四,序列的 z变换与连续时间信号的
Laplace变换,Fourier变换的关系
( ) ( )x n X z?序列的 z变换：
( ) ( )aax t X s?连续时间信号的 Laplace变换：
( ) ( )aax t X j连续时间信号的 Fourier变换：
1、序列的 z变换 &理想抽样信号的
Laplace变换理想抽样信号：
( ) ( ) staaX s x t e dt

( ) ( ) ( )aa
n
x t x nT t nT?


( ) ( ) sta
n
x nT t nT e dt?



其 Laplace变换：
( ) ( )sta
n
x nT e t nT dt?


() snTa
n
x nT e


( ) ( )ax n x n T?抽 样 序 列,
( ) ( ) na
n
X z x nT z


( ) ( )sT az e X z X s当 时，
( ) ( ) sn Taa
n
X s x nT e


其 z变换：
比较理想抽样信号的 Laplace变换：
得：
z平面：
（极坐标）
jz re
()s T j T T j Te e e e
jz re
Tr e T
( ) ( ) ( )sT sT azeX z X e X s
即：
是复平面 s平面到 z平面的映射：
sj
(直角坐标）
s平面：
抽样序列的 z变换 =理想抽样信号的 Laplace变换
sTze?当 时
Tre
单位圆外部r>1右半平面σ >0
单位圆内部r<1左半平面σ <0
单位圆r=1虚轴σ =0
Z平面S平面
s平面到 z平面的映射是 多值映射 。
T
辐射线ω=Ω 0T平行直线Ω =Ω 0
正实轴ω =0实轴Ω =0
Z平面S平面
Ω,//TT
Ω,3 / /TT
/ 3 /TT
ω,
ω,
( ) ( )sT az e X z X s当 时，
1? ( ) ( )
a a s
k
X s X s jkT

而
1 1 2( ) ( )
sT a s aze
kk
X z X s j k X s j kT T T?




2、序列的 z变换 &理想抽样信号的
Fourier变换抽样序列在单位圆上的 z变换
=其理想抽样信号的 Fourier变换
( ) ( ) ( )jT jT azeX z X e X j
()a s jXs
Fourier变换是 Laplace变换在虚轴上的特例。
即,s=j?
jTze映射到 z平面为单位圆序列的 Fourier变换单位圆上序列的 z变换
()jXe?
( ) ( ) jj zeX e X z T数 字 域 频 率,
1 ()
as
k
X j jkT


2
s T
为周期12a
k
kXj
TT




( ) ( )jT aX e X j