(1)抽样频率应为多少赫兹（ Hz）?
(2)抽样时间间隔应为多少秒（ Sec）?
(3)抽样点数应为多少点？
(4)若用 频率抽样，抽样数据为 512
点，做频谱分析，求,
512点，并粗略画出 的幅频特性,标出主要点的坐标值。
1 c o s 2 1 0 0 c o s 2 6 0 0ax t t t
axt
3 k H zsf?
( ) [ ( )]X k D F T x n?
()Xk
()Xk
（ 1）抽样频率应为 2 7 0 0 1 4 0 0sf H z
解：
（ 2）抽样时间间隔应为
11 0,0 0 0 7 2 0,7 2
1400sT S e c m sf
1 c o s 2 1 0 0 c o s 2 6 0 0ax t t t
co s 2 60 0
11
co s 2 70 0 co s 2 50 0
22
t
tt
6 1 7 1 5co s 2 co s 2 co s 2
1 4 2 1 4 2 1 4nnn
3 ( ) ( )a t n Tx n x t（）
( ) 1 4x n N?为周期序列，周期
14? 抽样点数至少为 点
5 0 0 6 0 0 7 0 0 H z或者因为频率分量分别为,,
0 1 0 0 H zF?得
0/ 1 4 0 0 / 1 0 0 1 4sN f F
14N最小记录点数
2/ sT f f
2/kN */sf f k N?
342 x n R n h n R n），
34y n x n h n R n R n
1-2 已知线性移不变系统的输入为,系统的单位抽样响应为,试求系统的输出,
并画图。
xn
hnyn
412n n n R n
4 4 412R n R n R n
解：
33 2 0,5 nx n n h n R n），
3
2
3
2 0.5
0.5 2
n
n
y n x n h n
n R n
Rn
解,
m
y n x m h n m
4 2 1 0,5nnx n u n h n u n），
1n当时
2 0.5n m n m
m
yn?
24
n
nm
m
24nm
mn
1
4422
1 4 3
n
nn?
0n?当时
1 2 0.5m n m
m
yn
412 1 233nny n u n u n
1
24nm
m
1
24nm
m
1
1
4122
1 4 3
nn
1 0 1nh n a u n a，
hn
1-3 已知,通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 的线性移不变系统的阶跃响应。
解,LSI系统的阶跃响应是指输入为阶跃序列时系统的输出，即
1,0 1nh n a u n a,x n u n?
m
y n x n h n x m h n m
求
1n当时
0n?当时
0
nm
m
y n a
1
na
a
1
nm
mn
y n a
1
a
a
或
1n当时
0n?当时
111naay n u n u naa
m
y n h n x n h m x n m
求
n m
m
y n a?
1
n
m
mn
aa
a
1 m
m
y n a
1 1
m
m
a
a
1-4 判断下列每个序列是否是周期性的，若是周期性的，试确定其周期
31 c o s 78x n A n（）
0
3
7
其中
0
2 14
3
是有理数
()xn解,为正弦序列
14xn? 为周期序列，周期为
1 4 ( ) ( )N x n N x n是满足 的最小正整数
1-6 试判断 是否是线性系统？
并判断是否是移不变系统？
2y n x n
21 2 1 2T x n x n x n x n
不满足可加性或 2T a x n a x n
不满足比例性
不是线性系统
2T x n m x n m
是移不变系统
221 2 1 22x n x n x n x n
12T x n T x n
解：设 211( ) ( )T x n x n 222( ) ( )T x n x n?
22a x n aT x n
2()y n m x n m
1-7 判断以下每一系统是否是（ 1）线性
（ 2）移不变（ 3）因果（ 4）稳定的？
1 T x n g n x n（）
1 2 1 2T a x n b x n g n a x n b x n解：
满足叠加原理是线性系统?
T x n m g n x n m
不是移不变系统?
12a g n x n b g n x n
12a T x n b T x n
y n m g n m x n mT x n m
因为系统的输出只取决于当前输入，与未来输入无关。所以是因果系统若 有界xn
当 时，输出有界，系统为稳定系统gn
当 时，输出无界，系统为不稳定系统gn
x n M
T x n g n M则
T x n g n x n
0
1 2 1 2
n
kn
T a x n b x n a x k b x k
满足叠加原理
是线性系统
0
n
kn
T x n m x k m
是移变系统?
0
2
n
kn
T x n x k
（）
00
12
nn
k n k n
a x k b x k
12a T x n b T x n
'
'
0
'
nmk k m
k n m
xk
令
0
nm
kn
y n m x k
T x n m
当 时，输出只取决于当前输入和以前的输入
0nn?
而当 时，输出还取决于未来输入0nn?
是非因果系统当 时，x n M
0
n
kn
T x n x k
0
n
kn
xk
是不稳定系统?
n当
0 1n n M
0
n
kn
T x n x k
1 2 1 0 2 0T a x n b x n a x n n b x n n
满足叠加原理? 是线性系统
0T x n m x n m n y n m
是移不变系统?
是非因果系统
x n M若0x n n M则是稳定系统?
03 T x n x n n（）
12a T x n b T x n
当 时，输出取决于未来输入0 0n?
是因果系统当 时，输出与未来输入无关0 0n?
1212 a x n b x nT a x n b x n e
不满足叠加原理?是非线性系统
x n mT x n m e y n m
是移不变系统?
输出只取决于当前输入，与未来输入无关
是因果系统
x n M若xnxn Me e e则是稳定系统?
4 xnT x n e（）
1212 x n x na T x n b T x n a e b e
12a x n b x nee
1-8 以下序列是系统的单位抽样响应,
试说明系统是否是（ 1）因果的（ 2）稳定的
hn
33 n un（ ）
解：
0n?当时 0hn 是因果的
0
3 n
nn
hn
是不稳定的?
43 n un?（ ）
解：
0n?当时 ( ) 0hn?
是非因果的
0 3 n
nn
hn
是稳定的?
0
3 n
n
13
1 21
3
5 0,3 n un（ ）
解：
是因果的
0
0.3 n
nn
hn
是稳定的?
0n?当时 0hn?
1 10
1 0.3 7
31n un（6 ） 0,
解：
是非因果的
1 0.3 n
nn
hn
是不稳定的?
0n?当时 0hn?
1
0,3 n
n
74n（）
解：
4n当时( ) 4 1 0h n n
是非因果的
41
nn
h n n?
是稳定的?
1-10设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定
11 1122y n y n x n x n
设系统是因果性的。
（ a）求该系统的单位抽样响应
（ b）由（ a）的结果，利用卷积和求输入的响应 jnx n e
（ a）系统是因果性的 0,0h n n
11 1122y n y n x n x n
x n n令
11 1122y n h n h n x n x n则
2
11
0 1 0 1 1
22
1 1 1
1 0 1 0 1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 1 2 1
2 2 2
1 1 1
3 2 3 2
2 2 2
h h x x
h h x x
h h x x
h h x x
系统的单位抽样响应
11
12
n
h n n u n?
11 1 1
112 2 2
n
h n h n x n x n
1
22
1
1
2
j
j n j n
j
e
ee
e
11
1
2
n
jnb y n h n x n n u n e
（）
1
1
1
2
m
j n mjn
m
ee
1
2 2
m
j n j m
m
ee
2 2 1
2 1 2 1
j n j
j n j n
jj
eeee
ee
2 je
1 2 2 1
2 1 2 1
jj
jnj n j n
jj
eee e e
ee
11
1
2
n
jny n x n h n e n u n
或
11 1
2
nmn
j n j m
m
ee
1
1
1 2
2
n
mj n j
mn
ee
11
1
21
2 12
njn
jn
j
e
e
e
1-12 已知一个线性时不变系统的单位抽样响应 除区间 之外皆为零；
又已知输入 除区间 之外皆为零；设输出 除区间之外皆为零，试以 和 表示和 。
hn 01N n N
xn 23N n N
yn 45N n N
0 1 2,,N N N
4N 5N
3N
解：
对线性移不变系统，有
m
y n x n h n x m h n m
对,非零值的区间为xm 23N m N
对,非零值区间为h n m? 01N n m N
4 0 2N N N 5 1 3N N N
yn 0 2 1 3N N n N N得输出 的非零值区间
01N m n N m
()xn
n0
2N 3N
()hn
n0 0N 1N
02n N N
13n N N
0nN?
1nN?
()h n m?
m00N?1N?
0n?
()h n m?
m0
()h n m?
m0
()h n m?
m0 2N
()h n m?
m
0 3N
1-14 有一调幅信号用 DFT做频谱分析，要求能分辨 的所有频率分量，问
(1)抽样频率应为多少赫兹（ Hz）?
(2)抽样时间间隔应为多少秒（ Sec）?
(3)抽样点数应为多少点？
(4)若用 频率抽样，抽样数据为 512
点，做频谱分析，求,
512点，并粗略画出 的幅频特性,标出主要点的坐标值。
1 c o s 2 1 0 0 c o s 2 6 0 0ax t t t
axt
3 k H zsf?
( ) [ ( )]X k D F T x n?
()Xk
()Xk
（ 1）抽样频率应为 2 7 0 0 1 4 0 0sf H z
解：
（ 2）抽样时间间隔应为
11 0,0 0 0 7 2 0,7 2
1400sT S e c m sf
1 c o s 2 1 0 0 c o s 2 6 0 0ax t t t
co s 2 60 0
11
co s 2 70 0 co s 2 50 0
22
t
tt
6 1 7 1 5co s 2 co s 2 co s 2
1 4 2 1 4 2 1 4nnn
3 ( ) ( )a t n Tx n x t（）
( ) 1 4x n N?为周期序列，周期
14? 抽样点数至少为 点
5 0 0 6 0 0 7 0 0 H z或者因为频率分量分别为,,
0 1 0 0 H zF?得
0/ 1 4 0 0 / 1 0 0 1 4sN f F
14N最小记录点数
2/ sT f f
2/kN */sf f k N?
